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Domaines scientifiques et artistiques - Regards de géomètre

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On this page you will find a selection of fully-resourced lessons with a 'mathematical art' theme. The activities in these lessons will help to reinforce many important mathematical skills such as accurate measuring and constructing, visual problem solving and strategic forward planning.

Each resource is accompanied by brief instructions and photos of students' work. If you have any questions about these resources, please do not hesitate to contact me.

I hope you have found something here to try out with your students. I would love to see photos of your students' work if you do. If you post anything on social media, perhaps use the hashtag #mathsart. And do watch this space for new ideas - I have plans for a 'constructing a mandala' lesson, and one on Islamic tiling patterns too... oh, and maybe one on fractals... So much mathematical art, so little time!

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Fully resourced lessons with a mathematical art theme.

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Mthode de pavage figuratif accessible tous : Gratuite en ligne - Nicolas

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une mthode simple et complete, accessible tous et gratuite, d'aprs mon livre - parcelles d'infini (promenade au jardin d'escher) -

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Art et Mathématiques - une vision artistique ou scientifique du monde : opposition ou complémentarité

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Art et Mathématiques - une vision artistique ou scientifique du monde : opposition ou complémentarité

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Catalogue Expo Mathématiques et Art 2013

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Catalogue Expo Mathématiques et Art 2013

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ChronoMath , une chronologie des MATHMATIQUES l'usage des professeurs de mathmatiques, des tudiants et des lves des lyces & collges

Pavages du plan

Ce sujet d'apparence ludique est en fait d'une grande importance tant en mathmatiques qu'en chimie et cristallographie o les structures gomtriques molculaires et minrales peuvent tre classifies grce aux proprits d'invariance des pavages plan par les isomtries usuelles de la gomtrie affine, lmentaires ou composes : translations, symtries, symtries glisses et rotations. On pourra se rfrer la page consacre aux isomtries du plan et de l'espace. Une tude prcise des pavages plans fait appel la thorie des groupes de transformations initie par F. Klein. Les pavages de surfaces 3D font intervenir de subtiles proprits de topologie, voire de gomtrie diffrentielle.

➔ Dans le cas du plan, nous restons ici un niveau relativement lmentaire. Pour une tude plus formelle de la notion de pavage, on pourra consulter, entre autres rfrences cites , le document in fine Pavages du plan par Yves Benoist sur le site de l'cole polytechnique ( ( rf. 9) et la preuve du thorme de Fedorov rf. 10).

La photo ci-dessous reprsente une portion de carrelage hexagonal d'une terrasse. Les carreaux (ou pavs ou tuiles ) de ce carrelage ont une forme mathmatique prcise : ce sont ici des hexagones rguliers identiques . En faisant abstraction des joints qui les assemblent, au sens mathmatique, l'ensemble de ces carreaux constituent une partition du sol de la terrasse : les pavs ne se recouvrent pas et leur runion recouvre totalement la terrasse. En restant dans le champ concret, le pavage du plan s'interprte galement en terme de motif de papier peint ou de nappe de table

Pavage urbain souvent rencontr

Le fait que les pavs soient identiques se traduit mathmatiquement par un qualificatif plus prcis : ils sont isomtriques . Chacun est l'image d'un autre par une isomtrie du plan qui peut donc tre :

une translation;

une rotation;

une symtrie centrale (en fait une rotation d'angle 180);

une symtrie axiale;

une symtrie glisse (compose d'une symtrie axiale et d'une translation);

et tout compos de ces isomtries.

Cette condition d'isomtrie ncessite de munir le plan d'une distance et d'une orientation : nous sommes ainsi plongs dans le monde des espaces euclidiens avec le concept de produit scalaire .

Produit scalaire et espaces euclidiens :"

Dfinition 1 :

On appelle pavage d'un espace euclidien E, toute partition de E en pavs isomtriques deux deux.

Dfinition 2 :

Lorsque E est de dimension n, un pavage est dit priodique s'il est globalement invariant par (au moins) n translations de vecteurs non colinaires.

! Cela sous-entend que le pavage n'est pas limit ! La comparaison un carrelage a donc des limites... Dans le plan, si on se limite un seul vecteur de translation, on obtiendrait concrtement une frise comme illustre ci-dessous :

Toujours, en termes concrets de carrelages (de ma maison de campagne des annes 1970...), voici un exemple de pavage priodique au moyen de pavs rectangulaires de longueur double de la largeur :

Mathmatiquement, vous constaterez que l'on passe du pav A au pav B par rotation de centre O, d'angle 90.

La runion de A et B peut s'interprter comme un pav que l'on retrouve par translations successives, rotations ou symtries glisses.

Le mme type de pavage du Real Alcazar de Sville fournie gracieusement par TripAdvisor

Thorme 1 :

Le pavage priodique du plan est possible par tout quadrilatre, convexe ou non

Pour vous en convaincre, en voici une preuve visuelle base sur le thorme de Varignon selon lequel le quadrilatre joignant les milieux des cts est un paralllogramme. Le pav initial est en jaune. On a schmatis les vecteurs de translation 2u et 2v permettant d'obtenir les pavs bleus. Les pavs roses sont obtenus par symtrie centrale par rapport aux milieux des cts. Le bloc de contour marqu en gras se reproduit au moyen des deux translations (directes ou opposes).

Thorme 2 :

Preuve : Le pavage priodique du plan au moyen de polygones convexes n'est possible que pour des polygones dont le nombre de cts n'excde pas 6 (triangles, quadrilatres, pentagones, hexagones)." rf. 6

Si un polygone rgulier de n cts est susceptible de paver le plan, notons p le nombre de polygones qui se ctoient en chaque sommet du pavage. On doit avoir 2π = p(π - 2π/n), ce qui se simplifie en np - 2p - 2n = 0. Ajoutons alors 4 dans les deux membres :

p(n - 2) - 2(n - 2) = 4, soit (n - 2)(p - 2) = 4

n et p tant entiers, on a gure le choix :

n = 3, alors p = 6 : pavage triangulaire (triangles quilatraux), 6 se ctoient en formant un hexagone rgulier.

n = 4, alors p = 4 : pavage carr .

n = 5 : pas possible.

n = 6, alors p = 3 : pavage hexagonal et c'est pour n la valeur maximale.

Thorme 3 (Pappus d'Alexandrie) :

Les seuls polygones rguliers convexes qui pavent le plan sont le triangle quilatral, le carr et l'hexagone rgulier.

"Pappus d'Alexandrie Polygones rguliers : "

Manip partir d'une tuile rectangulaire :

Thorme 4 :

Les possibilités de pavage du plan (carrelages), c'est dire du recouvrement (sans trous !) du plan par juxtapositions d'un même motif lmentaire, sont limitées à 17 catgories.

La preuve de ce rsultat a t donne la fin du 19 sicle par le minralogiste et mathmaticien russe Evgrav S. Fedorov (1853-1919) de l'universit de Saint-Ptersbourg. Cette limitation 17 exprime les diffrentes configurations de pavages (classes d'isomorphie) caractrises par les isomtries lmentaires ou composes, qui, appliques au motif rpt, conservent le pavage (invariance globale). Fedorov dnombra galement 230 types de pavages de l'espace euclidien 3 dimensions.

! Il n'est pas dit qu'il n'existe que 17 pavages du plan : on ne peut pas paver n'importe comment avec n'importe quoi, mais les choix rationnels restent illimits ! On pourra consulter l'tude de ce beau thorme

Les 17 types bnficient de noms tout aussi savants que les polydres de l'espace : rhombique monosymétrique, hexagonal trisymétrique, ... Ces appellations s'identifient aux sous-groupes d'isomtries ( ( groupe de symtrie) qui les caractrisent. Leur intervention en minralogie dans le classement des " rf. 12) cristaux conduit parler des 17 groupes cristallographiques. Les voici illustrs ci-dessous grce au beau logiciel de Marcel Morales .

Les motifs choisis sont volontairement simples car s'il est complexe la reconnaissance des translations, rotations et symtries s'avrent trs difficile et l'exemple manquerait cruellement de pdagogie !

Le codage des types est celui des cristallographes suivi de celui de (( Conway" rf. 6) et du Kangourou " rf. 4). Les appellations sont celles du Kangourou (Andr Deledicq et Raoul Raba) :

I - type p1 ( o,R0) - paralllogrammique asymtrique

II - type p2 (2222,R2) - paralllogrammique symtrique

III - type p3 (333,R3) - hexagonal 3-rotatif " explication en images

IV - type p4 (442,R4) - carr 4-rotatif

type V - type p6 (632,R6) - hexagonal 6-rotatif

VI - type pg (xx,M0g) - rectangulaire glissant

VII - type cm (x*,M1g) - rhombique monosymtrique

VIII - type pm (**,M1) - rectangulaire monosymtrique

IX - type pgg (22x,M0R2) - rectangulaire biglissant

X - type pmm (*2222,M2) - rectangulaire bisymtrique

XI - type cmm (2*22,M2R2) - rhombique bisymtrique

XII - type pmg (22*,M1R2) - rectangulaire glissant symtrique

XIII - type p3m1 (*333,M3) - hexagonal trisymtrique

XIV - type p4g (4*2,M2R4) - carr 4-rotatif glissant

XV - type p31m (3*3,M3R3) - hexagonal 3-rotatif symtrique

XVI - type p4m (*442,M4) - carr totalement symtrique

XVII - type p6m (*632,M6) - hexagonal totalement symtrique

XVII - type p6m (*632,M6) - autre cas hexagonal totalement symtrique

Voici un pavage obtenu avec le logiciel ( kali "rf. 13) :

Cet autre exemple semble assez tourment et peu esthtique... :

Il suffit de le colorier pour le trouver plus attrayant... On pourra reconnatre ici le groupe hexagonal 3-rotatif p3 (333,R3) :

Nombreux sont les motifs qui taient dj connus des ( gyptiens de l'antiquit dans l'art dcoratif. Les architectes arabes les ont magnifis ds le 12 sicle dans le clbre palais de l'Alhambra de Grenade o 13 d'entre eux sont prsents selon Pascal Chossat "rf.9) .

Espagne : palais de Grenade (Alhambra), dcoration murale (dtails). Source photos : http://www.fotosalhambra.es/blog/pagina/4/

Pavage en hexagones allongs

Mosaque byzantine (muse d'Istanbul)

U n pavage "autobloquant" trs utilis en milieu urbain

Penrose et les pavages quasi-priodiques du plan : " "Coxeter et groupe didral

1. Quel type ?.. Rp. : ∗ ∗ ∗ ici

2. Quel type ?.. Rp. : ∗ ∗ ∗ ici

∗ ∗ ∗ 3. Quel type ?.. Rp. : ici

4. Quel type ?.. Rp. : ∗ ∗ ∗ ici

➔ Pour en savoir plus :

1. Le monde des pavages par André Deledicq et Raoul Raba, une référence bien connue des professeurs, car elle fit partie des cadeaux du célébrissime concours Kangourou, incluant l'étude des frises, liée aux translations, rotations, symétries, symtries glisses (niveau collège, lyce) :64 pages superbement illustrées et argumentées. d. ACL - Éditions du Kangourou.

2. Sur le site du Kangourou , paver avec des carreaux de 4, 5 ou 6 cts : http://www.kangmath.org/pdf/paver.pdf

3. Pavages plans et notation de Conway : pages interactives construites avec Geogebra conduisant comprendre la notation de Conway en tudiant les translations, symtries et rotations et s'appuyant sur les figures du livre Le monde des pavages (rf.4).

4. Groupes et gomtries , par Brigitte Snchal - d. Hermann, Paris - 1979

5. Pour une tude plus formelle de la notion de pavage, on pourra consulter le document Pavages du plan par Yves Benoist sur le site de l'cole polytechnique http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups01.01.pdf

6. Preuve du thorme de Fedorov in Mathmatiques gnrales pour l'agrgation, Ch. XXXII
par Patrice Tauvel (univ. Poitiers), d Masson, Paris - 1992. On y trouvera galement la classification des frises.

7. LES SYMTRIES BRISES , par Pascal Chossat, collection Sciences d'avenir - Pour la Science, diffusion Belin - Paris, 1996.
Page personnelle de Pascal Chossat, directeur de recherche au CNRS, univ. Nice : http://math1.unice.fr/~chossat/

8. Pour faire vous-mme de trs beaux pavages, le logiciel de Marcel Morales (IUFM Lyon/Institut Fourier Grenoble) :
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~morales/logiciel-pavage-Marcel-Morales.html

9. Logiciel de pavages (et frises) sur le site scienceU.com (avec notations de Conway) : http://www.scienceu.com/geometry/handson/kali/
(vous devrez sans doute autoriser Java dans l'onglet de scurit de son panneau de configuration).

10. Wallpaper Groups (notations de Conway, espace quotient) par Silvio Levy (univ. Minnesota) :
http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node12.html

11. Pour contempler de magnifiques pavages plan, tapez Mosaques arabes dans Google Images :
https://www.google.fr/search?q=mosaque+arabe

12. Pavages et cristallographie, une page de Samuel Petite, univ. de Picardie :
http://www.cmm.uchile.cl/~mschraudner/DySyCo/Slides/PetiteLecture1.pdf

13. M. C. Escher et pavages du plan, une tude de Xavier Hubaut (professeur mrite, ULB) :
http://xavier.hubaut.info/coursmath/doc/pavages.htm

Rponses : 1. p4m (M4) - carr totalement symtrique | 2. type p4g (M2R4) - carr 4-rotatif glissant
3. type p3m1 (M2) - hexagonal trisymtrique | 4. type p2 (R2) - paralllogrammique symtrique

© Serge Mehl - www.chronomath.com

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ChronoMath , une chronologie des MATHMATIQUES l'usage des professeurs de mathmatiques, des tudiants et des lves des lyces & collges Pavages du plan Ce sujet d'apparence ludique est en fait d'une grande importance tant en mathmatiques qu'en chimie et cristallographie o les structures gomtriques molculaires et minrales peuvent tre classifies grce aux proprits d'invariance des pavages plan par les isomtries usuelles de la gomtrie affine, lmentaires ou composes : translations, symtries, symtries glisses et rotations.

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La théorie des fractales a été émise pour la première fois par le mathématicien Benoît Mandelbrot et présentée en 1975 dans son livre fondateur : " Les Objets Fractals ".

Cette théorie mathématique, qui cherchait à rendre compte des figures et objets complexes, s'est alors étendue à de très nombreuses disciplines dont les arts plastiques.

L'Art Fractal est ainsi devenu un puissant modèle de pensée et un nouveau code visuel comme le furent le Cubisme, l'Abstraction, l'Art Cinétique ou encore l'Art Concret. *

L'année 1994 a vu la naissance du groupe des Fractaliste et la revue Art Press (N°229) a publié en 1997 le Manifeste de ce groupe, autrement nommé " Groupe fractaliste - Art et complexité " avec 11 artistes signataires : Carlos Ginsburg, Jean-Claude Meynard, Joseph Nechvatal, Miguel Chevalier, Pascal Dombis, Pierre Zarcate, Edward Berko, Cesar Henao, Jim Long, Steven Marc, Yvan Rebyj.
Des textes de présentation sur l'art et la complexité fractale de la philosophe Christine Buci-Glucksmann, de l'écrivain Susan Condé, et du critique d'art Henri-François Debailleux, ont accompagné ce Manifeste.

* Comme le précise Jean-Claude Chirollet, l'art fractal ne se réduit au seules images fractales populaires que beaucoup voit un jour au hasard des pages d'une revue scientifique ou d'un magazine d'infographies.

L'art fractal ou le déchiffrement du monde
Classiquement on décrypte le monde à travers le regard d'Euclide, en utilisant des notions de plan, de droite, de surface, longueur, largeur, hauteur...
Mais cette géométrie euclidienne est liée au monde simple de l'époque grecque dans laquelle elle prit naissance 300 ans avant J.C : un monde organisé autour d'une mer unique, la Méditerranée, sur laquelle un homme comme Ulysse pourra naviguer pendant 10 ans sans jamais être repéré...
Aujourd'hui la seule géométrie d'Euclide est insuffisante pour déchiffrer la complexité du monde : son expansion, sa mondialisation, son chaos, ses effets papillon...

