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Reconfigurando o Estágio Curricular Obrigatório em Matemática para o Contexto de Ensino Remoto Emergencial

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Reconfigurando o Estágio Curricular Obrigatório em Matemática para o Contexto de Ensino Remoto Emergencial

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Palavras-chave: Pandemia. Estágio. Matemática. Ensino Remoto Emergencial

Resumo

A pesquisa foi desenvolvida com o objetivo de descrever o processo de reconfiguração do planejamento de dois componentes de Estágio Curricular Supervisionado em Matemática para o contexto de ensino remoto emergencial. Para tanto, apoiou-se em um estudo empírico, de abordagem qualitativa, desenvolvido na modalidade descritiva-participativa. Os resultados sugerem que, mesmo diante do contexto pandêmico, é possível o desenvolvimento dos componentes curriculares de estágio supervisionado, mediante uma reconfiguração permanente e contínua do planejamento das atividades desenvolvidas na universidade e na escola. Foi possível ainda perceber que o uso de ferramentas virtuais pode ser um auxiliar no desenvolvimento de atividades no retorno presencial, mas que elas não superam a dinâmica da sala de aula presencial, seja no ensino superior ou na Educação Básica, no que se refere à garantia do tempo de discussões, reflexões, convívio e, principalmente, na organização do trabalho pedagógico.

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Dossiê Temático - O Estágio Curricular Supervisionado em Matemática

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Reconfigurando o Estágio Curricular Obrigatório em Matemática para o Contexto de Ensino Remoto Emergencial

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Palavras-chave: Pandemia. Estágio. Matemática. Ensino Remoto Emergencial A pesquisa foi desenvolvida com o objetivo de descrever o processo de reconfiguração do planejamento de dois componentes de Estágio Curricular Supervisionado em Matemática para o contexto de ensino remoto emergencial. Para tanto, apoiou-se em um estudo empírico, de abordagem qualitativa, desenvolvido na modalidade descritiva-participativa.

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Estágio Supervisionado na Formação Inicial de Professores de Matemática: limites e possibilidades

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Estágio Supervisionado na Formação Inicial de Professores de Matemática: limites e possibilidades

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Estágio Supervisionado na Formação Inicial de Professores de Matemática: limites e possibilidades

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BARREIRO, Iraíde Marques de Freitas; GEBRAN, Raimunda Abou. Prática de Ensino e Estágio Supervisionado na Formação de Professores. São Paulo: Avercamp, 2006. BRASIL. Resolução Nº 2, de 1º de julho de 2015. Define as Diretrizes Curriculares Nacionais para a formação inicial em nível superior (cursos de licenciatura, cursos de formação pedagógica para graduados e cursos de segunda licenciatura) e para a formação continuada.

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A constituição dos saberes de lógica na formação de professores de matemática da Universidade Estadual de Feira de Santana

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A constituição dos saberes de lógica na formação de professores de matemática da Universidade Estadual de Feira de Santana

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A constituição dos saberes de lógica na formação de professores de matemática da Universidade Estadual de Feira de Santana | Alexandria: Revista de Educação em Ciência e Tecnologia

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O objetivo deste artigo foi divulgar o resultado da investigação sobre a constituição dos saberes da Lógica no curso de formação de professores de matemática da Universidade Estadual de Feira de Santana. Para isso, realizamos um estudo das ferramentas teórico-metodológicas apresentadas por Hofstette…

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Dynamics of Knowledge in Software Project Development Environments: An Approach Using Affiliation Networks

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Dynamics of Knowledge in Software Project Development Environments: An Approach Using Affiliation Networks

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Dynamics of Knowledge in Software Project Development Environments: An Approach Using Affiliation Networks

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This work presents an approach to study the diffusion of knowledge in
software development project teams based on the formation of complex social
network structures in a public organization that offers information and
communication technology services. We collected historical data on the
allocation…

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It is necessary to know a specific mathematics to teach mathematics 

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It is necessary to know a specific mathematics to teach mathematics 

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A Relevância de Conhecer e Compreender a Incompletude da Matemática: um olhar fenomenológico sobre o Teorema da Incompletude de Gödel

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A Relevância de Conhecer e Compreender a Incompletude da Matemática: um olhar fenomenológico sobre o Teorema da Incompletude de Gödel

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José Milton Lopes Pinheiro Rosemeire de Fatima Batistela

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A RELEVÂNCIA DE CONHECER E COMPREENDER A INCOMPLETUDE DA MATEMÁTICA: UM OLHAR FENOMENOLÓGICO SOBRE O TEOREMA DA INCOMPLETUDE DE GÖDEL | Revista Paranaense de Educação Matemática

