# data[].attributes.body
rektyfikacja

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Rozpatrzymy teraz sytuację, w której kąt środkowy i kąt wpisany oparte są na tym samym łuku okręgu.

Środek okręgu leży wewnątrz kąta wpisanego.

Czyli

ale

więc

Środek okręgu leży na ramieniu kąta wpisanego.

Środek okręgu leży na zewnątrz kąta wpisanego.

Narysujmy średnicę okręgu przechodzącą przez punkt .

Oznaczmy przez kąt pomiędzy narysowaną średnicą a ramieniem kąta wpisanego, jak na rysunku.
Zauważmy, że kąt jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt i jest to sytuacja opisana w przypadku II. Zatem

Kąt jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt środkowy i jest to sytuacja opisana w przypadku II. Zatem

Stąd ponownie otrzymujemy

Udowodniliśmy w ten sposób twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym.

Twierdzenie: o kącie środkowym i wpisanym

Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku.

Rektyfikacja lub wyprostowanie okręgu polega na skonstruowaniu odcinka, którego długość jest równa obwodowi danego okręgu.
Jedną z przybliżonych konstrukcji wyprostowania okręgu podał w . Adam Kochański, nadworny matematyk króla Jana III Sobieskiego.

Przez wiele stuleci uczeni poszukiwali wzoru, pozwalającego określić długość okręgu, którego promień jest znany. Dokonując przybliżonych pomiarów, zauważyli, że stosunek długości okręgu do jego średnicy jest w każdym przypadku w przybliżeniu równy .

Przeprowadzony eksperyment pozwolił na znalezienie dokładniejszej liczby określającej stosunek długości okręgu do jego średnicy.
Liczbę tę w w. oznaczono grecką literą od pierwszej litery greckiego słowa perimetron, czyli obwód.

Starożytni Egipcjanie przyjmowali, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest równy

Średniowieczni Chińczycy uważali, że jest on równy
Przez wieki podawano coraz lepsze przybliżenie liczby .
W w. matematyk holenderski Ludolph van Ceulen podał jej wartość z dokładnością do miejsc po przecinku:
3,14159265358979323846264338327950288...
Na cześć tego matematyka liczba pi zwana jest też ludolfiną.
W XVIII w. udowodniono, że liczba nie jest liczbą wymierną. Nie da się więc jej zapisać w postaci ułamka dziesiętnego skończonego ani w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego okresowego.
Obecnie znamy przybliżenie liczby z dokładnością do kilku bilionów miejsc po przecinku.

W w. p.n.e. rzymski architekt Witruwiusz zaproponował sposób pomiaru odległości drogowych, wykorzystujący poruszający się rydwan. Koło takiego rydwanu miało promień . Na pokonanie jednej mili rzymskiej musiało wykonać obrotów.

Oblicz wartość liczby , przyjmowaną przez Witruwiusza.
Odpowiedź.

# data[].attributes.attachment_link.description
Rozpatrzymy teraz sytuację, w której kąt środkowy i kąt wpisany oparte są na tym samym łuku okręgu. Środek okręgu leży wewnątrz kąta wpisanego. Czyli ale więc Środek okręgu leży na ramieniu kąta wpisanego. Środek okręgu leży na zewnątrz kąta wpisanego. Narysujmy średnicę okręgu przechodzącą przez punkt .

# data[].attributes.body
Rozwinięcie dziesiętne liczby Pi

# data[].attributes.body
Termin nadsyłania zdjęć do 10.03.2021 r.

# data[].attributes.body
wystarczy w komórce wpisać formułę "=PI()". W komórce będzie zapamiętana liczba

π z dokładnością do 15 miejsc po przecinku. Funkcja ta nie przyjmuje żadnych argumentów.

# data[].attributes.attachment_link.title
Liczba pi i obwód koła #1 [ Koło i okrąg ]

# data[].attributes.body
Reynaldo Lopes tłumaczy szerokie zastosowanie liczby pi w muzyce, modelach finansowych, a nawet w obliczaniu wszechświata.

# data[].attributes.attachment_link.description
The ratio of a circle's circumference to its diameter is always the same: 3.14159... and on and on (literally!) forever. This irrational number, pi, has an infinite number of digits, so we'll never figure out its exact value no matter how close we seem to get.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Poznaj liczbę Pi!

Dzień liczby Pi - 14 marca3.14

Prezentacja

2

1

4

Czym jest tajemnicza liczba Pi?

Dowiedzmy się czegoś o niej...

Czym byłoby koło...

... gdyby nie liczba Pi!

Liczba Pi jest to:

stosunek obwodu koła (długości okręgu) do długości średnicy tego koła (okręgu)

Piękne w liczbie π jest to, że...

