# data[].attributes.body
1. Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que aparece una incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones aritméticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la incógnita es uno.

Para resolver una ecuación de primer grado se deben traspasar los términos de un lado a otro de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la incógnita queden a un lado y los demás al otro, teniendo la precaución de mantener la igualdad de la expresión.

Por eso, cada vez que trasponemos un término se aplica el opuesto (inverso aditivo), tal como se ilustra en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación:

(x + 3)² – (x - 1)² = 3x – (x – 4)

a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresión

x² + 6x + 9 – (x² – 2x + 1) = 3x – x + 4

x² + 6x + 9 – x² + 2x – 1 = 3x – x + 4

b) Trasponemos los términos:

x² + 6x – x² + 2x –3x + x = 4 – 9 + 1;

c) Reducimos términos semejantes:

6x = -4 ;

d) Dividimos por 6:

x = -4/6

e) Simplificamos por 2:

x = -2/3

1.1. Ecuaciones literales de primer grado

Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales además de la incógnita. Por convención, se identifica como incógnitas a las últimas letras del alfabeto y como literales a las primeras letras del alfabeto (estos literales se suponen valores constantes). Para resolver ecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en la ecuación del ejemplo anterior. La variante es que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la ecuación, factorizaremos por ella para poder despejarla.

Desarrollemos un ejemplo: ax – b(x – 1) = 3(x + a)

Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos términos semejantes y trasponemos términos:

a) Resolvemos las operaciones ax – bx + b = 3x + 3a

b) Reducimos términos semejantes y trasponemos términos: ax – bx – 3x = 3a – b

c) Factorizamos al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b

d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a – b – 3):

(¿Por qué se divide? Porque el factor de la incógnita es diferente de 1)

Por lo tanto:

1.2. Planteo de ecuaciones de primer grado

Le pregunté a José su edad y me contestó que tiene el sucesor del doble de la edad de Andrés. Si Andrés tenía 34 años cuando se casó y esto fue hace 5 años, ¿Qué edad tenía José entonces?

¿Cómo resolvemos este y otros problemas?

Para plantear ecuaciones es conveniente que sepas transformar un enunciado en una expresión algebraica. Para ello a continuación te entregamos una lista de transformaciones:

El doble de a.........................................................2a
El triple de b..........................................................3b
El cuádruplo de c..................................................4c
El cuadrado de d...................................................d²
El cubo de e..........................................................e³
El antecesor del N° entero f..................................f – 1
El sucesor del N° entero g ...................................g + 1
El cuadrado del doble de h...................................(2h)²
El doble del cuadrado de m.....................................2• m²

Si n es un número natural:

Un número par......................................................2n
Un número impar .................................................2n – 1 o 2n + 1
Dos números consecutivos....................................n y n +1
Dos números pares consecutivos..........................2n y 2n + 2
Dos números impares consecutivos......................2n – 1 y 2n + 1

Para mayor ejercitación acerca de interpretaciones de enunciados, te sugerimos visitar la página. Guía de ecuaciones

Ejemplos de planteo de ecuaciones:

Ejemplo 1:

Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9.

Sean x y x + 1 los números. Entonces, según el enunciado dado:

(x + 1)² – x² = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos:

x² + 2x + 1 – x² = 9

2x + 1 = 9

x = 4;

Por lo tanto los números son 4 y 5.

# data[].attributes.body
Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

¿Para qué sirven las expresiones algebraicas?

Las expresiones algebraicas sirven para indicar pasos a seguir, te dicen que hacer (multiplicar, sumar, restar, dividir, etc.), puedes interpretarlas utilizando variables como pueden ser literales (x, y, z, etc.).

Ejemplos

Ejemplos

Expresiones

Término Algebraico

Es una expresión algebraica que consta de uno o varios símbolos, no separados.

En las expresiones algebraicas, las partes que aparecen separadas por el signo +, − u otros signos (=), reciben el nombre de términos algebraicos.

En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

# data[].attributes.body
Ecuaciones de primer grado

1. Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que aparece una incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones aritméticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la incógnita es uno.

Para resolver una ecuación de primer grado se deben traspasar los términos de un lado a otro de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la incógnita queden a un lado y los demás al otro, teniendo la precaución de mantener la igualdad de la expresión.