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Este artigo discute a pertinência da crise nas ciências apresentadas pelo fenomenólogoEdmund Husserl diante do teorema da incompletude de Gödel. Com essa discussão objetiva-se exporo compreendido a respeito da importância de conhecer e compreender a incompletude da Matemática.Para isso realiza-se um…

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O dispositivo da especificidade matemática e a produção do sujeito-professor(a)-de-matemática

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O dispositivo da especificidade matemática e a produção do sujeito-professor(a)-de-matemática

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O dispositivo da especificidade matemática e a produção do sujeito-professor(a)-de-matemática

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Práticas pedagógicas do Biênio da Matemática Carloman Carlos Borges: Aproximação Universidade-Escola sob a luz da teoria bernsteiniana

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Práticas pedagógicas do Biênio da Matemática Carloman Carlos Borges: Aproximação Universidade-Escola sob a luz da teoria bernsteiniana

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Práticas pedagógicas do Biênio da Matemática Carloman Carlos Borges: Aproximação Universidade-Escola sob a luz da teoria bernsteiniana

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Uso de grafos na análise do impacto da volta às aulas: uma tarefa investigativa para a Educação Básica

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Uso de grafos na análise do impacto da volta às aulas: uma tarefa investigativa para a Educação Básica

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Resumo

O presente texto tem como objetivo apresentar uma tarefa investigativa voltada para a Educação Básica que envolve conceitos da Teoria dos Grafos para averiguar o possível impacto da volta às aulas presenciais durante a pandemia do novo coronavírus. Para tanto, desenvolvemos uma pesquisa exploratória, inspirada no conceito de imaginação pedagógica proposto por Ole Skovsmose, e a tarefa desenvolvida segue os passos do ciclo de aprendizagem por meio da investigação proposto por Rodger Bybee. Com a tarefa procuramos mostrar que, sem um controle efetivo da pandemia assegurado por uma vacina, um retorno presencial das atividades escolares colocará em risco de contaminação as nossas crianças e adolescentes e seus familiares.

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Uso de grafos na análise do impacto da volta às aulas:

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O presente texto tem como objetivo apresentar uma tarefa investigativa voltada para a Educação Básica que envolve conceitos da Teoria dos Grafos para averiguar o possível impacto da volta às aulas presenciais durante a pandemia do novo coronavírus.

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Metodologias de Ensino e Conteúdos Tratados nas Dissertações do Profmat de 2013 a 2019 que versam sobre Álgebra na Educação Básica

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Metodologias de Ensino e Conteúdos Tratados nas Dissertações do Profmat de 2013 a 2019 que versam sobre Álgebra na Educação Básica

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O Teorema da Incompletude de Gödel no Âmbito de Alguns Teoremas de Impossibilidade

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O Teorema da Incompletude de Gödel no Âmbito de Alguns Teoremas de Impossibilidade

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Finite graph product closure for a conjecture on the BNS-invariant of Artin groups

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Finite graph product closure for a conjecture on the BNS-invariant of Artin groups

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Affiliations

1. Departamento de Ciências Exatas, Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS), BR 101 Km 03, Feira de Santana, BA, CEP 44031-460, Brazil

Kisnney Emiliano de Almeida

2. Departamento Acadêmico de Matemática, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Av. Sete de Setembro 3165, Curitiba, PR, CEP 80230-901, Brazil

Francismar Ferreira Lima

Corresponding author

Correspondence to Kisnney Emiliano de Almeida.

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Finite graph product closure for a conjecture on the BNS-invariant of Artin groups - Archiv der Mathematik

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We work with a conjecture on the BNS-invariant of Artin groups stated by Almeida and Kochloukova. We show that the class of Artin groups that satisfy this conjecture is closed under finite graph products. As a consequence, we show that the conjecture is true for all Artin groups of finite type and other subclasses.

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We find a condition on the underlying graph of an Artin group that fully determines if it is subgroup separable. As a consequence, an Artin group is s...

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An Analysis of the Influences of a Hybrid Learning Environment in the Solution of Vector Tasks according to the Anthropological Theory of the Didactic (ATD)

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An Analysis of the Influences of a Hybrid Learning Environment in the Solution of Vector Tasks according to the Anthropological Theory of the Didactic (ATD)

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Abstract

This paper discusses a part of a doctoral study based on the theoretical pillars of the Anthropological Theory of the Didactic (ATD). Supported by this theory, our research interest followed a path that led us to the teaching of the mathematical object vector and its institutional configuration in a Mathematics Teaching course at Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS), in the state of Bahia, Brazil, centered on two dichotomous aspects. The first one refers to the possibility of application and institutional relevance of this mathematical object. The second aspect is related to the obstacles encountered in the didactical scope, which have impact on the teaching/learning of this mathematical object. In this discussion, the question that guided our investigation emerged: how to harness praxeological recombinations that can promote mediation between personal and institutional relationships in the scope of vector knowledge in the Mathematics Teaching course at UEFS? Based on this context, we aim at analyzing students' productions in terms of solution paths to a vector task in a Hybrid Learning Environment (HLE), from a developmental perspective based on the T4TEL didactical framework (Chaachoua, 2018). With regard to methodological support, Didactical Engineering provided directions that enabled us to make a comparison between a priori and a posteriori analyses, resulting in the identification of the reach of the techniques that were developed in contrast to the naturalized techniques that are part of this context.

