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1 Aula Teórica 1: Apresentação António Ravara Simão Melo de Sousa Departamento de Informática, Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa Departamento de Informática, Faculdade Engenharia, LISP & Release Group Universidade Beira Interior

2 O que vamos estudar? Objectivos Descrição geral Introdução à lógica proposicional e de primeira ordem: noção de linguagem (sintaxe), de tabelas de verdade e de estrutura de interpretação (semântica) e de sistema dedutivo (sistema de prova). Resultados de correcção e completude do sistema de prova relativamente à semântica. Mecanismos computacionais: forma normal conjuntiva e forma clausal; Skolemização e unificação; resolução. Lógica de Floyd-Hoare para programas imperativos

3 O que vamos estudar? Objectivos Saber Conhecer a sintaxe e a semântica da lógica de primeira ordem. Conhecer os sistemas de dedução natural da lógica de primeira ordem. Conhecer o método de Resolução para a lógica de primeira ordem. Conhecer a lógica de Floyd-Hoare para programas imperativos. Fazer Escrever fórmulas a partir de descrições em língua natural. Calcular semântica e axiomaticamente a validade lógica de fórmulas. Usar algoritmos de resolução para estabelecer a validade lógica de fórmulas. Provar a correcção de pequenos programas imperativos.

4 O que vamos estudar? Objectivos Soft-Skills Capacidade de raciocínio abstracto e rigoroso. Capacidade de manipulação de estruturas formais. Aprender a aprender.

5 O que vamos estudar? Por onde estudar Os acetatos de apoio às aulas teóricas não substituem os livros de texto. Bibliografia Logic in Computer Science: modelling and reasoning about systems (2nd edition). Michael Huth and Mark Ryan. Cambridge University Press, Mathematical Logic: a course with exercices. Part I: propositional calculus, boolean algebras, predicate calculus. René Cori e Daniel Lascar. Oxford Press, Rigorous Software Development, An Introduction to Program Verification. José Carlos Bacelar Almeida, Maria João Frade, Jorge Sousa Pinto, Simão Melo de Sousa. Series: UTiCS, Springer Verlag A First Course in Logic: An Introduction to Model Theory, Proof Theory, Computability, and Complexity. Shawn Hedman. Oxford Texts in Logic, Language Proof and Logic (4th edition). Jon Barwise and John Etchemendy. CSLI Publications, 2003.

6 O que vamos estudar? Funcionamento faltas Não há marcação de faltas nas aulas. O que se espera dos alunos Trabalho contínuo! São 6 créditos, implica investimento autónomo semanal Crítica (construtiva) frontal e atempada.

7 O que é a lógica? Lógica: de que se trata? A lógica está na base do raciocínio É um processo inerentemente humano, tão básico que vimos todos de nascença equipados com essa capacidade: temos uma ideia intuitiva e inata do que é um processo dedutivo correcto e o que é "disparatado". Qualquer processo racional de tirar conclusões a partir de hipóteses é baseado em lógica. Exemplos de afirmações que podem ou não ser válidas: ou gosto ou não gosto de lógica hoje chove e não chove hoje é dia 18 e dia 19 se apanhar o comboio das 18h não chego atrasado não gostava de lógica se fosse marciano ε > 0 δ > 0 x ( x a < δ f (x) b < ε)

8 O que é a lógica? Lógica: de que se trata? Não trata d A Verdade... disso ocupa-se a Filosofia (ou a Religião). A lógica é um ramo do conhecimento Faz parte da matemática, mas surge em inúmeros campos. Os outros ramos da matemática e a física são grandes clientes. A filosofia é tanto um "cliente"como um "produtor"importante. Formalização começou na antiguidade. Os Gregos deram o pontapé de saída, mas houve muitos outros contributos fundamentais.

9 O que é a lógica? Lógica: as figuras clássicas Aristótles: o pai da lógica dedutiva Viveu em Atenas de 384 a 322 A.C. Definiu as bases axiomáticas do raciocínio (lógico). Junto com Sócrates e Platão, estabeleceu as bases do conhecimento científico da Europa. Euclides: o pai da prova matemática Viveu em Alexandria, cerca do ano 300 A.C. Formalizou a Geometria, baseada em princípios matemáticos rigorosos. O seu livro Os elementos foi a referência central até ao Séc XIX.

10 O que é a lógica? Lógica: a formalização da Matemática Georg Cantor: o pai da teoria de conjuntos Nasceu na Russia em 1845; morreu na Alemanha em Inventou a teoria de conjuntos, definiu a noção de infinito e de números transfinitos; mostrou que há mais reais que naturais. Estabeleceu os fundamentos da Matemática moderna. David Hilbert (veremos à frente) disse em 1926 Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou para nós. Bertrand Russell: o pai da Lógica como fundação da Matemática Viveu em Inglaterra de 1872 a Estudou os fundamentos da Matemática e descobriu o paradoxo que abalou a teoria de conjuntos. Escreveu The Principles of Mathematics mostrando que a Matemática pode ser deduzida de um pequeno número de princípios.

11 O que é a lógica? Lógica: a metamatemática David Hilbert: o pai da prova automática Viveu na Alemanha de 1862 a O mais importante matemático da época. Definiu os Espaços de Hilbert, a matemática da relatividade e da quântica ( A Física é demasiado difícil para os Físicos ), a Teoria da Prova e a Lógica Matemática. Em 1900 estabeleceu os 23 mais importantes problemas da Matemática, alguns deles estão ainda hoje por resolver. Definiu um programa de investigação para formular TODA a Matemática com bases sólidas e acentes na Lógica (a partir de um conjunto finito de axiomas, provados consistentes). No Congresso dedicado aos seus 70 anos, em 1923, afirmou Temos que saber, viremos a saber! para sublinhar que a Matemática desvendaria toda a Verdade.

12 O que é a lógica? Lógica: a consciência dos limites Kurt Gödel: o pai da incompletude Nasceu na Austria em 1906; morreu nos EUA em Mostrou a completude da Lógica de 1 a ordem (no doutoramento, aos 24 anos) e a incompletude de qualquer sistema axiomático capaz de descrever a aritmética dos naturais. Anunciou o resultado no Congresso de Hilbert (destruindo assím o programa que estava nesses dias em apoteose). Incompletude: há proposições verdadeiras num sistema consistente que não podem ser provadas. Estabeleceu as bases da Computação, com a Teoria das funções recursivas, e entre outros trabalhos importantes, mostrou soluções paradoxais para as equações de campo da relatividade generalizada, universos rotativos que permitiriam viagens António Ravara, no tempo. Simão Melo de Sousa

13 O que é a lógica? Lógica: o berço da computação Church: o pai das linguagens de programação Viveu nos EUA de 1903 a Contribuiu para a Lógica Matemática e para a Teoria da Computação, tendo definido o Cálculo-Lambda para provar que é indecidível determinar se dada proposição arbitrária de uma teoria matemática é ou não verdadeira. A simplicidade e expressividade do Cálculo-Lambda, que permite codificar funções, fizeram dele a primeira linguagem de programação.

14 O que é a lógica? Lógica: o berço da computação Alan Turing: o pai da computação Viveu em Inglaterra de 1912 a Definiu o primeiro modelo de computação (uma máquina que podia executar qualquer programa): a Máquina Universal de Turing. Mostrou a indecidibilidade do Halting Problem. Estabeleceu a Tese de Church-Turing: Toda a função algoritmicamente calculável é computavel por uma Máquina de Turing. Descodificou o sistema de encriptação da marinha Alemã. Churchill disse que não é um homem que ganha uma guerra, mas que sem Turing a Grã-Bretanha teria provavelmente perdido a 2 a guerra.

15 O que é a lógica? Lógica: uma linguagem formal A lógica é uma língua Diz-se uma linguagem artificial, por contraste com as línguas naturais (como o Português ou o Inglês, ambíguas e difíceis de representar). É uma linguagem (formal, ou simbólica), que usa símbolos próprios (,,, ), com sintaxe e semântica claras, distinguidas e rigorosamente definidas. É universal, precisa e dedicada ao objectivo. Equipada com regras para decidir da validade de uma afirmação (escrita na linguagem em causa), eventualmente a partir de outras afirmações válidas.

16 O que é a lógica? Lógica: nem tudo é simples e resolúvel... Exemplos de ambiguidades e paradoxos O Pedro foi ao médico e ficou doente. Causalidade? O Pedro está em casa ou a Rita está em casa e a Ana está feliz. Como associar? Seja n o mais pequeno natural que não pode ser definido em menos de 20 palavras. A frase tem menos de 20 palavras?! Seja C o conjunto que contém todos os conjuntos. Contém-se a si mesmo? Só digo mentiras! Se é verdade, não menti, logo é falsa?! SeAntónio é falsa, Ravara, menti, Simão Melo logodeésousa verdade?!

17 Entender o raciocínio A lógica na computação Áreas de aplicação Processo dedutivo Consequência lógica Se uma afirmação A decorre de outra B, não pode B ser verdade sem que A o seja. Serve também para mostrar que uma teoria é falsa: se uma teoria económica diz que a inflaxão é consequência de uma baixa taxa de desemprego, e se se observa simultaneamente baixa inflaxão e baixo desemprego, a teoria tem que ser revista. Permite obter provas: objecto matemático irrefutável que estabelece que dado facto é verdade.

18 Entender o raciocínio A lógica na computação Áreas de aplicação Exemplo de dedução Consequência lógica Se o metro se atrasar e não houver táxis na estação, o Pedro chega tarde. O Pedro não chegou tarde, mas o metro atrasou-se. Logo, havia táxis na estação. Se está a chover e a Ana não tiver um guarda-chuva com ela, vai-se molhar. A Ana não se está a molhar, mas está a chover. Logo, tem um guarda-chuva com ela. Verificação Intuitivamente, as frases reflectem raciocínios válidos, mas como verificar? Na verdade, o raciocínio que prova uma também serve para provar a outra.

19 Entender o raciocínio A lógica na computação Áreas de aplicação Verificação de consequência lógica Formalização Hipótese 1: se p e não q então r. Hipótese 2: não r e p. Tese: q. Prova Hipótese 1 é equivalente a não p ou q ou r. Hipótese 2 diz que p e não r. Logo q.

20 Entender o raciocínio A lógica na computação Áreas de aplicação O que dá a lógica à computação Ferramentas essenciais Linguagem para modelar entidades computacionais (equipamentos, sistemas ou programas). Regras para raciocínio formal sobre propriedades de termos (palavras) da linguagem. O raciocínio formal pode ser executado mecanica e automaticamente. Aplicações Circuitos digitais. Inteligência artificial. Teoria da complexidade. Verificação de programas.

21 Entender o raciocínio A lógica na computação Áreas de aplicação Inteligência artificial Objectivo Desenvolver métodos e/ou dispositivos computacionais que simulem o pensamento humano. Alguns ramos Computação inspirada em fenómenos naturais (genética, neuronal, etc). Processamento de linguagem natural. Robótica.

22 Entender o raciocínio A lógica na computação Áreas de aplicação Teoria da complexidade Objectivo Classificar problema de acordo com o seu grau de dificuldade. Alguns problemas Determinar se um problema pode ser decidido (resolvido). Exemplo: problema da paragem (verificar se dado programa com certo input termina). Calcular o tempo de execução de um programa em função do tamanho dos dados de entrada. Programas dizem-se polinomiais (deterministas ou não) ou exponenciais. P = NP? Saber se a classe dos problemas resolúveis deterministicamente em tempo polinomial coincide com a classe dos problemas resolúveis não deterministicamente em tempo polinomial.

23 Entender o raciocínio A lógica na computação Áreas de aplicação Verificação de programas Objectivo Garantir que dado programa tem o comportamento pretendido. São de facto dois problemas: especificar comportamento e provar correcção. Algumas aplicações Síntese de programas correctos. Sistemas de tipos. Verificação de modelos ( model checking ).

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1 Aula Teórica 1: Apresentação António Ravara Simão Melo de Sousa Departamento de Informática, Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa Departamento de Informática, Faculdade Engenharia, LISP & Release Group Universidade Beira Interior 2 O que vamos estudar?

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Saiba mais

1. 1. Lógica Computacional Diego Silveira Costa Nascimento Instituto Federal do Rio Grande do Norte diego.nascimento@ifrn.edu.br 28 de maio de 2014

2. 2. Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Tautologia, Contradição e Contingência 5 Implicação Lógica 6 Equivalência Lógica 7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo 8 Inferência Lógica 9 Demonstração Indireta 10 Sentenças Abertas 11 Quantiﬁcadores Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 2 / 121

3. 3. Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Tautologia, Contradição e Contingência 5 Implicação Lógica 6 Equivalência Lógica 7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo 8 Inferência Lógica 9 Demonstração Indireta 10 Sentenças Abertas 11 Quantiﬁcadores Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 3 / 121

4. 4. Objetivos da Disciplina Apresentar a disciplina de Lógica; Discutir o cenário no qual a disciplina poderá ser aplicada; Apresentar um pouco da história da lógica; Fazer com que o estudante consiga no futuro relacionar os aspectos abstratos da computação com sua implementação; e Incentivar a escrita dos algoritmos antes de sua implementação propriamente dita. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 4 / 121

5. 5. Motivações em Estudar Lógica O estudo desta disciplina faz o aluno adquirir ou aperfeiçoar seu raciocínio lógico no intuito de desenvolverem programas e sistemas em uma determinada linguagem de programação. A Lógica é apresentada como uma técnica eﬁciente para: a organização de conhecimentos em qualquer área; raciocinar corretamente sem esforço consciente; interpretar e analisar informações rapidamente; aumentar a competência linguística (oral e escrita); adquirir destreza com o raciocínio quantitativo; e detectar padrões em estruturas (premissas, pressuposições, cenários, etc.) Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 5 / 121

6. 6. Lógica A palavra Lógica deriva do Grego (logos), que signiﬁca: palavra, pensamento, ideia, argumento, relato, razão lógica ou princípio lógico. Deﬁnição Lógica é a ciência das leis ideais do pensamento e a arte de aplicá-las à pesquisa e à demonstração da verdade. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 6 / 121

7. 7. Origem da Lógica A Lógica teve início na Grécia em 342 a.C.; Aristóteles sistematizou os conhecimentos existentes em Lógica, elevando-a à categoria de ciência; Em sua obra chamada Organum ("ferramenta para o correto pensar"), estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos que até hoje são considerados válidos. Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio que, a partir de conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhecimentos; e A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia à Lógica a formulação de leis gerais de encadeamentos lógicos que levariam à descoberta de novas verdades. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 7 / 121

8. 8. Argumento Lógico Em Lógica, o encadeamento de conceitos é chamado de argumento; As aﬁrmações de um argumento são chamadas de proposições; Um argumento é um conjunto de proposições tal que se aﬁrme que uma delas é derivada das demais; Usualmente, a proposição derivada é chamada de conclusão, e as demais, de premissas; e Em um argumento válido, as premissas são consideradas provas evidentes da verdade da conclusão. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 8 / 121

9. 9. Exemplo de Argumento Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 9 / 121

10. 10. Inferência Lógica Lógica dispõe de duas ferramentas principais que podem ser utilizadas pelo pensamento na busca de novos conhecimentos: a dedução e a indução. Dedução Um argumento dedutivo é válido quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão; e De forma geral, a dedução sempre preserva a verdade. Indução Um argumento indutivo fornece provas cabais da veracidade da conclusão, ou seja, apenas que forne indicações dessa veracidade; e De forma geral, a indução nem sempre preserva a verdade. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 10 / 121

11. 11. Exemplos de Inferências Dedutiva e Indutiva Em outras palavras, na dedução, a conclusão é consequência necessária das premissas, e na indução, a conclusão é consequência plausível das premissas. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 11 / 121

12. 12. Princípios Lógicos A Lógica Formal repousa sobre três princípios fundamentais que permitem todo seu desenvolvimento posterior, e que dão validade a todos os atos do pensamento e do raciocínio. São eles: Princípio da Identidade Aﬁrma A = A e não pode ser B, o que é, é; Princípio da Não Contradição A = A e nunca pode ser não-A, o que é, é e não pode ser sua negação, ou seja, o ser é, o não ser não é; e Princípio do Terceiro Excluído Aﬁrma que Ou A é x ou A é y, não existe uma terceira possibilidade. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 12 / 121

13. 13. Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Tautologia, Contradição e Contingência 5 Implicação Lógica 6 Equivalência Lógica 7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo 8 Inferência Lógica 9 Demonstração Indireta 10 Sentenças Abertas 11 Quantiﬁcadores Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 13 / 121

14. 14. Logica Proposicional Deﬁnição É um sistema formal no qual as fórmulas representam proposições que podem ser formadas pela combinação de proposições atômicas usando conectivos lógicos e um sistema de regras de derivação, que permite que certas fórmulas sejam estabelecidas como "teoremas" do sistema formal. Em termos gerais, um cálculo proposicional é frequentemente apresentado como um sistema formal que consiste em um conjunto de expressões sintáticas (fórmulas bem formadas, ou fbfs), um subconjunto distinto dessas expressões, e um conjunto de regras formais que deﬁne uma relação binária especíﬁca, que se pretende interpretar como a noção de equivalência lógica, no espaço das expressões. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 14 / 121

15. 15. Proposições Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo; As proposições transmitem pensamentos; e Aﬁrmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes. Exemplos A Lua é um satélite da Terra; Sócrates é um homem; Eu estudo Lógica; Todos os homens são mortais; ou Não existe homem inﬁel. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 15 / 121

16. 16. A Linguagem da Lógica Proposicional Considere o conjunto de símbolos: A = {(, ), ¬, ∧, ∨, →, ↔, p, q, r, s, . . .} A esse conjunto é chamado de alfabeto da Lógica Proposicional; As letras são símbolos não lógico (letras sentenciais); e O restante são símbolos lógicos (parênteses e conectivos lógicos); Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 16 / 121

17. 17. Letras Sentenciais As letras sentenciais são usadas para representar proposições elementares ou atômicas, isto é, proposições que não possuem partes que sejam também proposições. Exemplos p = O céu é azul; Q = Eu estudo lógica; r = 2 + 2 = 4; ou s = Sócrates é um homem. Importante As partes dessas proposições não são proposições mais simples, mas sim, componentes subsentenciais: expressões, palavras, sílabas ou letras. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 17 / 121

18. 18. Conectivos Lógicos As proposições compostas são obtidas combinando proposições simples através de certos termos chamados conectivos; A Lógica dispõe de cinco tipos de conectivos e seus operadores: Não (Negação), ¬ ; E (Conjunção), ∧; Ou (Disjunção), ∨; Se - então (Condicional), →;e Se e somente se (Bicondicional), ↔. Exemplos Não está chovendo; Está chovendo e está ventando; Está chovendo ou está nublado; Se choveu, então está molhado; ou Será aprovado se e somente se estudar. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 18 / 121

19. 19. Operador de Negação: ¬ A característica peculiar da negação, tal como ela se apresenta na lógica proposicional clássica, é que toda proposição submetida à operação de negação resulta na sua contraditória. Exemplo p = Está chovendo. Ler-se ¬p, como: "Não está chovendo." Importante O fato expresso por uma proposição não pode ocorrer ao mesmo tempo e sob o mesmo modo e circunstância que o fato expresso pela negação dessa mesma proposição. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 19 / 121

20. 20. Tabela Verdade: ¬ Se p é uma proposição, a expressão ¬p é chamada negação de p; e Claramente, a negação inverte o valor verdade de uma expressão. Exemplo p ¬p V F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 20 / 121

21. 21. Operador de Conjunção: ∧ A característica peculiar da conjunção está no fato de fórmulas conjuntivas expressarem a concomitância de fatos. A fórmula (p ∧ q) expressa que o fato expresso por p ocorre ao mesmo tempo que o fato expresso por q. Exemplo p = Está chovendo. q = Está ventando. Ler-se p ∧ q, como: "Está chovendo e está ventando." Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 21 / 121

22. 22. Tabela Verdade: ∧ Se p e q são proposições, a expressão p ∧ q é chamada conjunção de p e q; e As proposições p e q são chamadas fatores da expressão. Exemplo p q p∧q V V V V F F F V F F F F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 22 / 121

23. 23. Operador de Disjunção: ∨ A característica peculiar da disjunção consiste no fato de proposições disjuntivas expressarem que pelo menos um de dois fatos ocorre. A fórmula (p ∨ q) expressa que, dentre os fatos expressos por p e q respectivamente, pelo menos um deles ocorre. Exemplo p = Está nublado. q = Está chovendo. Ler-se p ∨ q, como: "Está nublado ou está chovendo." Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 23 / 121

24. 24. Tabela Verdade: ∨ Se p e q são proposições, a expressão p ∨ q é chamada disjunção inclusiva de p e q; e As proposições p e q são chamadas parcelas da expressão. Exemplo p q p∨q V V V V F V F V V F F F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 24 / 121

25. 25. Operador Condicional: → A característica peculiar dessa operação consiste em que um condicional (p → q) expressa que a ocorrência do fato expresso por p garante necessariamente a ocorrência do fato expresso por q. Exemplo p = Choveu. q = Está molhado. Ler-se p → q, como: "Se choveu, então está molhado." Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 25 / 121

26. 26. Tabela Verdade: → Se p e q são proposições, a expressão p → q é chamada condicional de p e q; A proposição p é chamada antecedente, e a proposição q consequente da condicional; e A operação de condicionamento indica que o acontecimento de p é uma condição para que q aconteça. Exemplo p q p→q V V V V F F F V V F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 26 / 121

27. 27. Operador Bicondicional: ↔ A característica peculiar dessa operação consiste em que um bicondicional (p ↔ q) assevera que os fatos expressos por p e q são interdependentes, isto é, ou os dois ocorrem juntos ou nenhum dos dois ocorrem. Exemplo p = Será aprovado. q = Estudar. Ler-se p ↔ q, como: " Será aprovado, se e somente se estudar." Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 27 / 121

28. 28. Tabela Verdade: ↔ Se p e q são proposições, a expressão p ↔ q é chamada bicondicional de p e q; e A operação de bicondicionamento indica que p é uma condição para que q aconteça, e vice-versa. Exemplo p q p↔q V V V V F F F V F F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 28 / 121

29. 29. Parênteses: (e) A necessidade de usar parênteses na simbolização das proposições se deve ao fato de se evitar qualquer tipo de ambiguidade. Exemplo p = Estudar. q = Fazer a prova. r = Fazer o trabalho. s = Serei aprovado. Ler-se ((p ∧ q) ∨ r) → s, como: " Se ((estudar e fazer a prova) ou fazer o trabalho), então será aprovado." Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 29 / 121

30. 30. Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Tautologia, Contradição e Contingência 5 Implicação Lógica 6 Equivalência Lógica 7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo 8 Inferência Lógica 9 Demonstração Indireta 10 Sentenças Abertas 11 Quantiﬁcadores Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 30 / 121

31. 31. Tabela-verdade de uma Proposição Composta Dadas várias proposições simples p, q, r, . . ., podemos combiná-las pelos operadores lógicos ∧, ∨, →, ↔ e construir proposições compostas: Exemplo P(p, q) = ¬p ∨ (p → q) Q(p, q) = (p ↔ ¬q) ∧ q R(p, q, r) = (p → ¬q ∨ r) ∧ ¬(q ∨ (p ↔ ¬r)) Então, com o emprego das tabelas-verdade das operações lógicas fundamentais já estudadas: ¬p, p ∧ q, p ∨ q, p → q e p ↔ q; É possível construir a tabela-verdade correspondente a qualquer proposição composta; e A tabela-verdade exibirá exatamente os casos em que a proposição composta será verdadeira (V ) ou falsa (F), admitindo-se que o seu valor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 31 / 121

32. 32. Ordem de Precedência dos Operadores 1 Percorra a expressão da esquerda para a direita, executando as operações de negação, na ordem em que aparecerem; 2 Percorra novamente a expressão, da esquerda para a direita, executando as operações de conjunção e disjunção, na ordem em que aparecerem; 3 Percorra outra vez a expressão, da esquerda para a direita, executando desta vez as operações de condicionamento, na ordem em que aparecerem; e 4 Percorra uma última vez a expressão, da esquerda para a direita, executando as operações de bicondicionamento, na ordem em que aparecerem. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 32 / 121