Por eso, cada vez que trasponemos un término se aplica el opuesto (inverso aditivo), tal como se ilustra en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación:

(x + 3)² – (x - 1)² = 3x – (x – 4)

a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresión

x² + 6x + 9 – (x² – 2x + 1) = 3x – x + 4

x² + 6x + 9 – x² + 2x – 1 = 3x – x + 4

b) Trasponemos los términos:

x² + 6x – x² + 2x –3x + x = 4 – 9 + 1;

c) Reducimos términos semejantes:

6x = -4 ;

d) Dividimos por 6:

x = -4/6

e) Simplificamos por 2:

x = -2/3

1.1. Ecuaciones literales de primer grado

Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales además de la incógnita. Por convención, se identifica como incógnitas a las últimas letras del alfabeto y como literales a las primeras letras del alfabeto (estos literales se suponen valores constantes). Para resolver ecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en la ecuación del ejemplo anterior. La variante es que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la ecuación, factorizaremos por ella para poder despejarla.

Desarrollemos un ejemplo: ax – b(x – 1) = 3(x + a)

Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos términos semejantes y trasponemos términos:

a) Resolvemos las operaciones ax – bx + b = 3x + 3a

b) Reducimos términos semejantes y trasponemos términos: ax – bx – 3x = 3a – b

c) Factorizamos al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b

d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a – b – 3):

(¿Por qué se divide? Porque el factor de la incógnita es diferente de 1)

Por lo tanto:

1.2. Planteo de ecuaciones de primer grado

Le pregunté a José su edad y me contestó que tiene el sucesor del doble de la edad de Andrés. Si Andrés tenía 34 años cuando se casó y esto fue hace 5 años, ¿Qué edad tenía José entonces?

¿Cómo resolvemos este y otros problemas?

Para plantear ecuaciones es conveniente que sepas transformar un enunciado en una expresión algebraica. Para ello a continuación te entregamos una lista de transformaciones:

El doble de a.........................................................2a
El triple de b..........................................................3b
El cuádruplo de c..................................................4c
El cuadrado de d...................................................d²
El cubo de e..........................................................e³
El antecesor del N° entero f..................................f – 1
El sucesor del N° entero g ...................................g + 1
El cuadrado del doble de h...................................(2h)²
El doble del cuadrado de m.....................................2• m²

Si n es un número natural:

Un número par......................................................2n
Un número impar .................................................2n – 1 o 2n + 1
Dos números consecutivos....................................n y n +1
Dos números pares consecutivos..........................2n y 2n + 2
Dos números impares consecutivos......................2n – 1 y 2n + 1

Para mayor ejercitación acerca de interpretaciones de enunciados, te sugerimos visitar la página. Guía de ecuaciones

Ejemplos de planteo de ecuaciones:

Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9.

Sean x y x + 1 los números. Entonces, según el enunciado dado:

(x + 1)² – x² = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos:

x² + 2x + 1 – x² = 9

2x + 1 = 9

x = 4;

Por lo tanto los números son 4 y 5.

# data[].attributes.body
Básicamente, el método de igualación consiste en:

1. Despejar una incógnita en una de las ecuaciones, que quedará en función de la otra incógnita (seguiremos teniendo una ecuación).

2. Despejar la misma incógnita en la otra ecuación

3. Igualar los segundos miembros de las dos incógnitas despejadas, formando una nueva ecuación con una incógnita.

4. Despejar la única incógnita que nos quede. Obtenemos el valor numérico de una incógnita.

5. Sustituir la incógnita despejada en el paso 4 por su valor numérico en cualquiera de las dos ecuaciones originales

6. Operar para obtener el valor numérico de la otra incógnita.

Vamos a verlo más despacio el método de igualación con un ejercicio resuelto paso a paso.
Vamos a resolver por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones:

Para saber en todo momento a qué ecuación del sistema nos referimos, a la ecuación de arriba le llamaremos primera ecuación y a la de abajo segunda ecuación:

1- Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones, teniendo en cuenta las reglas de la transposición de términos.

La más fácil para despejar es la “y” en la primera ecuación, ya que no tiene ningún número delante y además tiene un signo más delante, por lo que tan sólo pasando el 5x al otro lado ya tenemos la y despejada:

2- Despejamos la misma incógnita en la segunda ecuación:

3- Igualamos los segundos miembros de las incógnitas despejadas en los pasos 1 y 2:

4- Ahora tenemos una ecuación que depende sólo de x. Si necesitas ayuda con las ecuaciones de primer grado, dentro de mis cursos, puedes encontrar el Curso de Ecuaciones de Primer Grado, donde explico muy detalladamente cómo resolver ecuaciones de primer grado, con ejercicios resueltos paso a paso y propuestos para practicar con la solución.

