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Nuestros estudiantes inician la comprensión del número y del SND (Sistema de numeración decimal) a partir de las experiencias que le ofrece su entorno. Es en la institución educativa donde formaliza sus ideas intuitivas, alcanzando una comprensión reflexiva de estas nociones. Sin embargo, muchas veces esta comprensión no se logra debido a dificultades en su aprendizaje.

Algunos estudiantes tienen dificultades para resolver este problema:

Esta pregunta requiere que los estudiantes establezcan equivalencias entre la cantidad de chapitas y paquetes de galletas. Muchos estudiantes llegan a comprender la agrupación de diez chapitas por un paquete de galletas, pero no logran componer un nuevo número con estos grupos de 10. Es decir, los estudiantes pueden identificar que para 3 paquetes de galletas se necesita 3 grupos de 10 chapitas, pero no lo denominan como 30 chapitas en total. Esto sugiere la comprensión del número solo en términos de unidades (un porcentaje significativo de los estudiantes no logra responder adecuadamente esta pregunta).

Recomendaciones para mejorar la comprensión del número y del SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL (SND)
Debemos Identificar los aspectos de la construcción del número que aún no consolidan nuestros estudiantes:
Al llegar a la institución educativa, los estudiantes ya tienen una serie de experiencias vividas, relacionadas con la noción de número. Sin embargo, las experiencias que traen son diversas, por lo cual es importante que en la IE se identifiquen los aspectos que aún no han logrado desarrollar los estudiantes.

A continuación, desarrollamos estos aspectos:

CLASIFICACIÓN (SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL)

La clasificación es un proceso mediante el cual el niño junta elementos por semejanzas y los separa por diferencias, en función a uno o más criterios. Este proceso se inicia en los primeros años de vida.

Para comprender la clasificación es necesario construir dos tipos de relaciones lógicas:

* La pertenencia: relación que se establece entre cada elemento y la clase de la que forma parte. Por ejemplo, un triángulo pequeño es un elemento de la clase "triángulos ".

* La inclusión: relación que se establece entre cada subclase y la clase de la que forma parte. Por ejemplo, los triángulos y los cuadrados son subclases de la clase "figuras geométricas ".

Este proceso se va desarrollando de forma gradual en tres estadíos, desde las agrupaciones en colecciones figurales hasta las clases lógicas.

Primer estadío: Colecciones figurales (hasta los 5 años, aproximadamente) El niño realiza agrupaciones muy elementales, en las que se limita a construir elementos del entorno: casas, torres, carritos, etc. Hay una fuerte influencia de lo perceptivo.

Segundo estadío: Colecciones no figurales (5 - 7 años, aproximadamente) El niño ya puede formar pequeños conjuntos por semejanzas, siguiendo criterios básicamente perceptuales (color, forma, tamaño, etc.). En este estadío se distinguen tres momentos:

Pequeñas colecciones yuxtapuestas Son agrupaciones que no siguen un criterio único y que no consideran todos los elementos. (Hay residuo).

Colecciones a partir de un criterio único, sin residuo Son agrupaciones que siguen un criterio único y que consideran todos los elementos.

Subclases dentro de clases Son agrupaciones en las que se considera algunas subclases al interior de alguna clase.

Tercer estadío: Clases lógicas (a partir de los 7 años, aproximadamente). Son agrupaciones en las que el niño ya clasifica utilizando todos los elementos y de manera jerárquica, es decir, ya puede formar clases y subclases. En este estadío, es importante que los niños logren comprender el carácter arbitrario de toda clasificación, reconociendo que los mismos objetos pueden reagruparse según un criterio distinto.

SERIACIÓN (SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL)

Consiste en establecer relaciones entre elementos que son diferentes en algún aspecto y ordenarlos considerando algunas de esas diferencias. Está muy influenciada por la percepción del niño. La seriación requiere establecer tres propiedades:

La reciprocidad: Cada elemento de una serie tiene una relación con el elemento inmediato, de tal manera que, al cambiar el sentido de la comparación, dicha relación también cambia. Coco es más alto que Rita, entonces Rita es más baja que Coco.

La transitividad: Consiste en establecer la relación entre un elemento de una serie y el siguiente, y de este con el posterior, para poder identificar la relación existente entre el primero y el último. Rita es más baja que Luis y Luis es más bajo que Coco, entonces, Rita es más baja que Coco.

La reversibilidad: Es la posibilidad de concebir simultáneamente dos relaciones opuestas, es decir, considerar a cada elemento como menor que los siguientes y mayor que los anteriores. Rita es más alta que Tito y que Ana, pero es más baja que Luis y Coco.

SECUENCIA VERBAL (SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL)

Para lograr el dominio de la secuencia verbal el niño recorre cinco etapas:

Primera etapa Secuencia en cuerda. La sucesión empieza en uno y los términos no están diferenciados. Se trata de un conocimiento verbal más que de conteo.

Uno dos tres cuatro cinco

Segunda etapa Cadena irrompible. La sucesión comienza en uno y los términos están diferenciados. A partir de este nivel ya puede empezar a contar, pero iniciando siempre en 1.

Uno, dos, tres, cuatro, cinco

Tercera etapa Cadena rompible. La sucesión puede comenzar en un número cualquiera.

Tres, cuatro, cinco, seis, siete

Cuarta etapa Cadena numerable. Cuenta un número determinado a partir de cualquier número. Cuando se detiene, puede decir en qué número ha terminado.

Tres números después de cinco. Cinco, seis, siete, ocho. Es ocho.

Quinta etapa Cadena bidireccional. Cuenta a partir de un número y lo puede hacer hacia adelante o hacia atrás.

Seis, siete, ocho, nueve. Nueve, ocho, siete, seis.

Una vez alcanzada la quinta etapa (en un tramo de la secuencia) es posible establecer relaciones tales como: "antes de" y "después de", entre los números de esta secuencia. Según la mayoría de investigadores, los niños alcanzan este dominio alrededor de los siete u ocho años. Debemos tener en cuenta que el dominio de la secuencia verbal no garantiza la comprensión del número.

CONTEO (SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL)

Los niños a través del conteo encuentran la cantidad de elementos de un conjunto dado y pueden abordar situaciones aditivas (nos referimos a los problemas que pueden resolverse mediante adiciones o sustracciones) sin tener la necesidad de realizar operaciones. Para contar, el niño debe poner en juego los siguientes principios:

Correspondencia término a término. A cada elemento del conjunto que se va a contar se le debe asignar una palabra distinta.

Orden estable. Las palabras uno, dos, tres, ... deben recitarse siempre en el mismo orden y sin saltarse ninguna.

Ejemplo de conteo con error:

Si no se mantiene el orden de las palabras, el resultado del conteo de este niño será "cuatro".
Abstracción. Contar una colección es solo interesarse por el aspecto cuantitativo de la misma, dejando de lado las características físicas de los objetos contados.

No pertinencia de orden. El orden en que se cuentan los elementos del conjunto no es importante para obtener el cardinal del conjunto.

Cardinalidad. El número enunciado en último lugar representa el total de la colección.

No debe confundirse la palabra cinco con el número cinco. A la quinta bolita del gráfico le corresponde la "palabra cinco" pero al total de cinco bolitas le corresponde el "número cinco".
LA CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD (SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL)

Un niño logra la conservación de la cantidad cuando se da cuenta de que la cantidad de elementos de un conjunto no se altera aun cuando se modifica la disposición de estos en el espacio. El desarrollo de la conservación de la cantidad no se logra repentinamente. Más bien, es un proceso que siguen los niños con cierta regularidad, y que comprende cuatro fases. Explicaremos en qué consisten estas fases a partir de la siguiente actividad:

* Forme en presencia del niño una fila de ocho fichas grises colocándolas una a continuación de otra con cierta separación.