33. 33. Construindo a Tabela-verdade Dada uma expressão proposicional composta, e dados os valores lógicos das proposições simples que a compõe, podemos, com a ordem de precedência, calcular o valor lógico da expressão dada. Expressão Proposicional Composta P(p, q) = ¬(p ∧ ¬q) Forma-se, em primeiro lugar, o par de colunas correspondentes às duas proposições simples p e q. Exemplo p q V V V F F V F F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 33 / 121

34. 34. Construindo a Tabela-verdade (cont.) Em seguida, forma-se a coluna para ¬q. Exemplo p q ¬q V V F V F V F V F F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 34 / 121

35. 35. Construindo a Tabela-verdade (cont.) Depois, forma-se a coluna para p ∧ ¬q. Exemplo p q ¬q p∧¬q V V F F V F V V F V F F F F V F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 35 / 121

36. 36. Construindo a Tabela-verdade (cont.) Por ﬁm, forma-se a coluna relativa aos valores lógicos da proposição composta ¬(p ∧ ¬q). Exemplo p q ¬q p∧¬q ¬(p∧¬q) V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 36 / 121

37. 37. Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Tautologia, Contradição e Contingência 5 Implicação Lógica 6 Equivalência Lógica 7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo 8 Inferência Lógica 9 Demonstração Indireta 10 Sentenças Abertas 11 Quantiﬁcadores Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 37 / 121

38. 38. Tautologia Deﬁnição Tautologia é toda proposição composta P(p, q, r, . . .) cujo valor lógico é sempre verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p, q, r, . . . As tautologias são também denominadas proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 38 / 121

39. 39. Tautologia: Demonstração I Proposição ¬(p ∧ ¬p) Exemplo p ¬p p∧¬p ¬( p∧¬p) V F F V F V F V Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre verdadeiro. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 39 / 121

40. 40. Tautologia: Demonstração II Proposição p ∨ ¬p Exemplo p ¬p p∨¬p V F V F V V Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 40 / 121

41. 41. Contradição Deﬁnição Contradição é toda proposição composta P(p, q, r, . . .) cujo valor lógico é sempre falso, quais quer que sejam os valores lógicos das proposições simples p, q, r, . . . As contradições são também denominadas proposições contraválidas ou proposições logicamente falsas. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 41 / 121

42. 42. Contradição: Demonstração I Proposição p ∧ ¬p Exemplo p ¬p p∧¬p V F F F V F Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre falso. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 42 / 121

43. 43. Contradição: Demonstração II Proposição p ↔ ¬p Exemplo p ¬p p↔ ¬p V F F F V F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 43 / 121

44. 44. Contingência Deﬁnição Contingencia é toda a proposição composta que não é tautologia nem contradição. As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 44 / 121

45. 45. Contingência: Demonstração I Proposição p → ¬p Exemplo p ¬p p→ ¬p V F F F V V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 45 / 121

46. 46. Contingência: Demonstração II Proposição p ∨ q → p Exemplo p q p∨q p∨q → p V V V V V F V V F V V F F F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 46 / 121

47. 47. Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Tautologia, Contradição e Contingência 5 Implicação Lógica 6 Equivalência Lógica 7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo 8 Inferência Lógica 9 Demonstração Indireta 10 Sentenças Abertas 11 Quantiﬁcadores Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 47 / 121

48. 48. Implicação Lógica Deﬁnição Diz-se que uma proposição P(p, q, r, . . .) implica logicamente uma proposição Q(p, q, r, . . .), se Q(p, q, r, . . .) é verdadeiro todas as vezes em que P(p, q, r, . . .) é verdadeiro. Notação P(p, q, r, . . .) ⇒ Q(p, q, r, . . .) Importante Em particular, toda proposição implica uma tautologia e somente uma contradição implica uma contradição. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 48 / 121

49. 49. Propriedades da Implicação Lógica É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições utiliza-se das propriedades reﬂexiva (R) e transitiva (T). Exemplo (R) P(p, q, r, . . .) ⇒ P(p, q, r, . . .) (T) Se P(p, q, r, . . .) ⇒ Q(p, q, r, . . .) e Q(p, q, r, . . .) ⇒ R(p, q, r, . . .), então P(p, q, r, . . .) ⇒ R(p, q, r, . . .) Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 49 / 121

50. 50. Demonstração de Implicação Lógica I Proposições p ∧ q, p ∨ q e p ↔ q Exemplo p q p∧q p∨q p↔q V V V V V V F F V F F V F V F F F F F V A proposição p ∧ q é verdadeira somente na linha 1, e nesta linha, as proposições p ∨ q e p ↔ q também são verdadeiras. Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é: p ∧ q ⇒ p ∨ q e p ∧ q ⇒ p ↔ q Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 50 / 121

51. 51. Demonstração de Implicação Lógica II Proposições p ↔ q, p → q e q → p Exemplo p q p↔q p→q q→p V V V V V V F F F V F V F V F F F V V V A proposição p ↔ q é verdadeira nas linhas 1 e 4 e, nestas linhas, proposições p → q e q → p também são verdadeiras. Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é: p ↔ q ⇒ p → q e p ↔ q ⇒ q → p Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 51 / 121

52. 52. Tautologias e Implicação Lógica Teorema A proposição P(p, q, r, . . .) implica a proposição Q(p, q, r, . . .) isto é: P(p, q, r, . . .) ⇒ Q(p, q, r, . . .) se e somente se a condicional: P(p, q, r, . . .) → Q(p, q, r, . . .) é tautológica. Importante Os símbolos → e ⇒ são distintos, pois o primeiro é de operação lógica (aplicado, por ex., às proposições p e q dá a nova proposição p → q), enquanto que o segundo é de relação (estabelece que a condicional P(p, q, r, . . .) → Q(p, q, r, . . .) é tautológica). Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 52 / 121

53. 53. Demonstração de Tautologia e Implicação Lógica Condicional (p → q) ∧ p → q Exemplo p q p→q (p→q)∧ p (p→q)∧ p → q V V V V V V F F F V F V F F V F F V F V Portanto, simbolicamente: (p → q) ∧ p ⇒ q Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 53 / 121

54. 54. Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Tautologia, Contradição e Contingência 5 Implicação Lógica 6 Equivalência Lógica 7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo 8 Inferência Lógica 9 Demonstração Indireta 10 Sentenças Abertas 11 Quantiﬁcadores Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 54 / 121

55. 55. Equivalência Lógica Deﬁnição Diz-se que uma proposição P(p, q, r, . . .) é logicamente equivalente a uma proposição Q(p, q, r, . . .), se as tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas. Notação P(p, q, r, . . .) ⇔ Q(p, q, r, . . .) Importante Em particular, se as proposições P(p, q, r, . . .) e Q(p, q, r, . . .) são ambas tautológicas ou são ambas contradições, então são equivalentes. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 55 / 121

56. 56. Propriedades da Equivalência Lógica É imediato que a relação de equivalência lógica entre proposições utiliza-se das propriedades reﬂexiva(R), simétrica (S) e transitiva (T), isto é, simbolicamente: Exemplo (R) P(p, q, r, . . .) ⇔ P(p, q, r, . . .) (S) Se P(p, q, r, . . .) ⇔ Q(p, q, r, . . .), então Q(p, q, r, . . .) ⇔ P(p, q, r, . . .) (T) Se P(p, q, r, . . .) ⇔ Q(p, q, r, . . .) e Q(p, q, r, . . .) ⇔ R(p, q, r, . . .), então P(p, q, r, . . .) ⇔ R(p, q, r, . . .) Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 56 / 121

57. 57. Demonstração de Equivalência Lógica I Proposições ¬p → p e p Exemplo p ¬p ¬p→p V F V F V F A proposição ¬p → p e p são equivalentes nas colunas 1 e 2, isto é: ¬p → p ⇔ p Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 57 / 121

58. 58. Demonstração de Equivalência Lógica II Proposições p → p ∧ q e p → q Exemplo p q p∧q p→p∧q p→q V V V V V V F F F F F V F V V F F F V V A proposição p → p ∧ q e p → q são equivalentes nas colunas 4 e 5, isto é: p → p ∧ q ⇔ p → q Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 58 / 121