Le monde actuel vit selon d'autres dimensions et les plasticiens fractals travaillent à la représentation de cette nouvelle réalité.

En étudiant leurs œuvres (peintures, sculptures, créations numériques, installations, etc) une constante apparaît : une représentation démultipliée du réel infiniment répété mais à des échelles différentes et sans que jamais aucune figure ne perde son identité, chaque figure étant à la fois marco ou (et) micro, un univers en soi et un autre univers... l'artiste fractal s'approprie ainsi les nouvelles dimensions du monde : un monde qui a perdu son centre, un monde qui se réplique, se clone, se démultiplie, se décompose et recompose sans cesse...

Dans cette optique, les artistes fractals pensent parfois leurs œuvres comme " non finies " susceptibles d'être retravaillées, reformulées, même hybridées - l'œuvre comme l'émergence éphémère d'une hybridation : un passage.
Au fond, ce qui relie ces artistes, au-delà de leur profonde modernité, c'est leur appropriation des nouvelles dimensions du monde : un monde qui a perdu son centre, un monde qui se réplique et se recompose et dont l'artiste fractal sait apprivoiser la réinvention.

" l'Algorithme de Babel " - impression numérique sous plexiglas - 105 cm x 40 cm - 2010

l'Algorithme de Babel - autrement dit la méthode, le processus établi par Jean-Claude Meynard pour créer ses différentes déclinaisons de Babel - est la fractalisation de la silhouette humaine, sa démultiplication : l'homme-graphe se déploie comme une séquence d'écriture, une sorte de code génétique qui donne, en soi, une figuration de l'infini.

Les Chants Fractals sont une série d'œuvres conçues " en correspondance " avec des partitions musicales de J.S Bach, Béla Bartók, Claude Debussy, Mozart. Les œuvres ne sont plus limitées à leur seule forme plastique, elles sont augmentées d'une musique, et d'un film qui montre leur processus de création - musique et film sont intégrés à l'œuvre via un QR code que l'on peut scanner pour découvrir, in vivo, la construction picturale et musicale de ces Chants Fractals.

Chaque " Chant Fractal " est composé d'un thème et de son triptyque qui figure les 3 premières mesures de chaque partition.

" Installation panoramique du Lotus Reflet Fractal "
Cette installation a été réalisée pour la galerie Lelia Mordoch/ Paris pour l'exposition " Chants Fractals de Jean-Claude Meynard " - 22 Novembre 2018 - janvier 2019.

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La théorie des fractales a été émise pour la première fois par le mathématicien Benoît Mandelbrot et présentée en 1975 dans son livre fondateur : " Les Objets Fractals ". Cette théorie mathématique, qui cherchait à rendre compte des figures et objets complexes, s'est alors étendue à de très nombreuses disciplines dont les arts plastiques.

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Quand mathématiques et oeuvres d'art font culture commune

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Quand mathématiques et oeuvres d'art font culture commune

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Il nous arrive de croiser des cerveaux qui voient dans les sciences une espèce de jeu... Il n'est pas rare non plus de rencontrer des passionnés de maths qui envisagent l'ensemble du réel à travers le prisme des chiffres.

Les nombres, en effet, nous entourent constamment. Fonctions, vecteurs et algorithmes dominent le cours des astres, la vie de la nature, le cycle des saisons, les lois suivies par les corps et leurs mouvements... On connaît aussi la théorie du nombre d'or, qui, alliée à la symétrie, fut une clef maniée par les grands architectes de tous les siècles.

La sphère artistique ne fait pas défaut : l'harmonie mathématique et le rythme ne règnent pas seulement sur la musique, mais également sur les œuvres picturales. Comment pourrait-on séparer géométrie et arts figuratifs ?

Voyons ensemble sept exemples extraordinaires de cette adéquation élémentaire entre maths et arts, laquelle devrait avoir sa place dans tous les programmes d'HDA !

Pour tout savoir des maths et bien plus encore...

Chaque flocon de neige est unique, et cette unicité de la glace nous offre des rosaces remarquables au naturel.

Simon Beck a pris le parti d'explorer cette voie déjà en partie visitée par la Création. Au cœur de l'Europe, en plein massif des Alpes, il a tracé des œuvres enneigées aux dimensions pouvant faire penser à des villages de neige. Il reste le numéro un en la matière - et c'est le cas de le dire !

Création inédite | La géométrie à la rescousse de l'art contemporain | source : visualhunt.com

Son ouvrage Snow Art, publié par S-Editions, présente en 200 photos (aériennes pour la plupart) ses pièces maîtresses. La biographie de leur auteur n'est pas oubliée. Les arts visuels quittent le campus universitaire et l'enseignement officiel pour prendre un bon bol d'air - l'air de la liberté !

Ici, ni pinceau, ni palette de couleurs : seulement une combinaison bien chaude, un bonnet et un masque de ski ! Mais il peut falloir une demi-journée de concentration intense et de déplacements physiques pour obtenir de tels résultats. Des paysages d'exception viennent couronner le tout : c'est aussi une véritable philosophie de vie.

Si vous voulez vous y mettre, cela vous permettra de faire tout à la fois du sport, des maths et de l'art... Mais vous avez intérêt à savoir où mettre les pieds pour ne pas gâcher le travail !

Découvrez 5 préjugés sur les mathématiques !

Les motifs imbriqués

Les nouvelles technologies permettent d'allier différents calques, dimensions et trames.

L'artiste iranien Hamid Naderi Yeganeh a eu une excellente intuition en décidant d'employer à fond les riches possibilités offertes par l'informatique. La consultation de son site Internet personnel sera un excellent moyen de se familiariser avec ses productions.

Depuis la ville de Qom où il habite, cet informaticien génère informatiquement des milliers de motifs mathématiquement imbriqués, où l'harmonie règne sans partage. Ses travaux sont connus dans le monde entier, et ils ont été salués par de grands médias, à l'instar du Huffington Post ou de CNN Style.

De l'art ou des maths ? (.....)

Les associations d'ellipses ou de rectangles voisinent avec les cercles, les carrés et les segments. Parfois, au gré des essais, des animaux ou des objets prennent vie, par hasard, à travers des combinaisons nouvelles. Bien entendu, l'utilisation de données chiffrées n'empêche pas de devoir avoir de l'inspiration pour obtenir des résultats de qualité.

Comme quoi, un prof d'arts plastiques se cache peut-être derrière votre professeur de mathématiques !

Un art que le génie d'Einstein n'aurait pas renié !

Les fractales

Une dénomination barbare ? Non ! La fractale désigne tout simplement un objet mathématique - du genre surface ou courbe - dont la structure reste la même en dépit de toute variation d'échelle.

Un autre signe qui montre que l'art et les maths sont toujours proches.

Les fractales : un socle commun de connaissances entre les maths et l'art.

Dans le champ artistique, Liz Blankenship et le docteur Daniel Ashlock se sont intéressés à ces notions avec force passion. Eux-mêmes parlent, pour qualifier leur trouvaille, de " taxinomie algorithmique des fractales ". Le procédé est d'ordonner des fractales en travaillant sur les équations qui les génèrent.

Des couleurs bien choisies, avec des nuances nombreuses pour mieux dessiner et faire ressortir les contours des formes principales, donnent une grande clarté à l'ensemble.

On y joue sur l'égalité des conversions : une apparente complexité n'est due qu'à une répétition de motifs donnés fondés sur des angles et des distances ayant des rapports d'équivalence entre eux.

Certains tableaux obtenus de la sorte grâce à l'aglorithmique vous donneront le vertige.

Vraiment, notre temps connaît des bouleversements inconnus jusqu'au XIXe siècle inclus !

Isométrique et 3D

Si les beaux-arts semblaient patiner dans le contexte de la déconstruction induite par des esprits tels que Marcel Duchamp, la cohérence revient au cœur des préoccupations. Sans oublier l'ordre.

Quant au rendu, l'imbrication isométrique n'est pas très éloignée d'un François Morellet. Ici, le pionnier n'est autre que le mathématicien John Nash, assisté de Nicolaas Kuiper.

Là aussi, sans un PC surpuissant, rien ne serait possible. L'artiste du XXIe siècle visite d'une manière toute personnelle l'infiniment petit et les nanomètres pour offrir au public des copies isométriques en trois dimensions d'objets bien réels. Ou, plutôt, de certains détails...

Parfois, on aurait l'impression de deviner du Bernar Venet, si l'on veut se trouver des repères...

Un art permis par le rapprochement des mathématiques et de l'informatique.

La haute définition des matheux | Une qualité supérieure à la photographie... et bientôt une place au Louvre ? | source : hevea.imag.fr

Nous sommes en plein projet Hévéa, qui nous invite à nous rapprocher des plus petits composants de la réalité. Les canons académiques sont finalement repris et confirmés par l'étude mathématique des détails. Ces applications inouïes devraient être montrées à tous les lycéens de terminale qui chercheraient à donner du sens à leur cursus en S !

Modèles mathématiques 3D

On ne les croise pas souvent dans un musée d'art. Ou même en cour de math ... Pourtant, c'est un matériau infini qui s'offre aux esprits contemporains les plus imaginatifs et inventifs. Qui saura développer tel ou tel modèle pourra se faire connaître dans le monde entier !

La mathématicien et enseignant australien Henry Segerman a avant tout désiré faire aimer sa discipline en mettant l'accent sur l'éducation et sur la collaboration, comme on peut l'apprendre en cours de maths 1ere s. En bref, dépasser les exercices et vieux problèmes rébarbatifs, afin de donner une empreinte cordiale et quasi littéraire aux sciences les plus " dures " et abstraites.

Selon lui, les mots permettent de raconter des histoires, mais on peut faire de l'art avec des idées et un vocabulaire mathématiques. Naître à l'art pourrait donc permettre de naître aux maths. Logique !

Polyèdres, quintessences, puzzles, surfaces, projections stéréographiques et autres polytopes en quatre dimensions : notre scientifique d'Australie commercialise sous forme d'objets ses créations les plus appréciées. La modélisation exemplaire proposée par l'image placée en exergue du présent article en est une excellente illustration.

Une discipline qui n'aurait peut-être jamais vu le jour sans l'évolution connue par les maths au cours des siècles derniers.

L'art mathématisé

Nous devons la fondation de ce courant à Kerry Mitchell, un ingénieur qui travaille à la NASA et qui a voulu célébrer en 2012 l'atterrissage de la sonde Curiosity sur la planète Mars.

N'importe quel peintre aimerait disposer des mêmes moyens techniques, pour impulser une dynamique aussi efficace dans ses créations picturales. On approche parfois des estampes japonaises dans ce qu'elles ont de plus vif.

Les éléments | La mathématisation de l'art arrive à obtenir des résultats comparables à ceux de la peinture, de la photographie ou de l'estampe | source : ommons.wikimedia.org (Holusai)

L'artiste dépasse l'art moderne actuel en utilisant les séquences de données, la reproduction de formes et la représentation d'objets concrets. Sa démarche est nouvelle dans l'histoire de l'art.

Les ministères de l'Éducation nationale et de la Culture pourraient envisager de suivre cette piste pour faire aimer les sciences aux élèves du secondaire ( cours de maths terminale s). Appliquer ses connaissances abstraites de la sorte est d'une grande efficacité pédagogique !

Une réflexion à creuser. Un jour peut-être, un concours artistique ou une exposition viendra remplacer tout examen... Non, la créativité n'empêche pas l'assimilation d'indispensables acquis primaires.

" L'art mathématisé " : une expression qui fera bientôt partie du vocabulaire propre aux maths ?

La fractale version Fabergé

Les œufs Fabergé sont internationalement reconnus. Mais quid de leur ré-exploration scientifique par le biais des fractales ?

Le physicien britannique Tom Beddard n'a pas grand-chose à envier au célèbre joaillier russe né en 1846 et mort en 1920. Notre ami anglais adopté par l'Écosse est pour sa part docteur de l'université St. Andrews. Son passage dans l'enseignement supérieur a permis la mise en œuvre de ses projets.

Il a mis la 3D au service de la conception d'œufs Fabergé 3.0 où les détails sont toujours plus précis et complexes.

Le résultat est bluffant et semble nous offrir des bijoux venus des espaces intersidéraux ! Et l'Académie des Beaux-Arts ne nous contredirait pas.

Les œuvres de Tom Beddard ne se limitent pas aux œufs Fabergé et aux cours de maths seconde. Elles comportent également, toujours en suivant le même procédé, des collections de motifs planétaires, de masques vénitiens, etc.

3D | La géométrie en trois dimensions et les fractales revisitent la joaillerie | source : sub.blue

*

L'arithmétique offre la possibilité de rationaliser les arts, que l'on soit musicien, sculpteur, peintre ou autre. La création artistique rencontre la pédagogie et le monde numérique dès qu'on le veut bien et quand on s'en donne la peine.

L'activité artistique sur base algébrique est encore de création récente. Il ne tient plus qu'à vous de vous y mettre et de découvrir de nouveaux horizons grâce à l'abstraction !

Côté études, ce peut un bon moyen de se motiver : oui, un théorème peut être utile et créer du beau ; oui, un polygone peut prendre vie ! Jeunes artistes de demain, lancez-vous ! Qui sait si le musée du Louvre ne vous ouvrira pas un jour grand ses portes, avec une section spéciale " Arts mathématiques " ?

De la naissance des maths à cela, bien des choses se sont passées en cours de maths 3ème.

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7 Exemples Surprenants où les Maths Deviennent de l'Art

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Il nous arrive de croiser des cerveaux qui voient dans les sciences une espèce de jeu... Il n'est pas rare non plus de rencontrer des passionnés de maths qui envisagent l'ensemble du réel à travers le prisme des chiffres. Les nombres, en effet, nous entourent constamment.

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Les noces de l'art et des mathématiques (vidéo CNRS)

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Les noces de l'art et des mathématiques (vidéo CNRS)

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Abstraites par nature, les mathématiques nous font entrer dans une nouvelle dimension avec l'exposition "Esthétopies", de l'Institut Poincaré à Paris. Le mathématicien Pierre Berger propose un ensemble d'installations visuelles et sonores qui sont autant d'espaces inconnus à explorer, tirés de la géométrie non euclidienne. Une expérience sensible et inédite, à découvrir jusqu'au 8 juillet.

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Les édifices les plus mathématiques du monde

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Les édifices les plus mathématiques du monde

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Cette note sera augmentée, au fur et à mesure que vous lecteurs, donnerez des idées pour la compléter, tant en ce qui concerne les mathématiques que les constructions architecturales proprement dites.Vous pouvez aussi critiquer le choix qui est fait.

La numérotation qui suit n'est pas un classement.
1) La grande pyramide, Giseh
Photo: Michel@

Observation mathématique de la pyramide Khéops

2) Le Taj Mahal, Âgrâ

Photo: ironmanixs

Le Taj Mahal d'Âgrâ
3) L'Alhambra, Grenade
Photo: RaMaOrLi
Les 17 types de pavage

4) Le Parthénon, Athènes

Photo: simon_music

Le mythe du nombre d'or

5) The Gherkin, Londres

Photo: From The North

Perfect buildings: the maths of modern architecture

6) Le musée de Guggenheim, Bilbao

Photo: Chiara Abbate

Le musée et CATIA

7) The Water cube, Beijing

Photo: Jean Wang

Swimming in mathematics

8) The Eden Project, St Austell

Photo: Nigel Wilson

The Core et Fibonacci

9) La Sagrada Familia, Barcelone

Photo: wjhall31

La Sagrada Familia and the parabolic hyperboloïd

La Sagrada Familia

10) Sint Benedisturberg, Vijlen

Photo: m.by

El numero de plastico

11) Le théâtre d'Epidaure

Photo: Victorillen

Le théâtre d'Épidaure
Le secret de l'acoustique du théâtre d'Epidaure
Les fractions continues et le théâtre d'Épidaure

12) Saint Louis Abbey, Creve Coeur

Photo: MBK

St Louis Parabolas
13) La Cathédrale Metropolitana, Brasilia
Photo: hamadryades

Catedral de Brasilia, Oscar Niemeyer
14) La Grande Arche de la Défense
Photo: Thomas Leplus

L'hypercube
15) La grande mosquée d'Ispahan
Photo: Sebastià Giralt

Les symétries du carré

Histoire et civilisation
16) The gateway Arch, Saint Louis
Photo: Her Friend Dave

Les mathématiques de l'arche
17) Le minaret de la mosquée de Samarra
Photo: Mitopencourseware

La spirale conique

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Les édifices les plus mathématiques du monde - Inclass@blεs Mathématiqu€s

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Cette note sera augmentée, au fur et à mesure que vous lecteurs, donnerez des idées pour la compléter, tant en ce qui concerne les mathématiques que les constructions architecturales proprement dites.Vous pouvez aussi critiquer le choix qui est fait. La numérotation qui suit n'est pas un classement.

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Learn to make basic desmos art by modeling functions after pictures

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Explore the beautiful world of Origami and Mathematics. Be amazed by stunning photographs, and discover folding instructions and mathematical explanations.

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Cubes et tétra-icosaèdres étoilés en papier - Micmaths

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Romantic Mathematical Shape: möbius-loop hearts

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LE CORBUSIER ET SON MODULOR - MATHS ASIUS

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Fractales - A la recherche de la dimension cachée.avi

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Par Azraelle dans ARTS VISUELS le

Je fais à nouveau remonter cet article à la fin duquel j'ai ajouté un lien vers le site Matheliers qui propose une adaptation de mes fiches pour les élèves DYS!

Vous trouverez ci-dessous des fiches permettant de travailler les principales notions de géométrie à travers des découvertes d'artistes et des activités en arts visuels...

Je fais à nouveau remonter cet article, car c'est l'occasion pour moi de remercier Craie hâtive, une des mes amies du net, qui m'a généreusement proposé de profiter de ses talents de webmaster...

Merci ma petite Craie! Tu es une amie formidable et un relookeuse du tonnerre!!

Sur le côté gauche de la fiche, une découverte artistique, sur la partie droite, des consignes pour mettre en pratique...
1) Victor Vasarely et tracer à la règle graduée Axes trouvés sur l'école de Rustrel
Télécharger " GEOMETRIE ET ARTS VISUELS fiche 1 Vasarely et segments à la règle.docx "

Télécharger " GEOMETRIE ET ARTS VISUELS fiche 1 Vasarely et segments à la règle.pdf "

Télécharger " GEOMETRIE ET ARTS VISUELS fiche 1 bis Kandinsky et les quadrillages.pdf "

Télécharger " GEOMETRIE ET ARTS VISUELS fiche 2 Anny Robin Deshayes Lignes et polygones.docx "

Télécharger " GEOMETRIE ET ARTS VISUELS fiche 2 Anny Robin Deshayes Lignes et polygones.pdf "

Télécharger " GEOMETRIE ET ARTS VISUELS fiche 3 Marlow Yancey compas.docx "

Télécharger " GEOMETRIE ET ARTS VISUELS fiche 3 Marlow Yancey compas.pdf "

Une partie des consignes trouvée sur le site Séquences de géométrie.

Télécharger " GEOMETRIE ET ARTS VISUELS fiche 4 Rosaces mérovingiennes compas.docx "

Télécharger " GEOMETRIE ET ARTS VISUELS fiche 4 Rosaces mérovingiennes compas.pdf "

Télécharger " GEOMETRIE ET ARTS VISUELS fiche 5 litéma sud africain la symétrie.docx "

Télécharger " GEOMETRIE ET ARTS VISUELS fiche 5 litéma sud africain la symétrie.pdf "

Télécharger " GEOMETRIE ET ARTS VISUELS fiche 6 la mer Piet Mondrian les angles droits.docx "

Télécharger " GEOMETRIE ET ARTS VISUELS fiche 6 la mer Piet Mondrian les angles droits.pdf "

7) Les triangles rectangles avec Maurice Miot

Télécharger " GEOMETRIE ET ARTS VISUELS fiche 7 Melito triangles rectangles.docx "

Télécharger " GEOMETRIE ET ARTS VISUELS fiche 7 Melito triangles rectangles.pdf "

8) Carrés, rectangles et losanges dans les jardins à la française

Télécharger " GEOMETRIE ET ARTS VISUELS fiche 8 jardins à la française carrés, rectangles, losanges.docx "

Télécharger " GEOMETRIE ET ARTS VISUELS fiche 8 jardins à la française carrés, rectangles, losanges.pdf "

Télécharger " GEOMETRIE ET ARTS VISUELS fiche 9 Paul Klee solides.docx "

Télécharger " GEOMETRIE ET ARTS VISUELS fiche 9 Paul Klee solides.pdf "

Dans le même esprit et pour la maternelle, des fiches de graphisme proposées sur le site pass-education qui s'appuient sur une oeuvre également: c'est là !

Je suis très heureuse de faire un lien vers le site MATHELIERS où Julie et Manu proposent une version DYS de mes fiches! C'est ici, allez vite découvrir leur travail!

Un très bel article en construction chez ma cybercollègue Lucie, maitresse LP ! De nouvelles fiches et un coup de neuf sur le visuel de certaines des miennes :
http://maitresse-lp.eklablog.com/geom-arts-a207565638

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ARTS ET GÉOMÉTRIE Je fais à nouveau remonter cet article à la fin duquel j'ai ajouté un lien vers le site Matheliers qui propose une adaptation de mes fiches pour les élèves DYS! Vous...

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Originaire du Vénézuela, l'artiste Guada réalise des petites bandes dessinées pleines de mélancolie et parfois d'humour noir dont une grande partie se base sur les relations amoureuses et la vie sentimentale.
Les bandes dessinées au format court demandent un certain talent. Au delà de bien savoir dessiner, il faut savoir être capable de retranscrire des émotions fortes dans un format plutôt concis. Aujourd'hui, nous allons vous parler d'une artiste vraiment très à l'aise sur le sujet. Originaire du Vénézuela, Maria Guadarrama est une illustratrice qui réalise des bandes dessinées pleines d'humour et de grandes réflexions sur le sens de la vie.

Plus connue sous le pseudonyme , elle a réalisé le projet "The Unspoken Truth" où l'artiste raconte plusieurs scènes de la vie de tous les jours, volontairement pleines d'émotion, avec parfois une touche d'humour, de mélancolie ou encore de rêverie. "Je pense que les gens qui aiment mes bandes dessinées sont très sensibles. Ce sont des personnes très réservées et romantiques." explique Maria.

Mais ne pensez pas que la bande dessinée est le travail à temps plein de l'artiste. En journée, Guada est graphiste en agence. Elle réalise donc ses bandes dessinées sur son temps libre, qu'elle voit également comme un exutoire lui permettant de poser des illustrations et des mots sur ses émotions et ses sentiments.

Pour en savoir plus sur son art et ses différentes créations, rendez-vous sur son portfolio. À noter que Guada est égalemen t une artiste engagée et amoureuse de son pays (le Vénézuela) ce qui se perçoit dans certaines de ses créations.

On vous laisse consulter ci-dessous 20 bandes dessinées romantiques et créatives spécialement choisies pour vous. Et dans un tout autre registre, on vous propose de découvrir le travail de l'artiste Cujko qui réalise également de courtes bandes dessinées... sur la thématique de l'humour noir.
Il y a différents types de relations
Le corps parfait
- Des bras pour faire des câlins
- Des mains pour écrire, dessiner et caresser
- Un ventre à remplir avec de la nourriture saine
- Des jambes pour visiter de nouveaux endroits
La bonne personne Il y a deux types de personnes
Les moyens les plus efficaces de se sentir misérable
- Se comparer aux autres
- Essayer de changer le passé constamment
- Être obsédé par son look
- Mettre de côté ses rêves pour achever ceux des autres

Vérités cachées
- Ils ne sont pas aussi heureux qu'ils en ont l'air
- Ceux avec les problèmes les plus graves sont ceux qui se plaignent le moins
- Un jour, vous allez devoir vivre dans un monde sans elle
- Si tu ne te sens pas bien seul, tu ne te sentiras pas mieux avec quelqu'un
- Stop ! Dis ton nom et ton objectif. - Non, il n'est pas trop occupé au travail, il n'a pas peur de l'amour et il n'est pas intimidé par les femmes fortes et indépendantes. Il est juste pas intéressé par toi !
Un jour comme les autres
- Je ne sais pas pourquoi je me sens comme ça...
- Tu n'es pas venu me voir depuis longtemps.
- Oh c'est toi ?
*Tristesse*
- Parfois, tu es vraiment embarrassant...
- Mais j'ai compris que si je prenais le temps de te comprendre...
- Tu partirais un jour.

Amour immature : je t'aime parce que j'ai besoin de toi
Amour mature : j'ai besoin de toi parce que je t'aime

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Il capture les plus beaux sols du monde et nous fait voyager de manière insolite

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L'artiste français Sébastien Erras nous fait voyager sur Instagram en prenant en photos les plus beaux sols qui croisent sa route dans le monde entier. Si vous passez du temps sur Instagram, vous connaissez sûrement ces comptes qui nous font voyager avec de magnifiques paysages capturés aux quatre coins du monde.

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Pavage aléatoire à la façon de Vera Molnar

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A la façon de Vera Molnar - toutatice.fr

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Les premiers travaux permettent d'obtenir des pavages de plus en plus complexes à l'aide de plusieurs motifs choisis aléatoirement. - Les derniers travaux permettent d'obtenir des pavages à l'aide d'un seul motif qui est lui même obtenu aléatoirement. - Les groupes les plus rapides doivent obtenir leurs propres œuvres.

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@Ke_neil_we sur twitter

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microcosm to macrocosm. mind and matter. organic and inorganic everything is bound by self-similar patterns of order and chaos. |all images posted on this blog are mine- unless stated otherwise|

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Drapeau vert : Cet article ne demande aucune connaissance mathématique particulière

Une envie subite de refaire votre papier peint ou le carrelage de votre salle de bain ? En perfectionniste que vous êtes, vous exigez cependant de n'utiliser que des polygones réguliers pour votre décoration.

Pour satisfaire vos envies, vous pourrez peut-être opter pour un pavage carré. Après tout, dans carrelage, il y a la racine du mot carré, alors quoi de plus naturel que de disposer régulièrement ces quadrilatères dans votre nouvelle pièce.

Plus original, vous pourrez choisir des motifs hexagonaux. On trouve d'ailleurs ces motifs en observant les ruches ou les colonnes basaltiques des massifs volcaniques.

Mais les pentagones réguliers dans tout ça ? Eh bien, les malheureux n'ont pas autant de chance, et l'on peut s'en rendre compte rapidement en essayant de les accoler les uns aux autres : de toute évidence, ça ne rentre pas !

Pourtant, vous n'en démordez pas : vous utiliserez des pentagones réguliers coute que coute ! Alors, qu'à cela ne tienne, voyons ce que nous pouvons faire de ces polygones

Le rapport d'or

Pour cela, nous allons utiliser une propriété de notre pentagone : si l'on prend la longueur d'une de ses diagonales - un segment lient deux sommets qui ne sont pas voisins - et qu'on le divise par la longueur d'un côté, on obtient une valeur que l'on appelle nombre d'or, environ égale à 1.618.

Ce nombre, noté φ et parfois appelé " Divine proportion " , possède une caractéristique fort utile à notre affaire de pavage : le multiplier par lui-même revient à lui ajouter 1.
φ x φ = φ + 1
Découpons alors notre pentagone en trois triangles isocèles - qui possèdent deux côtés de longueur égale - comme l'indique l'image suivante :

En observant le triangle central, on remarque que sa base est un côté du pentagone, et que ses deux côtés égaux correspondent à deux diagonales du pentagone. Ainsi, le rapport entre la longueur des grands côtés et la longueur de la base de ce triangle vaut φ. Un triangle qui respecte cette règle s'appelle un triangle d'or.

Inversement, les deux triangles des extrémités ont pour base une diagonale du pentagone et, pour côtés égaux, deux côtés du pentagone. Cette fois, c'est le rapport entre la longueur de la base et celle des deux côtés égaux - soit l'inverse de ce que nous avions précédemment - qui est égal à φ. Un tel triangle s'appelle un triangle d'argent.

Et là, nous allons voir pourquoi le nombre d'or possède ce surnom de Divine proportion. Nous allons accoler un triangle d'or et un triangle d'argent provenant du même pentagone régulier, comme sur la figure plus bas. Nous allons supposer que ce pentagone a un côté de longueur 1 unité.

Ses deux côtés égaux correspondent à la base du triangle d'argent, ou a un côté du triangle d'or : ils ont une longueur de φ. Sa base, en revanche, à une longueur de φ + 1, qui est égal à φ x φ. Ainsi, en faisant le rapport entre les longueurs de la base et de ses côtés égaux, nous obtenons φ x φ / φ. En d'autres termes, nous avons, à partir d'un triangle d'or et d'un triangle d'argent, formé un nouveau triangle d'argent.

Prenons alors ce nouveau triangle d'argent, et collons un triangle d'or sur un côté. Cette fois, la base a une longueur de φ, et le côté une longueur de φ x φ comme calculé plus haut. Le rapport entre côté et base est donc de φ : c'est un triangle d'or.

Et nous pouvons continuer ainsi à l'infini, avec ce triangle d'or et le triangle d'argent précédents, nous formons un triangle d'argent. Avec ce nouveau triangle d'argent et le grand triangle d'or, nous formons un nouveau triangle d'or, et ainsi de suite, de proche en proche, nous pouvons couvrir tout le plan.

Nombre d'or, le retour

Voilà donc une solution pour paver en utilisant des fragments de pentagone, mais combien de triangles nous faudra-t-il pour former nos nouveaux triangles, de manière récursive.

En commençant avec 1 triangle d'or et 1 triangle d'argent, nous avons fait un triangle d'argent composé de 2 triangles. Avec ce nouveau triangle et un triangle d'or, c'est un triangle composé de 3 petits triangles qui a été créé. Puis, il en a fallu 5, puis 8, puis 13...

Les amateurs de mathématiques auront vite reconnu la fameuse suite de Fibonacci, où chaque terme est calculé en faisant la somme des deux termes précédents. Et pour cause : chaque triangle est construit à l'aide des deux étapes précédentes, tout comme la suite ! Pas étonnant donc de la revoir dans nos triangles.

Cela devient encore plus intrigant lorsque l'on compte séparément le nombres de triangles de départ utilisés

On remarque que les nombres de triangle d'or et d'argent utilisés sont des termes consécutifs de cette fameuse suite de Fibonacci. Encore une fois, tout est logique puisque les triangles sont construits grâce aux deux étapes précédentes.

Mais ce qui est intéressant, c'est que plus on progresse, plus le rapport entre le nombre de triangles d'or et le nombre de triangles d'argent tend vers... le nombre d'or, φ , encore lui !

Et cette convergence nous montre que le pavage que nous construisons ne peut pas être périodique, c'est-à-dire qu'il n'existe pas un petit modèle, de taille finie, avec lequel on puisse paver tout le plan rien qu'en le translatant ou en le tournant.

En effet, si c'était le cas, il serait composé d'un certain nombres de triangles d'or O et un certain nombre de triangles d'argent A. Le rapport O/A est ce que l'on appelle un nombre rationnel, une fraction. Or, φ ne peut pas être écrit sous une telle forme : il n'est donc pas possible d'avoir un tel modèle.

Bon, avouons-le, notre triangle n'est pas très beau. Rassurez-vous, car il existe des constructions bien plus élégantes faites avec ces triangles.

Une première construction consiste à utiliser des " fléchettes " et des " cerfs-volants " qu'on obtient en accolant respectivement deux triangles d'argent ou d'or. Par le même principe que pour le triangle, il est possible de construire alternativement des fléchettes et des cerfs-volants de plus en plus grands, jusqu'à paver le plan.

Et voici une partie du résultat qui peut être obtenu :

De la même manière, en collant les triangles selon leur base, on obtient des losanges que l'on peut encore une fois construire successivement, jusqu'à recouvrir tout le plan. Autant dire que tout cela a plus d'allure que notre pavage de départ !

Pour compléter

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Drapeau vert : Cet article ne demande aucune connaissance mathématique particulière Une envie subite de refaire votre papier peint ou le carrelage de votre salle de bain ? En perfectionniste que vous êtes, vous exigez cependant de n'utiliser que des polygones réguliers pour votre décoration. Pour satisfaire vos envies, vous pourrez peut-être opter pour un...

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Deux (deux ?) minutes pour... classer les pavages !

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J'ai toujours rêvé d'être un pentocarreleur

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J'ai toujours rêvé d'être un pentocarreleur

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Posez quatre boules réfléchissantes l'une contre l'autre aux sommets d'un tétraèdre. Illuminez. Admirez

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Sylvie Donmoyer - Peinture mathématiques

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Sylvie Donmoyer - Peinture mathématiques

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Sylvie Donmoyer - peinture et mathematique /> Sylvie Donmoyer - Peinture et mathematique <link href=

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Des sculptures, grandes (vraiment !) ou petites, mais mathématiques !

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art sculpture sculptor math
      mathematics geometry

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Geometric Sculpture of George W. Hart, mathematical sculptor

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As a sculptor of constructive geometric forms, my work deals with patterns and relationships derived from classical ideals of balance and symmetry. Mathematical yet organic, these abstract forms invite the viewer to partake of the geometric aesthetic. I use a variety of media, including paper, wood, plastic, metal, and assemblages of common household objects.

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Des peintures inspirées de fractales

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The Infinite Art of Janet Parke " Browse Galleries

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I. Truchet, un savant du Grand Siecle.

Les pavages qui sont présentés dans ce document sont appelés " pavages de TRUCHET ", du nom du Père Sébastien TRUCHET, un religieux membre de l'Académie des sciences qui a vécu tout le siècle de LOUIS XIV (né à Lyon en 1657 et mort en 1729) et qui fut l'un des premiers à étudier la théorie des pavages (voir la note), après les recherches pionnières du grand astronome KEPLER au début du XVIIe siècle et ceci parmi une multitude d'intérêts et de travaux dans des domaines fort divers. Il fut notamment à son époque l'un des grands spécialistes des canaux fluviaux, mais aussi le véritable inventeur du point typographique et d'innombrables machines (canons, machines à transplanter les arbres, cadrans solaires, etc.)

Cette théorie des pavages n'allait connaître son véritable développement qu'à partir de la seconde moitié du XIXe siècle, notamment en rapport avec les progrès des recherches en cristallographie.

Mais TRUCHET fut le premier à tenter l'analyse exhaustive d'un pavage non trivial, à travers la mise en oeuvre d'une méthode combinatoire. Nous en verrons des exemples dans les pages suivantes.

La dénomination " pavage de Truchet " a été élargie à des situations dont Truchet n'a pas été l'auteur et qui ont fait l'objet de travaux au cours du XXème siècle. Mais ils ont tous un point commun : ils sont tous construits sur une pièce à base carrée.

Il a fait connaître ses recherches dans un mémoire inséré dans l'Historie de l'Académie Royale des Sciences de Paris, année 1704, sous le titre : Méthode pour faire une infinité de desseins différens avec des carreaux mi-partis de deux couleurs par une ligne diagonale par Jean Truchet, (en religion le P. Sébastien, de l'ordre des Carmes).

II. Les pavages de Truchet simples.

Nous allons d'abord parler des pavages de Truchet simples, c'est-à-dire de ceux dont il a élaboré la théorie.

La pièce de base est la suivante :

C'est donc une pièce carrée et bicolore dont les deux parties coloriées sont séparées par une diagonale.

Dans un premier temps, Truchet combine les pièces pour envisager toutes les situations possibles. Si on néglige l'orientation de l'ensemble obtenu (couple de deux carrés), il obtient 10 dispositions différentes :

On peut utiliser ces couples pour former des pavages, par translation. Par exemple :

Avec le modèle n°1 :

Avec le modèle n°5 :

On peut aussi, avec deux couples de carrés, former un carré de 4 cases.

Par exemple, avec les modèles n°2 et n°3 :

Avec ce carré de 4 cases, on peut alors réaliser un pavage, par translations successives :

Un tel carré peut aussi être formé par un même couple de carrés, pris deux fois, le second ayant subi une rotation de 180 degrés. Par exemple, avec le modèle n°4 :

D'où le pavage obtenu par translations successives :

En voici un autre exemple obtenu avec le modèle n°4 (ce même modèle est pris deux fois pour former un carré de 4 cases, une rotation de 180° étant effectuée sur l'un des exemplaires du modèle) :

Avec ce carré de 4 cases, on va faire un carré de 16 cases en le reportant 4 fois et en appliquant des rotations de 90° à deux des carrés :

Avec 4 carrés de 4 cases obtenus par les manipulations précédentes, on peut construire un carré de 16 cases qui servira lui-même de base pour un pavage. Par exemple, en prenant les deux carrés de 4 cases obtenus précédemment, cela donne le grand carré suivant qu'il suffit de reproduire par translations successives :

Ce principe peut être appliqué à des carrés plus grands (36, 64, 100, 144 cases, etc ; le nombre de carrés sur un côté est nécessairement pair).

Par exemple, avec le modèle n°6 (pris deux fois, le second ayant subi une rotation de 180°) :

on obtient un carré de 4 cases :

Avec les modèles n° 8 et n° 10, on procède de même :

On constitue alors un carré de 16 cases en prenant le premier carré et trois fois le second (en lui faisant subir une rotation de 90 degrés) :

Maintenant, on utilise les modèles n° 10 et n° 5 pour former un carré de 4 cases :

Avec les modèles n°7 et n° 5, on constitue un autre carré :

Avec les modèles n°3 et n°5, on forme un autre carré :

En prenant ces deux carrés et deux fois le troisième, on obtient un carré à 16 cases :

Avec les modèles n°3 et n° 6, on construit un carré à 4 cases :

Avec ce carré et en effectuant des rotations de 90° dans les deux sens et une rotation de 180°, on obtient le carré suivant à 16 cases :

En prenant ces trois grands carrés de 16 cases, plusieurs fois, et en effectuant des rotations appropriées sur certains de ces carrés, on obtient le carré suivant à 144 cases :

Avec la dalle ainsi construite, on peut réaliser un très beau pavage en effectuant des translations successives de cette dalle :

Bien entendu, on conçoit facilement que ce processus peut être reproduit avec des carrés de plus en plus grands dont le nombre de carrés est nxn, avec n nombre pair.

III. Les pavages de Truchet linéaires.

Les pavages réalisés dans la partie précédente produisent des résultats divers : à côté du caractère très esthétique de certains d'entre eux, d'autres ne seront pas retenus car les formes obtenues comportent des ruptures disgracieuses.

Pour éviter cela, on va s'imposer une règle (R) : la juxtaposition de deux carrés ne doit se faire que si les zones adjacentes sont de la même couleur. Autrement dit, les changements de couleur ne se font plus sur les côtés, mais uniquement sur les diagonales.

Dans ce cas, les seuls couples de carrés possibles sont les suivants :

On conçoit que, dans ce cas, les carrés de 4 cases qu'on peut obtenir sont les suivants , avec la règle R:

Par translations successives de ces carrés à 4 cases, on obtient des pavages de Truchet linéaires (TL). On constate que la règle R est bien respectée :

Il est tout fait possible de construire un carré à 16 cases en utilisant 2 ou 4 carrés différents. Par exemple, avec les carrés 1 et 2, on obtient :

Différents modèles à 16 cases peuvent ainsi être constitués. Voici encore un exemple (il ne faut pas oublier que la règle R doit être respectée, ce qui conduit à effectuer des rotations des carrés):

Par translations successives, on obtient :

Avec les mêmes carrés, mais en effectuant des rotations de 180° de deux des pièces (tout en respectant la règle R), on obtient :

Pour nous faire plaisir, réalisons un dernier pavage avec les carrés n°5, n°2, n°4 et n°6 convenablement disposés selon la règle R (rotations de 90° ou 180° si nécessaire) :

D'où le pavage obtenu par translations successives :

Voir d'autres exemples en annexe.

IV. Les pavages de Truchet étendus.

Comme nous l'avons vu, Truchet ne s'est intéressé qu'aux carrés bicolores séparés par une diagonale. Cela suffit pour réaliser une grande variété de pavages et laisser vagabonder son imagination. Cependant, l'idée est venue à certains de changer la disposition intérieure des carrés, tout en conservant la double couleur. Ils permettent des réalisations différentes et de belle qualité. C'est ce qu'on appellera les pavages de Truchet étendus (TE).

Voici des exemples de carrés :

Exemple 1 (deux exemplaires avec les couleurs inversées) :

Exemple 2 (deux exemplaires avec les couleurs inversées) :

Exemple 3 (un seul exemplaire) :

On remarquera que, pour chaque exemple, les tracés ne sont pas effectués au hasard : il faut que les segments ou les arcs de cercle coïncident lors des juxtapositions effectuées , même à la suite de la rotation des pièces.

Le travail sur ces pièces se fait exactement comme avec les pavages de Truchet linéaires et on respectera ici aussi la règle R : les couleurs doivent correspondre sur les côtés des carrés.

Travaillons tout d'abord à partir des carrés de l'exemple 1 :

Quatre juxtapositions des deux pièces sont possibles (aux rotations près) :

On peut alors réaliser des carrés à 4 cases :

Avec quatre de ces carrés, en respectant la règle R, on peut fabriquer des carrés plus grands (à 16, 36, 64 cases, etc.). En voici un :

D'où le pavage obtenu par translations successives :

Pour les exemples 2 et 3, on procèdera de la même manière, selon une technique désormais bien connue :

V. Que faire avec nos élèves ?

Il est désormais temps de se poser la question de l'utilisation possible des pavages de Truchet dans une classe.

Dans le cadre du programme de Mathématiques, principalement de géométrie, différents points peuvent être mis en évidence :

Un avantage appréciable des pavages de Truchet (comme les puzzles géométriques en général, le Tangram étant un exemple célèbre) est de permettre de nombreuses manipulations fort utiles pour multiplier les essais et pour favoriser la prise de conscience des propriétés géométriques.

Il importe donc de mettre à disposition des élèves de nombreuses pièces bicolores. C'est un travail de préparation important (les réaliser sur des feuilles cartonnées, si possible plastifiées) mais les outils actuels en accélèrent la mise en œuvre (imprimantes couleur, photocopies,...).

Il serait aussi utile de mettre à disposition des élèves des couples de carrés selon les 10 modèles possibles (voir page 4) ainsi que des carrés de 4 cases obtenus par différents agencements possibles de ces couples (voir page 18 pour les pavages de Truchet linéaires). Il sera ainsi plus facile pour les élèves d'obtenir des résultats esthétiques.

Récapitulons ce qu'il est possible de faire selon les cycles :

Cycle 2 :

Cycle 3 :

VI. Les pavages de Truchet et les Arts Visuels.

Indubitablement, il apparaît que les pavages de Truchet, par leur aspect esthétique, peuvent permettre de faire un lien entre les activités géométriques et les Arts Visuels.

Un artiste contemporain, Jean-Claude Ferry, en a fait un sujet d'inspiration :

On peut consulter son site à l'adresse :

http://web.me.com/jcferry/peinture/talon_architecte/talon_architecte.html

VII. Bibliographie et sitographie.

http://hypo.ge.ch/www/math/html/node17.html

http://www.lacitec.on.ca/~dmorin/applets/truchet/index.html

http://jeux-et-mathematiques.davalan.org/divers/truchet/index-en.html

http://redstartstudio.com/?tag=dominique-douat

http://rocbo.net/geom_peintres/typo/truchet/pavages/index.htm

http://jacques-andre.fr/faqtypo/truchet/truchet.html

http://web.me.com/jcferry/peinture/talon_architecte/talon_architecte.html

Annexes à télécharger.

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Tous les pavages avec des polygones réguliers

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Tous les pavages avec des polygones réguliers

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Escher et les sciences : l'obsession de l'infini

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Escher et les sciences : l'obsession de l'infini

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Il y a quelques temps, j'avais promis de reparler du graveur Escher, en évoquant la réalisation, par un designer allemand, de sa fontaine infinie. Chose promise, chose due, voici donc un petit article sur Maurits Cornelis Escher, artiste réaliste, méticuleux, obsédé par la géométrie et les répétitions infinies.

Une brève histoire d'estampe

Escher naît en 1898 aux Pays-Bas. Son talent est découvert et encouragé très tôt; il s'oriente rapidement vers les arts graphiques, notamment vers la gravure (ce qui explique la dominance des œuvres en noir et blanc). En 1922, ses études terminées, il voyage dans le sud de l'Europe, où il passe son temps à recopier et à dessiner ce qui lui tombe sous les yeux. Son imagination restera marquée par les caractéristiques architecturales des monuments visités: voûtes, escaliers, mosaïques, pavages réguliers etc. Comme beaucoup d'artistes, Escher vit pauvrement. Il quitte l'Italie Mussolinienne pour se rapprocher de la Hollande et s'installe tardivement en Belgique, en 1937. Cette date marque un tournant dans son travail, qui incorpore désormais des éléments fantaisistes.
Son style est précis, détaillé, il n'y a pratiquement pas de place pour le flou. Ses techniques de travail limitent souvent l'usage de la couleur mais sa maîtrise du dessin, de la perspective, des contrastes et des formes est impressionnante. Escher est un analyste qui décrit des structures, se les approprie et les transforme. Il est fasciné par la géométrique, la symétrie, l'ordre, la perspective et les motifs répétés. Il passe énormément de temps en études préliminaires et en travaux préparatoires. Pour autant, même si les titres de gravures sont d'un prosaïsme rebutant, ses dessins complexes ne sont pas ennuyeux, au contraire; ils sont narratifs et perturbants. Son œuvre n'a pas d'équivalent en Europe mais trouve un écho intéressant dans les constructions géométriques arabes (dont il verra des exemples en Espagne) et indiennes. Ses contemporains préfèrent un art moins cérébral, plus chaotique.

Durant sa vie d'artiste, Escher montre un grand intérêt pour certains aspects des sciences. Il est sensible à l'esthétique et à la pureté des modèles mathématiques ou physiques par exemple. Il montre également un grand intérêt pour l'astronomie et la théorie de l'évolution. Les scientifiques sont également nombreux à se servir de ses dessins pour illustrer certaines notions, ils en apprécient la clarté et l'élégance des symétries ; ses œuvres les plus célèbres sont d'ailleurs devenues des images incontournables en cristallographie. Cette réciprocité donnera lieu à des échanges entre l'artiste et certains scientifiques. Escher aime les mathématiques mais son attirance pour cette discipline est avant tout visuelle. Son travail se nourrit de notions précises que l'on retrouve en effet en géométrie, en topologie ou en cristallographie, mais Escher s'attache à une description purement graphique des structures et ne s'embarrasse pas du formalisme mathématique associé. Il est toutefois frappant de voir avec quelle exactitude certains de ces dessins reflètent des concepts scientifiques précis. C'est tout cela que je me propose de vous faire (re)découvrir aujourd'hui. Je ne suis pas historien de l'Art, aussi je m'arrête ici pour la biographie. Pour en savoir plus, vous pouvez consulter le site officiel.

La transformation de la réalité: la projection et la structure

Escher est fasciné par la perfection de la forme et les figures géométriques "classiques". S'il considère une altération possible, elle est toujours structurée. Un de ses exercices favoris est de travailler sur des déformations géométriques, la réflexion et les symétries. La sphère est son objet de prédilection, il réalise d'ailleurs un autoportrait avec une boule de verre. Il s'amuse à projeter notre vision plane de la réalité sur des boules, des boutons de porte ou des carafes d'eau. Il est très difficile de dessiner correctement un reflet déformé: Escher passe énormément de son temps à tracer des lignes de perspective soigneusement courbées sur lesquelles il superpose son dessin. Il n'a pas de connaissances particulières des expressions mathématiques de ces transformations mais applique des méthodes géométriques extrêmement pointilleuses. Ses lignes sont si régulières qu'elles semblent avoir été tracées avec un logiciel de dessin.

