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Rifletti e rispondi
Navigando in Internet, Giulia e Chen si sono imbattuti in questo rompicapo matematico. Chen dice a Giulia: “ma è impossibile da risolvere!” Tutt’altro, Chen! Proviamoci!” Risponde Giulia.
Puoi aiutare Giulia e Chen?
Partiamo dalla prima riga: se la somma di 3 mele è uguale a 18, per trovare il valore di 1 mela è sufficiente …………….. 18 per 3; quindi: 1 mela = 18 : ….. = ……
Ora sostituisci questo valore nella seconda riga:
……. + pera + pera = 14 da cui ottieni: pera + pera = 14 - …. = ….
Questo è il valore di …. pere, quindi per ottenere il valore di una pera dovrai dividerlo per ….; 1 pera = …. : ….. = ……
Ora hai tutti gli elementi per trovare la somma dei due frutti!
mela + pera = ….. + ….. = ……
In algebra le uguaglianze come in questi rompicapi consentono di risolvere problemi che presentano incognite da calcolare.
Anche il conto al ristorante può diventare un gioco!

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Il Padlet è abbinato ai corsi MAT 360° e Archimede di Bruno Artuso e Roberto Vacca. La matematica chiara, rigorosa e calata nella realtà.

Coordinamento: Silvia Gadda

Redazione: Mario Scalvini, Federico Rossi, Giulia Baccanelli.

Il Padlet e tutti i suoi contenuti sono di proprietà dell’Istituto Italiano Edizioni Atlas e pubblicati sotto licenza CC BY-NC-SA (uso con obbligo di citazione, fini didattici non commerciali, condividi allo stesso modo).

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Le identità.
Consideriamo l’uguaglianza espressa dalla frase: “la somma del doppio di un numero con se stesso è uguale al suo triplo”.
Scriviamola in linguaggio matematico, sostituendo al numero, che è indeterminato, la lettera a: 2a + a = 3a
Se attribuiamo alla lettera a rispettivamente i valori 4, 5 e 6 otteniamo:

2 x 4 + 4 = 3 x 4; 8 + 4 = 12; 12 = 12

2 x 5 + 5 = 3 x 5;  10 + 5 = 15; 15 = 15

2 x 6 + 6 = 3 x 6;  12 + 6 = 18; 18 = 18

Possiamo quindi dire che abbiamo ottenuto delle uguaglianze. La relazione 2a + a = 3a è sempre verificate, per qualunque valore della lettera a, e per tale ragione è detta identità.

Le equazioni
Consideriamo ora l’uguaglianza espressa dalla frase: “la somma del doppio di un numero con se stesso è uguale a 21”.
Riscriviamo questa frase in linguaggio matematico, utilizzando la lettera a per indicare il numero indeterminato: 2a + a = 21
Se attribuiamo alla lettera a rispettivamente i valori 6, 7 e 8, otteniamo:
2 x 6 + 6 = 21; 12 + 6 = 18; 18 ≠ 21
2 x 7 + 7 = 21;  14 + 7 = 21; 21 = 21
2 x 8 + 8 = 21; 16 + 8 = 21; 24 ≠ 21.
Abbiamo ottenuto solo un’uguaglianza verificata per un valore della lettera a; precisamente a = 7. Queste considerazioni ci portano alla seguente definizione : “si dice equazione un’uguaglianza di due espressioni (di cui almeno una letterale) verificata solo da particolari valori attribuiti alla lettera o alle lettere che vi figurano”.

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- La lezione permette di acquisire e rinforzare conoscenze e competenze fondamentali sulle equazioni.
- Il percorso offre la possibilità di approcciare attraverso strumenti multimediali: video, audio, slide, esercizi interattivi in formato Google Moduli, pdf scaricabili e software gratuiti.
- La lezione segue il metodo induttivo: a partire da una situazione reale lo studente e la studentessa imparano a  utilizzare le equazioni per operare nella realtà.

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Le disequazioni servono, per esempio, per risolvere problemi reali come potrebbe essere, ad esempio, preparare un budget per le vacanze. Consideriamo il seguente problema: “per andare in vacanza una famiglia di 4 persone ha a disposizione una somma di € 3000 e vuole capire quanti giorni si possono permettere per le vacanze, escludendo le spese di viaggio. Sapendo che il costo giornaliero a persona per l’alloggio è di € 30 e che in media la famiglia ha intenzione di spendere € 80 al giorno per colazione, pranzo e cena, calcola quanti giorni di vacanza si può permettere quella famiglia?”