... obojętnie jakie mamy dane koło, ta liczba jest stała!...im większy promień koła, tym dłuższy jest jego obwód - a liczba π nadal będzie taka sama!

LUDOLFINA

Liczba π ma różne nazwy.

Niektórzy nazywają jąstałą Archimedesa.

Dla innych jest to Ludolfina

Dlaczego stała Archimedesa?

Grecki matematyk i filozof przyrody - Archimedes z Syrakuz - żył w III wieku przed naszą erą.Jednym z jego największych dzieł jest praca "O wymierzaniu koła", w której zajmował się związkiem miedzy polem a obwodem koła. Jako piewrszy matematyk badał własności liczby π..

Noli turbare circulos meos. - Nie zamazuj moich kół.

Archimedes

Skąd nazwa Ludolfina?

Odkąd ludzie odrkyli liczbę π, starali się przedstawić jak najwięcej jej cyfr po przecinku. Nie jest to łatwe! π jest liczbą niewymierną, zatem jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe!Ludolph van Ceulen - szesnastowieczny holenderski matematyk pochodzenia niemieckiego - zapisał 35 cyfr po przecinku liczby π. Od jego imienia nzwano liczbę Ludolfiną.Ludolfina została wyryta na nagrobku matematyka.

Jak zapamiętać jej cyfry?

Kuć i orać 3,14w dzień zawzięcie 159bo plonów niema bez trudu 26535Złocisty szczęścia okręcie 897Kołyszesz... 9Kuć. 3My nie czekajmy cudu. 2384Robota 6to potęga ludu. 264

wiersz Kazimierza CwojdzińskiegoXIX - wiecznego polskiego matematyka

Kto i bada i liczy,Myśliciel to wielki.Mylić się zwykł jednakżeMatematyk wszelki.

Autor nieznany

FIlm

Z pewnością znacie Pana Pistację.Któż, jak nie on, przybliża Wam każdego dnia zamgatwane zagadnienia matematyczne :)

Jak zapamiętać 100 cyfr liczby π?

Więcej filmów?

Odrobinę śpiewanej historii liczby π

Podziwu godna liczba Pitrzy koma jeden cztery jeden.Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe,pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy.Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniemosiem dziewięć obliczeniemsiedem dziewięć wyobraźnią,a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniemcztery sześć do czegokolwiekdwa sześć cztery trzy na świecie.

Liczba π - wiersz Wisławy Szymborskiej

Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywapodobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne.Korowód cyfr składających się na liczbę Pinie zatrzymuje się na brzegu kartki,potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze,przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo,przez całą nieba wzdętość i bezdenność.O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety!Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni!A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście

mój numer telefonu twój numer koszulirok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętroilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszyobwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr,w którym słowiczku mój a leć, a piejoraz uprasza się zachować spokój,a także ziemia i niebo przeminą,ale nie liczba Pi, co to to nie,ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć,nie byle jakie osiem,nieostatnie siedem,przynaglając, ach, przynaglając gnuśną wiecznośćdo trwania.

Historia przybliżeń liczby π

Chiński matematyk Liu Hui w III w. n. e. wykorzystując metodę Archimedesa przybliżył liczbę π do 3,1415.

Babilończycy uważali, że koło niewiele różni się od sześciokąta, a więc i ich obwody są przybliżone. Dla nich liczba π wynosiła w przybliżeniu 3.

Egipski papirus (zwany papirusem Rhinda) z XVII w. p. n. e. z kolei podaje, że π wynosi tyle, co iloraz czwartej potęgi liczby 4 i czwartej potęgi liczby 3, a więc w przybliżeniu jest równe 3,1604.

Archimedes oszacował liczbę π z dokładnością dwóch miejsc po przecinku. Umiejscowił ją między liczbą 3 i 10/71 a 3 i 1/7.

Zanim nadeszła era komputerów rekordzistą w ręcznym obliczaniu kolejnych cyfr liczby π był William Shanks, który w roku 1874 uzyskał aż 707 miejsc po przecinku! Niestety, jak się później okazało, ostatnie 180 cyfr wyznaczył błędnie...

π = 3,14159265358979323846264338327950288...

π = 3,162

π = 3,1415

Linia czasu - przybliżenia

XVII - XVIII w. p. n. e.

1650 r. p. n.

IIIw. p. n. e.

ok. 600r. p. n. e.

1596 r. n. e.

π = 3,1604...

π = 3

π

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat.

Babilończycy zapisywali swoje badania na glinianych tabliczkach, które zachowały się po dziś dzień.

Linia czasu - matematycy

XVII - XVIII w. p. n. e.

Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach - dzieło królewskiego skryby Ahmesa (papirus Rhinda)

1750 r. p. n. e.