Escher travaille également sur d'autres transformations, parfois purement fantaisistes, comme dans l'exemple ci-dessous, où l'on peut voir le canevas préparatoire utilisé pour déformer le centre de l'image.

Son travail sur la réflexion et la déformation est remarquable. On peut aussi voir, à gauche, un exemple de déformation ondulatoire, qui forme des entrelacs dans la réflexion de la flaque d'eau. Le résultat est quasiment parfait. Il faut pourtant effectuer plusieurs transformations complexes pour y parvenir : projeter dans un premier temps des cercles concentriques sur une surface plane vue en perspective puis appliquer une déformation circulaire à l'image de base. Cette habilité à manipuler les transformations lui vaudra la sympathie des mathématiciens, notamment en théorie des groupes, pour qui les notions de symétrie, d'image et de transformation sont fondamentales.

Sur le dessin de droite, Exposition d'Estampes, Escher a laissé un disque vide au centre. Pourquoi ? Cette "incomplétude" était elle préméditée? Il est vraisemblable que la grille de transformation ait été trop difficile à utiliser sur cette petite partie centrale, même pour Escher. Des chercheurs, aidés par l'artiste néerlandaise Jacqueline Hofstra, ont analysé les transformations complexes de la grille et imaginé la partie manquante. Le résultat, visible en vidéo ci-dessous, est une mise en abîme où le dessin se tord dans un tourbillon infini :

Escher le cristallographe

Les dessins d'Escher se basent aussi sur un autre domaine intéressé par les groupes et les opérations de symétrie : la cristallographie. Dans les années 1920, son frère l'initie à cette discipline de la physique du solide qui étudie les formes cristallisées. Pour comprendre comment Escher s'en inspire, il faut savoir quelques petites choses sur les cristaux.

La spécificité des cristaux (comme le sel, le sucre, le diamant, et de façon générale, tous les minéraux) est de présenter une structure périodique parfaitement ordonnée à l'échelle atomique. Le sel de table par exemple, le chlorure de sodium, est constitué de milliards de "petits cubes" qui ressemblent à ceci (les boules vertes représentent les atomes de chlore et les boules bleues, les atomes de sodium) :

La répétition de ce cube, dans toutes les directions de l'espace, constitue un cristal de sel. La structure d'un cristal n'est pas forcément cubique, mais je ne rentre pas trop dans les détails cette fois ci. L'autre notion importante est celle de "motif" ; c'est l'entité de base qui, répétée à chaque point du réseau cristallin (appelé "nœud"), va former le cristal dans son entier. Voici un exemple en deux dimensions :

Escher, séduit par cette simplicité symétrique, s'empare du concept et invente des motifs particulièrement sophistiqués. Dans l'exemple ci-dessous, j'ai tracé les lignes de symétrie. Le losange rouge montre le motif qui est répété (on peut choisir ce que l'on veut comme motif, pourvu que l'on puisse reconstituer l'intégralité du dessin en le répétant).

La description formelle des structures cristallographiques fait aussi intervenir la théorie des groupes. Pour décrire une structure, on donne la forme du réseau cristallin de base -un cube par exemple- et les opérations de symétrie qui laissent le système cristallin invariant, c'est à dire inchangé. Autrement dit, on peut partir d'un motif élémentaire et reconstituer l'ensemble du réseau de base par des opérations de transformation. Cela semble un peu compliqué, alors voici un petit exemple de transformations possibles en 2 dimensions, avec une pomme et une banane comme motif élémentaire et un réseau de base comportant 8 pommes et 8 bananes. En juxtaposant des carrées remplis de la même façon, on forme un cristal en 2 dimensions.

Tout en s'intéressant à la cristallographie, Escher explore un autre domaine des mathématiques lié à la question suivante : pour une forme donnée, quel est le meilleur arrangement sur une surface plane, celui qui permet le moins de pertes ? Dans les dessins d'Escher, les pertes sont nulles, car il peut choisir de déformer les motifs à volonté. Cette question a des applications pratiques, comme lorsque l'on veut découper un maximum de pièces en aluminium sur une plaque la plus petite possible. Voici d'autres exemples de pavage astucieux imaginés par Escher :

Il est intéressant de noter que Roger Penrose, dont nous verrons plus loin qu'il a été une source d'inspiration pour Escher, publiera en 1970 un article sur des pavages non périodiques qui permettent de remplir le plan. Ces pavages n'avaient à l'époque aucune correspondance dans le monde réel. En 1984, ils seront utilisés pour décrire la structure des quasi-cristaux récemment découverts.

L'élégante symétrie

Le principe de symétrie est omniprésent en physique. La chiralité par exemple, est une notion qui concerne la symétrie "miroir". Si un objet possède une image dans un miroir, avec laquelle il ne se confond pas, on dit qu'il est chiral. Vos mains, par exemple, sont des objets chiraux : la main gauche est bien l'image de la main droite dans un miroir mais il est impossible de les confondre si on les superpose. Une balle de ping-pong par contre, est indiscernable de son image dans miroir : ce n'est pas un objet chiral. La notion de symétrie est aussi reliée à une question fondamentale: pourquoi notre Univers est il constitué de matière, et non d'antimatière ? Les équations de la physique sont pourtant symétriques : chaque particule possède une antiparticule qui a une charge opposée. Comme les équations sont symétriques par rapport au temps aussi, on peut considérer l'antimatière comme de la matière "normale" qui remonte le temps (il va falloir que j'en parle dans un prochain article). Mais pourquoi l'antimatière semble t-elle avoir disparu de notre Univers ? En 1957, le prix Nobel de Physique est attribué, entre autres, à Chen Ning Yang, pour son travail sur la non-conservation de la parité de l'interaction faible. Cette théorie de physique quantique décrit la violation d'un type de symétrie lors de certaines réactions entre particules. Il montre ainsi qu'une expérience réalisée avec de la matière n'est pas l'exact reflet dans un miroir de la même expérience réalisée avec de l'antimatière. Pour illustrer ses propos, il utilise la gravure Cavaliers :

En plaçant un miroir vertical au milieu de l'image, le motif des cavaliers blancs (la matière) devient effectivement celui des cavaliers noirs (l'antimatière) mais il faut rajouter une translation verticale, c'est à dire qu'il faut déplacer le motif obtenu vers le haut ou vers le bas, pour qu'il se superpose à lui même.

Dialogues sur l'infini

L'éternel recommencement est un thème omniprésent dans les travaux d'Escher. Obsédé par l'idée d'espace (ou de vide) infini, ses pavages cristallographiques du plan sont comme une tentative de définition. Intrigué par les spirales, il peint des figures qui finissent par se confondre en cercles concentriques, comme dans le dessin ci-contre. Mais cette transformation graduelle ne satisfait pas vraiment Escher pour qui la conservation du motif est très importante.

Il revient aux motifs après une correspondance avec le mathématicien canadien H.S.M. Coxeter. Ce dernier lui fait découvrir la géométrie hyperbolique inventée par Poincaré. Il s'intéresse alors aux pavages circulaires limites, avec une série de xylogravures (gravures sur bois) remarquables où le motif est répété indéfiniment et de façon décroissante. Ces figures ressemblent aux projections stéréographiques, également utilisées en cristallographie. Plus tard, frustré par les limitations de la feuille plane, Escher revient à la sphère : il réalise des sculptures à motifs en forme de boule. Ainsi, quelque soit la direction suivie à la surface de la sphère, le motif se répète sans arrêt.

Ces structures qui se répètent indéfiniment à toutes les échelles sont des figures fractales, un terme qui n'existe pas à l'époque. Le mathématicien Benoit Mandelbrot l'inventera en 1974, soit deux ans après la mort d'Escher. Il ne fait pas de doute que l'artiste aurait été fasciné par ces objets extraordinaires. Mais aurait-il accepté de travailler sur un ordinateur ?

Ces travaux graphiques sont une excellente illustration de certaines notions mathématiques, comme celle de limite par exemple. Le mathématicien D.J.Lewis dira : " De même que les estampes de M.Escher, les plus beaux résultats ont souvent pour conséquence une approximation systématique combinée à quelques sujet ingénieux et approprié". Sa renommée grandit chez les scientifiques et on porte à sa connaissance d'autres objets mathématiques intéressants d'un point de vue topologique, dont le fameux ruban de Möbius : un ruban qui ne comporte qu'une seule face et dont on peut parcourir la totalité de la surface de façon continue. Escher s'en sert pour illustrer une nouvelle fois l'infini : les fourmis parcourent indéfiniment la même face du ruban. Il travaille également sur d'autres objets topologiques apparentés, comme dans Nœuds ou Spirales.

Dans un de ces dessins les plus connus, Reptiles, on retrouve une boucle perpétuelle ainsi que le thème du passage de l'abstrait au vivant (et vice et versa). Escher y montre aussi son intérêt pour la théorie darwinienne en particulier et pour le passage du chaos à l'ordre en général.
Escher est persuadé que la nature véritable du monde nous échappe. Comme les philosophes grecs ou les scientifiques modernes, il suggère que notre univers n'est qu'un niveau de réalité dans un Univers plus vaste. Il est intéressant de faire le parallèle avec le principe holographique développé dans les théories cosmologiques modernes. Ce principe est une conjecture imaginée dans le cadre de la théorie de la gravité quantique. Elle propose que " toute l'information contenue dans un volume d'espace peut être décrite par une théorie qui se situe sur les bords de cette région". Elle s'appuie sur l'analogie avec le fonctionnement d'un hologramme : contrairement à une image classique, chaque portion d'un hologramme contient toute l'information nécessaire à la reconstruction de l'image en 3 dimensions (je sens que je vais devoir faire un article sur les hologrammes aussi !).

Par exemple, si on fabrique un hologramme de la pomme et de la banane sur une plaque et qu'on projette de la lumière dessus, on produit une image tridimensionnelle des fruits (ce qui est le but, évidemment). Si on coupe cette plaque en 4 morceaux, on parviendra au même résultat. En fait, même en prenant une toute petite portion de la plaque, on arrivera à reproduire l'image en 3 dimensions de la pomme et de la banane mais l'image perdra un peu en qualité. Ce principe est un peu difficile à imaginer mais il illustre bien la façon dont la gravité semble se manifester dans des dimensions supplémentaires de l'espace. A ce sujet, vous pouvez lire " L'univers dans une coquille de noix", de Stephen Hawking.

Escher, la force créatrice et le pouvoir de l'illusion

Si Escher ne peut pas décrire notre réalité, il invente la sienne. Il crée un univers fait d'illusions et peuplé de créatures imaginaires. Ses étranges cloportes et ses reptiles géométriques arpentent des escaliers sans haut ni bas, gravissent des escaliers infinis et passent d'une dimension à l'autre sans difficulté.

Un article du mathématicien anglais Roger Penrose sur les objets impossibles et les illusions d'optique ( British Journal of Pshychology) fournit à Escher une nouvelle façon de reprendre le thème de l'infini et de truquer la réalité. Il utilisera par exemple l'escalier de Penrose pour créer des scènes surréalistes où les lignes de fuite sont interchangeables :

Une version plus mouvementée :

Si Escher est fasciné par l'absolue perfection des concepts mathématiques, il reste persuadé qu'ils n'ont pas d'équivalents dans le monde réel. Ses représentations sont au mieux une illusion, une réflexion déformée. La sensation vertigineuse que l'on éprouve en regardant ses dessins renvoie à notre propre conception de l'infini. On retrouve cette façon de jouer avec les illusions dans quelques dessins célèbres:

Psychologie de la forme et philosophie

La psychologie de la forme (ou Gestalt theorie) expose les lois fondamentales de la perception. A mi-chemin entre biologie et psychologie, elle décrit la manière dont notre cerveau traite automatiquement une image comme un ensemble structuré (et non comme une simple addition ou juxtaposition d'éléments). Peut être un peu ennuyeuse dans son énoncé, elle est au contraire très amusante dans l'observation. En effet, la plupart des illusions d'optique trouvent une "explication" dans la théorie des formes. Notre cerveau a par exemple l'habitude de s'attacher aux contours et à compléter spontanément les formes incomplètes. Qui plus est, en analysant la totalité d'une image, il équilibre les différents éléments, quitte à les transformer un peu, pour fournir une perception claire et rapide. Cette apparente unité opposée à la somme des éléments dénués de sens est érigée en principe philosophique par certains : "le tout est différent de la somme de ses parties". Notre compréhension du monde dépend donc de ces processus qui permettent de le percevoir dans sa globalité.

Loin de ces considérations théoriques, Escher élabore des dessins qui serviront d'illustrations aux lois de la théorie des formes. Les illusions de perspectives présentées précédemment peuvent être analysées comme suit : elles sont perturbantes car notre cerveau, bien qu'il parvienne à détailler les différents éléments (on peut par exemple suivre le chemin du cours d'eau perpétuel), n'est pas en mesure de produire une perception globale cohérente et intelligible. L'illusion du dessin Cube par exemple, un autre objet impossible, est basée sur le fait que notre cerveau interprète individuellement les différentes parties du cube et cherche à en fabriquer une image homogène. Ce phénomène est illustré ci-dessous, avec à gauche, le cube de Necker et à droite, le cube d'Escher.

Si vous regardez le cube de gauche, votre cerveau va automatiquement choisir de considérer la face en bas à gauche comme la face la plus proche de vous, car il préfère "voir" le cube d'en haut. Mais si vous concentrez votre attention sur la face en haut à droite (interprétation 2 ci-dessous), votre cerveau acceptera éventuellement de la considérer comme la face la plus proche, comme si le cube était vu du dessous. Cette distinction est plus facile si on met une des deux faces en évidence (le contour bleu est celui de la face la plus proche) :

Pour apprécier à quel point le cerveau est capable de tricher avec la réalité, on peut lire cet article.

Dans les dessins suivants, Escher joue avec les contours et les frontières. Du point de vue de la Gestalt theorie, ces éléments forcent le cerveau à créer une distinction artificielle au niveau des formes, en s'appuyant sur le contraste entre figures noires et blanches.

On remarquera que Prédestination est un des rares dessins à ne pas avoir un titre strictement descriptif ! Escher réalise également la série suivante :

Escher aurait il fait un bon scientifique ? Il me semble que sa curiosité et la façon dont il a méticuleusement exploré les possibilités de ses découvertes successives appellent une réponse positive. J'espère vous avoir donné envie de découvrir son travail plus en détail ! Si vous visitez les Pays-Bas, faites un détour par La Haye (Den Haag) et visitez le Escher Museum plutôt que le TPI.

Pour illustrer cet article, je me suis restreint à un petit nombre de dessins, mais Escher a produit d'autres pièces remarquables. A titre personnel, le dessin que je préfère est celui-ci:

La structure, pour une fois, est masquée par le brouillard et la neige, comme une pause tranquille dans la recherche obsessionnelle de la perfection structurelle.

Les dessins les plus célèbres d'Escher ont été maintes fois repris ou parodiés. Cela me fournit l'occasion de conclure, en images toujours, avec quelques références des Simpson, et un gif animé :

Sur Escher et ses œuvres: le livre "Le monde de M.C.Escher", J. L Locher la page "officielle", ainsi que celle du musée des beaux arts canadien.

Sur d'autres parallèles intéressants, le livre "

Sur les commentaires du mathématicien Coxeter au sujet des travaux d'Escher, cette vidéo.

Sur Escher et les maths, cet article (en anglais).

Sur l'escalier de Penrose, la page wiki.

Sur les pavages de Penrose, pareil.

Sur les transformations géométriques dans les dessins d'Escher, cette page.

Sur le problème des pavages d'Escher, cette page.

Sur les parodies artistiques des Simpson, ce site.

Sur les illusions d'optique, ce site.

Si vous aimez les maths, je vous conseille ce blog formidable.

Et si vous aimez le lien entre les sciences et l'art, je vous invite à consulter ces articles!

Allez, un dernier pour la route:

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Escher et les sciences: l'obsession de l'infini

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L'histoire d'amour entre l'art de M.C.Escher et les sciences : une inspiration et une fascination mutuelle en mathématiques, en cristallographie ou en biologie. Découvrez également comment sont art reflète certaines théories modernes en physique des particules, en cosmologie ou encore en psychologie.

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Place Maurice Audin

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La recherche mathématique en mots et en images

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L'histoire dit que Pythagore s'amusait à faire vibrer des cordes de différentes longueurs et de différentes tensions pour étudier les rapports des sons entre eux. On peut faire la même expérience sur une guitare.

Lorsqu'on fait vibrer une corde de guitare, plus la partie vibrante est longue, plus le son est bas et, vice versa, plus elle est courte, plus le son est aigu. Si on appuie sur une corde à la 12 e case, le son entendu sera à l'octave du son de la corde à vide; il aura une fréquence deux fois plus élevée. Bien entendu, Pythagore ne connaissait pas la physique comme vous; la notion de fréquence lui était inconnue, mais il savait sûrement reconnaître quand un son était à l'octave d'un autre son.

Ainsi, deux sons sont à l'octave l'un de l'autre si le rapport de leurs fréquences est égal à deux :
\[ \text{Octave : }\quad \frac{f_2}{f_1}=2.\]
Si on effleure avec la main gauche une corde de guitare à la septième case sans appuyer la corde sur la frette, on obtiendra un son vaporeux, appelé harmonique, dont la fréquence est trois fois plus élevée que la note fondamentale de la corde. La septième frette est située à peu près au tiers de la longueur de la corde. Nous verrons plus loin pourquoi ce n'est pas exactement le tiers. Le fait d'effleurer cette corde l'oblige à vibrer comme si on avait appuyé au tiers de la longueur de la corde vibrante.

On raconte que Pythagore en avait déduit que la hauteur d'un son, qui pour nous correspond à la fréquence \(f,\) est inversement proportionnelle à la longueur \(\ell\) de la corde :
\[ f \propto \frac{1}{\ell}.\]

La fréquence

Un son se propage dans l'air comme des vagues dans l'eau; le haut de la vague représente une pression de l'air plus élevée et le creux de la vague, une pression plus basse. Le changement périodique de la pression de l'air produit le son dans nos oreilles; le nombre de fois par seconde que cela se répète s'appelle la fréquence du son. Par exemple, un diapason en \(la\) donne un son de fréquence 440. L'unité de fréquence est le hertz (Hz) et correspond à un battement par seconde.

La cinquième corde d'une guitare en partant de la corde la plus aiguë est un la. Si, avec la main droite, on pince cette corde et qu'avec un doigt de la main gauche on l'effleure à peu près au-dessus de la septième frette, on entendra un mi qui sera à peu près le même que celui de la première corde à vide (sans appuyer sur la corde). Ce mi est dans un rapport de 3/2 avec le la obtenu à la deuxième case de la troisième corde. Ce rapport harmonique était connu des Grecs et est largement utilisé dans toutes les musiques, c'est la quinte.

On dit que deux sons sont à la quinte l'un de l'autre si le rapport de leurs fréquences est égal à 3/2.
\[ \text{Quinte : }\quad \frac{f_2}{f_1}=\frac{3}{2}.\]
Leonhard Euler, qui vécut de 1707 à 1783, s'intéressa lui aussi à la musique et en vint à la conclusion que le rapport harmonique que font deux sons entre eux sont d'autant plus agréables à l'oreille que le rapport des fréquences s'exprime avec de petits nombres entiers. Pythagore aimait tellement les quintes qu'il construisit toute une gamme en prenant les quintes successives d'une note de départ. Par exemple, si nous partons avec un do, la quinte du do est un sol; la quinte de ce sol est un ré.

Soit do ¹ le do de la première octave; sa quinte est :
\[sol^1=\frac{3}{2}\times do^1.\]
La quinte de ce sol est le ré ² (le ré de la seconde octave) :
\begin{equation*} \mathit{ré}^2=\frac{3}{2}\times sol^1= \frac{3}{2}\times\frac{3}{2}\times do^1=\frac{9}{4}\times do^1. \end{equation*}
Ce ré étant plus haut que l'octave du do initial, nous pouvons diviser sa fréquence par deux afin de rester à l'intérieur d'une octave :
\begin{equation*} \mathit{ré}^1=\frac{9}{8}\times do^1. \end{equation*}

Si maintenant nous continuons avec ce ré ¹, la quinte de ré étant la, nous obtenons :
\begin{equation*} la^1=\frac{3}{2}\times\mathit{ré}^1=\frac{3}{2}\times\frac{9}{8}\times do^1=\frac{27}{16}\times do^1.\end{equation*}
La quinte de ce la sera un mi ² et, divisant sa fréquence par deux toujours afin de rester dans l'octave initiale, ceci nous donnera :
\begin{equation*} mi^2=\frac{3}{2}\times la^1=\frac{3}{2}\times\frac{27}{16}\times do^1=\frac{81}{32}\times do^1, \quad \text{et} \quad mi^1=\frac{81}{64}\times do^1.\end{equation*}

Les fractions deviennent de plus en plus compliquées :
\begin{equation*} si^1=\frac{3}{2}\times mi^1=\frac{3}{2}\times\frac{81}{64}\times do^1=\frac{243}{128}\times do^2. \end{equation*}
On arrive donc à la gamme suivante, dans laquelle il ne manque que le fa :

Si on prend les quintes successives d'une note de base, on obtient le cycle des quintes
suivant :

On voit qu'il faudrait prendre 11 quintes successives pour obtenir le fa et, en fait, le mi dièse ne donnera pas exactement le fa ; il serait égal à :
\begin{equation*} mi\, \# ^1 = \frac{1}{2^6}\times\left(\frac{3}{2}\right)^{11} \times do^1=\frac{3^{11}}{2^{17}}\times do^1.\end{equation*}
Un peu trop compliqué comme fraction! On essaie donc de construire le fa en utilisant les quintes descendantes. La quinte inférieure de do ¹ est justement un fa :
\begin{equation*} \frac{do^1}{fa^0}=\frac{3}{2}, \quad fa^0=\frac{2}{3}\times do^1 \quad \text{et} \quad fa^1=\frac{4}{3}\times do^1.\end{equation*}

On se trouve donc en face d'un nouveau rapport harmonique d'expression très simple, c'est la quarte :
\[ \text{Quarte : }\quad \frac{f_2}{f_1}=\frac{4}{3}.\]
Ce rapport harmonique est l'inverse de la quinte puisque ces deux intervalles superposés donnent l'octave ; la quarte au-dessus de la quinte est :
\begin{equation*} \frac{4}{3}\times\frac{3}{2}\times do^1=2do^1 \end{equation*}
De même pour la quinte au-dessus de la quarte :
\begin{equation*} \frac{3}{2}\times\frac{4}{3}\times do^1=2do^1 \end{equation*}
Nous avons donc une gamme complète de sept sons couvrant une octave : c'est la gamme de Pythagore.

Cette gamme comprend trois notes beaucoup trop complexes pour que leur rapport au do initial soit agréable à l'oreille : le mi+, le la+ et le si+, ce dernier étant sans contredit le pire. L'intervalle de si+ à do est ce que l'on appelle le limma pythagoricien :
\begin{equation*} \frac{do^2}{si+^1}=\text{limma}_\pi =\frac{256}{243}. \end{equation*}
La seule véritable façon d'entendre cette gamme consiste à programmer un ordinateur ou un synthétiseur. Aucun instrumentiste ne peut arriver à jouer ces notes parfaitement, d'autant plus que la plupart des instruments modernes sont incapables de jouer d'autres gammes que la tempérée (que nous verrons plus loin). Il n'y a donc pratiquement que les violonistes qui pourraient arriver à jouer une gamme de Pythagore, mais comme nous allons le voir à la prochaine section, la gamme la plus naturelle est celle qui fait appel, en plus des quintes, aux autres harmoniques.

La gamme de Pythagore est composée de deux tétracordes (suites de quatre notes) identiques séparés entre eux par un ton majeur, ce qui en fait une gamme extrêmement symétrique, sans nul doute sa principale qualité.

Marin Mersenne (1588-1648)

Le père Marin Mersenne, savant et philosophe français, fut l'un des premiers à utiliser un laboratoire et à y faire des expériences. Il a correspondu avec tous les savants et philosophes de son époque, contribuant ainsi à faire connaître les découvertes et à favoriser les échanges d'idées entre les savants. Cette correspondance a joué un rôle important durant cette période, car les revues scientifiques n'existaient pas encore. À sa mort, on découvrit dans sa cellule des lettres de 78 correspondants incluant Fermat, Huygens, Pell, Galilée et Torricelli.

Extrêmement soucieux de précision, il a inlassablement prôné la prudence dans les procédures expérimentales, la répétition des expériences et la publication des résultats numériques. Ses pôles d'intérêt couvraient de nombreux domaines scientifiques, mais sa passion fut l'acoustique. Dans deux travaux publiés en 1634, les Questions harmoniques et Les préludes de l'harmonie universelle, il fit une analyse scientifique du son et de ses effets sur l'oreille et l'âme.

C'est lui qui a trouvé la formule reliant les différents paramètres de la corde vibrante :
\displaystyle f=\frac{1}{2\ell}\sqrt{\frac{T}{\rho}}

\(T\) est la tension dans la corde; plus celle-ci augmente, plus la note est aiguë;

\(\ell\) est la longueur de la corde; plus elle est petite, plus la note est aiguë;

\(\rho\) est la densité linéaire de la corde; plus la corde est grosse (massive), plus la note est basse.

Par exemple, sur une guitare, on varie la longueur de la corde vibrante en appuyant en différents endroits sur la corde; la tension dans les cordes est ajustée à l'aide des clés mécaniques et les cordes sont de densités différentes.

Il fallut attendre le XVIII e siècle avant d'avoir une démonstration mathématique de la formule de Mersenne; de grands mathématiciens comme Euler, d'Alembert, Bernoulli et Lagrange la démontrèrent en utilisant le calcul différentiel et intégral.

La gamme de Zarlino

Un compositeur italien, Gioseffo Zarlino (1519-1590), construisit une gamme, plus simple que celle de Pythagore, en se basant uniquement sur les harmoniques naturelles, c'est-à-dire les notes dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence de la note de base. Si \(f_0\) est la fréquence de cette note, la \(n^e\) harmonique aura une fréquence :
\[f_n=(n+1)\times f_0.\]

1. La première harmonique est l'octave :
\[f_1 =2\times f_0; \quad \frac{f_1}{f_0}=2.\]

2. La deuxième harmonique est la quinte au-dessus de l'octave :
\[f_2 =3\times f_0; \quad \frac{f_2}{f_1}=\frac{3}{2}.\]

3. La troisième harmonique, la deuxième octave de la fondamentale :
\[f_3 =4\times f_0; \quad \frac{f_3}{f_0}=4=2^2.\]
La troisième harmonique est à la quarte de la deuxième harmonique :
\[\frac{f_3}{f_2}=\frac{4f_0}{3f_0}=\frac{4}{3}.\]

4. La quatrième harmonique va créer un nouveau rapport harmonique :
\[f_4=5\times f_0.\]

Le rapport entre la quatrième et la troisième harmonique nous donne une autre fraction simple :
\[ \frac{f_4}{f_3}=\frac{5}{4}. \]
Ce rapport harmonique s'appelle la tierce majeure.
\[ \text{Tierce majeure : }\quad \frac{f_2}{f_1}=\frac{5}{4}.\]
Par exemple, si la note fondamentale est un do, nous obtenons les harmoniques suivantes :

La tierce majeure est très importante puisqu'elle définit l'accord majeur : do-mi-sol, qui est à la base de toute l'harmonie classique.

Si on définit le la comme étant la quarte au-dessus du mi, on obtiendra :
\begin{equation*} la=\frac{4}{3}\times\frac{5}{4}\times f_0=\frac{5}{3}\times f_0.\end{equation*}
Dans la gamme de Zarlino le ré et le fa s'obtiennent de la même façon que dans la gamme de Pythagore.

Et, pour terminer cette gamme, il reste à trouver le si ; il suffit de prendre la quinte du mi :

\begin{equation*} si=\frac{3}{2}\times mi=\frac{3}{2}\times\frac{5}{4}\times f_0=\frac{15}{8}\times f_0.\end{equation*}

Nous obtenons ainsi une gamme complète, beaucoup plus simple que celle de Pythagore ; basée sur les quatre rapports harmoniques engendrés par les quatre premières harmoniques d'un son: l'octave, la quinte, la quarte et la tierce majeure. Cette gamme porte le nom de gamme de Zarlino.

Cette gamme se généralisa dans toute la musique occidentale à partir de la Renaissance. Malheureusement, son architecture n'est pas aussi symétrique que celle de la gamme de Pythagore. Elle est constituée de trois tons majeurs (9/8), deux tons mineurs (10/9) et de deux demi-tons majeurs (16/15).

Problèmes de la gamme de Zarlino

Les quintes de la gamme de Zarlino ne sont pas toutes justes; par exemple, la quinte ré-la :
\begin{equation*}\frac{la}{\mathit{ré}}=\frac{5/3}{9/8}=\frac{5}{3}\times\frac{8}{9}=\frac{40}{27}=1{,}4815\ldots < 1{,}5. \end{equation*}
Ce rapport est plus petit que 3/2. En fait, comme on l'a vu dans la gamme de Pythagore, pour que la quinte soit juste, il faut aller chercher le la+, 27/16. Les autres quintes, do-sol, mi-si, fa-do sont exactes.

Le second problème rencontré avec l'utilisation de cette gamme fut la modulation. Même si une pièce est écrite en do majeur, les musiciens ne jouent pas toute la pièce dans cette tonalité; ce serait comme peindre toute une toile uniquement avec une couleur. Les changements de tonalité s'appellent des modulations. Par exemple, on commence une pièce en do majeur, on s'en va ensuite à la quinte en jouant en sol majeur ; le problème c'est que les notes de la gamme de do ne donnent pas exactement la gamme de Zarlino construite sur le sol.

Par exemple, dans la gamme de do, l'accord majeur est do-mi-sol, ce qui représente les rapports \(1-5/4 -3/2,\) tandis que l'accord de ré majeur, ré-fa#-la, qui correspond aux rapports \(9/8-45/32-5/3,\) n'est pas le même accord puisque les rapports entre ces notes sont \(1-5/4-40/27.\) Un instrument accordé en do sonne légèrement faux si on joue en ré, et ainsi de suite.

La gamme tempérée

Pour remédier à tous ces problèmes d'intonation, les théoriciens de la musique ont essayé longtemps de trouver une solution. De nombreuses solutions avaient été proposées, entre autres par Kepler et Euler, mais elles demeuraient insatisfaisantes puisque certaines modulations étaient toujours impossibles. C'est un mathématicien flamand, Simon Stevin, qui le premier accorda un monocorde en tempérament égal, c'est-à-dire une gamme composée de douze demi-tons exactement égaux. C'est ce qu'on appele la gamme tempérée. Évidemment, cela s'appliquait surtout aux instruments qui jouent des notes fixes comme le clavecin, l'orgue, la guitare, etc., mais non aux instruments de la famille du violon, ni au luth, sur lequel les frettes ne sont que des cordes que l'on peut bouger.

Simon Stevin (1548-1620)

Simon Stevin est né à Bruges en 1548, mais il passa la majeure partie de sa vie aux Pays-Bas, où il mourut en 1620. Comme plusieurs mathématiciens de son époque, il s'intéressait à toutes sortes de sujets. Contemporain de Galilée, il a, tout comme celui-ci, contribué à la naissance d'une nouvelle discipline scientifique, la mécanique. Avec Rheticus et Kepler, il fut l'un des premiers à publier une défense du système copernicien. Il a entre autres publié un volume de géométrie, Problematum geometricum, un Pratique d'arithmétique et son célèbre Statique. Finalement, il a écrit un livre sur la musique, bien qu'il n'emploie pas le mot musique mais plutôt le terme chanter, Vande spiegheling der singconst, " Sur la théorie de l'art de chanter "; cet ouvrage, dans lequel il expose sa façon de construire la gamme tempérée, est resté un manuscrit jusqu'à sa parution à Amsterdam en 1884.

La gamme tempérée fut adoptée dans le nord de l'Allemagne dès le XVII e siècle, et on l'entendit pour la première fois sur l'orgue construit par Arp Schnitger à Hamburg en 1692. C'est pourquoi Bach pouvait se permettre dans ses pièces pour orgue de moduler dans des tonalités très éloignées, même si cela gênait la concentration des fidèles.

Bach adapta ce système à tous ses instruments à clavier : clavecin, épinette, clavicorde et orgue. Il donna ses lettres de noblesse à ce système en composant deux séries de 24 préludes et fugues dans tous les tons, montrant ainsi ce que l'on pouvait faire avec un clavier bien tempéré.

Mathématiquement, la gamme tempérée est telle que si \(f_0, f_1, f_2, \dotsc , f_{11}\) sont les fréquences des douze demi-tons de la gamme, alors :
\[ \frac{f_1}{f_0}=\frac{f_2}{f_1}=\frac{f_3}{f_2}=\dotsb=\frac{f_{11}}{f_{10}}. \]
Si \(\varepsilon\) représente ce rapport commun, alors :
\begin{gather*} \frac{f_1}{f_0}\times\frac{f_2}{f_1}\times\frac{f_3}{f_2}\times\dotsb\times\frac{f_{11}}{f_{10}}\times\frac{f_{12}}{f_{11}}=\frac{f_{12}}{f_0}=2; \\
\varepsilon^{12}=2; \\
\varepsilon=\sqrt[12]{2}=2^{1/12}=1{,}059463094\ldots
\end{gather*}
Comme ce rapport est un nombre irrationnel, il ne correspond pas à un rapport harmonique naturel. En fait, aucun rapport dans cette gamme n'est harmonique, sauf évidemment l'octave. Par exemple, la quinte do-sol est égale à \(\varepsilon^7\) puisqu'il faut sept demi-tons pour aller à la quinte :
\begin{equation*} \mathit{do-do\#-ré-ré\#-mi-fa-fa\#-sol.}\end{equation*}
Et ce nombre est aussi un nombre irrationnel, comme toutes les puissances de \(\varepsilon.\) En fait,
\[\varepsilon^7=1{,}498307073\ldots \]
La différence entre cette quinte tempérée et la quinte harmonique peut ne pas sembler grande, mais si on calcule les fréquences à partir du do 256, cela donne une fréquence de 383,57 pour la quinte tempérée et 384 pour la quinte harmonique. Si deux cordes d'un piano accordées selon ces deux fréquences vibraient ensemble, nous entendrions une oscillation dans l'intensité du son obtenu ; on appelle ça des battements. Ici, nous aurions 0,43 battements par seconde, donc un battement par deux secondes environ. Cela n'est pas trop gênant. Mais si on refait les mêmes calculs à partir du la 440, on obtient environ un battement par seconde, ce qui dérange un peu plus.

Dans la gamme tempérée, aucun rapport n'est harmonique sauf l'octave; les dièses et les bémols sont identiques. La tonalité de ré majeur, par exemple, n'est qu'une translation de do majeur, etc.

Le triton, " Diabolus in musica "

Les rapports de tierce majeure (5/4) et de tierce mineure (6/5) furent considérés, à partir de la Renaissance, comme consonants; de même pour leurs inverses respectifs, la sixte mineure (8/5) et la sixte majeure (5/3), qui apparaissent lors des renversements des accords majeurs et mineurs. Mais le rapport qui fut longtemps considéré comme étant le plus dissonant est le triton ou quarte augmentée: l'intervalle do-fa# (45/32). Il était nommé Diabolus in musica et représentait le diable. Toute la musique de Bach est truffée de symboles musicaux que les auditeurs de l'époque savaient décoder. Par exemple, une descente aux enfers pouvait être représentée par une descente chromatique (un demi-ton à la fois) et la rencontre avec le diable, par le triton.

Le triton est composé de six demi-tons (de do à fa#, par exemple) : c'est le milieu géométrique de la gamme tempérée:

\varepsilon^6=(\sqrt[12]{2})^6=2^{6/12}=2^{1/2}=\sqrt{2}.

Nous voyons donc le diable : \sqrt{2} ! Pythagore serait d'accord.

Quels sont les instruments qui utilisent la gamme tempérée?

Presque tous les instruments de musique sont accordés selon la gamme tempérée. C'est le cas pour tous ceux dont les notes sont fixées par le fabricant : piano, guitare, flûte traversière, clarinette, etc.

Les instruments dont les notes ne sont pas déterminées d'avance auront tendance à jouer la gamme de Zarlino, privilégiant ainsi les harmoniques naturelles : toute la famille du violon, la voix humaine, le trombone, la trompette sans piston; certains synthétiseurs offrent la possibilité d'utiliser différents tempéraments, certains clavecinistes, dans un souci d'authenticité, font accorder leur instrument selon les tempéraments d'époque.

ROBERT, Serge. " Mathématiques et musique I " dans Bulletin AMQ, octobre 2003, vol. 43 n° 3.

ROBERT, Serge. " Mathématiques et musique II " dans Bulletin AMQ, mai 2005, vol. 45 n° 2.

ROBERT, Serge. " Mathématiques et musique III " dans Bulletin AMQ, décembre 2005, vol. 45 n° 4.

JEANS, Sir James. Science and music, Dover Publications inc., New York, 1968.

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L'histoire dit que Pythagore s'amusait à faire vibrer des cordes de différentes longueurs et de différentes tensions pour étudier les rapports des sons entre eux. On peut faire la même expérience sur une guitare. Lorsqu'on fait vibrer une corde de guitare, plus la partie vibrante est longue, plus le son est bas et, vice versa, plus elle est courte, plus le son est aigu.

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Karim Zayana et Nicolas Ngo

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Mathématiques et musique Karim Zayana et Nicolas Ngo Guitaristes à leurs heures et anciens professeurs de mathématiques, Karim Zayana (insp

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Un aller retour au pays des pavages (Image des Maths - CNRS)

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Un aller retour au pays des pavages (Image des Maths - CNRS)

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Préparation au voyage

" Visite au pays des pavages " ma foi pourquoi pas ?
Au fait pouvons-nous avoir quelques détails sur le trajet ?

Bien sûr ! Pour partir il faut un billet aller : il ressemble à un carreau de salle de bain... Lorsqu'on le pose comme un carrelage, on obtient un pavage : ce sont ces images que nous allons observer, pour le plaisir des yeux puis pour comprendre leur structure. Fais apparaître les règles en cliquant dans le cadre ci-dessous : à chaque fois que tu cliques, une nouvelle règle s'affiche. Il y en a quatre.

L'image que j'obtiens de cette façon c'est finalement ce que les mathématiciens appellent aussi pavage (périodique).
Mon billet aller : la maille
Ce voyage n'a pas l'air très compliqué. À quoi ressemble mon billet ? Les mathématiciens lui donnent de nombreux noms que tu connais bien :

pas très original tout ça...

Nous appellerons une maille, tout ce qui permet de fabriquer un pavage.
Un billet désignera pour nous une maille de forme bien particulière.
La forme du billet :
Il s'agit du contour du billet. Nous allons le choisir le plus simple possible, comme celui d'un carré ou d'un rectangle. Mais si j'appuie sur le haut d'un rectangle, sa forme est changée et certains de ses angles s'aplatissent : le rectangle se transforme en parallélogramme et continue de fabriquer un pavage.

Regarde bien, si tu aplatis le billet, tu peux encore partir : bien sûr ton image va changer un peu. C'est presque comme si tu regardais ton carrelage le nez par terre.

Remarquons aussi qu'une maille avec quatre côtés a toujours la forme d'un parallélogramme. En effet, puisque je dois les poser bord à bord, c'est que les bords opposés sont parallèles : et un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux, c'est bien un parallélogramme.
Nous venons de prouver une propriété que les mathématiciens énonceraient à peu près comme cela :
Théorème : Les seuls quadrilatères pavant le plan sans tourner sont les parallélogrammes.
Finalement, nous pouvons maintenant définir notre billet ainsi :
Définition : Un billet est une maille dont la forme est un parallélogramme.
Parfois, une maille de forme plus étrange permet aussi de fabriquer le pavage, comme nous en avons l'impression sur l'image de l'article : en fait je vais t'expliquer pourquoi on pourra toujours l'échanger pour un billet en forme de parallélogramme, sans changer de pavage... mais pour l'instant, continuons nos préparatifs. Tu comprendras quand nous serons arrivés.
Achète ton billet : trois points pour un parallélogramme
Au fait, pour fabriquer un parallélogramme, tu as une idée ? Bien sûr, il y a quatre sommets à placer, mais pas n'importe comment : avec trois points placés au hasard (pas alignés), je pourrai toujours fabriquer un parallélogramme dont les trois premiers sommets sont ces points là. Dans l'animation suivante, tu peux t'entraîner à trouver la place du quatrième sommet :
Le motif du billet :
C'est le dessin sur le billet. De lui vient la richesse artistique de nos pavages. Seul le contour du dessin est important : une fois dessiné, je pourrai choisir les couleurs comme je veux et du coup, je ne tiendrai pas compte des couleurs. Dans le dessin suivant, je considérerai que toutes les mailles sont les mêmes : seule leur couleur a changé.

A ne pas manquer !
Pour profiter du voyage, voilà quelques éléments qu'il faudra bien observer dans l'image : en plus de la maille, de sa forme et du pavage, je verrai la grille constituée des formes collées bord à bord, et le réseau. Le réseau, ce sont les nœuds de la grille, comme pour un grillage.
Remarque le dessin autour d'un nœud : c'est toujours le même, on en aura besoin plus tard.

Visite au pays périodique.

Maintenant que tout est prêt nous pouvons y aller. Voici un petit aperçu de nos pavages : ils sont beaux n'est-ce pas ?

Cette photo représente une sebka du patio des Myrtes de l'Alhambra. Ce monument mythique des pavages et chef d'oeuvre de l'art islamique en Espagne a été édifié dans le courant du XIVe siècle par les rois nasrides à Grenade. Ce qu'on voit c'est régulier, mais compliqué : ce qui est compliqué c'est le motif du billet. Il y en a du travail ici pour reproduire toujours de façon identique le motif sur mon billet. L'art musulman était expert en la matière !

" Devil's pospile national monument " : un nom diabolique comme les Américains aiment à qualifier de nombreux sites naturels locaux. Ce sont des colonnes de basalte poussées dans la Sierra californienne il y a 600 000 ans. On en voit le sommet lissé par l'érosion. Ce pavage naturel est très vieux, et un peu moins régulier que le précédent.

La photo ci-dessus montre une table marquetée à la manière de Jean-François Oeben, ébéniste du roi sous Louis XV. Son talent pour les meubles à mécanisme et les marqueteries des plus fines peut se contempler encore au château de Versailles. Ce pavage de son invention nous laisse une nouvelle impression : c'est plat, pourtant je vois des cubes de Oeben... De plus en plus surprenant.

Ces pégases sont parmi les plus belles réalisations artistiques de pavages périodiques. Ils ont été dessinés par Maurits Cornelis Escher, artiste du milieu du XXe siècle. Très sensible à l'art islamique géométrique et aux mathématiques, il a beaucoup travaillé sur le thème des pavages. C'est curieux les chevaux ont l'air de se déplacer, tous dans le même sens, les blancs comme les rouges (eh oui, il y a des rouges).

Les lézards ci-dessus sont aussi une réalisation de M.C. Escher. Cela se complique, il y a des lézards partout... Je n'y vois plus rien que des lézards, beige, ocres, noirs, plus un seul espace vide entre tous ces lézards qui me donnent le tournis. Cette fois-ci je suis vraiment perdue.

Je voudrais bien rentrer : mais je ne trouve pas mon billet ! Comment faire pour le retrouver ?

Le retour... Pas si facile !

Retournons chez les pégases, ils semblent plus organisés. Voyons voir, un billet, quand je le reproduis et que je pose les autres côte à côte, je fabrique mon pavage :

Alors c'est d'accord, ma maille c'est un cheval ! Seul le dessin du motif est important, la couleur ne compte pas : essaye dans l'animation suivante de faire du carrelage avec les pégases. Il te suffit de déplacer l'un de ceux de la pile de gauche pour le poser à droite de la fenêtre. Ensuite tu peux glisser les suivants à côté pour remplir la fenêtre.

Oui, mais c'est une maille très tordue, et la forme de mon billet doit être parallélogramme, c'est un souci : comment retrouver un parallélogramme dans cette image ?

Le réseau : point de départ.
Commençons par ce qui est plus facile : trouver le réseau. Rappelle toi, autour d'un nœud du réseau, le dessin est toujours le même. Pour dessiner ce réseau, j'ai donc besoin de connaître les endroits où les motifs se répètent. Voilà comment nous pouvons procéder :

Je commence par marquer mon point de départ, pour ne pas me perdre. Ensuite je prends une copie de mon pavage avec mon point marqué puis je déplace ma copie : lorsque les dessins se superposent, j'indique sur l'original où se trouve le point de départ de la copie, et je continue.
À toi de jouer :

Ce que j'obtiens est un ensemble de points régulièrement espacés dans plusieurs directions. Ces espacements, ces directions ne changent pas lorsque je change mon point de départ : tu peux également le vérifier dans la fenêtre interactive ci-dessus après avoir trouvé le réseau.
Une maille ? Des mailles !
Maintenant que j'ai trouvé le réseau, je n'ai plus qu'à relier quatre points du réseau pour former une maille en forme de parallélogramme... sauf que : laquelle ? C'est que le choix ne manque pas ! Peux-tu en dessiner quelques-unes ? Rappelle-toi, trois points déterminent un parallélogramme. Tu peux remarquer que le quatrième point de la maille est toujours un point du réseau : c'est parce que l'espacement entre deux points est toujours le même dans une direction donnée.
Billet s'il vous plaît !
Maintenant que nous avons bien travaillé, il n'y a plus qu'à découper un billet retour : c'est un parallélogramme, comme au début, sauf que ton pavage a changé.
Découpe ton billet dans cette image que tu connais bien à présent ! Tu pourras contrôler qu'il fabrique le bon pavage, dans la fenêtre de droite.

Impressions de voyage.

Qu'avons nous appris au cours de ce voyage finalement ? Nous avons vu de belles choses, c'est sûr. Mais nous avons aussi compris que dans ces images qui contiennent des motifs répétitifs réguliers, nous pouvions toujours trouver un carreau de carrelage permettant de reconstituer l'image : il s'agit d'un parallélogramme que nous avons appelé " billet ".