Per risolvere il problema basta impostare e risolvere una disequazione!
(30 x 4)x + 80x ≤ 3000 dove x sono i giorni di vacanza l’incognita da scoprire! (Colorare il segno di moltiplicazione che adesso è evidenziato in bold)
Risolvendo otteniamo: 120x + 80x ≤ 3000 da cui 200x ≤ 3000 e dividendo entrambi i membri per 200, otteniamo x ≤ 15.

Possono permettersi fino a 15 giorni di vacanza: con il quindicesimo giorno infatti danno fondo a tutti i soldi a disposizione.

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Per poter capire il funzionamento dei principi di equivalenza si può paragonare il testo di un’equazione a una bilancia a due bracci in cui i due membri corrispondono ai pesi posti sui due piatti. Il simbolo di uguaglianza posto tra i due membri ci assicura che la bilancia è in equilibrio. Consideriamo, ad esempio, la bilancia della figura 1a.
Sul piatto di sinistra ci sono 4 pesi incogniti indicati (ciascuno con x) e 5 grammi (indicati con ❚), sul piatto di destra ci sono due pesi incogniti (indicati con x uguali ai precedenti) e 11 grammi. Traduciamo quanto descritto nell’equazione corrispondente, ovvero:
4x + 5 = 2x + 11.
Risolvere l’equazione vuol dire calcolare il valore del peso incognito x.
Ovviamente per mantenere la condizione di equilibrio sulla bilancia è possibile togliere (o aggiungere) gli stessi pesi su entrambi i bracci. Possiamo iniziare a eliminare 5 grammi dal braccio di sinistra; poiché la bilancia modifica la sua posizione di equilibrio (inclinandosi verso destra) dobbiamo togliere 5 grammi anche dal braccio di destra. Dal punto di vista formale abbiamo svolto l’operazione: 4x + 5 - 5 = 2x + 11 - 5, e, sommando i monomi simili nei due membri, (Figura 1b) otteniamo: 4x = 2x + 6.
Allo stesso modo, se togliamo due pesi incogniti (2x) dal piatto di sinistra, li dobbiamo togliere anche da quello di destra. (Figura 1c): 4x - 2x = 2x + 6 - 2x cioè 2x = 6.
Il procedimento che abbiamo applicato in questi due passaggi è detto primo principio di equivalenza e può essere così sintetizzato: “addizionando o sottraendo ai due membri di un’equazione una stessa espressione algebrica letterale (o uno stesso numero) otteniamo un’equazione equivalente a quella data”.
Con queste due operazioni siamo riusciti a trasformare l’equazione iniziale in altre due equazioni fra loro equivalenti( la condizione di equilibrio tra i due bracci è rimasta inalterata). E’ facile scoprire che per ottenere la soluzione del nostro problema basta ora dividere per due i pesi sui due bracci (Figura 1d) cioè x = 3. Il procedimento che abbiamo applicato in quest’ultimo passaggio è detto secondo principio di equivalenza e può essere così sintetizzato: “moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero (diverso da zero) otteniamo un’equazione equivalente a quella data”.

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Verifica quello che hai imparato sulle equazioni e disequazioni collegandoti al seguente sito e rispondendo alle domande di questo test di riepilogo.   https://docs.google.

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Consideriamo la seguente uguaglianza e approfondiamo le conoscenze: 8x³ +5x² = 4x + 1.
Essa è costituita da due espressioni letterali separate dal simbolo di uguaglianza. Le lettere che figurano nell’equazione si dicono incognite. I termini di un’equazione che non contengono l’incognita si dicono termini noti.
Le equazioni si dicono a una, due, tre ……. incognite a seconda del numero delle lettere che in esse compaiono. Ad esempio, le seguenti equazioni sono, rispettivamente:
a una incognita 2x + 2 = x + 1;
a due incognite 3x + 2y = x + 2;
a tre incognite 2x + y = -1 - z.
Il grado di un’equazione è dato dal grado del monomio di grado massimo che in essa vi figura. L’equazione dell’esempio iniziale, per esempio, è di terzo grado. I valori che rendono vera l’equazione (che la soddisfano) si dicono soluzioni o radici dell’equazione; possiamo affermare che:
“risolvere un’equazione significa trovare tutte le sue soluzioni o radici”.

Mettiti alla prova. Dopo esserti collegato al sito wordwall rispondi vero o falso alle domande.        wordwall.

