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La representación matricial de una transformación lineal, nos permite obtener una base de la imagen, pues ésta estará formada por todos los vectores linealmente independientes que generan dicha imagen.

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Para encontrar el núcleo de una transformación lineal, se toma un vector arbitrario en el dominio y se le aplica la transformación lineal, enseguida se iguala a cero el resultado y se resuelve el sistema formado. La solución de este sistema nos dará un conjunto de vectores linealmente  independientes {v1, v2,... vn} que, se puede probar, generan al núcleo de la transformación.

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Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales

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Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales

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Cada punto P tiene coordenadas (x, y), de manera que el objeto es la suma total de todos sus puntos coordenados. Si el objeto se traslada a una nueva posición, puede considerarse como un nuevo objeto Γ 0 , cuyos puntos coordenados P 0 pueden obtenerse a partir de los puntos originales P mediante la aplicación de una transformación geométrica

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Representación matricial de una transformación lineal

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Representación matricial de una transformación lineal

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Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensiones n y m, respectivamente, y sea T : V →W una transformación lineal, entonces existe una matriz AT de orden m×n llamada matriz de transformación o representación matricial de T que satisface T (v) = (AT )v para toda v ∈ V .

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Núcleo e imagen de una transformación lineal

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Núcleo e imagen de una transformación lineal

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nos proporciona información sobre la cantidad de vectores presentes en V que, mediante la transformación lineal, se relacionan con un solo elemento de W . En particular, conocer este subespacio nos permitirá determinar si T es un monomorfismo

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es una función que asigna a cada vector v ∈ V un vector único T (v) ∈ W y que satisface para cada u, v ∈ V y cada escalar k ∈ R: