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Articolo divulgativo

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Continuazione ( matematica e contesto reale)

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Continuazione ( matematica e contesto reale)

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Da stampare e leggere

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Sequenza di diapositive da leggere e dalle quali prendere appunti

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Modello di Malthus

Modello esponenziale di Malthus
In questa sezione si descriverà in dettaglio il modello proposto da Malthus nel 1798 in un famoso trattato socio-economico.
Si consideri unapopolazione omogenea, cioè tale che tutti i suoi individui si possano ritenere identici nel comportamento e che per essi siano trascurabili fattori come l'età, il sesso, il ceto sociale, etc.
L'evoluzione nel tempo di una tale popolazione può essere descritta con una funzione N(t) che ne rappresenta il numero di individui al tempo t. Si supponga, inoltre, che la popolazione possa ritenersi in un invariante, cioè che essa non sia soggetta a fenomeni di immigrazione ed emigrazione e che le condizioni di vita cui è sottoposta non siano influenzate da fattori esterni né dalla propria stessa presenza.

Nelle condizioni descritte, la variazione nel tempo del numero di individui della popolazione è legata solo al numero di nascite e morti.

Conseguentemente, poichè il tasso di crescita di una popolazione (o se si vuole la velocità di crescita) è rappresentato matematicamente dalla derivata dN/dt, il modello di Malthus o esponenziale si traduce nella seguente equazione differenziale

dove i parametri α e β sono non negativi e rappresentano, rispettivamente, il numero di nuovi nati per individuo e la frazione di individui che muore nell'unità di tempo.

Modello di Malthus (segue)

Posto γ=α-β il potenziale biologico della popolazione, l'equazione (10.1) si scrive

e, assegnando la condizione iniziale , l'evoluzione della popolazione avviene secondo la legge

In altre parole la funzione (10.3) è l'unica soluzione del problema di Cauchy

cosicché, se il numero iniziale di individui di una popolazione di potenziale biologico γ è N 0 allora, ad ogni istante t>0 il numero di individui è dato dalla (10.3).

Si osservi che, escludendo una popolazione di zero individui, ad ogni istante dev'essere N(t)>0, di conseguenza il segno della derivata dN/dt dipende esclusivamente dal potenziale biologico della specie. In particolare, se γ >0 essendo N(t)>0 ad ogni istante, risulta dN/dt>0 per ogni t, cioè non solo la popolazione risulta crescente ma al crescere di N(t) la sua velocità di crescita diventa sempre più grande.

Modello di Malthus (segue)

Allora, il modello proposto da Malthus porta alle seguenti conseguenze matematiche:

Se γ=0, allora N(t)=N0 ad ogni istante; cioè se il numero di nuovi nati nella popolazione eguaglia quello dei morti, il numero di individui resta costante nel tempo (cfr Figura 10.1).

Se γ>0, allora il numero di individui tende a crescere indefinitamente con il trascorrere del tempo; in altre parole se la fertilità di una popolazione è superiore alla sua mortalità, la popolazione tenderà a crescere indefinitamente (cfr Figura 10.2).

Modello di Malthus (segue)

Infine, se γ<0 allora la popolazione è destinata ad estinguersi, infatti questa è la naturale conseguenza che si presenta quando il numero di morti supera quello dei nati. (cfr Figura 10.3).

Per evidenziare i limiti di questa schematizzazione basta confrontare, per una certa popolazione, i dati a nostra disposizione con quelli risultanti dal modello e discuterne le previsioni future a lungo termine. Ad esempio, si consideri la popolazione umana. Come prima cosa è necessario identificare per essa il potenziale biologico; dalla (10.3) si ricava che e quindi il parametro γ, misurato in anni-1, è un dato sperimentale. Infatti, per la Tabella 6.2 ( Lezione n.6 slide 4), essendo N(1960)=3.04·10 9 e N(2000)=6.07·10 9, si ottiene(1)

(1) Si osservi che questo valore del potenziale biologico per la popolazione umana, coincide con quello che si otterrebbe esaminando i dati dal 1700.