Recommended Citation

Souza Goulart, Jany Santos; Santos Farias, Luiz Márcio; and Chaachoua, Hamid (2021) "An Analysis of the Influences of a Hybrid Learning Environment in the Solution of Vector Tasks according to the Anthropological Theory of the Didactic (ATD)," The Mathematics Enthusiast: Vol. 18 : No. 3 , Article 12.
Available at: https://scholarworks.umt.edu/tme/vol18/iss3/12

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An Analysis of the Influences of a Hybrid Learning Environment in the Solution of Vector Tasks according to the Anthropological Theory of the Didactic (ATD)

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This paper discusses a part of a doctoral study based on the theoretical pillars of the Anthropological Theory of the Didactic (ATD). Supported by this theory, our research interest followed a path that led us to the teaching of the mathematical object vector and its institutional configuration in a Mathematics Teaching course at Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS), in the state of Bahia, Brazil, centered on two dichotomous aspects.

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O Formador e as Tensões entre os Textos Movidos da Matemática Escolar e o Discurso Pedagógico do PROFMAT

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O Formador e as Tensões entre os Textos Movidos da Matemática Escolar e o Discurso Pedagógico do PROFMAT

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Flavia Cristina de Macêdo Santana Universidade Estadual de Feira de Santana - Brasil

Jaqueline de Souza Pereira Grilo Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - Brasil

Jonei Cerqueira Barbosa Universidade Federal da Bahia - Brasil

Resumo

Resumo
O artigo apresenta um estudo que tem como objetivo analisar como o formador lida com tensões entre os textos movidos por professores da educação básica e o discurso pedagógico do Programa de Mestrado Profissional em Rede Nacional em Matemática (PROFMAT). Para tanto, mobilizamos algumas ferramentas conceituais propostas por Basil Bernstein. Os dados foram coletados durante as aulas de uma turma do PROFMAT e o gravador foi o instrumento de registro usado para esse fim. Apoiamo-nos também nos documentos disponibilizados no site do Programa. Para analisar os dados, usamos como postura metodológica a linguagem de descrição em investigação sociológica de Basil Bernstein. Os resultados apontam que as tensões ocorreram em torno de conceitos e procedimentos e que o formador lida com essas tensões de maneiras diferentes: deslegitimando, negando, relativizando ou evitando o texto movido pelos professores da matemática escolar. Por decorrência, a presente investigação aponta a necessidade de reorganização pedagógica do PROFMAT para dar conta das demandas da matemática escolar. Isto não significa que o Programa deve se restringir aos textos que já circulam nessa última, mas tomá-los como ponto de partida para problematização e ampliação, sem perder a vinculação com saber-fazer na educação básica.
Palavras-chave: Formação Continuada. Mestrado Profissional. Tensões.
Abstract
The article presents a study that aimed to analyze how the trainer deals with tensions between the texts moved by teachers of basic education and the pedagogical discourse of the Professional Master's Program in National Network in Mathematics (PROFMAT). For that, we mobilized some conceptual tools proposed by Basil. Data were collected during the classes of PROFMAT course and the recorder was the recording instrument used for this purpose. We also rely on the documents available on the program's website. To analyze the data, we used Basil Bernstein's description language in sociological investigation as methodological posture. The results show that the tensions occurred around concepts and procedures and that the trainer deals with these tensions in different ways: delegitimizing, denying, relativizing or avoiding the text moved by school mathematics teachers. As a result, the present investigation points to the need for a pedagogical reorganization of PROFMAT to meet the demands of school mathematics. This does not mean that the Program should be restricted to texts that are already circulating in the latter, but taking them as a starting point for problematization and expansion, without losing the link with know-how in basic education.
Keywords: Continuing Teacher Training. Professional Master Degree Program. Tensions.

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O Formador e as Tensões entre os Textos Movidos da Matemática Escolar e o Discurso Pedagógico do PROFMAT

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Flavia Cristina de Macêdo Santana Universidade Estadual de Feira de Santana - Brasil Jaqueline de Souza Pereira Grilo Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - Brasil Jonei Cerqueira Barbosa Universidade Federal da Bahia - Brasil ResumoO artigo apresenta um estudo que tem como objetivo analisar como o formador lida com tensões entre os textos movidos por professores da educação básica e o discurso pedagógico do Programa de Mestrado Profissional em Rede Nacional em Matemática (PROFMAT).