La despejamos:

5- Este valor lo sustituimos por ejemplo en la primera ecuación:

6- Y operamos para obtener el valor de y:

Por tanto, la solución de este sistema es x=2, y=-2.

# data[].attributes.body
El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen ángulos congruentes, esto deriva en que sus lados homólogos sean proporcionales y viceversa").

Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose estos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos.

Si diversas rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas y correspondientes entre transversales, son proporcionales.

r]

Una aplicación del teorema de Tales.

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales o si sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:

el establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:

{\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {D}{C}}\,}

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente.

Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si las rectas A, B, C son paralelas y cortan a otras dos rectas R y S, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

Segundo teorema[editar]

fig 2.1 Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto.

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

Teorema segundoSea B un punto de la circunferencia de diámetro AC y centro "O", distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo donde <ABC = 90º.
Tales de Mileto

Este teorema (véase fig 2.1 y 2.2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritosdentro de una circunferencia.

Demostración[editar]

fig 2.2 Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.

fig 2.3 Los triángulos AOB y BOC son isósceles.

En la circunferencia de centro O y radio r (véase fig 2.3), los segmentos

OA , OB y OC

son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.

Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles.

La suma de los ángulos del triángulo ABC es:

{\displaystyle 2\alpha +2\beta =\pi =180^{\circ }}

Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior entre dos, se obtiene:

{\displaystyle A{\widehat {B}}C=\alpha +\beta ={\frac {\pi }{2}}\;=90^{\circ }}

Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.

Corolarios[editar]

(Corolario 1) “En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre la mitad de la misma.”

Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa, (véase fig 2.3).

(Corolario 2) “La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a la mitad de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.”

El corolario 2 también surge de aplicar el teorema anterior, para una comprensión intuitiva basta observar la fig 2.2.

Aplicación del segundo teorema[editar]

Construcción de tangentes (líneas rojas) a una circunferencia k desde un punto P, utilizando el «segundo teorema de Tales».

El “segundo teorema” (de Tales de Mileto) puede ser aplicado para trazar las tangentes a una circunferencia k dada, que además pasen por un punto P conocido y externo a la misma (véase figura).

Se supondrá que una tangente cualquiera t (por ahora desconocida) toca a la circunferencia k en un punto T (también desconocido por ahora). Se sabe por simetría que cualquier radio r de la circunferencia k es perpendicular a la tangente del punto T que dicho radio define en la misma, por lo que concluimos que ángulo OTP es necesariamente recto.

Lo anterior implica que el triángulo OTP es rectángulo. Recordando el «corolario 2 del teorema segundo de Tales» podemos deducir que entonces el triángulo OTP es inscribible en una circunferencia de radio ½ de la hipotenusa OP del mismo.

Entonces marcando el punto H como punto medio de la hipotenusa OP y haciendo centro en el mismo, podemos dibujar una segunda circunferencia auxiliar (gris en la figura) que será la que circunscribe al triángulo OTP.

Esta última circunferencia trazada se intersecará con la circunferencia k en dos puntos T y T', estos son justamente los puntos de tangencia de las dos rectas que son simultáneamente tangentes a k y además pasan por el punto P, ahora ya conocidos los puntos T y T' solo basta trazar las rectas TP y T'P (rojas en la figura) para tener resuelto el problema.

Leyenda relatada por Plutarco[editar]

Según la leyenda relatada por Plutarco,¹​ Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (las de Keops, Kefrén y Micerino), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.

Como en triángulos semejantes, se cumple que {\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {D}{C}}} , por lo tanto la altura de la pirámide es {\displaystyle D={\frac {AC}{B}}} , con lo cual resolvió el problema

# data[].attributes.body
Modificación de componentes originales de compuestos

Cuando la propiedad Historial está establecida como Registro (activado), pulse la tecla Ctrl para visualizar las formas originales que se hayan eliminado durante las operaciones de unión, sustracción o intersección. Si la forma original eliminada es una primitiva de sólido, puede arrastrar los pinzamientos que se muestran para cambiar la forma y el tamaño. Como resultado de ello se modificará el objeto compuesto.

Si la forma individual designada no contiene su historial, puede desplazar, girar, aplicar una escala o suprimir la forma.

