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u(x)•v‘(x) + v(x)•u‘(x)

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Du möchtest wissen, was die Produktregel in der Mathematik besagt und wie sie angewandt werden kann? Im folgenden Artikel erklären wir dir die allgemeine Form der Produktregel und zeigen dir mehrere Beispiele dazu.

Du willst den Inhalt dieses Artikels in audiovisueller Form sehen? Dann schau dir gerne unser Video zur Produktregel an.

Produktregel einfach erklärt

Die Produktregel ist eine Methode der Differentialrechnung. Du verwendest sie, wenn du ein Produkt ableiten möchtest.

Dabei ist es wichtig, dass das Produkt aus zwei Funktionen mit jeweils der Variable besteht, hier und , und es sich um differenzierbare Funktionen handelt.

Da die Produktregel von dem deutschen Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz aufgestellt wurde, kannst du sie auch als Leibnizregel bezeichnen.

Produktregel Aufgaben

Um das Vorgehen in der Praxis anwenden zu können, betrachten wir nun zwei Beispiele.

Einfaches Beispiel

Berechne die Ableitung der folgenden Funktion:

Bei dieser Aufgabe kannst du die Produktregel anwenden. Es ist nützlich, wenn du zuerst die Ableitungen der beiden Teilfunktionen und berechnest.

Um die Ableitung einer Potenzfunktion zu bilden, musst du die sogenannte Potenzregel anwenden. Sie liefert dir:

und

Diese Ergebnisse kannst du nun in die Formel der Produktregel einsetzen:

Schließlich kannst du es noch folgendermaßen vereinfachen:

In diesem Fall hättest du die Produktregel umgehen können, indem du zuvor zu zusammenfasst und im Anschluss die Produktregel anwendest.

Produktregel e Funktion

Jetzt noch ein Beispiel für die Anwendung der Produktregel mit einer e Funktion:

Berechne die Ableitung der Funktion :

Dafür berechnest du mit der Potenzregel die Ableitung der Funktion Zudem musst du mit der Kettenregel die e Funktion ableiten können. Hast du das getan, erhältst du:

und

Nun setzt du für die Ableitung deine Ergebnisse in die Formel der Produktregel ein:

Produktregel bei 3 oder mehr Termen

Wenn du einen Term ableiten möchtest, der aus drei oder mehr Produkten besteht, kannst du die Produktregel wie folgt anwenden:

Du kannst dir merken, dass du die Regel für jeden Faktor einfach fortsetzen musst.

Produktregel Herleitung

Wir wollen im Folgenden die Produktregel herleiten. Dafür verwenden wir die h Methode, um die Steigung der Funktion

zu berechnen. Sie lautet:

In diese Formel setzt du nun deine Funktion ein. Das ergibt:

Für den nächsten Schritt ist eine Ergänzung um den Term notwendig:

Danach werden die Terme und ausgeklammert:

Dieser Ausdruck lässt sich wie folgt umschreiben:

Wenn sich nun null annähert, ergibt sich folgende Form:

Weitere Ableitungsregeln

Die Produktregel ist eine von vielen Ableitungsregeln der Differentialrechnung. Weitere wichtige Ableitungsregeln sind:

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Du möchtest wissen, was die Produktregel in der Mathematik besagt und wie sie angewandt werden kann? Im folgenden Artikel erklären wir dir die allgemeine Form der Produktregel und zeigen dir mehrere Beispiele dazu. Du willst den Inhalt dieses Artikels in audiovisueller Form sehen? Dann schau dir gerne unser Video zur Produktregel an.

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f(x)=u(v(x))
Die Funktion v(x) ist die innere Funktion und wird in die äußere Funktion u(x) eingesetzt.

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1. Schritt: u(x) und v(x) aus Gleichung ablesen
2. Schritt: jeweils die Abbildung bilden
3. Schritt: in Gleichung einsetzten

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Dieser Artikel erklärt dir, was die Kettenregel ist und wie du sie anwendest. Dafür zeigen wir dir mehrere Beispiele für die Ableitung verketteter Funktionen.

