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En este artículo se presentan los elementos centrales de la teoría de van Hiele, la cual es útil para analizar el desarrollo cognitivo de los estudiantes al aprender geometría. Se describen cinco niveles de pensamiento por los que se transita durante el aprendizaje de la geometría, así como las fases de enseñanza necesarias para que los estudiantes logren un entendimiento conceptual de las ideas geométricas. Se resalta el hecho de que esta teoría permite explicar por qué los estudiantes muestran diversas dificultades de comprensión, además de aportar elementos útiles para diseñar escenarios de instrucción que favorezcan el desarrollo de procesos cognitivos de alto nivel.

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En este artículo se presentan los elementos centrales de la teoría de van Hiele, la cual es útil para analizar el desarrollo cognitivo de los estudiantes al aprender geometría. Se describen cinco niveles de pensamiento por los que se transita durante el aprendizaje de la geometría, así como las fases de enseñanza necesarias para que los estudiantes logren un entendimiento conceptual de las ideas geométricas. Se resalta el hecho de que esta teoría permite explicar por qué los estudiantes muestran diversas dificultades de comprensión, además de aportar elementos útiles para diseñar escenarios de instrucción que favorezcan el desarrollo de procesos cognitivos de alto nivel.

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Nivel 1: Visualización o Reconocimiento. Los estudiantes reconocen a las figuras por su apariencia, sin que las propiedades de éstas jueguen un papel explícito en la identificación. El proceso de razonamiento sobre objetos matemáticos básicos (formas o figuras simples) se lleva a cabo mediante consideraciones visuales de los objetos como un todo (Burger y Shaughnessy, 1986). Las figuras geométricas tales como cuadrados, triángulos, rectángulos, circunferencias, se perciben en su totalidad como una unidad, sin diferenciar sus propiedades y componentes. Así, las propiedades de los objetos no juegan un papel explícito, para los estudiantes que se ubican en este nivel, en el reconocimiento de las formas geométricas.

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Nivel 1: Visualización o Reconocimiento. Los estudiantes reconocen a las figuras por su apariencia, sin que las propiedades de éstas jueguen un papel explícito en la identificación. El proceso de razonamiento sobre objetos matemáticos básicos (formas o figuras simples) se lleva a cabo mediante consideraciones visuales de los objetos como un todo (Burger y Shaughnessy, 1986). Las figuras geométricas tales como cuadrados, triángulos, rectángulos, circunferencias, se perciben en su totalidad como una unidad, sin diferenciar sus propiedades y componentes. Así, las propiedades de los objetos no juegan un papel explícito, para los estudiantes que se ubican en este nivel, en el reconocimiento de las formas geométricas.

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Nivel 2: Análisis. Los estudiantes identifican una figura mediante sus propiedades, las cuales se consideran independientes unas de otras. El proceso de razonamiento en este nivel se lleva a cabo a través de la identificación de los componentes y atributos de las figuras, con la finalidad de caracterizar a los integrantes de una clase o familia de objetos. Por ejemplo, si se menciona a los estudiantes que un cuadrilátero dibujado tiene cuatro ángulos rectos, serán capaces de identificarlo como un rectángulo, aunque el dibujo se haya hecho sin mucha precisión.

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Nivel 2: Análisis. Los estudiantes identifican una figura mediante sus propiedades, las cuales se consideran independientes unas de otras. El proceso de razonamiento en este nivel se lleva a cabo a través de la identificación de los componentes y atributos de las figuras, con la finalidad de caracterizar a los integrantes de una clase o familia de objetos. Por ejemplo, si se menciona a los estudiantes que un cuadrilátero dibujado tiene cuatro ángulos rectos, serán capaces de identificarlo como un rectángulo, aunque el dibujo se haya hecho sin mucha precisión.

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Nivel 3: Ordenación, clasificación o abstracción. Los estudiantes interrelacionan lógicamente propiedades de los conceptos, construyendo o siguiendo argumentos informales. Los estudiantes que se encuentran en este nivel son capaces de formular definiciones abstractas, es decir, señalar las condiciones necesarias y suficientes que debe satisfacer una clase de figuras geométricas, además de reconocer cómo unas propiedades de los objetos geométricos se derivan de otras, estableciendo relaciones entre propiedades y las consecuencias de esas relaciones. Por ejemplo, en este nivel los estudiantes son capaces de determinar que un triángulo que tiene tres lados iguales, también tiene tres ángulos iguales. Los estudiantes son capaces de formular justificaciones informales de resultados matemáticos, por ejemplo, al justificar por qué un cuadrado es un rectángulo o por qué la suma de los ángulos en cualquier triángulo es igual a 180°. En este nivel el significado intrínseco de la deducción, es decir, el papel de los axiomas, definiciones y teoremas no se comprende completamente (van Hiele, 1999).

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Nivel 3: Ordenación, clasificación o abstracción. Los estudiantes interrelacionan lógicamente propiedades de los conceptos, construyendo o siguiendo argumentos informales. Los estudiantes que se encuentran en este nivel son capaces de formular definiciones abstractas, es decir, señalar las condiciones necesarias y suficientes que debe satisfacer una clase de figuras geométricas, además de reconocer cómo unas propiedades de los objetos geométricos se derivan de otras, estableciendo relaciones entre propiedades y las consecuencias de esas relaciones. Por ejemplo, en este nivel los estudiantes son capaces de determinar que un triángulo que tiene tres lados iguales, también tiene tres ángulos iguales. Los estudiantes son capaces de formular justificaciones informales de resultados matemáticos, por ejemplo, al justificar por qué un cuadrado es un rectángulo o por qué la suma de los ángulos en cualquier triángulo es igual a 180°. En este nivel el significado intrínseco de la deducción, es decir, el papel de los axiomas, definiciones y teoremas no se comprende completamente (van Hiele, 1999).

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Nivel 4: Deducción Formal. Los estudiantes prueban teoremas deductivamente y establecen relaciones entre teoremas. Entienden la necesidad de justificar deductivamente resultados matemáticos o proposiciones, con base en un sistema axiomático. El estudiante es capaz de demostrar un resultado de diferentes formas.

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Nivel 4: Deducción Formal. Los estudiantes prueban teoremas deductivamente y establecen relaciones entre teoremas. Entienden la necesidad de justificar deductivamente resultados matemáticos o proposiciones, con base en un sistema axiomático. El estudiante es capaz de demostrar un resultado de diferentes formas.

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Nivel 5: Rigor. Los estudiantes establecen teoremas en diferentes sistemas axiomáticos y analizan o comparan esos sistemas. Se conoce la existencia de diferentes sistemas axiomáticos y se pueden analizar y comparar. El estudiante es capaz de realizar deducciones abstractas. El razonamiento geométrico en este nivel es bastante abstracto y no necesariamente involucra el uso de modelos pictóricos o concretos. En este nivel los postulados o axiomas son objeto de análisis y escrutinio.

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Nivel 5: Rigor. Los estudiantes establecen teoremas en diferentes sistemas axiomáticos y analizan o comparan esos sistemas. Se conoce la existencia de diferentes sistemas axiomáticos y se pueden analizar y comparar. El estudiante es capaz de realizar deducciones abstractas. El razonamiento geométrico en este nivel es bastante abstracto y no necesariamente involucra el uso de modelos pictóricos o concretos. En este nivel los postulados o axiomas son objeto de análisis y escrutinio.