Modello di Malthus (segue)

D'altra parte, utilizzando i metodi di linearizzazione considerati nella Lezione 7, è possibile pervenire al medesimo valore per il dato sperimentale γ calcolando la curva esponenziale dei minimi quadrati per i dati sulla popolazione mondiale fino al 2000.
Conseguentemente, una previsione per il 2500 condurrebbe alla seguente proiezione catastrofica

Pertanto, appare evidente che il modello proposto da Malthus è basato su ipotesi fenomenologiche che, in un intervallo di tempo esteso, non sono realistiche per una popolazione complessa come quella umana.
Più in generale, questo limite di validità del modello nel tempo è caratteristico per molte altre popolazioni biologiche. Tuttavia, il modello di Malthus fornisce risultati accettabili, per esempio, nella modellizzazione del decadimento di un nucleo radioattivo per la datazione di reperti archeologici, nel calcolo degli interessi composti di un capitale, in quello della velocità di alcune reazioni chimiche, etc.

Si osservi che la (10.2) ammette come unica soluzione di equilibrio N=0, che risulta instabile se γ >0 ed asintoticamente stabile quando γ <0.

Applicazioni del modello di Malthus

Decadimento radioattivo
Come si è visto nella Lezione 2, le sostanze radioattive decadono emettendo spontaneamente radiazioni (particelle alfa, beta (elettroni) o fotoni). Se m 0 è la massa iniziale di una sostanza radioattiva ed m(t) è quella residua dopo il tempo t si trova che

dove il parametro positivo K è la costante di decadimento.

Esempio 10.1: Sapendo che il radio 226 ha un tempo di dimezzamento pari a 1590 anni, calcolare la costante K e disegnare il grafico di m(t) in funzione del tempo per un campione di massa iniziale m 0=100g.

Si è visto che il problema di Cauchy

ammette la soluzione

Nel nostro caso, è noto che m(1590)=(1/2)m 0, conseguentemente si ottiene

Applicazioni del modello di Malthus (segue)

Allora, il modello del decadimento radioattivo del radio 226 è rappresentato dalla funzione

e il grafico corrispondente al dato iniziale m(0)=100 ha l'andamento mostrato in Figura 10.4

Applicazioni del modello di Malthus (segue)

Crescita di una popolazione biologica
In riferimento alla crescita di una popolazione biologica (cfr Lezione 2), si osservi che l'equazione (10.2) può scriversi nella forma

dove la quantità a primo membro è il tasso di crescita relativo, che in questo modello risulta costante.
Allora, il modello di Malthus evidenzia una crescita esponenziale per tutte le popolazioni che presentino un tasso di crescita relativo costante. Ad esempio, se il tempo è misurato in anni e γ=0.03, ciò significa che la popolazione cresce del 3% all'anno.

Esempio 10.2: Una popolazione di protozoi si sviluppa con un tasso di crescita costante giornaliera pari a 0.7944. Se all'istante iniziale la popolazione è formata da due membri, trovare il numero di individui dopo 6 giorni e disegnarne un grafico per la prima settimana.
Il modello che regola la crescita della popolazione è di tipo malthusiano, conseguentemente il numero di individui al tempo t è rappresentato dalla seguente funzione

Allora, se N(0)=2 per t=6 si avrà

Applicazioni del modello di Malthus (segue)

Reazioni chimiche del primo ordine
In alcune reazioni chimiche si evidenzia che la velocità di reazione di un composto risulta proporzionale alla sua concentrazione

Esempio 10.3: La seguente reazione chimica

avviene a 45°C e alcuni esperimenti mostrano che la velocità di reazione dell'N 2O 5 è proporzionale alla sua concentrazione secondo la legge

Allora, l'espressione per la concentrazione di N 2O 5 dopo t secondi a partire da una concentrazione iniziale C risulta

Modello logistico

Modello logistico di Verhulst
In precedenza si è osservato che le ipotesi fenomenologiche, poste a base del modello di Malthus, sono spesso non realistiche per una popolazione biologica. Infatti, l'ipotesi di habitat invariante poco si accorda, per esempio, con la limitatezza delle risorse, con l'inquinamento che una popolazione produce e soprattutto con la complessa fenomenologia che va sotto il nome di effetto logistico:

ad alte densità, un aumento della popolazione produce un incremento della mortalità e una diminuzione della fertilità.