Du möchtest in nur wenigen Minuten erfahren, wie du mit der Kettenregel ableiten kannst? Dann schau dir unser Video an.

Kettenregel einfach erklärt

Mit der Kettenregel kannst du die Ableitung einer verketteten Funktion berechnen.

Dabei ist die äußere und die innere Funktion. Aus diesem Grund nennt man

äußere Ableitung

innere Ableitung.

Als Merksatz für die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion solltest du dir deshalb „äußere Ableitung mal innere Ableitung" gut einprägen.

Das Multiplizieren mit der inneren Ableitung wird auch Nachdifferenzieren genannt.

Verkettete Funktionen

Die Regel zum Ableiten verketteter Funktionen ist an sich nicht besonders kompliziert. Die Schwierigkeit besteht darin die innere und äußere Funktion zu erkennen.

Sieh dir beispielsweise die folgende Funktion an:

Hier sind zwei Funktionen ineinander verschachtelt. Die innere Funktion steht in der Klammer, während du die äußere Funktion erhältst, indem du die gesamte Klammer durch ersetzt. In diesem Beispiel gilt also:

innere Funktion:

äußere Funktion:

Klammern sind hierbei sehr wichtig! Sie dienen als eine Art Platzhalter und signalisieren dir damit, dass Funktionen ineinander gesetzt (verkettet) wurden.

Kettenregel Beispiel

Im Folgenden zeigen wir dir, wie du die Kettenregel anwendest.

Beispiel 1

Möchtest du nun die Ableitung der Funktion berechnen, musst du zunächst die innere und äußere Ableitung und bestimmen. In diesem Fall wäre das

und

Dabei wurden die Potenzregelund die Faktorregel angewandt.

Jetzt setzt du die Ableitungen und , sowie die Funktion in die Formel für die Kettenregel von oben ein. Dafür musst du das in durch die Funktion austauschen und erhältst:

Vergiss hier auf keinen Fall die Klammer! Diese musst du immer dann setzen, wenn Ausdrücke ersetzt ( substituiert) werden.

Fasst du dein Ergebnis noch weiter zusammen, indem du die Klammer auflöst, liefert dir das die Ableitung:

Für dieses Beispiel mit hättest du die Kettenregel umgehen können, indem du entweder die Produktregel anwendest oder mithilfe der binomischen Formel umschreibst.

Angenommen du tust letzteres, dann erhältst du

Die Ableitung kannst du mittels der Potenz- und Faktorregel recht schnell bestimmen:

Wie du siehst bekommst du dasselbe Ergebnis wie beim Anwenden der Kettenregel.

Schauen wir uns noch ein weiteres Beispiel an.

Beispiel 2

Zunächst bestimmst du wieder innere und äußere Funktion, sowie deren Ableitungen:

Nun setzt du erneut die Ableitungen und , sowie in die Formel der Kettenregel ein und erhältst:

Auch hier hättest du durch Ausmultiplizieren von die Kettenregel meiden können.

Weitere Anwendungsbeispiele der Kettenregel

Allerdings gibt es auch einige Funktionen, bei denen du gezwungen bist die Kettenregel zu verwenden. Sieh dir deshalb für noch mehr Beispiele dieser Art die folgenden Artikel an:

Weitere Ableitungsregeln

Neben der Kettenregel Ableitung gibt es noch weitere Ableitungsregeln mit denen du Ableitungen bestimmen kannst:

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Dieser Artikel erklärt dir, was die Kettenregel ist und wie du sie anwendest. Dafür zeigen wir dir mehrere Beispiele für die Ableitung verketteter Funktionen. Du möchtest in nur wenigen Minuten erfahren, wie du mit der Kettenregel ableiten kannst? Dann schau dir unser Video an. Mit der Kettenregel kannst du die Ableitung einer verketteten Funktion berechnen.

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Ableitungsregeln: Faktorregel | Fundamente der Mathematik | Erklärvideo

# data[].attributes.attachment_link.title
Summenregel und Differenzregel • einfach erklärt

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Summenregel und Differenzregel einfach erklärt ✅ Summenregel Ableitung ✅ Beispiele ✅ mit kostenlosem Video