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Gli studenti saranno in grado di comprendere e applicare i concetti di tabelle a doppia entrata, distribuzioni marginali, dipendenza e indipendenza, e test del chi quadrato.

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Questo ripasso prepara gli studenti a comprendere i concetti base necessari per il modello di regressione lineare semplice.

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In che modo le tabelle a doppia entrata e i test del chi quadrato ci aiutano a identificare le relazioni tra variabili?

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Breve lezione frontale sui concetti di tabelle a doppia entrata, distribuzioni marginali, e relazioni di dipendenza e indipendenza.

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Equazione e calcolo delle rette di regressione.

Materia: Matematica.
Destinatari: studenti del secondo biennio delle scuole secondarie di II grado.
Professoressa: Donatella Martini.

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Rette di regressione - Rai Cultura - Rai Cultura

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Rette di regressione - La regressione lineare

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Gli studenti lavorano in gruppi per analizzare un dataset reale (es. preferenze dei consumatori). Creano tabelle a doppia entrata e discutono le distribuzioni marginali.

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Esercizio sulla verifica di dipendenza tra due variabili utilizzando un test del chi quadrato. Gli studenti lavorano con il docente.

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Opzioni di pratica per studenti avanzati e per chi ha bisogno di supporto. Gli avanzati possono approfondire il test del chi quadrato con regressione, mentre gli altri ripassano i concetti base.

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Il TEST DEL CHI QUADRO spiegato in modo semplice con una metafora!

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Il docente valuta gli studenti attraverso discussioni guidate e osservazioni durante le attività di gruppo.

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Gli studenti analizzano un dataset reale di loro interesse e presentano i loro risultati utilizzando tabelle a doppia entrata e il test del chi quadrato.

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Gli studenti condividono le loro riflessioni sul significato di dipendenza e indipendenza tra variabili.

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Ogni studente scrive una breve risposta alla domanda: 'Qual è la relazione tra il test del chi quadrato e le tabelle a doppia entrata?'

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Esercizi su tabelle a doppia entrata e test del chi quadrato per consolidare l'apprendimento.

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Il Chi-quadrato è l'indice di connessione più utilizzato in statistica per valutare l' associazione tra due variabili categoriali o qualitative.

Ad esempio, supponi di avere le seguenti due variabili:

X: variabile SESSO le cui modalità sono "maschio" (M) e "femmina" (F).

Y: variabile PROFESSIONE le cui modalità sono "impiegato", "operaio" e "libero professionista".

Studiare l'associazione o la connessione tra X e Y infatti significa capire se la professione praticata dipende statisticamente dal genere maschio o femmina. Bada bene che la dipendenza stocastica è diversa dalla dipendenza lineare la quale invece si studia calcolando il coefficiente di correlazione.

Lo studio della connessione tra due caratteri qualitativi si basa sul calcolo del chi-quadrato, in simboli $\chi^2$. Se vuoi capire come nasce il chi-quadrato vai a leggere l'articolo in cui parlo della distribuzione del chi-quadrato. Se invece non ti importa la teoria del chi-quadrato e vuoi concentrarti sulla pratica prosegui con la lettura.

Procedura per il calcolo del chi-quadrato

Negli esercizi, si dispone di una tabella di contingenza (vedi figura qui in basso) con $r$ righe e $c$ colonne in cui sono presenti:

le modalità o categorie di X, $x_i$;

le modalità o categorie di Y, $y_j$;

le frequenze osservate $n_{ij}$ (ad esempio $n_{12}$ è la frequenza osservata di riga 1 e colonna 2);

le frequenze marginali di riga (frequenze totali di riga $n_{i\cdot}$ );

le frequenze marginali di colonna (frequenze totali di colonna $n_{\cdot j}$);

il totale $n$ delle frequenze.

REGOLA PER NON CONFONDERSI CON I PEDICI: il primo numerino a pedice indica la riga mentre il secondo la colonna.

Ti illustro adesso i passi per calcolare il chi-quadrato.

Calcolare le frequenze attese o teoriche

Basta moltiplicare i totali di riga per i totali di colonna e dividere per il totale assoluto: $\hat{n}_{ij}=\cfrac{n_{i\cdot}\cdot n_{\cdot j}}{n}$.

Calcolare le contingenze assolute

Le contingenze assolute si calcolano sottraendo le frequenze attese a quelle osservate: $c_{ij}=n_{ij}-\hat{n}_{ij}$.

Elevare al quadrato le contingenze assolute e dividerle per le frequenze teoriche

In formule: $\cfrac{c_{ij}^2}{\hat{n}_{ij}}$.

Calcolare il chi-quadrato

Infine, somma le frazioni calcolate al punto precedente: $\chi^2=\sum\limits_{i,j}\cfrac{c_{ij}^2}{\hat{n}_{ij}}$. Nota che i valori da sommare sono $r\times c$, esattamente il numero di elementi contenuti in una tabella con r righe e c colonne.