Modificación de compuestos complejos

Un objeto compuesto puede estar formado por otros objetos compuestos. Las imágenes del historial de objetos compuestos se pueden seleccionar manteniendo pulsada la tecla Ctrl mientras se hace clic en las formas. (Para obtener el mejor resultado posible, establezca el filtro de selección de subobjetos en Historial de sólido.)

También es posible cambiar el tamaño y la forma de los objetos compuestos haciendo clic y arrastrando los pinzamientos de las caras, las aristas y los vértices individuales.

Separación de objetos discretos combinados con una unión

Si se han combinado sólidos 3D o superficies discretas mediante una operación de unión, es posible separar sus componentes originales. (Utilice la opción Separar del comando EDITSOLIDO). Los objetos compuestos no pueden solaparse ni compartir un área o un volumen común para separarse.

Tras la separación, los sólidos individuales conservan sus capas y colores originales. Todos los sólidos 3D anidados recuperan sus formas más simples.

Conceptos relacionados

Acerca de la creación de objetos compuestos

Acerca de la visualización de los componentes de los sólidos compuestos

Tareas relacionadas

Para trabajar con la creación de objetos compuestos

Para trabajar con la visualización del historial de objetos compuestos

Para trabajar con la selección de un componente de un sólido compuesto

Para separar los volúmenes que no se intersecan en un sólido 3D compuesto

Referencia relacionada

Comandos de modelado de objetos compuestos

# data[].attributes.body
Semejanza de polígonos

Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos homólogos iguales y los lados homólogos proporcionales.

# data[].attributes.headline
que solon los poliedros              Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego clásico πολύεδρον (polyedron), de la raíz πολύς (polys), «muchas» y de έδρα (edra), «base», «asiento», «cara».Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que podemos definir un poliedro como un polítopo tridimensional.

# data[].attributes.subject
que solon los poliedros              Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego clásico πολύεδρον (polyedron), de la raíz πολύς (polys), «muchas» y de έδρα (edra), «base», «asiento», «cara».Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que podemos definir un poliedro como un polítopo tridimensional.

# data[].attributes.body
Las aplicaciones del teorema de Tales son muchas y muy importantes: la división de un segmento en partes proporcionales, la división de un segmento en partes iguales, la cuarta y tercera proporcional de dos segmentos dados, la media proporcional, la segmentación áurea, la cuarta proporcional de tres segmentos dados, el cálculo gráfico de productos y razones de segmentos dados, el cálculo de razones simples, razones dobles y cuaternas armónicas, la semejanza y el estudio de las escalas. Todas estas construcciones son de gran interés para la resolución de problemas y para el estudio de las transformaciones.

Tabla de contenidos [ocultar]1 División de un segmento en partes proporcionales 2 División de un segmento en partes iguales. 3 Demostración del teorema de la bisectriz 4 Cuarta proporcional de tres segmentos 5 Tercera proporcional de dos segmentos 6 La proporción áurea 6.1 Cuando el dato es a 6.2 Cuando el dato es a+b 6.3 Los rectángulos de oro 7 Enlaces externos

División de un segmento en partes proporcionales

Para dividir un segmento AD en partes proporcionales a las partes A’B’, B’C’ y C’D’ dadas, trazamos una recta que pase por A definiendo así un haz de dos rectas. Sobre ella llevamos las magnitudes dadas. Por el extremo D’ trazamos la recta DD’ . Trazamos paralelas a DD’ por los puntos B’ y C’ .

Estas paralelas cortan al segmento dado en los puntos B y C.

Por el teorema de Tales, se cumplirá que .

División de un segmento en partes iguales.

Para dividir un segmento AB dado en n partes iguales, trazamos una recta que pase por A. Situamos sobre ella con el compas, n partes iguales, numeramos. En este caso n=9. Dibujamos la recta 9B y trazamos paralelas a ella por los puntos restantes, ordenadamente.

Por ser equidistantes las paralelas los segmentos definidos sobre AB son igual

Demostración del teorema de la bisectriz

La bisectriz del ángulo BAC de un triángulo ABC divide a su lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados del triángulo.

Consideramos el triángulo ABC y su bisectriz AD.

Según el teorema:

Vamos a comprobarlo:

Trazamos por C una paralela a AD, que corta a la prolongación de AB en E.

Por el teorema de Tales, se cumple que:

Los ángulos BAD=AEC por tener un lado común y los otros paralelos entre sí y DAC=ACE por ser alternos internos.

Como BAD = DAC tenemos que AEC = ACE, lo que indica que el triángulo ACE es isósceles con base EC, luego AC = AE.