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Conoscenze: conoscere la differenza tra equazione e identità; conoscere i principi di equivalenza e le relative conseguenze; riconoscere la forma normale di un’equazione; conoscere le disequazioni; conoscere i principi di equivalenza delle disequazioni e le relative conseguenze.
Abilità: saper risolvere e verificare un’equazione; saper risolvere problemi mediante l’uso di equazioni; saper risolvere una disequazione ed essere in grado di rappresentare l’insieme delle sue soluzioni; saper risolvere semplici problemi mediante l’uso delle disequazioni.
Competenze: utilizzare con sicurezza le procedure di calcolo relative alle equazioni ed essere in grado di risolvere problemi mediante l’uso di equazioni anche in contesti reali.
Competenze digitali:  utilizzare i mezzi informatici per cercare di elaborare informazioni; lavorare in gruppo, anche a distanza, condividendo materiali ed elaborati; comprendere e produrre elaborati digitali.

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Le disequazioni sono delle espressioni matematiche che coinvolgono una relazione di disuguaglianza tra due o più quantità. Risolvere una disequazione vuol dire determinare l'insieme di valori della variabili che soddisfano la relazione di disuguaglianza.

Ci sono diversi tipi di disequazioni, noi per i nostri scopi ci occuperemo solo delle disequazioni di primo grado a una incognita, per risolverla occorre sviluppare le seguenti fasi.

Si riduce la disequazione a forma intera.

Si eliminano eventuali parentesi, eseguendo le operazioni indicate.

Si trasportano i termini che contengono l’incognita al primo membro e i termini noti al secondo.

Si riduce la disequazione in forma normale.

Se il coefficiente della x è negativo, si rende positivi moltiplicando per -1 tutta la disequazione (cambiando perciò sia tutti i segni sia il verso della disequazione).

Si determina il valore della x con la stessa procedura utilizzata nelle equazioni (come se il segno > oppure < fosse sostituito dal segno =).

Si può anche rappresentare graficamente l’insieme delle soluzioni.

Esempio. Calcola il valore della seguente disequazione.
-2x + 3 > - 7

- 2x > - 7 - 3

- 2x > - 10

2x < 10

x < 5

L’insieme delle soluzione è dato da tutti i valori di x minori di 5.

Mettiti alla prova. Dopo esserti collegato al sito wordwall, calcola il valore delle equazioni e poi clicca su tasto Flip per controllare il risultato.  wordwall.

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Anche per risolvere problemi geometrici si usano spesso le disequazioni.

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Anche per risolvere problemi geometrici si usano spesso le disequazioni.

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Consideriamo il seguente problema.
“In un triangolo ABC, i lati AB e BC misurano rispettivamente 22 cm e 15 cm; determina le possibili misure del lato AC”.
Vediamo ora la procedura di calcolo.
Se indichiamo con x la misura del lato AC, poiché in un triangolo ogni lato deve essere minore della somma degli altri due lati e maggiore della loro differenza, x dovrà soddisfare le due seguenti disequazioni: x < 22 + 15; x > 22 - 15 da cui otteniamo: x < 37; x > 7.
La soluzione del problema è data da qualunque numero reale maggiore di 7 e minore di 37. In definitiva il lato AC deve avere una lunghezza maggiore di 7 cm e minore di 37 cm.

Mettiti alla prova. Dopo esserti collegato al sito wordwall e aver risolto i problemi con le disequazioni controlla il risultato cliccando su flip:      wordwall.

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Sappiamo che le equazioni di 20 grado sono quelle in cui l’incognita compare elevata al quadrato. Una trattazione completa dell’argomento esula dai nostri scopi e risulta piuttosto complessa; tuttavia la procedura per la soluzione di alcuni tipi particolari di equazioni di 20 grado, con una sola incognita, risultano abbastanza semplice. Analizziamo i due casi più frequenti.

Equazione mancante di termini di 10 grado. Consideriamo l’equazione di 20 grado:  3x2 - 45 = - 6x²+ 36. Risolviamola come se fosse un’equazione di 10 grado.

3x² + 6x² = 36 + 45;

9x² = 81;

x = ± √9 = ± 3.

Poiché l’equazione è di 2⁰ grado, come possiamo notare, abbiamo due soluzioni: +3 e -3; infatti sia +3 che -3 elevati alla seconda potenza danno come risultato 9. In generale possiamo affermare che: “ data l’equazione scritta nella forma ax ² = b se a ≠ 0, allora x2 = b/a cioè x = ± √b/a”. Notiamo che b/a deve essere maggiore di zero, poiché all’interno dell’insieme R non esiste la radice quadrata di un numero negativo. Se b/a< 0 l’equazione risulta impossibile.