* Luego, pida al niño que forme delante de esta fila, otra fi la con tantas fichas blancas como grises.

* Si lo hace con éxito separe un poco la última ficha y pregunte al niño si hay más fichas grises o más fichas blancas.

A partir de las respuestas del niño se podrá identificar en cuál de las siguientes fases se encuentra.

Es importante diferenciar la conservación de la cantidad de la conservación del número contado.

LA INCLUSIÓN DE CLASES Y LA REVERSIBILIDAD DEL PENSAMIENTO

La inclusión de clases consiste en establecer la correspondencia entre una subclase y la clase que la contiene. Las habilidades relacionadas con la clasificación, vistas anteriormente, son importantes para identificar esta correspondencia.

La inclusión de clases y el pensamiento reversible son características que logra el pensamiento infantil hacia los siete u ocho años. Sin embargo, esto no significa que niños menores de ocho años no puedan abordar situaciones relacionadas al uso del todo y las partes. Por el contrario, estas situaciones relacionadas a hechos cotidianos favorecerán el progreso de la inclusión de clases en el niño. Para trabajar la inclusión de clases y la reversibilidad, se recomienda diseñar actividades que promuevan simultáneamente acciones opuestas: juntar-separar, agregar-quitar. Los conocimientos previos de los niños pueden ayudarlos a abordar satisfactoriamente estas acciones.

DEBEMOS PROMOVER EL USO DE LOS DISTINTOS SIGNIFICADOS DEL NÚMERO

Como nominal

El número es utilizado para simbolizar o denotar algo, o como etiqueta para identificar objetos. El valor numérico es irrelevante y no indica cantidad, rango o cualquier otra medida. Este uso es el primer acercamiento del niño al número.

Como cardinal

El número se usa para conocer la cantidad de objetos en un conjunto. Nos permite contestar a la pregunta "¿Cuántos hay?".

Para hallar el cardinal de un conjunto podemos proceder de cuatro formas distintas:

Se puede percibir "de una ojeada" la cantidad de objetos en un conjunto pequeño de hasta 5 o 6 elementos. Así el número aparece en nuestra mente de forma instantánea. Esta forma de obtenerlo se llama subitización (Proceso utilizado para encontrar pequeñas cantidades de objetos mediante la percepción rápida).

Cuando la distribución de los objetos no permite percibir de un vistazo la cantidad, empleamos el proceso de contar. El número con el que finalizamos este proceso nos da el cardinal del conjunto.

Hay situaciones en las que no es necesario conocer la cantidad exacta por lo cual se suelen emplear técnicas de estimación.

El cardinal de un conjunto también podría hallarse empleando las operaciones elementales y sus propiedades.

Como ordinal

El número hace referencia a un elemento dentro de una colección ordenada. Este uso del número nos permite responder a la pregunta "¿Qué posición ocupa?".

Como medida

Cuando se mide un objeto o un evento empleando una unidad de medida, se utiliza los números para expresar el resultado de la medición.
Debemos identificar qué procesos son necesarios para la construcción del Sistema de Numeración Decimal (SND) y las etapas que comprende
Los niños pueden utilizar de manera mecánica algunas reglas del SND sin comprenderlas, por ejemplo, las que se usan para reconocer el valor de posición. Esto puede ocasionar dificultades crecientes cuando requieran usar esta noción para construir significados posteriores.

La construcción de este sistema implica comprender las características que le son propias:

* Es decimal porque se construye mediante agrupaciones y reagrupaciones de 10.

* Es posicional porque las cifras asumen un valor variable dependiendo del lugar que ocupan en el número. Así, por ejemplo, en el número 23:

El 2 ocupa el lugar de las decenas y equivale a 20 unidades.

23

El 3 ocupa el lugar de las unidades.

La comprensión del SND se inicia con la comprensión del número en términos de unidades solamente lo cual implica comprenderlo en una relación de inclusión jerárquica.