Riassumendo, la formula completa del chi-quadrato è:$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\chi^2=\sum\limits_i^r\sum\limits_j^c\frac{(n_{ij}-\hat{n}_{ij})^2}{\hat{n}_{ij}}}$$

Di seguito trovi un esempio numerico sul calcolo del chi-quadrato che ti chiarirà le idee.

Esempio
Supponiamo di avere la seguente matrice di dati con righe $r=2$ e colonne $c=3$:

Facendo riferimento alla tabella $n_{1\cdot}=51$, $n_{2\cdot}=49$ sono le frequenze marginali di riga (ovvero le somma delle frequenze attese per le righe 1 e 2); $n_{\cdot 1}=25$, $n_{\cdot 2}=50$, $n_{\cdot 3}=25$ sono le frequenze marginali di colonna (ovvero le somme delle frequenze attese per le colonne 1, 2 e 3); e $n=100$ è il totale di tutte le frequenze.

Utilizziamo la procedura di calcolo del chi-quadrato descritta sopra.

1. Calcoliamo le frequenze attese $\hat{n}_{ij}$: $$\begin{eqnarray} \hat{n}_{11}&=& \frac{n_{1\cdot}\cdot n_{\cdot 1}}{n}=\frac{51\cdot 25}{100}=12.75\\ \hat{n}_{12}&=&\frac{n_{1\cdot}\cdot n_{\cdot 2}}{n}=\frac{51\cdot 50}{100}=25.50\\ \hat{n}_{13}&=&\frac{n_{1\cdot}\cdot n_{\cdot 3}}{n}=\frac{51\cdot 25}{100}=12.75\\ \hat{n}_{21}&=&\frac{n_{2\cdot}\cdot n_{\cdot 1}}{n}=\frac{49\cdot 25}{100}=12.25\\ \hat{n}_{22}&=&\frac{n_{2\cdot}\cdot n_{\cdot 2}}{n}=\frac{49\cdot 50}{100}=24.50\\ \hat{n}_{23}&=&\frac{n_{2\cdot}\cdot n_{\cdot 3}}{n}=\frac{49\cdot 25}{100}=12.25\end{eqnarray}$$

2. Calcoliamo le contingenze assolute $c_{ij}$:$$\begin{eqnarray}
c_{11}&=& n_{11}-\hat{n}_{11}=10-12.75=-2.75\\
c_{12} &=& n_{12}-\hat{n}_{12}=31-25.50=5.50\\
c_{13} &=& n_{13}-\hat{n}_{13}=10-12.75=-2.75\\
c_{21} &=& n_{21}-\hat{n}_{21}=15-12.25=2.75\\
c_{22} &=& n_{22}-\hat{n}_{22}=19-24.50=-5.50\\
c_{23} &=& n_{23}-\hat{n}_{23}=15-12.25=2.75\end{eqnarray}$$

3. Eleviamo le contingenze assolute al quadrato dividendole per le frequenze teoriche: $$\begin{eqnarray}
\frac{c_{11}^2}{\hat{n}_{11}}&=& \frac{2.75^2}{12.75}=0.59\\
\frac{c_{12}^2}{\hat{n}_{12}}&=& \frac{5.50^2}{25.50}=1.19\\
\frac{c_{13}^2}{\hat{n}_{13}}&=& \frac{2.75^2}{12.75}=0.59\\
\frac{c_{21}^2}{\hat{n}_{21}}&=& \frac{2.75^2}{12.25}=0.62\\
\frac{c_{22}^2}{\hat{n}_{22}}&=& \frac{5.50^2}{24.50}=1.23\\
\frac{c_{23}^2}{\hat{n}_{23}}&=& \frac{2.75^2}{12.25}=0.62\end{eqnarray}$$

4. Calcoliamo il chi-quadrato sommando i valori calcolati al punto 3: $$\chi^2=0.59+1.19+0.59+0.62+1.23+0.62=4.84$$

Formula operativa del Chi-quadrato

Come visto nell'esempio, il calcolo del Chi-quadrato prevede lunghi e noiosi calcoli che sarebbe meglio snellire soprattutto se ti viene data una tabella a doppia entrata con diverse righe e colonne. Eccoti allora la formula più veloce del Chi-quadrato: $$\chi^2=n\left(\sum\limits_i^r \sum\limits_j^c\cfrac{n_{ij}^2}{n_{i\cdot}\cdot n_{\cdot j}}-1\right)$$

Ma cosa ha di veloce questa formula? Beh, sono due le motivazioni che la rendono più semplice da applicare da un punto di vista computazionale:

1. Al numeratore non elevi al quadrato una differenza ma un'unico valore (quindi risparmi il calcolo delle differenze tra frequenze osservate e attese).