Il matematico belga Verhulst propose, nel 1846, un modello che tiene in conto l'effetto logistico. In dettaglio, egli suppose che il potenziale biologico non è costante ma è funzione del numero di individui secondo la relazione

dove α,β,α,β,γ e k sono parametri positivi, in particolare k=(α-β)/(α+β) è detta capacità portante dell'ambiente e la differenza γ=α-β si definisce potenziale biologico intrinseco della specie.

Modello logistico (segue)

Il modello è quindi descritto dal seguente problema di Cauchy

che ammette la soluzione

Nell'ipotesi in cui γ è non negativo, si ha che

cioè l'evoluzione del sistema descritto dalla (10.6) tende asintoticamente alla capacità portante k qualunque sia il suo stato iniziale N 0. In Figura 10.5 sono riportati i grafici delle soluzioni N(t) per diversi valori del dato iniziale N 0.

Modello logistico (segue)

Nel caso in cui γ>0 ed si ha la cosiddetta sigmoide logistica che si osserva per alcune culture di batteri ed altri organismi. Alcuni esempi di misure sperimentali, a conferma della validità del modello logistico, sono state condotte dal microbiologo Gause e si riferiscono ad alcune specie di protozoi: il Paramecium aurelia, caudatum e il Glaucoma scintillans.

In Figura 10.6 è riportata la crescita (in giorni) osservata da Gause, in una settimana, di una popolazione di Paramecium caudatum, la linea continua si riferisce alla soluzione analitica del modello di Verhulst mentre i dati sperimentali sono rappresentati da cerchietti.

Modello logistico (segue)

Ancora una volta, a dispetto dei risultati visibili nella precedente figura, esistono casi in cui il modello di Verhulst non può ritenersi soddisfacente.

Lo stesso Gause provò che i dati sperimentali raccolti nel caso di Drosophila melanogaster (moscerino della frutta) si accordano con il modello logistico, con capacità k=700 (individui per 0.5cc) solo nei primi giorni di osservazioni. Infatti, le mutazioni genetiche che si verificano durante la crescita non rientrano nelle ipotesi fenomenologiche poste a base del modello di Verhulst.

Applicazioni del modello logistico
Crescita di una popolazione animale
Esempio 10.4: La biomassa di una popolazione di ippoglossi del Pacifico può modellarsi utilizzando l'equazione logistica

dove m(t) rappresenta la biomassa, cioè la massa totale di individui della popolazione (in kg) al tempo t (in anni). Supposto che la capacità portante dell'ambiente sia k=8 x 10 7 kg, che il potenziale biologico intrinseco della popolazione sia γ=0.71 per anno e che la biomassa iniziale sia m(0)=2 x 10 7 kg, allora la funzione biomassa si scrive

e ammette il grafico in Figura 10.7

Applicazioni del modello logistico (segue)
Crescita di una popolazione vegetale
Esempio 10.5: Nella Tabella 10.1 sono riportati i dati sperimentali rilevati ogni 3 giorni della crescita di biomassa (in mm 2) per le foglie di Castanea sativa

La fisiologia vegetale insegna che la crescita e' all'inizio su base di riproduzione cellulare, per cui vi e' una prima fase di crescita convessa di tipo esponenziale. Segue poi una fase di distensione, dove le cellule crescono perché distendono le pareti.