Equazione data come prodotto di due polinomi di 1 0 grado. Consideriamo l’equazione di 20 grado (x - 5) x (x - 4) = 0. ( colorare in verde il segno di moltiplicazione evidenziato in bold). Essa appare nella forma del prodotto di due polinomi di 10 grado. Risolviamola allora applicando la legge di annullamento del prodotto (il prodotto fra due fattori è nullo se almeno uno dei due fattori è nullo). Uguagliamo a zero entrambi i polinomi: x - 5 = 0 da cui x = 5 e x - 4 = 0 da cui x = 4. Le due soluzioni dell’equazione sono pertanto: x = 5 e x = 4. In generale possiamo affermare che: “data l’equazione (x - a) x (x - b) = 0 per la legge di annullamento del prodotto si ha: x - a = 0 da cui x = a; x - b = 0 da cui x = b”.

Mettiti alla prova. Dopo esserti collegato al sito wordwall, rispondi alle domande sulle equazioni di 20 grado riconducibili al  10 grado cliccando su flip.     wordwall.

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Nel volume di Aritmetica 1 abbiamo dedicato un paragrafo per lo studio dei metodi di risoluzione dei problemi matematici. Con le conoscenze in nostro possesso, possiamo ora introdurre un nuovo metodo: la risoluzione per via algebrica, ovvero mediante l’uso di equazioni.
Questo metodo è molto utile perché spesso risolvere problemi mediante le equazioni risulta più semplice che in qualsiasi altro modo. Le fasi da applicare per risolvere un problema per via algebrica sono le seguenti:

Lettura del testo, comprensione, identificazione dei dati. L’esatta comprensione del testo del problema è come sempre indispensabile. Occorre leggere e rileggere attentamente il testo in modo da capire bene che cosa il problema chiede, ricavare i dati che fornisce, scartando eventualmente quelli superflui. Come sempre, risulta utile costruire una tabella dei dati.

Scelta dell’incognita. La risoluzione per via algebrica si distingue dalle altre procedure perché il valore da trovare viene identificato con una lettera (generalmente x) che viene poi inserita nell’equazione risolutiva. Per questo motivo è fondamentale individuare l’incognita.

Impostazione dell’equazione risolutiva. Impostare l’equazione risolutiva significa scrivere una uguaglianza fra due espressioni algebriche contenenti l’incognita, sulla base degli elementi forniti dal testo. L’equazione non fa altro che definire i dati del problema, esprimendo la relazione tra di essi. Ad esempio, se il problema chiede ”trova un numero il cui doppio è 20” si imposta l’equazione 2x = 20.

Risoluzione dell’equazione. Impostata l’equazione, occorre risolverla in base alle regole relative alla risoluzione di un’equazione.

Eventuale discussione della accettabilità della soluzione. Trovata la soluzione bisogna controllare che essa sia compatibile con le richieste del problema. Se, ad esempio, il problema chiede di trovare il numero degli alunni di una classe e l’equazione ha per soluzione una frazione, il risultato non può essere accettato (non esistono frazioni di studenti!). In questo caso il problema è impossibile.

Mettiti alla prova. Dopo esserti collegato al sito wordwall risolvi  i problemi con le equazioni e controlla il risultato cliccando su flip.      wordwall.

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La storia della scoperta delle formule per risolvere le equazioni 

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La storia della scoperta delle formule per risolvere le equazioni 