Inclusión jerárquica

La inclusión jerárquica permite establecer relaciones inclusivas entre clases y subclases. En cuanto al número, la inclusión jerárquica permite el reconocimiento de que uno está contenido en dos, que dos está contenido en tres, que tres está contenido en cuatro, y así sucesivamente. Asimismo, permite reconocer que cuatro contiene a tres, que tres contiene a dos, que dos contiene a uno.

Como se ha dicho, comprender el número en una relación de inclusión jerárquica garantiza su comprensión en términos de unidades. A partir de esto el niño puede estructurar la comprensión de la decena.

La construcción de la decena

Algunas personas consideran de manera errónea que una decena es solo una colección de diez elementos. Para que diez unidades constituyan una decena es necesario que se configure en la mente de quien lo interpreta una unidad nueva y diferente a las unidades que la conforman.

Un primer acercamiento a la noción de decena es la posibilidad de componer y descomponer 10 unidades de todas las formas posibles.

Esta composición y descomposición de 10 implica cierto nivel de desarrollo de la reversibilidad. El niño puede componer y descomponer el 10 de variadas maneras y siempre entenderlo en término de unidades. Sin embargo, es necesario que dé un paso más: que comprenda este grupo de 10 como una nueva unidad denominada decena. Por otra parte, el niño debe establecer también la inclusión jerárquica entre decenas sin perder la inclusión jerárquica entre unidades.

El valor de posición

Otro desafío que el niño debe superar en el desarrollo del SND es la comprensión del valor de posición; es decir, el valor que ti ene una cifra de acuerdo a su posición en el número. Esta comprensión sigue un proceso progresivo en el que se pueden identificar las siguientes etapas:

Etapa I El niño comprende que los numerales ( Entendemos numeral como el símbolo escrito utilizado para representar un número) pueden representar cantidades de objetos. Pero, entiende los números de dos cifras como algo "indisoluble", es decir que no se puede separar en las cifras que lo conforman.

Hay 24 ruedas

(indisoluble)

El niño en esta etapa no comprende que cada cifra es parte del número

Etapa II El niño comprende que los números de dos cifras representan un total de objetos (cardinal) y que estas cifras conforman el número. Sin embargo, atribuyen a cada cifra un valor, independientemente de su posición en el número.

Hay 24 ruedas

En esta etapa, comprende que cada cifra es parte del número, aunque no distingue el valor según la posición que ti ene.

Etapa III El niño comprende que cada una de las cifras que conforman un número representa una cantidad cuyo valor depende de su posición. En esta etapa, se puede identificar, a su vez, tres fases:

Reconoce únicamente la descomposición usual de las cantidades en unidades y decenas. Por ejemplo, 24 es igual a 2 decenas y 4 unidades.

Reconoce variadas descomposiciones de las cantidades. Por ejemplo, 24 es igual a 1 decena y 14 unidades.

Usa la comprensión del SND para justificar los algoritmos de las operaciones.

Estas fases no son excluyentes; es decir, las habilidades de un niño para justificar los algoritmos de la suma o resta con canje pueden corresponder a la fase 3; mientras que sus habilidades para componer y descomponer los números de manera simbólica pueden corresponder a la fase 2.

Para afianzar la comprensión del valor de posición en la etapa III, se sugiere descomponer y componer un número en sus variadas formas. Así, por ejemplo:

Fuente: EVALUACIÓN CENSAL DE ESTUDIANTES 2011 INFORME PARA EL DOCENTE - SEGUNDO GRADO DE PRIMARIA.

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▷ LA COMPRENSIÓN DEL NÚMERO Y DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL (SND)

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Nuestros estudiantes inician la comprensión del número y del SND (Sistema de numeración decimal) a partir de las experiencias que le ofrece su entorno. Es en la institución educativa donde formaliza sus ideas intuitivas, alcanzando una comprensión reflexiva de estas nociones. Sin embargo, muchas veces esta comprensión no se logra debido a dificultades en su aprendizaje.