La limitata elasticità delle pareti limita la crescita e quindi si giunge ad una fase di crescita concava "senescente".

Le curve di crescita hanno quindi in genere un aspetto sigmoide.

Utilizzando i metodi di regressione per i dati sperimentali in Tabella 10.1 si stimano i seguenti valori per il potenziale biologico γ e la capacità portante k

Applicazioni del modello logistico (segue)

Per i dati forniti, la funzione biomassa si scrive

ed ammette il grafico in Figura 10.8.

Modello esponenziale e logistico a confronto

Esempio 10.6: Rappresentare graficamente i dati sperimentali in Tabella 10.2 raccolti da Gause per una popolazione di protozoi osservati quotidianamente

Inoltre, sapendo che il potenziale biologico intrinseco della popolazione è γ=0.7944, che la popolazione iniziale è formata da due elementi (N 0=2) e che la capacità dell'ambiente è k=64 confrontare il diagramma di dispersione con quelli che si ottengono quando si utilizzino i modelli esponenziale e logistico.
I dati sperimentali sono rappresentati nella Figura 10.9.

Modello esponenziale e logistico a confronto (segue)

Il modello malthusiano fornisce la seguente soluzione

mentre per quello logistico la crescita della popolazione è regolata dalla seguente legge

Il confronto tra le due leggi di crescita e i dati sperimentali è riportato nella Figura 10.10 e mostra che il modello esponenziale ben si accorda con i dati sperimentali solo nei primi giorni di osservazione.
Al contrario, quello logistico fornisce una stima accurata per l'intero periodo di osservazione.

Esercizi di Verifica

Esercizio 10. 1 : Utilizzando il metodo della separazione delle variabili, provare che la funzione (10.3) è soluzione del problema di Cauchy (10.4).

Esercizio 10. 2 : Sia C(t) la concentrazione di un farmaco nel sangue. Man mano che il corpo elimina il farmaco, la concentrazione C(t) decresce a una velocità proporzionale alla quantità di farmaco presente in quel momento nell'organismo. Allora, il modello che descrive la variazione nel tempo della concentrazione di farmaco nel sangue è il seguente

dove k è una costante positiva chiamate costante di eliminazione del farmaco.
(a)Se C 0 è la concentrazione del farmaco all'istante iniziale, cioè per t=0, trovare la concentrazione al generico istante t.

(b)Se il corpo elimina metà del farmaco in 3 ore, quanto tempo è necessario per eliminare il 90% del farmaco?

[Soluzione: (a) C(t)=C 0e-kt, (b) t≈10 ore]

Esercizio 10. 3 : Si consideri un paziente a cui viene somministrato glucosio attraverso una fleboclisi, e sia C(t) la concentrazione di glucosio nel sangue del paziente al tempo t. Attraverso la fleboclisi, nel sangue del paziente arriva ad ogni istante un quantitativo R di glucosio misurato in milligrammi per secondo per litro di sangue (mg·s·l).
Il glucosio, viene metabolizzato o comunque eliminato dal sangue, con una velocità proporzionale alla sua concentrazione C(t) attraverso una costante k.

Esercizi di Verifica

Il modello che descrive la variazione nel tempo della concentrazione di glucosio nel sangue è il seguente

dove C 0 rappresenta la concentrazione di glucosio nel sangue del paziente nel momento in cui inizia la fleboclisi.

Si dimostra che la soluzione del problema di Cauchy è data dalla seguente funzione

Per un determinato paziente siano noti i parametri sperimentali R e k.
Se il paziente ha un livello di glucosio C 0 ed il medico vuole portarlo ad un livello C m>C 0, per quanto tempo è necessario tenere il paziente sotto fleboclisi?

Esercizio 10. 4 : Utilizzando il metodo della separazione delle variabili, determinare l'integrale generale del modello logistico.