2. Al denominatore non hai più le frequenze attese ma il prodotto delle marginali (quindi risparmi il calcolo delle frequenze attese).

Ti consiglio di usare quest'ultima formula se il tuo esame è scritto e non puoi fare uso di software quali Excel o R Studio.

Proprietà del Chi-quadrato

Il Chi-quadrato è un indice che assume sempre valori non negativi, maggiori o uguali a zero dato che il suo calcolo prevede la somma di quantità positive. Ma questo indice gode di altre caratteristiche che ti elenco qui di seguito:

1. Assume valore massimo pari a $\chi_{max}^2=n[min(r-1,c-1)]$, dove r e c sono rispettivamente il numero di righe e di colonne della tabella iniziale.

2. Il range di valori possibili del Chi-quadrato va da 0 a $\chi_{max}^2$, quindi: $0\leq\chi^2\leq\chi_{max}^2$.

3. Quando il Chi-quadrato è uguale a 0 si ha la MASSIMA INDIPENDENZA e quindi CONNESSIONE NULLA tra X e Y.

4. Quando il Chi-quadrato è uguale a $\chi_{max}^2$ si ha la MASSIMA DIPENDENZA e quindi MASSIMA CONNESSIONE tra X e Y.

5. Il Chi-quadrato è un indice simmetrico, nel senso che non tiene conto della direzione della dipendenza (causa-effetto) e rimane invariato se scambiamo il ruolo di X e Y.

Interpretazione statistica del Chi-quadrato

Ti starai già chiedendo come faccio a interpretare il valore del Chi-quadrato che sta all'interno del range descritto nella proprietà 2 dato che negli esercizi il Chi-quadrato non risulta quasi mai uguale a 0 oppure al suo valore massimo. Hai due alternative:

Usa questa semplice regola: se il valore del Chi-quadrato è più vicino a 0, allora dirai che c'è una scarsa connessione tra X e Y, mentre invece se il valore risulta più prossimo a $\chi_{max}^2$ allora dirai che sussiste una buona associazione tra X e Y.

In alternativa, calcola un indice relativo o normalizzato.

Un altro modo è quello di condurre un test di ipotesi che si basa sul calcolo del Chi-quadrato, il cosiddetto test di indipendenza del Chi-quadrato.

Indici di connessione relativi

Il calcolo di indici relativi ti permette di valutare il grado di connessione tra le due variabili categoriche. Ne esistono diversi e te li elenco qui sotto.

Indice Chi-quadrato normalizzato $\chi_N^2$

Non è altro che il rapporto tra il Chi-quadrato e il suo valore massimo: $$\chi_N^2=\cfrac{\chi^2}{\chi_{max}^2}=\cfrac{\chi^2}{n\cdot min[(r-1),(c-1)]}$$

Essendo un indice relativo, é compreso tra 0 e 1. Valori del Chi-quadrato normalizzato vicini a 0 indicano scarsa associazione mentre valori vicini a 1 indicano buona associazione tra X e Y.

Indice V di Cramer

È l'indice di connessione relativo più utilizzato ed è dato dalla radice quadrata del rapporto tra il Chi-quadrato e il suo valore massimo. In altre parole, l'indice V di Cramer è la radice quadrata del Chi-quadrato normalizzato: $$V=\sqrt{\cfrac{\chi^2}{n\cdot min[(r-1),(c-1)]}}=\sqrt{\chi_N^2}$$. Anche questo indice varia tra 0 e 1 e valori superiori a 0,2 indicano una buona dipendenza tra X e Y. Facendo riferimento all'esempio numerico di cui sopra l ha: $$\begin{eqnarray}V&=&\sqrt{\cfrac{4,84}{100\cdot min[(2-1),(3-1)]}}=\\&=&\sqrt{\cfrac{4,84}{100\cdot min (1,3)}}=\\&=&\sqrt{\cfrac{4,84}{100}}=0,22\end{eqnarray}$$

Questo vuol dire che i due caratteri, sesso e tipo di lavoro, hanno un grado di associazione del 22%.

Altri indici di connessione

Il Chi-quadrato non è l'unico indice di connessione utilizzato in statistica. Esiste infatti l' indice di Mortara che se vuoi puoi approfondire cliccando qui e l' indice di contingenza media quadratica che è il rapporto tra il Chi-quadrato e il numero totale $n$ delle osservazioni: $$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\Phi=\cfrac{\chi^2}{n}}$$

Infine, esistono altri indici di associazione che, oltre a misurare il grado di associazione tra i caratteri, misurano anche il verso della relazione: stiamo parlando dell' indice gamma di Goodman (utilizzato se i valori in tabella sono pochi) e dell' indice di Sperman (utilizzato se i valori in tabella sono più di 11).

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Il chi-quadrato come indice per valutare la connessione o l'associazione tra due variabili qualitative categoriali.

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Gli studenti cercano un dataset online e applicano i concetti appresi per analizzarlo.