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¿Qué es el número e? ¿Qué valor tiene? ¿De dónde procede?

Era un adolescente cuando el número e entró en mi vida sin avisar. Nos estaban explicando los logaritmos sin mucho ritmo, nos decían que eran la función inversa de las potencias.

Y allí apareció el número e, caído del cielo de los logaritmos naturales . Entonces no pregunté de donde venía, ni tampoco me lo contaron. Sólo nos dijeron que e era la base de los logaritmos naturales o neperianos y punto.

El número e

¿Qué tienen en común una tela de araña, el tendido eléctrico, la edad de un fósil, el interés de una cuenta bancaria o el crecimiento de una población de bacterias?

No tienes que irte demasiado lejos. El número 3 te dará la respuesta.

Hay números que aparecen en los lugares más insospechados, en las situaciones más dispares. Tal vez por ello es tan popular, por su versatilidad.

Algunos números son tan famosos que tienen nombres artísticos de una sola letra. (π, Φ, i, e).

e no están famoso ni tiene tanta historia como π, pero tiene un papel estelar en el crecimiento exponencial y está muy relacionado con el cálculo (al igual que π frecuenta lugares geométricos).

No es un número perfecto, pero surge de cualquier parte. Esta constante siempre está presente cuando se trata de "crecimiento continuo". Y este tipo de crecimiento es muy frecuente en la naturaleza, porque ningún organismo vivo crece a saltos.

Aunque no lo percibas, el número e es importante en tu vida cotidiana.

Orígenes del número e

En las postrimerías del siglo XVI las dos grandes potencias marítimas, España e Inglaterra ofrecían mucho dinero a la persona que descubriese un mecanismo que facilitase los cálculos trigonométricos ligados a la navegación y a la astronomía.

Fue el escocés John Napier quien descubrió esta herramienta matemática en 1614, los logaritmos naturales. En un apéndice de su trabajo, aparece su constante base, el número e, que hoy podemos ver en todas las calculadoras.

Gracias a los logaritmos (a los que Napier llamó "números artificiales"), las multiplicaciones pueden sustituirse por sumas, las divisiones por restas y las potencias por productos, lo que simplificó mucho la realización manual de los cálculos matemáticos.

¿Cuá es el valor del número e?

Al igual que π, el número e es un número irracional del cual no podemos conocer su valor exacto porque tiene infinitas cifras decimales. Casi todo el mundo acepta que fue Euler el primero en probar que e es irracional.

Hasta 10 cifras decimales el valor de e es 2'7182818284 ...

e es un número real poco llamativo; sus cifras no se repiten de una forma periódica, es decir, no siguen ninguna pauta.

¿Por qué este número tan peculiar es más importante que, por ejemplo, otros número decimales como 2'1569 o 3'3267?

Cómo calcular el número e

Tu mismo puedes hacerlo. Sólo tienes que disfrazar los números que le preceden de la siguiente fórmula:

El antepasado más lejano de nuestro protagonista es el número 2, que se obtiene sustituyendo n por 1 en la fórmula anterior y operando:

Vamos a acercarnos un poco más. Sigue el patrón. Fíjate que el denominador de la fracción coincide con el exponente de la potencia.

Los matemáticos siempre dispuestos a llevar las cosas al límite, definen a e así:

Con la ayuda de una calculadora puedes aproximarte al número e. Para n=1.000.000 obtendrás que e=2'71828 ...

En contra de lo que podría parecer, por mucho que avances en esta sucesión, todos los números se estabilizan en torno a un número menor que 2'72

Puedes continuar indefinidamente aumentando el denominador y el exponente. El límite de la sucesión sería un número que tiene infinitas cifras, nuestro número e.

¿Por qué se llama número e?

El ilustre Leonhard Euler , el matemático más prolífico de todos los tiempos, usa en 1727 la notación e en relación con la teoría de los logaritmos. La coincidencia entre la primera letra de su apellido y el nombre de nuestro número es mera casualidad.