Materiali di studio

Una introduzione ai modelli matematici può trovarsi nel volume di J. Stewart: Calcolo. Funzioni di più variabili, Apogeo. Qui di seguito sono riportati i link per scaricare gratuitamente il primo capitolo di questo volume:
Apogeo on line 2
Alcuni esercizi di questa lezione sono tratti liberamente dal volume di Stewart.

In questo sito è possibile studiare e rappresentare graficamente le funzioni numeriche elementari.

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Modello di Malthus e modello logistico, Addolorata Marasco " Metodi e Modelli Matematici " Scienze Matematiche Fisiche e Naturali " Federica e-Learning

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Modello esponenziale di Malthus In questa sezione si descriverà in dettaglio il modello proposto da Malthus nel 1798 in un famoso trattato socio-economico. Si consideri unapopolazione omogenea , cioè tale che tutti i suoi individui si possano ritenere identici nel comportamento e che per essi siano trascurabili fattori come l'età, il sesso, il ceto sociale, etc.

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Sono talvolta chiamati "numeri pitagorici" i numeri naturali x, y e z che formano terne pitagoriche, cioè che possono costituire cateti e ipotenusa di un triangolo rettangolo con lati interi, quindi tali che x 2 + y 2 = z 2.

Queste terne sono state studiate sin dall'antichità da matematici Egizi, Babilonesi, Sumeri, Greci, Cinesi e Indiani.

Le più antiche note sono state rinvenute su una tavoletta di argilla proveniente dall'antica città di Larsa, nell'odierno Iraq, denominata Plimpton 322, dal nome dell'editore americano Gorge Arthur Plimpton (13/7/1855 - 1/7/1936), che la acquistò nel 1922 dal cercatore di antichità Edgar James Banks (32/5/1866 - 5/5/1945) e conservata alla Columbia University. La tavoletta è il più antico manufatto collegato alla matematica; datata intorno al 1800 a.C. (all'incirca nel periodo in cui regnò Hammurabi), contiene una lista di terne pitagoriche, disposte in modo tale che la differenza dell'angolo minore del triangolo di terne successive sia di circa 1° (l'interpretazione è però controversa). E' possibile che fosse una sorta di tabella di funzioni trigonometriche, da usarsi per i rilievi sul campo, costruendo i triangoli con corde di lunghezza intera (rispetto a un'unità di misura prefissata): un teodolite fatto di spago e creta!

Le terne pitagoriche con tutti i tre numeri fino a 100 sono (in ordine di ipotenusa crescente):

Qui trovate tutte le terne pitagoriche con tutti i tre numeri fino a 10 5 (3 MByte).

Se i tre numeri non hanno divisori comuni, la terna si dice "primitiva".

Una terna è primitiva se e solo se e sono interi primi tra loro.

Le terne pitagoriche primitive con tutti i tre numeri fino a 100 sono (in ordine di ipotenusa crescente):

Qui trovate tutte le terne pitagoriche primitive con tutti i tre numeri fino a 10 6 (3.5 MByte).

Bibliografia

De Koninck, Jean-Marie; &nbspThose Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -
Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

Dudeney, Henry Ernest; &nbspThe Canterbury Puzzles, Londra, Thomas Nelson, 1907.

Hardy, Godfrey Harold; &nbspWright, E.M.; &nbspAn Introduction to the Theory of Numbers, New York, Oxford University Press, V ediz., 1979.

Honsberger, Ross; &nbspMathematical Gems III, The Mathematical Association of America,, 1985.

Neville, Robbins; &nbsp"On the Number of Primitive Pythagorean Triangles with a Given Inradius" in Fibonacci Quarterly, n. 44, 2006, pag. 368 - 369.

Pickover, Clifford A.; &nbspIl liβro della mαtematica, Modena, Logos, 2012 -
Trad. di The Math Book, Sterling Publishing Co., Inc., 2009

Ribenboim, Paulo; &nbspCatalan's Conjecture, Academic Press, 1994.