Wybitny matematyk Archimedes mierzył obwody 96-kątów wpisanych i opisanych na okręgu, następnie liczył ich średnią.

III w. p. n. e.

Loudolf van Ceulen wydaje dzieło "Van den Circkel", w którym wpisuje 20 cyfr rozwinięcia liczby π.

1596 r.

Liczba π w kulturze

Film: Daren Aronovsky "Pi"

Powieść: Yann Martel "Życie Pi"

3

2

1

4

Magdalena Stańko

Dziękuję za uwagę!

Grafika pochodzi ze zbiorów: pixabay.com

# data[].attributes.attachment_link.title
Dzień liczby Pi 3.14 by mstankosp3 on Genially

# data[].attributes.attachment_link.description
Poznaj liczbę Pi! Dzień liczby Pi - 14 marca3.14 Prezentacja 2 1 4 Czym jest tajemnicza liczba Pi? Dowiedzmy się czegoś o niej... Czym byłoby koło... ... gdyby nie liczba Pi! Liczba Pi jest to: stosunek obwodu koła (długości okręgu) do długości średnicy tego koła (okręgu) Piękne w liczbie π jest to, że...

# data[].attributes.headline
Matematyczny Escape room na święto Liczby π

# data[].attributes.subject
Matematyczny Escape room na święto Liczby π

# data[].attributes.body
Na program wydarzenia składają się liczne wykłady popularnonaukowe, różnorodne warsztaty i pokazy, które przybliżą wiele ciekawych kwestii z dziedziny matematyki, fizyki, chemii oraz inżynierii materiałowej.
Zapisy  rozpoczną się 1 marca o godzinie 15:00.

# data[].attributes.attachment_link.description
Party event by Uniwersytet Śląski w Katowicach and Wydział Nauk Ścisłych i Technicznych w Uniwersytecie Śląskim on Monday, March 15 20215 posts in the...

# data[].attributes.body
możliwość udziału w projekcie

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Nagroda Publiczności

O Nagrodę Publiczności w głosowaniu internautów walczyło 30 projektów, które uzyskały najwyższe noty od jury konkursu.

Dodatkowe 5 tys. złotych grantu otrzymały dwa projekty (po jednym z każdej kategorii konkursowej).

W kategorii „uczniowie klas 4-6" najwięcej głosów zdobyło Stowarzyszenie Przyjaciół Szkoły Podstawowej nr 20 we Włocławku "Wespół".
Ich projekt to "Czary-math czyli odczarowujemy matematykę".

W kategorii „uczniowie klas 7-8" zwyciężyło Stowarzyszenie "Pomóż Dziecku Niewidomemu" z Owińsk w woj. wielkopolskim.
Ich projekt to "365 dni z Królową Nauk - wielozmysłowy kalendarz matematyczny dla uczniów z dysfunkcją wzroku".

Łącznie na wszystkie projekty oddano 9844 głosów.

Otrzymałeś grant? Sprawdź nasz poradnik

Zajrzyj do Poradnika i dowiedz się jakie są następne kroki. Znajdziesz w nim listę dokumentów, jakie trzeba dostarczyć, by otrzymać grant, a także odpowiedzi na najczęściej zadawane pytania.

mPotęga w skrócie

To nasz główny program grantowy. Chcemy nim zachęcić nauczycieli, rodziców i pasjonatów matematyki do kreatywności. Liczymy, że to odczaruje dzieciom i młodzieży matematykę i zachęci do zgłębiania tej nauki.

Granty od 2 do 8 tys. zł

Co dofinansowujemy?

1.
Projekty dla uczniów klas 4-6

Możesz liczyć na 2 do 5 tys. dofinansowania. Pamiętaj, szczególnie cenimy projekty angażujące rodziców!

Czekamy na propozycje:

innowacyjnych warsztatów, ukazujących wszechobecność matematyki;

konkursów matematycznych;

matematycznych aktywności (np. gier terenowych);

wycieczek i spotkań tematycznych, pokazujących praktyczne zastosowanie matematyki;

filmików edukacyjnych (np. kręcone telefonem komórkowym);

blogów o tematyce matematycznej;

zajęć matematycznych włączających rodziców.

To tylko przykłady działań. Liczymy na Waszą kreatywność.

2.
Projekty dla uczniów klas 7-8

Możesz liczyć na 5 do 8 tys. zł. dofinansowania. Pamiętaj, że młodzież musi brać aktywny udział w Twoim projekcie. Wasz zespół projektowy musi się składać nie tylko z lidera (osoby pełnoletniej, czyli Ciebie) ale też co najmniej 3 uczniów klas 7-8 szkoły podstawowej.