Voilà un joli théorème ! On aime parfois lui donner le nom de " théorème du papier peint ". Il a été démontré il y a une centaine d'années. Voici comment des mathématiciens pourraient le formuler :
Théorème du papier peint : Tout motif recouvrant le plan obtenu à partir d'une maille de forme quelconque peut aussi être réalisé à l'aide d'une maille en forme de parallélogramme.
Pour le démontrer, nous avons déterminé d'abord un point de départ, puis les points du réseau, autour desquels l'image est semblable à l'image autour du point de départ. Ensuite nous avons choisi trois points du réseau qui n'étaient pas alignés : le parallélogramme formé à partir de ces trois points nous a fourni un billet convenable. Finalement, il y avait beaucoup de choix ! À présent, tu pourras t'entraîner sur les images que nous avons rencontrées à reconnaître l'un de ces carreaux.
Pour s'amuser un peu.
Si tu as bien compris, la maille en forme de cheval, c'était un carré déguisé. Fais rentrer ton cheval tout entier dans un carré : il suffit de déplacer les morceaux.
Pas toujours carré !
Comme on l'a vu, on peut toujours choisir un billet en forme de parallélogramme. En revanche, il n'est pas toujours possible de le choisir carré, comme c'est le cas pour les pégases : tu peux tester sur les cubes ci-dessous.
Côté artiste : inventons des pavages...
A présent, tu peux faire des dessins comme M.C. Escher a conçu ses pégases : dessine sur un carré ou un rectangle une ligne tordue joignant 2 côtés opposés, puis découpe et recolle de l'autre côté. De cette manière, tu fais " disparaître " les côtés recollés. Répète la même opération avec les côtés restants : le carré à disparu ! Si tu n'es pas content de ton œuvre, tu peux continuer à re-découper des morceaux (attention à ne pas en perdre !), tu peux aussi recommencer (pour faire aussi bien qu'Escher, il faudra beaucoup d'essais..)
Dans l'imaginaire du mathématicien.
Mais à quoi pensent les mathématiciens qui contemplent ces paysages ? Eh bien, ils observent, ils rêvent, ils se posent plein de questions et tentent d'y répondre. Mais si certains problèmes sont faciles à résoudre, d'autres deviennent vite très ardus, et certains même n'ont pas encore trouvé de solutions ! En voilà quelques exemples :

Peut-on paver avec n'importe quoi ? Evidemment non..on ne peut pas coller des mailles circulaires bord à bord ! Alors avec quelles formes ? Là c'est trop compliqué... Simplifions un peu, organisons-nous, changeons les règles :

Peut-on paver avec des polygones ? Nous avons vu que les seuls quadrilatères pavants sont les parallélogrammes. Si nous changions les règles ? Nous allons permettre aux mailles de tourner. Alors tous les quadrilatères peuvent faire du carrelage
.
Mais les pentagones ? et bien la réponse est... des fois oui, souvent non. Mais lesquels exactement : eh bien, on ne sait pas !

Si je peux recouvrir le plan avec une maille de forme donnée, y a-t-il toujours un réseau caché ? La réponse est : pas toujours. Parmi ces exemples exotiques, on trouve d'ailleurs un prix Nobel ... de chimie !

On pourrait continuer très, très longtemps tant les questions sont nombreuses... mais c'est tant mieux ! car c'est la difficulté des réponses qui nous permet de découvrir de nouvelles pistes et d'aborder des paysages encore inconnus.

Alors, pour finir, à toi de jouer les mathématiciens : trouve des questions, cherche des réponses !

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Préparation au voyage " Visite au pays des pavages " ma foi pourquoi pas ? Au fait pouvons-nous avoir quelques détails sur le trajet ? Bien sûr ! Pour partir il faut un billet aller : il ressemble à un carreau de salle de bain...

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An interactive polyhedra viewer and manipulator

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L'herbier contient plus de 300 polyèdres classés par familles avec photos de maquettes et fiches descriptives. Les maquettes ont été réalisées et photographiées par Jean-Jacques Dupas.

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Solides de Platon, d'Archimède et de Catalan (automaths

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Solides de Platon, d'Archimède et de Catalan (automaths

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Ce billet de blog fait écho à la dernière vidéo publiée sur la chaîne, dans laquelle j'abordais les formes des dés et parlais vaguement des solides de Catalan. Il est temps d'éclaircir le mystère.

Lorsque l'on parle de solides, on ne peut évidemment pas passer outre les solides de Platon, au nombre de 5.

Rappelons les conditions d'entrée dans ce club très fermé :

Le polyèdre doit être convexe (sans creux, il doit pouvoir être posé sur chacune de ses faces)

Toutes les faces doivent être des polygones réguliers identiques

Elles ne doivent pas se couper, hormis sur les arêtes

Tous les sommets doivent être le point de rencontre du même nombre de faces

Forcément, avec toutes ces conditions, pas étonnant de ne compter que peu de membres. Et encore, ce nombre pourrait être, d'une certaine manière, réduit à 3 si l'on regroupe ensemble les polyèdres duaux.

Pour construire le dual d'un polyèdre régulier, il suffit de placer un point au centre de chacune de ses faces. Il faut ensuite relier les points qui appartiennent à des faces adjacentes, qui partagent une arête. Par exemple, en faisant ce procédé, on voit que l'octaèdre est le dual du cube.

De la même manière, on se rendra compte que dodécaèdre et icosaèdre sont duaux et que le tétraèdre est son propre dual.

Puisque les sommets de l'un deviennent les faces de l'autre et inversement, deux polyèdres duaux partagent alors les mêmes propriétés de symétrie. On se restreint alors à trois groupes de symétrie : les symétries du tétraèdre, du cube et du dodécaèdre

Tout ça, c'est bien beau, mais avoir un club fermé n'est pas forcément pour nous plaire : c'est assez ennuyeux, en somme. Relâchons légèrement les conditions : nous allons maintenant regarder les polyèdres convexes qui sont composés de plusieurs sortes de polygones réguliers, mais qui ont toujours la même propriété sur leur sommet : ceux-ci doivent être le point de rencontre des mêmes types de face, dans le même ordre.

Ces solides sont appelés les solides d'Archimède, et on en exclut en général les prismes et anti-prismes, fort peu intéressants.

Un exemple de solide d'Archimède, il s'agit du cuboctaèdre : composé de 6 carrés et 8 triangles équilatéraux, chaque sommet est entouré d'un triangle, d'un carré puis d'un triangle et de nouveau un carré

Comment obtenir tous ces solides ? Eh bien nous allons faire subir toutes sortes de choses à nos solides de Platon.

Le cuboctaèdre peut par exemple être vu comme un cube que l'on a tronqué au niveau des sommets, jusqu'au milieu de l'arête (on parle de solide rectifié). En s'arrêtant un peu avant, de manière à avoir des hexagones réguliers comme faces, on obtient un cube tronqué. En continuant l'opération, on arrivera finalement jusqu'à l'octaèdre tronqué, puis l'octaèdre.

En tronquant un octaèdre, on peut faire tout le cheminement dans le sens inverse. Mais l'on peut également tronquer un cuboctaèdre : on obtient bien sûr un... cuboctaèdre tronqué, composé de 26 hexagones, octogones et carrés. On parle également de cube bitronqué

Quitte à bien limer notre solide, il est également possible d'attaquer ses arêtes : on dit alors que le solide est biseauté

Dernière torture à infliger à notre solide, un peu moins évident : il est possible de l' adoucir. Cette opération consiste à écarter les faces et les faire pivoter de manière à faire entrer des triangles équilatéraux dans les espaces.

Et... C'est à peu près tout. En faisant de même avec le tétraèdre et le dodécaèdre, on obtient alors un total de 13 solides d'Archimède différent, dont toute la liste se trouve ici.

Vous y trouverez notamment le fameux icosaèdre tronqué, plus connu sous l'appellation ballon de football !

J'y viens, rassurez-vous ! Les solides de Catalan adoptent le point de vue inverse des solides d'Archimède : les sommets sont différents mais toutes les faces doivent être les mêmes, indissociables les unes des autres.

Nous avons à notre disposition 13 solides d'Archimède, aux sommets identiques, et nous avons également une formidable transformation : le dual. Il faudra toutefois légèrement modifier la construction par rapport aux polyèdres réguliers, mais le principe reste le même : les sommets deviennent les faces et les faces deviennent des sommets.

Puisqu'un solide d'Archimède a tous ses sommets équivalents, le dual d'un solide d'Archimède aura toutes ses faces équivalentes. Il y a ainsi 13 solides de Catalan.

Voici par exemple le dual du cuboctaèdre, qui est le dodécaèdre rhombique

Pour découvrir tous les solides de Catalan, c'est par ici !

Le site Mathcurve présente les polyèdres archimédiens et les liens avec les pavages du plan et de la sphère

Pour visualiser les solides et les transformations pour passer de l'un à l'autre : https://polyhedra.tessera.li

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Solides de Platon, d’Archimède et de Catalan

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Ce billet de blog fait écho à la dernière vidéo publiée sur la chaîne, dans laquelle j'abordais les formes des dés et parlais vaguement des solides de Catalan. Il est temps d'éclaircir le mystère. http://www.youtube.com/watch?v=xJ8vL8qstw0 C'est l'heure du dual ! Lorsque l'on parle de solides, on ne peut évidemment pas passer outre les solides de...

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Pavages en lien avec les quasi cristaux (Image des Maths)

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Pavages en lien avec les quasi cristaux (Image des Maths)

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La recherche mathématique en mots et en images

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Fléchettes et Cerfs-Volants (Image des maths

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Fléchettes et Cerfs-Volants (Image des maths

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La recherche mathématique en mots et en images

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Sorciers de Salem : Arbre de Pythagore, IFS, tetraèdre de Sierpinski

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Sorciers de Salem : Arbre de Pythagore, IFS, tetraèdre de Sierpinski

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Nombres

Une page regroupant diverses documents et activités autour du fameux nombre pi.

Un tour de magie où l'on retrouve un nombre mystère à l'aide de l'écriture en base 2 des nombres entiers.

Des maths dans la vie de tous les jours

En complément de notre poster "Les maths ça sert à rien (sauf à...)", nous vous proposons quelques pistes pour aller plus loin et découvrir comment les mathématiques interviennent dans des domaines variés

Expérimentez la transformée en cosinus discrète, au centre de la compression JPEG de vos photos

Parmi les nombres rencontrés dans notre vie quotidienne, la loi de Benford affirme que ceux qui commencent par un 1 sont beaucoup plus fréquents que ceux commençant par un 9. Mais est-ce vraiment le cas ?

Fractales

Obtenez un magnifique arbre fractal à partir d'une figure illustrant le fameux théorème de Pythagore : un triangle rectangle et les trois carrés construits sur ses côtés.

Des figures fractales classiques comme le triangle de Sierpinski ou la courbe de Koch sont obtenues comme attracteur d'un système de fonctions itérées (en anglais : Iterated Function System, ou IFS). On peut aussi définir soi-même le système et créer des fractales inédites.

Construisez un objet fractal tridimensionnel en origami.

Probabilités et statistiques

Une activité pour découvrir comment le résultat d'un sondage varie avec la taille de l'échantillon.

Simulation d'un dispositif inventé au XIXe siècle pour illustrer la loi des écarts à la moyenne.
En savoir plus sur la planche de Galton.

Derrière trois portes sont cachées deux chèvres et une voiture. Vous gagnez si vous ouvrez la porte correspondant à la voiture... Saurez-vous la découvrir ?

Trouver pi par hasard ?

Deux expériences aléatoires qui permettent d'estimer la valeur de pi : Les aiguilles de Buffon et le tireur de fléchettes maladroit.

Pliages et découpages

Quelques activités autour des mathématiques et de l'origami.

Très simple à construire, le ruban de Möbius a des propriétés topologiques vraiment surprenantes !

Pavages

Des activités autour des fameux pavages apériodiques de Penrose, avec fléchettes et cerfs-volants !

Posters de mathématiques

Une collection de posters sur différents thèmes mathématiques : fractales, origami, courbes, bulles de savons...

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Une page regroupant diverses documents et activités autour du fameux nombre pi. Un tour de magie où l'on retrouve un nombre mystère à l'aide de l'écriture en base 2 des nombres entiers.

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De toute évidence, lorsque j'avais publié cette photo sur Facebook, personne n'avait su mettre un nom sur ce visage...

Mais qui est donc cet homme ?

Oui c'est à peu près la réaction que certains doivent avoir et d'ailleurs c'est celle que plusieurs élèves ont eu...

Mais pourquoi on étudie un artiste en maths ?

Suspense.....

Pour aborder ce projet, j'ai donc réalisé un premier diapo sur MC Escher.

J'ai trouvé des photos sublimes de cet artiste.

Plus j'en découvrais sur lui, plus j'étais ébahie et plus j'aimais son travail !

L'étude s'est poursuivie autour de ses pavages.

Aaaahhhh ça y est, on devine le lien avec les mathématiques maintenant n'est-ce pas ??

Pas encore pour vous ?

Alors attendez de voir le diapo que j'ai concocté et qui regroupe pas moins de 53 pavages ! Tous d'Escher bien évidement !!

Dernier point de l'étude : Comment est construit un pavage ?

Dans mes très nombreuses heures de recherche, je suis tombée sur des petites extraordinaires.

J'ai donc réalisé un dernier diapo.

Et puis....

Je vous le donne en mille, c'était à leur tour.

Hein ?! De quoi faire ?!

Bah un pavage pardi !

Non mes élèves ne sont pas des champions en arts !

Certains plus que d'autres oui c'est vrai mais c'est à la portée de tous.

La fin d'année étant arrivée un peu trop tôt pour nous, ils n'ont pas pu tous aller au bout de leur pavage mais voici quelques-unes de leurs oeuvres :

Comment ont-ils fait ?

Comme dans le diapo, tracer une forme, la découper puis... Découper, scotcher.

Voici un pavage dans ses prémices :

Ensuite, il faut reporter ce motif et laisser parler sa créativité pour le dessin sur ce motif.

J'ai réalisé ce projet en 4ème.

J'ai bien envie de le tester avec les autres niveaux y compris les 6èmes.

Cela peut être aussi très sympa de le faire avec des enfants plus jeunes, en primaire voir même maternelle pour découpage/collage/coloriage.

J'ai adoré ! Et je crois qu'eux aussi se sont pris au jeu !!

Ce que j'aime le plus dans ce genre de projet, c'est que je découvre mes élèves autrement. Malgré que ce soit une fin d'année j'ai encore découvert des choses sur eux...

Et puis... Comment vous dire... Il est certain qu'après un tel projet, ils se souviennent tous de ce que sont les transformations !

Plusieurs de mes 4èmes ont même déjà retenu les homothéties qu'ils ne verront que l'an prochain.

Quel bonheur !!!

J'ai donc oublié cette montagne d'heures de travail en amont...

J'ai utilisé les heures d'AP (1 semaine sur 2) pour ce projet. Et... la fin d'année est arrivée trop vite. 3 heures d'AP sont nécessaires, le coloriage est à finir à la maison.

Ce lundi 24 juin était la dernière heure pour un groupe.

je retrouvais la classe entière le mardi 25 mais pour notre goûter de fin d'année.

Comment vous dire....

Ils ont bossé !

OUI !! Sans que je ne râle !

Et des élèves qui n'avaient pas classe, sont venus pour tenter de finaliser leur pavage.

D'ailleurs celui sur les 3 bonhommes barbus qui courent a été réalisé par cet élève que certains qualifient de "râleur - décrocheur - perturbateur".

Je reste encore aujourd'hui sans voix... Il a bossé comme un acharné lundi pendant toute l'heure ! Je ne l'ai pas entendu une seule fois !!! Moi qui pensait qu'il n'aurait pas envie de le finir... Quelle andouille je suis purée !

Si vous zoomez, vous observerez peut-être son petit détail....

(le monsieur court vite et.... des crottes de nez sortent de son nez....

Quelle classe mouaaahahahaaaa)

(( Oui j'en ris, c'est drôle non ? Et puis c'est SON oeuvre ))

La séance de lundi se termine,

Mardi plusieurs élèves me rendent leur travail terminé et puis....

Une élève dont je n'aurais jamais imaginé son talent artistique me rend cette oeuvre merveilleuse à 2 motifs donc :

Encore une fois, ces bichons me rendent terriblement fière !!!!!

Je vous partage également mes parties leçon et mes FM sur la translation et la rotation :

Si vous avez envie d'aller encore plus loin, je vous invite à découvrir vous aussi le site d'Alain Nicolas.

N'hésitez pas à m'envoyer des photos des productions de vos enfants/élèves,

A tout bientôt,

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De toute évidence, lorsque j'avais publié cette photo sur Facebook, personne n'avait su mettre un nom sur ce visage... Mais qui est donc cet homme ? Oui c'est à peu près la réaction que certains doivent avoir et d'ailleurs c'est celle que plusieurs élèves ont eu...

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