Yaglom, A.M.; &nbspYaglom, I.M.; &nbspChallenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -
Traduzione dal russo di (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964). Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii

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Sono talvolta chiamati "numeri pitagorici" i numeri naturali x, y e z che formano terne pitagoriche, cioè che possono costituire cateti e ipotenusa di un triangolo rettangolo con lati interi, quindi tali che x 2 + y 2 = z 2. Queste terne sono state studiate sin dall'antichità da matematici Egizi, Babilonesi, Sumeri, Greci, Cinesi e Indiani.

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Materiale di lettura per una introduzione alla conferenza di lunedì 3 del prof.G.Panti

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Le parole hanno un significato e il metodo di ragionamento fa la differenza!

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parte seconda

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Introduzione al concetto di potenza, nell\'am

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parte prima

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Introduzione al concetto di potenza, nell\'am

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Considerazioni sul periodo di una funzione

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Considerazioni sul periodo di una funzione

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Interessante lettura.

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Sul periodo delle funzioni goniometriche

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Presentazione

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Per saperne di più...

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Correzione esercizio fatto in classe con grafico

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Correzione esercizio fatto in classe con grafico

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Non conviene stampare in quanto la risoluzione non credo sia molto buona

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un breve cenno

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la lunga storia dei numeri primi

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cap.3 del libro "L' altrui mestiere"

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In alternativa è possibile acquistare il testo :
"Matematica in 3 passi"vol 2-
Bergamini-Barozzi-Zanichelli (10€)

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compiti per le vacanze estive _cl.II.docx

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Leggi attentamente il documento.In esso è presente anche un link nel quale viene illustratata la costruzione dello strumento. Cerca di essere preciso  nella raccolta e nella regitrazione.Puoi consultare se ritieni anche il sito dell' ARPA http://www.osmer.fvg.it/home.php

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su richiesta di un alunno

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Archimede e il cerchio

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utile ripasso

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Radicali

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i compiti

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curiosità.

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da fare per casa

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Mi scuso dell' ora tarda ma sono stata impegnata a scuola fino alle 19.Spero sia tutto chiaro.Buona lettura.

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Il Timeo

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Indicazioni per rivedere le conoscenze acquisite lo scorso anno

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esercizi in preparazione alla verifica tratti dalle prove INVALSI 

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esercizi in preparazione alla verifica tratti dalle prove INVALSI 

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esercitazione guidata

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espressioni con polinomi più articolate 

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da leggere durante le vacanze di Pasqua in particolare la "settima notte"

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Hans Magnus Enzensberger - Il Mago Dei Numeri

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Il mago dei numeri è un libro per bambini ed adolescenti di Hans Magnus Enzensberger che esplora la matematica. Questo libro è stato un best seller in molti paesi. by ccostantino_3 in Types > Books - Non-fiction and hans magnus enzensberger il mago dei numeri insegnante matem

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Un testo su cui studiare la teoria

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percorso matematico propedeutico per la fisica

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da svolgere per casa ; stampa il grafico e le due colonne e incolla  sul tuo quaderno

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Niente di così difficile...

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che cos'è una funzione

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Functions assign a single output for each of their inputs. In this video, we see examples of various kinds of functions.

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Furfanti vs cavalieri

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Attenzione a non sbagliare quando si parla!

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Attenzione a non sbagliare quando si parla!

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Esempi di modus ponens e e modus tollens

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utile esercizio

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esercizi per casa in vista della verifica

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esercizi per casa in vista della verifica

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se trovi difficoltà o dubbi rivolgersi alla docente

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qualcosa su cui esercitarsi

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risoluzione di uno dei problemi presenti nella verifica

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Ragioniamo insieme

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alcuni chiarimenti alle domande poste in classe

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lezione 3.

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Esercizio svolto per ciascuna tipologia di numero e trasformazione

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lezione 2.

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Notazione esponenziale e notazione scientifica  

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Notazione esponenziale e notazione scientifica  

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parole chiave e qualche piccolo esercizio

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