59. 59. Tautologias e Equivalência Lógica Teorema A proposição P(p, q, r, . . .) é equivalente à proposição Q(p, q, r, . . .), isto é: P(p, q, r, . . .) ⇔ Q(p, q, r, . . .) se e somente se a bicondicional: P(p, q, r, . . .) ↔ Q(p, q, r, . . .) é tautológica. Importante Os símbolos ↔ e ⇔ são distintos, pois o primeiro é de operação lógica (aplicado, por ex., às proposições p e q dá a nova proposição p ↔ q), enquanto que o segundo é de relação (estabelece que a bicondicional P(p, q, r, . . .) ⇔ Q(p, q, r, . . .) é tautológica). Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 59 / 121

60. 60. Demonstração de Equivalência Lógica Proposições (p ∧ ¬q → c) e (p → q) Exemplo p q c p∧¬q p∧¬q→c p→q (p∧¬q→c) ↔ (p→q) V V F F V V V V F F V F F V F V F F V V V F F F F V V V ... ... ... ... ... ... ... Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 60 / 121

61. 61. Proposições Associadas a uma Condicional Deﬁnição Dada a condicional p → q, chama-se proposição associada a p → q as três proposições condicionais que contêm p e q: 1 Proposição recíproca de p → q é q → p; 2 Proposição contrária de p → q é ¬p → ¬q; e 3 Proposição contrapositiva de p → q é ¬q → ¬p. Exemplo p q p→q q→p ¬p→ ¬q ¬q→ ¬p V V V V V V V F F V V F F V V F F V F F V V V V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 61 / 121

62. 62. Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Tautologia, Contradição e Contingência 5 Implicação Lógica 6 Equivalência Lógica 7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo 8 Inferência Lógica 9 Demonstração Indireta 10 Sentenças Abertas 11 Quantiﬁcadores Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 62 / 121

63. 63. Propriedades da Conjunção Seja p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples cujos valores lógicos respectivos são verdadeiro e falso, temos as propriedades a seguir: idempotente, comutativa, associativa e identidade. Idempotente p ∧ p ⇔ p Exemplo p p∧p p∧p↔p V V V F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 63 / 121

64. 64. Propriedades da Conjunção (cont.) Comutativa p ∧ q ⇔ q ∧ p Exemplo p q p∧q q∧p p∧q↔q∧p V V V V V V F F F V F V F F V F F F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 64 / 121

65. 65. Propriedades da Conjunção (cont.) Associativa (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) Exemplo p q r p∧q (p∧q)∧r q∧r p∧(q∧r) V V V V V V V V V F V F F F V F V F F F F V F F F F F F F V V F F V F F V F F F F F F F V F F F F F F F F F F F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 65 / 121

66. 66. Propriedades da Conjunção (cont.) Identidade p ∧ t ⇔ p e p ∧ c ⇔ c Exemplo p t c p∧t p∧c p∧t↔p p∧c↔c V V F V F V V F V F F F V V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 66 / 121

67. 67. Propriedades da Disjunção Seja p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples cujos valores lógicos respectivos são verdadeiro e falso, temos as propriedades a seguir: idempotente, comutativa, associativa e identidade. Idempotente p ∨ p ⇔ p Exemplo p p∨p p∨p↔p V V V F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 67 / 121

68. 68. Propriedades da Disjunção (cont.) Comutativa p ∨ q ⇔ q ∨ p Exemplo p q p∨q q∨p p∨q↔q∨p V V V V V V F V V V F V V V V F F F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 68 / 121

69. 69. Propriedades da Disjunção (cont.) Associativa (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) Exemplo p q r p∨q (p∨q)∨r q∨r p∨(q∨r) V V V V V V V V V F V V V V V F V V V V V V F F V V F V F V V V V V V F V F V V V V F F V F V V V F F F F F F F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 69 / 121

70. 70. Propriedades da Disjunção (cont.) Identidade p ∨ t ⇔ t e p ∨ c ⇔ p Exemplo p t c p∨t p∨c p∨t↔t p∨c↔p V V F V V V V F V F V F V V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 70 / 121

71. 71. Propriedades da Conjunção e Disjunção Seja p, q e r proposições simples quaisquer, podemos representar as propriedades: distributiva, absorção e regras De Morgan. Distributiva p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) e p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) Exemplo p q r q∨r p∧(q∨r) p∧q p∧r (p∧q) ∨ (p∧r) V V V V V V V V V V F V V V F V V F V V V F V V V F F F F F F F F V V V F F F F F V F V F F F F F F V V F F F F F F F F F F F F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 71 / 121

72. 72. Propriedades da Conjunção e Disjunção (cont.) Absorção p ∧ (p ∨ q) ⇔ p e p ∨ (p ∧ q) ⇔ p Exemplo p q p∨q p∧(p∨q) p∧(p∨q) ↔p V V V V V V F V V V F V V F V F F F F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 72 / 121

73. 73. Propriedades da Conjunção e Disjunção (cont.) Regras De Morgan (1806-1871) ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q e ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q Exemplo p q p∧q ¬(p∧q) ¬p ¬q ¬p∨¬q V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 73 / 121

74. 74. Negação da Condicional Demonstração Como p → q ⇔ p ∧ ¬q, temos: ¬(p → q) ⇔ ¬(¬p ∨ q) ⇔ ¬¬p ∧ ¬q ou seja: ¬(p → q) ⇔ p ∧ ¬q Exemplo p q p→q ¬(p→q) ¬q p∧¬p V V V F F F V F F V V V F V V F F F F F V F V F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 74 / 121

75. 75. Negação da Bicondicional Demonstração Como p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p), temos: p ↔ q ⇔ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) e portanto: ¬(p ↔ q) ⇔ ¬(¬p ∨ q) ∨ ¬(¬q ∨ p) ⇔ (¬¬p ∧ ¬q) ∨ (¬¬q ∧ ¬p) ou seja: ¬(p ↔ q) ⇔ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) Exemplo p q ¬p ¬q p∧¬q ¬p∧q (p∧¬q) ∨ (¬p∧q) p↔q ¬(p↔q) V V F F F F F V F V F F V V F V F V F V V F F V V F V F F V V F F F V F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 75 / 121

76. 76. Dedução Deﬁnição Dado um argumento P1, P2 e P3 → Q chama-se demonstração ou dedução de Q a partir das premissas P1, P2, . . . Pn, a sequência ﬁnita de proposições X1, X2, . . . Xm, tal que cada Xi ou é uma premissa ou decorre logicamente de proposições anteriores da sequência, e de tal modo que a última proposição Xm seja a conclusão Q do argumento dado. Desta forma, se for possível obter a conclusão Q através do procedimento de dedução, o argumento é válido, caso contrário, não é válido. O método dedutivo é mais eﬁcente para demonstração de implicações e equivalências lógicas do que quando utiliza-se de tabelas-verdade. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 76 / 121

77. 77. Demonstração da Implicação I Implicação p ∧ q ⇒ p Exemplo p ∧ q → p ⇔ ¬(p ∧ q) ∨ p ⇔ (¬p ∨ ¬q) ∨ p ⇔ (¬p ∨ p) ∨ ¬q ⇔ Tautologia ∨¬q ⇔ Tautologia Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 77 / 121

78. 78. Demonstração da Implicação II Implicação (p → q) ∧ p ⇒ q Exemplo (p → q) ∧ p ⇔ (¬p ∨ q) ∧ p ⇔ (p ∧ ¬p) ∨ (p ∨ q) ⇔ Contradição ∨(p ∨ q) ⇔ p ∨ q ⇒ q (Absorção) Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 78 / 121

79. 79. Demonstração da Equivalência I Equivalência p → q ⇔ p ∨ q → q Exemplo p ∨ q → q ⇔ ¬(p ∨ q) ∨ q ⇔ (¬p ∧ ¬q) ∨ q ⇔ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ q) ⇔ (¬p ∨ q) ∧ Tautologia ⇔ p → q Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 79 / 121

80. 80. Demonstração da Equivalência II Equivalência (p → q) ∧ (p → ¬q) ⇔ ¬p Exemplo (¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q) ⇔ ¬p ∨ (q ∧ ¬q) ⇔ ¬p∨ Contradição ⇔ ¬p Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 80 / 121