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Le conoscenze che abbiamo acquisito nel calcolo algebrico ci permettono di utilizzare le lettere per la soluzione di particolari problemi. Se nel calcolo letterale è data un’espressione e a essa si sostituisce per ogni lettera il rispettivo valore, la logica con cui nascono le equazioni è quella di stabilire quali numeri si possono sostituire ai termini di un’espressione algebrica in modo da ottenere il risultato richiesto. Se, ad esempio, abbiamo l’equazione  x2 - 5x = 24 e vogliamo calcolare quali sono quei numeri che permettono di stabilire un’uguaglianza fra i valori a sinistra e a destra del segno di uguale, puoi verificare che solo i numeri - 3 e + 8 permettono di ottenere l’uguaglianza fra i due membri.
Per il nostro livello di studio ci occuperemo delle equazioni più semplici (quelle in cui l’incognita è di 1⁰ grado) che furono già risolte nell’antichità. Si deve aspettare il Rinascimento però per avere uno sviluppo dettagliato delle tecniche risolutive. Il primo studio a riguardo si deve al frate francescano Luca Pacioli (Borgo San Sepolcro 1445-1514) che analizzò nel dettaglio le tecniche per il calcolo delle soluzioni di un’equazione di primo e secondo grado.
Molto più difficili da risolvere sono state le equazioni di 3⁰ grado e, ancora oggi, la formula risolutiva prevede calcoli che non possono essere affrontati dagli studenti della scuola secondaria di primo grado ma necessita di nozioni che si potranno apprendere nel corso degli studi futuri.
Curiosa è la storia di tale formula. Nel 1500 molti matematici erano alla ricerca di un metodo per la soluzione delle equazioni di 30 grado e il caso volle che ben due matematici giunsero, quasi contemporaneamente, alla soluzione: Scipione dal Ferro (1465-1526) e Nicolò Fontana (1500-1557) chiamato Tartaglia. Entrambi decisero di non divulgare la notizia lasciando nel mistero il mondo dei matematici. Scipione dal Ferro in punto di morte confidò la formula a un suo studente Antonio Maria Fior che iniziò a divulgare la scoperta.
In quel tempo accadeva spesso che dei matematici si sfidassero a trovare dei metodi per la risoluzione di problemi. Così, si organizzò una gara tra Tartaglia e Fior; ogni contendente proponeva all’altro trenta questioni da risolvere entro un intervallo di tempo stabilito. Tartaglia riuscì a vincere la disputa risolvendo tutti i problemi con ben otto giorni di anticipo. Il professore di matematica Gerolamo Cardano (1501-1576), venuto a conoscenza della disputa, pregò Tartaglia di comunicargli la scoperta. Sebbene riluttante, Tartaglia cedette alla richiesta con la promessa che Cardano avrebbe tenuto per sé la tecnica risolutiva delle equazioni di 30 grado. Come spesso avviene, tale promessa non fu mantenuta e Cardano nel 1545 pubblicò il risultato delle ricerche (svolte dal collega) guadagnandosi così ufficialmente la fama di scopritore della formula per la soluzione di equazioni di 30 grado, che, da allora, viene ricordata con il nome di formula di Cardano.

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Date le seguenti bilance a bracci, esprimi mediante l’uso delle equazioni la procedura di calcolo dei vari passaggi che portano alla soluzione del valore dell’incognita.

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Verifica quello che hai imparato sulle equazioni e disequazioni collegandoti al seguente sito e rispondendo alle domande di questo breve test.      https://docs.google.

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Consideriamo le due equazioni: x + 4x = 15   e    2x + 1 = x + 4
Esse hanno entrambe la stessa soluzione, cioè x = 3; infatti, sostituendo tale valore nei due membri, otteniamo:
3 + 4 x 3 = 15      e 2 x 3 = 3 + 4; cioè 3 + 12 = 15 e 6 + 7 = 13
Per questo motivo vengono dette equazioni equivalenti. In base a quanto detto possiamo enunciare la seguente regola:
“due equazioni si dicono equivalenti quando hanno le stesse soluzioni”.
Date due equazioni equivalenti è dunque ovvio che risolvendone una si risolve anche l’altra. La tecnica che permette di risolvere un’equazione è dunque quella di trasformarla in un’altra equazione, equivalente alla prima, ma scritta in termini più semplici. Per compiere queste trasformazioni esistono regole, dette principi di equivalenza, di cui ci occuperemo nella prossima colonna.

Mettiti alla prova. Dopo esserti collegato al sito wordwall, rispondi alle domande sulle equazioni equivalenti. wordwall.

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Per risolvere un’equazione di primo grado a una incognita occorre sviluppare le seguenti fasi.

Si eliminano eventuali parentesi eseguendo le operazioni indicate.

Si eliminano i denominatori moltiplicando ogni termine per il m.c.m. dei denominatori.

Si applica la legge del trasporto.

Si riducono i termini simili in modo da scrivere l’equazione nella forma normale (ovvero con la caratteristica di avere un solo termine in x al primo membro, e un unico termine noto al secondo membro).

Si applica il 2⁰ principio di equivalenza.

Esempio. Calcoliamo il valore della seguente equazione
x - 2      x - 3      x
——  -   ——  = —  - 1
4            3        2
Riduciamo l’equazione a forma intera moltiplicando ogni termine per il m.c.m. dei denominatori, che è 12.

x - 2          x - 3            x
12 x —— -12x —— = 12x  — - 12x1
4               3               2
(Per i revisori del Padlet: le x in bold sono moltiplicazioni e vanno colorate per distinguerle dall’incognita)

3(x - 2) - 4(x - 3) = 6x - 12
3x - 6 - 4x + 12 = 6x - 12
3x - 4x - 6x = 6 - 12
- 7x = - 6
x = + 6/7

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