Czekamy na propozycje:

innowacyjnych warsztatów, prezentacji na temat tego, ze matematyka jest wszechobecna i praktyczna;

matematycznych działań angażujących uczniów, takich jak gry, quizy, konkursy matematyczne;

filmików edukacyjnych (także takich kręconych smartfonem);

blogów o tematyce matematycznej.

To tylko przykłady działań. Liczymy na Waszą kreatywność.

1.
Klauzula informacyjna - pośrednie zbieranie danych. Administratorem Państwa danych osobowych jest Fundacja mBanku z siedzibą przy ul. Prostej 18, 00-850 w Warszawie ("Administrator")

Administratorem Pana/Pani danych osobowych jest Fundacja mBanku z siedzibą przy ul. Prostej 18, 00-850 w Warszawie ("Administrator") oraz Fundacja Dobra Sieć z siedzibą przy ul. Marszałkowskiej 20/22 lok. 41, 00-590 w Warszawie .

Podstawą prawną do przetwarzania Państwa danych osobowych jest uzasadniony interes Administratora danych osobowych*. Jest on związany z potrzebą wykonania umowy łączącej Administratora z podmiotem otrzymującym dofinansowanie. Podmiot ten, zwany dalej "Realizatorem" przeprowadza program społeczny ze środków finansowych Administratora. Udostępnili Państwo swoje dane osobowe Realizatorowi na potrzeby uczestnictwa w prowadzonym przez niego programie społecznym.

Administrator przetwarza Państwa dane osobowe w celach:

1) realizacji umowy o dofinansowanie, zawartej między Administratorem a Realizatorem programu społecznego, którego są Państwo uczestnikami. Administrator zawarł umowę z Realizatorem w ramach prowadzenia swojej statutowej działalności.

2) wykorzystania Państwa wizerunku dla celów promocyjno-informacyjnych związanych z działalnością społeczną Administratora oraz Partnera.

Kategorie Państwa danych osobowych przetwarzanych przez Administratora obejmują w szczególności: imię i nazwisko, e-mail, nr telefonu, wizerunek, datę urodzenia, adres zamieszkania, PESEL, imiona rodziców, numer rachunku bankowego, a także inne dane osobowe, przekazane Administratorowi przez Realizatora programu społecznego, którego są Państwo ostatecznym beneficjentem. Administrator przetwarza wymienione dane osobowe, by rozliczyć środki otrzymane przez Realizatora.

Administrator będzie przetwarzał Państwa dane osobowe przez okres:

dot. celu 1) - wyłącznie przez okres niezbędny do realizacji umowy o dofinansowanie oraz rozliczenia efektów pomocy otrzymanej przez Realizatora programu społecznego, którego są Państwo uczestnikiem;

dot. celu (2) - wyłącznie przez okres niezbędny do realizacji celu promocyjno-informacyjnego związanego z działalnością społeczną Administratora, jednak nie dłużej niż przez okres 3 lat.

Prawnie uzasadniony interes Administratora Państwa danych** dotyczy realizacji umowy o dofinansowanie zawartej pomiędzy Administratorem a Realizatorem programu społecznego, którego Państwo są beneficjentami.

Mają Państwo prawo żądania od Administratora:

1) dostępu do swoich danych osobowych,

2) sprostowania, usunięcia lub ograniczenia przetwarzania swoich danych osobowych,

3) wniesienia sprzeciwu wobec przetwarzania,

4) przeniesienia danych.

Ponadto mają Państwo prawo do wniesienia skargi na przetwarzanie Państwa danych osobowych do Urzędu Ochrony Danych Osobowych (UODO). Państwa dane osobowe przetwarzane przez Administratora pochodzą bezpośrednio od Realizatora, z którym Administratora łączy umowa o dofinansowanie. Umowa ta ma na celu realizację programu społecznego, którego Państwo są beneficjentami.

* Na podstawie art. 6 ust. 1 pkt (f) Rozporządzenia Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. w sprawie ochrony osób fizycznych w związku z przetwarzaniem danych osobowych i w sprawie swobodnego przepływu takich danych oraz uchylenia dyrektywy 95/46/WE ("RODO").

** Na podstawie art. 6 ust. 1 pkt (f).

# data[].attributes.attachment_link.title
mPotęga - matematyczny program grantowy dla uczniów i nauczycieli

# data[].attributes.attachment_link.description
Nagroda Publiczności O Nagrodę Publiczności w głosowaniu internautów walczyło 30 projektów, które uzyskały najwyższe noty od jury konkursu. Dodatkowe 5 tys. złotych grantu otrzymały dwa projekty (po jednym z każdej kategorii konkursowej). W kategorii „uczniowie klas 4-6" najwięcej głosów zdobyło Stowarzyszenie Przyjaciół Szkoły Podstawowej nr 20 we Włocławku "Wespół".