81. 81. Forma Normal das Proposições Deﬁnição Uma proposição está na forma normal (FN) se e somente se, quando muito, contém apenas os conectivos: ¬, ∧ e ∨. Exemplo ¬p ∧ q, ¬(p ∨ ¬q) ou p ∨ (p ∧ q) Há duas representações de formas normais para uma proposição: Forma normal conjuntiva (FNC); e Forma normal disjuntiva (FND). Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 81 / 121

82. 82. Forma Normal Conjuntiva Deﬁnição Uma proposição está na forma normal conjuntiva (FNC) se e somente se são veriﬁcadas as seguintes condições: Contém, quanto muito, os conectivos: ¬, ∧ e ∨; O conectivo de negação ¬ não aparece repetido e não tem alcance sobre os conectivos ∧ e ∨; e O conectivo ∨ não tem alcance sobre o conectivo ∧. Exemplo p ∨ ¬q, p ∧ ¬q ∧ r, e (p ∨ q) ∧ q Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 82 / 121

83. 83. Forma Normal Disjuntiva Deﬁnição Um proposição está na forma normal disjuntiva (FND) se e somente se são veriﬁcadas as seguintes condições: Contém, quando muito, os conectivos: ¬, ∧ e ∨; O conectivo de negação ¬ não aparece repedito e não tem alcance sobre os conectivos ∧ e ∨; e O conectivo ∧ não tem alcance sobre o conectivo ∨. Exemplo p ∨ ¬q, p ∨ ¬q ∨ r, e (p ∧ q) ∨ q Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 83 / 121

84. 84. Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Tautologia, Contradição e Contingência 5 Implicação Lógica 6 Equivalência Lógica 7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo 8 Inferência Lógica 9 Demonstração Indireta 10 Sentenças Abertas 11 Quantiﬁcadores Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 84 / 121

85. 85. Argumento Deﬁnição Chama-se argumento toda a aﬁrmação de que uma dada sequência ﬁnita P1, P2, . . . , Pn(n ≥ 1) de proposições tem como consequência ou acarreta uma proposição ﬁnal Q. Um argumento de premissas P1, P2, . . . , Pn e de conclusão Q indica-se por: P1, P2, . . . , Pn Q Importante Um argumento P1, P2, . . . , Pn Q é válido se e somente se a condicional: P1 ∧ P2 ∧ . . . ∧ Pn → Q é tautológica. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 85 / 121

86. 86. Inferência Deﬁnição É o processo pelo qual se chega a uma proposição, ﬁrmada na base de uma ou outras mais proposições aceitas como ponto de partida do processo. Um método mais eﬁciente para demonstrar, veriﬁcar ou testar a validade de um dado argumento P1, P2, . . . , Pn Q consiste em deduzir a conclusão Q a partir das premissas P1, P2, . . . , Pn mediante o uso de certas regras de inferência. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 86 / 121

87. 87. Regras de Inferência Deﬁnição As regras de inferência constituem relações especíﬁcas entre proposições: As regras de inferência são: Regra de Adição (AD); Regra de Simpliﬁcação (SIMP); Regra da Conjunção (CONJ); Regra de Absorção (ABS); Regra Modus ponens (MP); Regra Modus tollens (MT); Regra do Silogismo disjuntivo (SD); Regra do Silogismo hipotético (SH); Regra do Dilema construtivo (DC); e Regra do Dilema destrutivo (DD). Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 87 / 121

88. 88. Regra da Adição Deﬁnição Dada uma proposição p, dela se pode deduzir a sua disjunção com qualquer outra proposição, isto é, deduzir p ∨ q, ou p ∨ r, etc. Exemplo (i) p p ∨ q (ii) p q ∨ p Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 88 / 121

89. 89. Regra de Simpliﬁcação Deﬁnição Da conjunção p ∧ q de duas proposições se pode deduzir cada uma das proposições, p ou q. Exemplo (i) p ∧ q p (ii) p ∧ q q Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 89 / 121

90. 90. Regra da Conjunção Deﬁnição Permite deduzir de duas proposições dadas p e q (premissas) a sua conjunção p ∧ q ou q ∧ p (conclusão). Exemplo (i) p q p ∧ q (ii) p q q ∧ p Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 90 / 121

91. 91. Regra da Absorção Deﬁnição Está regra permite, dada uma condicional p → q como premissa, dela deduzir como conclusão uma outra condicional com o mesmo antecedente p e cujo consequente é a conjunção p ∧ q das duas proposições que integram a premissa, isto é, p → p ∧ q. Exemplo p → q p → (p ∧ q) Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 91 / 121

92. 92. Regra Modus Ponens Deﬁnição Também é chamada Regra de Separação e permite deduzir q (conclusão) a partir de p → q e p (premissas). Exemplo p → q p q Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 92 / 121

93. 93. Regra Modus Tollens Deﬁnição Permite, a partir das premissas p → q (condicional) e ¬q (negação do consequente), deduzir como conclusão ¬p (negação do antecedente). Exemplo p → q ¬q ¬p Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 93 / 121

94. 94. Regra do Silogismo Disjuntivo Deﬁnição Permite deduzir da disjunção p ∨ q de duas proposições e da negação ¬p (ou ¬q) de uma delas a outra proposição q (ou p). Exemplo (i) p ∨ q ¬p q (ii) p ∨ q ¬q p Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 94 / 121

95. 95. Regra do Silogismo Hipotético Deﬁnição Esta regra permite, dada duas condicionais: p → q e q → r (premissas), tais que o consequente da primeira coincide com o antecedente da segunda, deduzir uma terceira condicional p → r (conclusão) cujo antecedente e consequente são respectivamente o antecedente da premissa p → q e o consequente da outra premissa q → r. Exemplo p → q q → r p → r Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 95 / 121

96. 96. Regra do Dilema Construtivo Deﬁnição Nesta regra, as premissas são duas condicionais e a disjunção dos seus antecedentes, e a conclusão é a disjunção dos consequentes destas condicionais. Exemplo p → q r → s p ∨ r q ∨ s Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 96 / 121

97. 97. Regra do Dilema Destrutivo Deﬁnição Nesta regra, as premissas são duas condicionais e a disjunção da negação dos seus consequentes, e a conclusão é a disjunção da negação dos antecedentes destas condicionais. Exemplo p → q r → s ¬q ∨ ¬s ¬p ∨ ¬r Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 97 / 121

98. 98. Validade Mediante Regras de Inferência I Argumento p → q, p ∧ r q Exemplo (1) p → q (2) p ∧ r (3) p 2 - SIMP (4) q 1,3 - MP Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 98 / 121

99. 99. Validade Mediante Regras de Inferência II Argumento p ∧ q, p ∨ r → s p ∧ s Exemplo (1) p ∧ q (2) p ∨ r → s (3) p 1 - SIMP (4) p ∨ r 3 - AD (5) s 2,4 - MP (6) p ∧ s 3,5 - CONJ Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 99 / 121

100. 100. Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Tautologia, Contradição e Contingência 5 Implicação Lógica 6 Equivalência Lógica 7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo 8 Inferência Lógica 9 Demonstração Indireta 10 Sentenças Abertas 11 Quantiﬁcadores Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 100 / 121

101. 101. Demonstração Indireta Deﬁnição Um método frequentemente empregado para demonstrar a validade de um dado argumento: P1, P2, . . . , Pn Q chamado também por "Demonstração por Absurdo" consiste em admitir a negação ¬Q da conclusão Q, isto é, supor ¬Q verdadeira, e daí deduzir logicamente uma contradição qualquer C a partir das premissas P1, P2, . . . Pn e ¬Q, isto é, demonstrar que é válido o argumento: P1, P2, . . . , Pn, ¬Q C Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 101 / 121

102. 102. Validade Mediante Demonstração Indireta I Argumento p → ¬q, r → q ¬(p ∧ r) Exemplo (1) p → ¬q (2) r → q (3) p ∧ r Negação de Q (4) p 3 - SIMP (5) r 3 - SIMP (6) ¬q 1,4 - MP (7) q 2,5 - MP (8) q ∧ ¬q 6,7 - CONJ (Contradição) Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 102 / 121