Es probable que e ni siquiera venga de "exponencial" sino que sea simplemente la vocal que sigue de la a, la cual ya estaba usando en su trabajo.

En 1748 Euler llegó a calcular su valor con 23 decimales utilizando series infinitas como esta:

Recuerda lo que significa el símbolo factorial (!) 4!=4·3·2·1

Como puedes ver es otra forma de obtener el número e, sumando esta seria infinita. Cuantos más términos sumes en esta serie, tanto más te acercarás al valor numérico de e.

No es extraño que se llegase a conocer a e como el número de Euler , al ser su padrino y captar su extraordinaria importancia. El genio suizo fue el primero en estudiar este número.

Algunas ecuaciones donde aparece el número e

➨ Una cuerda o un cable colgados por sus extremos, tienden a adoptar la forma de una curva muy conocida cuya expresión analítica es:

Todos los tendidos eléctricos tienen forma de catenaria. Es la misma curva que podemos observar en los segmentos de las telas de araña.

➨ Una de las numerosas aplicaciones del número e en biología es el crecimiento exponencial de poblaciones (como bacterias). Cuando no hay factores que limiten el crecimiento, se aplica esta fórmula:

Que te permite saber cuál será la población P en un tiempo t a partir de una población inicial P0.

➨ Se puede determinar de forma aproximada la antigüedad de un fósil. Cualquier ser vivo tiene una cantidad de carbono 14 constante. Al morir, esta cantidad va desapareciendo lentamente. La función que regula esta desintegración se determina mediante esta fórmula:

donde Q es la cantidad final de carbono 14, Qo es la cantidad inicial y t es el tiempo transcurrido.

➨ En estadística, en la famosa curva de la campana de (a la que siempre se ajusta el estudio de cualquier población suficientemente grande), siempre está presente el número e

➨ Da el valor del interés compuesto continuo, que se usa en préstamos e inversiones:

Curiosidades del número e

La notación e aparece por vez primera en una carta que le escribió a en 1731.

La pasión que llevó a tantos matemáticos a calcular π con más y más decimales nunca se dio para el caso de e.

Regla mnemotécnica para recordar el número e: "El trabajo y esfuerzo de recordar e revuelve mi estómago, pero podré acordarme" El número de letras de cada palabra equivale a las cifras de nuestro protagonista.

O puedes aprenderte una curiosa pauta. Observa que después del "2,7" el número "1828" aparece dos veces, y después vienen los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles que son 45°, 90°, 45° 2,7 1828 1828 45 90 45 Ehh! Parece un número bien ordenado y listo!

Usando fracciones la mejor aproximación a e es 87/32. Nada impactante. Pero usando 3 dígitos, la mejor fracción es 878/323. Sorprendente.

En 1873 Charles Hermite demostró que e es trascendente (no es solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales). π y e^π también lo son.

Ernest V. Wright escribió la novela , de unas 50 mil palabras sin la letra e.

Aparece en una identidad revolucionaria, la fórmula más extraordinaria de todas las matemáticas. La identidad de Euler incluye a los números más famosos de las matemáticas.

Espero que te haya sido útil. Me gustaría conocer tu opinión sobre la omnipresencia del número e. ¿Qué te parece?

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👉 El número e. Valor del número e, orígenes y curiosidades.

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¿Qué es el número e? ¿Qué valor tiene? ¿De dónde procede? Era un adolescente cuando el número e entró en mi vida sin avisar. Nos estaban explicando los logaritmos sin mucho ritmo, nos decían que eran la función inversa de las potencias. Y allí apareció el número e, caído del cielo de los logaritmos naturales .

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Little Angel Español - Canciones Infantiles

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12345 Vamos a Contar Pececitos | Bebé Juan en Español | Canciones Infantiles

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La comprensión del número desde la primera infancia

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La comprensión del número desde la primera infancia