Lo aplicamos a la igualdad anterior y resulta que

El mismo razonamiento vale si consideramos la bisectriz del ángulo exterior MAC.

Cuarta proporcional de tres segmentos

Dados tres segmentos a, b y c, se llama magnitud cuarta proporcional de ellos a un segmento d que verifica: a/b=c/d.

Para hallarlo aplicamos el teorema de Tales: dibujamos un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas situamos los segmentos a y c y sobre la otra el segmento b, como se ve en la figura.

Trazamos la recta que une los extremos de a y b y trazamos una paralela por el extremo de c. Esta paralela define el segmento d solución del problema, pues: a/b=c/d

Tercera proporcional de dos segmentos

Dados dos segmentos a y b, se llama magnitud tercera proporcional de ellos a un segmento c que verifica: a/b=b/c.

Vemos que es un caso particular de cuarta proporcional, con los términos intermedios iguales.

Para hallarlo aplicamos el teorema de Tales: dibujamos un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas situamos los segmentos a y b y sobre la otra el segmento b, como se ve en la figura.

Trazamos la recta que une los extremos de a y b y trazamos una paralela por el extremo de b. Esta paralela define el segmento c solución del problema, pues: a/b=b/c

La proporción áurea

Cuando en una tercera proporcional el término mayor es igual a la suma de los otros dos se verifica que:

es el número de oro.

Cuando un rectángulo tiene los lados con esta proporción recibe el nombre de rectángulo de oro. En el capítulo dedicado a las relaciones del arte con la geometría veremos la importancia de en el estudio de las proporciones armónicas. Más adelante estudiaremos las espirales relacionadas con el rectángulo de oro.

También es fundamental para la construcción del pentágono regular, pues la proporción áurea se cumple entre su diagonal y su lado:

Vamos a comprobar que

Operamos:

Resulta una ecuación de segundo grado donde la incógnita es a. Vamos a despejarla. Nos interesa sólo la raíz positiva:

Vamos a construir segmentaciones áureas a partir de diferentes datos:

Cuando el dato es a

Dibujamos un cuadrado de lado a y la mediatriz de dicho lado. Con centro en N, punto medio de a, y radio NM, diagonal de medio cuadrado, trazamos un arco que corta en P a la prolongación de a, definiendo el segmento b. Se cumple que

Vamos a comprobarlo:

Como , pues son radios de la misma circunferencia, resulta que:

Consideramos el triángulo MNQ, por Pitágoras:

En nuestro dibujo:

Lo aplicamos en la igualdad anterior:

luego:

Cuando el dato es a+b

Ésta es otra construcción de la segmentación áurea. Sea MN= a+b. Trazamos un segmento perpendicular de magnitud MN/2 y dibujamos el triángulo rectángulo MNP. Con centro en P y radio PN trazamos un arco que corta a la hipotenusa en el punto Q. Con centro en A trazamos un arco de radio AQ que corta a MN en el punto R, definiendo los segmentos a y b.

Se verifica que:

Vamos a comprobarlo:

, ya que

y

Considerando el triángulo MNP, por Pitágoras:

, luego:

Los rectángulos de oro

Si el dato es el lado menor a usamos la primera construcción de segmentación áurea.

Si el dato es el lado mayor, a+b, utilizamos la segunda.

Enlaces externos

# data[].attributes.body
El teorema de Pitágoras

Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos

Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)...

... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces...                            ... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

.Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):a² + b² = c²

¿Seguro... ?

Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.

Veamos si las áreas son la misma:
3² + 4² = 5²
Calculando obtenemos:9 + 16 = 25

¡sí, funciona!

¿Por qué es útil esto?

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)

Si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la longitud de la hipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Esta relación se representa con la fórmula:

En el recuadro anterior, habrás notado la palabra “cuadrado,” así como los 2s arriba de las letras en Elevar al cuadrado un número significa multiplicarlo por sí mismo. Entonces, por ejemplo, elevar al cuadrado el número 5, multiplicas 5 • 5, y para elevar al cuadrado el número 12, multiplicas 12 • 12. Algunos números comunes elevados al cuadrado se muestran en la siguiente tabla.

Número | Número multiplicado por sí mismo | Cuadrado
1 | 1² = 1 • 1 | 1
2 | 2² = 2 • 2 | 4
3 | 3² = 3 • 3 | 9
4 | 4² = 4 • 4 | 16
5 | 5² = 5 • 5 | 25
10 | 10² = 10 • 10 | 100