103. 103. Validade Mediante Demonstração Indireta II Argumento ¬p → q, ¬q ∨ r, ¬r p ∨ s Exemplo (1) ¬p → q (2) ¬q ∨ r (3) ¬r (4) ¬p ∧ ¬s Negação de Q (5) ¬p 4 - SIMP (6) q 1,5 - MP (7) ¬q 2,3 - SD (8) q ∧ ¬q 6,7 - CONJ (Contradição) Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 103 / 121

104. 104. Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Tautologia, Contradição e Contingência 5 Implicação Lógica 6 Equivalência Lógica 7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo 8 Inferência Lógica 9 Demonstração Indireta 10 Sentenças Abertas 11 Quantiﬁcadores Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 104 / 121

105. 105. Sentenças Abertas com uma Variável Deﬁnição Chama-se sentença aberta com uma variável em um conjunto A, uma expressão p(x) tal que p(a) é falsa (F) ou verdadeiro (V ) para todo a ∈ A. Em outros termos, p(x) é uma sentença aberta em A se e somente se p(x) torna-se uma proposição (verdadeira ou falsa) todas as vezes que se substitui a variável x por qualquer elemento a do conjunto A(a ∈ A). Exemplo São sentenças abertas em N = {1, 2, 3, . . . , n, . . .} as seguintes expressões: x + 1 > 8 x + 5 = 9 x é primo Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 105 / 121

106. 106. Sentenças Abertas com duas Variáveis Deﬁnição Dados dois conjuntos A e B, chama-se sentença aberta com duas variáreis em A ∧ B, uma expressão p(x, y) tal que verdadeira (V ) ou falsa (F) para todo o par ordenado (a, b) ∈ AxB. Em outros termos, p(x, y) é uma sentença aberta em AxB se e somente se p(x, y) torna-se uma proposição (verdadeira ou falsa) todas as vezes que as variáveis x e y são substituídas respectivamente pelos elementos a e b de qualquer par ordenado (a, b) pertencente ao produto cartesiano AxB dos conjuntos A e B ((a, b) ∈ AxB). Exemplo Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 6}. São sentenças abertas em AxB as seguintes expressões: x é menor que y x é o dobro de y Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 106 / 121

107. 107. Sentenças Abertas com n-Variáveis Deﬁnição Chama-se sentença aberta com n variáveis em A1xA2x . . . xAn, uma expressão p(x1, x2, . . . , xn) tal que p(a1, a2, . . . , an) é verdadeira (V ) ou falsa (F) para toda n-upla (a1, a2, . . . , an ∈ A1xA2x . . . xAn). Exemplo A expressão x + 2y + 3z < 18 é um sentença aberta em NxNxN, na qual, o termo ordenado (1, 2, 3), satisfaz esta sentença aberta, pois, 1 + 2 ∗ 2 + 3 ∗ 4 < 18. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 107 / 121

108. 108. Operações Lógicas sobre Sentenças Abertas As operações lógicas que deﬁnimos para proposições estendem-se naturalmente à sentenças abertas, e como podemos lembrar, são elas: Não (Negação), ¬ ; E (Conjunção), ∧; Ou (Disjunção), ∨; Se - então (Condicional), →;e Se e somente se (Bicondicional), ↔. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 108 / 121

109. 109. Operação de Negação Exemplo A negação da sentença aberta em R (Conjunto dos números reais): "x < 2" Assim, para x = 0, x = −1, x = 2, x = 5, x = π e x = 8, 57, temos sucessivamente: x x < 2 ¬(x < 2) 0 V F -1 V F 2 F V 5 F V π F V 8,57 F V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 109 / 121

110. 110. Operação de Conjunção Exemplo A conjunção das sentenças abertas em R (Conjunto dos números reais): "x > 2" ∧ "x < 8" Assim, para x = 5, x = π, x = 2, x = −1 e x = 8, 57, temos sucessivamente: x x > 2 x < 8 x > 2 ∧ x < 8 7 V V V π V V V 2 F V F -1 F V F 8,57 V F F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 110 / 121

111. 111. Operação de Disjunção Exemplo A disjunção das sentenças abertas em R (Conjunto dos números reais): "x < 2" ∨ "x > 8" Assim, para x = 0, x = −1, x = 2, x = 5, x = π e x = 8, 57, temos sucessivamente: x x < 2 x > 8 x < 2 ∨ x > 8 0 V F V -1 V F V 2 F F F 5 F F F π F F F 8,57 F V V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 111 / 121

112. 112. Operação Condicional Exemplo A condicional das sentenças abertas em R (Conjunto dos números reais): "x < 2" → "x > 8" Assim, para x = 0, x = −1, x = 2, x = 5, x = π e x = 8, 57, temos sucessivamente: x x < 2 x > 8 x < 2 → x > 8 0 V F F -1 V F F 2 F F V 5 F F V π F F V 8,57 F V V Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 112 / 121

113. 113. Operação Bicondicional Exemplo A bicondicional das sentenças abertas em R (Conjunto dos números reais): "x < 2" ↔ "x > 8" Assim, para x = 0, x = −1, x = 2, x = 5, x = π e x = 8, 57, temos sucessivamente: x x < 2 x > 8 x < 2 ↔ x > 8 0 V F F -1 V F F 2 F F V 5 F F V π F F V 8,57 F V F Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 113 / 121

114. 114. Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Tautologia, Contradição e Contingência 5 Implicação Lógica 6 Equivalência Lógica 7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo 8 Inferência Lógica 9 Demonstração Indireta 10 Sentenças Abertas 11 Quantiﬁcadores Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 114 / 121

115. 115. Quantiﬁcador Deﬁnição O termo quantiﬁcação tem vários signiﬁcados (gerais e especíﬁcos). Ele cobre toda ação que quantiﬁque observações e experiências, traduzindo-as para números através da contagem e mensuração. É, portanto, a base para a matemática e para a ciência. Na linguagem e na lógica, a quantiﬁcação é uma construção que especiﬁca a quantidade de indivíduos de um domínio de discurso que se aplicam a (ou satisfazem) uma fórmula aberta. Os dois tipos fundamentais de quantiﬁcação na lógica de predicados são: Universal, ∀x; e Existencial, ∃x. Importante Os quantiﬁcadores são interdeﬁníveis. Isto signiﬁca que uma fórmula com quantiﬁcador universal pode ser transformada em uma fórmula que contém apenas quantiﬁcadores existencial e vice-versa. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 115 / 121

116. 116. Quantiﬁcador Universal: ∀x Deﬁnição Seja p(x) um sentença aberta em um conjunto não vazio A(A = ∅) e seja Vp o seu conjunto-verdade: Vp = {x|x ∈ A ∧ p(x)} Quando Vp = A, isto é, todos os elementos do conjunto A satisfazem a sentença aberta p(x), podemos, então, aﬁrmar: "Para todo elemento x de A, p(x) é verdadeira (V )"; ou "Qualquer que seja o elemento x de A, p(x) é verdadeira". Exemplo Todo homem é ﬁel. Todo homem é mortal. Toda criança é verdadeira. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 116 / 121

117. 117. Quantiﬁcador Existencial: ∃x Deﬁnição Seja p(x) um sentença aberta em um conjunto não vazio A(A = ∅) e seja Vp o seu conjunto-verdade: Vp = {x|x ∈ A ∧ p(x)} Quando Vp não é vazio (Vp = ∅), então, um elemento, pelo menos, do conjunto A satisfaz a sentença abeta p(x), e podemos aﬁrmar: "Existe pelo menos um x ∈ A" tal que p(x); ou "Para algum x ∈ A tal que p(x)". Exemplo Existe vida em outros planetas. Existe mamífero que voa. Existe cidadão honesto. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 117 / 121

118. 118. Negação de Proposições com Quantiﬁcador Deﬁnição A negação da proposição (∀x ∈ A)(p(x)) é equivalente a aﬁrmação de que, para ao menos um x ∈ A, p(x) é falsa ou ¬p(x) é verdadeira. Logo, subsiste a equivalência: ¬[(∀x ∈ A)(p(x))] ↔ (∃x ∈ A)(¬p(x)) Analogamente, a negação da proposição (∃x ∈ A)(p(x)) é equivalente a aﬁrmar de que, para todo x ∈ A, p(x) é falsa ou ¬p(x) é verdadeira. Logo, subsiste a equivalência: ¬[(∃x ∈ A)(p(x))] ↔ (∀x ∈ A)(¬p(x)) Essas duas importantes equivalências são conhecidas por segunda regra de negação DE MORGAN. Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 118 / 121

119. 119. Quantiﬁcação Múltipla Toda a sentença aberta precedida de quantiﬁcadores, um para cada variável, isto é, com todas as variáveis quantiﬁcadas, é uma proposição, pois, assume um dos valores lógicos V ou F. Exemplo 1 (∀x ∈ A)(∀y ∈ B)(p(x, y)); 2 (∀x ∈ A)(∃y ∈ B)(p(x, y)); ou 3 (∃x ∈ A)(∀y ∈ B)(∀z ∈ C)(p(x, y, z)). Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 119 / 121

120. 120. Quantiﬁcação Múltipla Exemplo Consideramos os conjuntos: H = {Jorge, Cláudio, Paulo}, M = {Suely, Cármen} e seja p(x,y) a sentença aberta em HxM:"x é irmão de y". A proposição: (∀x ∈ H)(∃y ∈ M)(p(x, y)) se pode ler: "Para todo x de H existe pelo menos um y de M tal que x é irmão de y." A proposição: (∃y ∈ M)(∀x ∈ H)(p(x, y)) se pode ler: "Pelo menos uma das mulheres de M é irmã de todos os homens de H". Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 120 / 121

121. 121. Comutativa dos Quantiﬁcadores Quantiﬁcadores do mesmo tipo podem ser comutados: Exemplo (∀x)(∀y)(p(x, y)) ↔ (∀y)(∀x)(p(x, y)) (∃x)(∃y)(p(x, y)) ↔ (∃y)(∃x)(p(x, y)) Quantiﬁcadores de tipos diferentes não podem em geral ser comutados: Exemplo (∀x)(∃y)(x é ﬁlho de y) = (∃x)(∀y)(x é ﬁlho de y) Diego S. C. Nascimento (IFRN) Lógica Computacional Apresentação 121 / 121

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Saiba mais 1. Lógica Computacional Diego Silveira Costa Nascimento Instituto Federal do Rio Grande do Norte diego.nascimento@ifrn.edu.br 28 de maio de 2014 2. Ementa do Curso 1 Introdução 2 Lógica Proposicional 3 Construção de Tabelas-verdade 4 Tautologia, Contradição e Contingência 5 Implicação Lógica 6 Equivalência Lógica 7 Álgebra das Proposições e Método Dedutivo 8 Inferência Lógica 9 Demonstração Indireta 10 Sentenças Abertas 11 Quantiﬁcadores Diego S.

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lógica matemática e computacional 4 – argumento

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Lógica Matemática e Computacional 4 - Argumento, Validade e Tautologia - ppt carregar

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Argumento Um argumento é uma seqüência de proposições na qual uma delas é a conclusão e as demais são premissas. As premissas justificam a conclusão. Proposições: sentenças afirmativas que podem ser verdadeiras ou falsas. Premissas: afirmações disponíveis. Exemplo: Todo aluno de Computação precisa estudar Lógica.

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Lógica Ciência dos argumentos; tem por objeto de estudo os argumentos, procurando elaborar procedimentos que permitam distinguir os argumentos válidos. - ppt video online carregar

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Vantagens e utilidade da lógica Clarificar e analisar o pensamento e a linguagem; Assegurar a eficácia demonstrativa do pensamento; Garantir a correção formal do raciocínio e a coerência do discurso, Definir conceitos, ordenar as noções, obter conclusões formalmente rigorosas

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Fundamentos de lógica

Conceitos

Para melhorar o entendimento da lógica, é necessário conhecer as definições de alguns termos importantes e muito utilizados na lógica. Mundim (2002) destaca :

Proposição: consiste em um enunciado, uma frase declarativa.

Premissas: consistem em proposições que são utilizadas como base para um raciocínio. Pode-se dizer que são as proposições do silogismo.

Argumento: conjunto de enunciados que se relacionam uns com os outros.

Silogismo: consiste em um raciocínio dedutivo (premissas) e possibilita a dedução de uma conclusão a partir das premissas.

Falácia: consiste em argumentos que logicamente estão incorretos.

A partir dos vocabulários, podemos definir os tipos de lógica existentes, entre os quais estão a lógica formal e a lógica transcendental.

Lógica

Lógica Formal

Começa nos estudos de Aristóteles, na Grécia Antiga. A lógica é dita formal quando analisa e representa a forma de qualquer argumento para que possa ser considerado válido para alguma conclusão.

Para se entender a lógica formal e como formamos nosso raciocínio é importante ter em mente alguns conceitos. Uma proposição é um pensamento em forma de frase declarativa. Essa proposição pode ser verdadeira ou falsa. A lógica não permite concluir se uma proposição ou afirmação é verdadeira ou falsa, ela apenas garante que, com base em premissas verdadeiras, seja possível chegar a conclusões verdadeiras.

Portanto, temos que as premissas podem ser verdadeiras ou falsas. Se afirmo que o céu está claro e sem nuvens, você pode olhar pela janela e concluir se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se estiver chovendo, você dirá que minha afirmação é falsa. Por outro lado, um argumento pode ser válido ou inválido.

Em especial no século XIX, alguns matemáticos e filósofos concluíram que a lógica formal não era suficiente para que se pudesse alcançar o rigor necessário na análise dos argumentos. Por isso que foi desenvolvida a lógica simbólica, relacionada à matemática, a partir do século XIX. Ela permite a expressão das premissas e de suas relações por meio de símbolos matemáticos, construindo equações para expressar argumentos. Tal linguagem é absolutamente precisa e não dá margem a duplas interpretações.

Lógica Formal

omeça nos estudos de Aristóteles, na Grécia Antiga. A lógica é dita formal quando analisa e representa a forma de qualquer argumento para que possa ser considerado válido para alguma conclusão.

Para se entender a lógica formal e como formamos nosso raciocínio é importante ter em mente alguns conceitos. Uma proposição é um pensamento em forma de frase declarativa. Essa proposição pode ser verdadeira ou falsa. A lógica não permite concluir se uma proposição ou afirmação é verdadeira ou falsa, ela apenas garante que, com base em premissas verdadeiras, seja possível chegar a conclusões verdadeiras.

Portanto, temos que as premissas podem ser verdadeiras ou falsas. Se afirmo que o céu está claro e sem nuvens, você pode olhar pela janela e concluir se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se estiver chovendo, você dirá que minha afirmação é falsa. Por outro lado, um argumento pode ser válido ou inválido.

Lógica transcendental

É desenvolvida por toda a obra do filósofo Immanuel Kant, em especial em seu célebre livro Crítica da Razão Pura (2015). Nesse livro, Kant discute que nosso conhecimento, o conhecimento humano, parte de duas fontes principais. A primeira trata da receptividade das impressões por meio de nossos sentidos; a segunda fonte é relativa à faculdade de conhecer um objeto por representações mentais, a partir do pensamento.

Desse modo, a lógica transcendental opera a partir das representações, dos conceitos e não das coisas em si. Trata-se de uma investigação sobre as representações a priori, as categorias, os conceitos puros em relação aos objetos, enquanto a Lógica geral se volta para a forma lógica do pensamento.

programação

Kant distingue dois tipos de Conhecimento:

Conhecimento Empírico

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Lógica

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Logica de programação

Lógica dedutiva

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Portanto, Mariana sabe programar.

Aqui, partimos de uma informação geral sobre as habilidades dos analistas de sistemas para concluir sobre as habilidades de Mariana. Com base na afirmativa geral, tomada como verdadeira, a conclusão é inevitável. Chamamos Silogismo esse tipo de argumentação lógica.

Lógica indutiva

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Mariana é analista de sistemas e sabe programar.

Enzo é analista de sistemas e sabe programar.

Sabrina é analista de sistemas e sabe programar.

(...)

Portanto, todos os analistas de sistemas sabem programar.

Observe que, ao consultar dezenas ou centenas de analistas de sistemas, chegamos a uma conclusão geral com relação a eles. Um cuidado a ser tomado com a lógica indutiva é que um único contraexemplo é capaz de invalidar todo um raciocínio.

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