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Demonstrações Alternativas e Re-Demonstrações na Produção e no Ensino de Matemática

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Demonstrações Alternativas e Re-Demonstrações na Produção e no Ensino de Matemática

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Rosemeire de Fatima Batistela Universidade Estadual de Feira de Santana, Departamento de Ciências Exatas. BA, Brasil

Maria Aparecida Viggiani Bicudo Universidade Estadual Paulista, Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática. SP, Brasil https://orcid.org/0000-0002-3533-169X

Henrique Lazari Universidade Estadual Paulista, Departamento de Matemática. SP, Brasil

Resumo

Resumo
Neste estudo tratamos o tema demonstrações matemáticas com foco na atividade de demonstrar novamente resultados que já foram comprovados e buscamos entender as razões que impelem a prática matemática de elaboração de demonstrações alternativas. Expomos e justificamos nosso entendimento de que re-demonstrar e efetuar demonstrações alternativas é um modo de produzir matemática. Entendemos que na prática pedagógica ao ensinar matemática, a atividade de re-demonstrar e de efetuar demonstrações alternativas são importantes e destacamos a relevância de serem trabalhadas no ensino visando a aprendizagem dos professorandos em cursos de formação de professores de matemática.
Palavras-chave: Demonstrações Matemáticas. Demonstrações Alternativas. Ensino Superior.
Abstract
In this study, one deals with the topic of mathematical demonstrations with a focus on the activity of demonstrating results that have already been proven and one seek to understand the reasons that impel the mathematical practice of preparing alternative demonstrations. One exposes and justifies our understanding that re-demonstrating and performing alternative demonstrations is a manner of producing mathematics. One understands that in the pedagogical practice when teaching mathematics, the activity of re-demonstrating and making alternative demonstrations are important and one highlights the relevance of this content to be worked on formation teacher courses aiming the learning of the undergraduate students in mathematics.
Keywords: Mathematical Demonstrations. Alternative Demonstrations. University Education.

Biografia do Autor

Maria Aparecida Viggiani Bicudo, Universidade Estadual Paulista, Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática. SP, Brasil

Livre-docente pela Faculdade de Ciências Sociais, Letras e Educação da Universidade Estadual Paulista (UNESP). Professora Titular do Departamento de Matemática, Universidade Estadual Paulista (UNESP), Rio Claro, SP, Brasil. Avenida 24 A, n. 1515, Bela Vista, CEP: 13506-900, Rio Claro, SP, Brasil. E-mail: mariabicudo@gmail.com.

Henrique Lazari, Universidade Estadual Paulista, Departamento de Matemática. SP, Brasil

Doutor em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Campinas/SP. Professor Assistente doutor ms-3 do Departamento de Matemática, Universidade Estadual Paulista (UNESP), Rio Claro, SP, Brasil. Avenida 24 A, n. 1515, Bela Vista, CEP: 13506-900, Rio Claro, SP, Brasil. E-mail: hlazzari@uol.com.br.

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Demonstrações Alternativas e Re-Demonstrações na Produção e no Ensino de Matemática

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Rosemeire de Fatima Batistela Universidade Estadual de Feira de Santana, Departamento de Ciências Exatas. BA, Brasil Maria Aparecida Viggiani Bicudo Universidade Estadual Paulista, Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática. SP, Brasil https://orcid.org/0000-0002-3533-169X Henrique Lazari Universidade Estadual Paulista, Departamento de Matemática.

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A produção de textos dos discursos de Modelagem Matemática: possibilidades e implicações às práticas pedagógicas e à formação de professores

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A produção de textos dos discursos de Modelagem Matemática: possibilidades e implicações às práticas pedagógicas e à formação de professores

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A produção de textos dos discursos de Modelagem Matemática: possibilidades e implicações às práticas pedagógicas e à formação de professores

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ALVES-MAZZOTTI, Alda Judith. O método nas ciências sociais. In: ALVES-MAZZOTTI, Alda Judith; GEWANDSZNAJDER, Fernando. O método nas Ciências Naturais e Sociais: pesquisa quantitativa e qualitativa. 2. ed. São Paulo: Pioneira Thomson, 1998, p.107-188. BACELLAR, Celina Nunes; DANTAS, Hosanna Santos Barreto; SILVA, Joaby de Oliveira.

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Gödel's incompleteness theorem in mathematics teacher formation courses: previous possibilities

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Gödel's incompleteness theorem in mathematics teacher formation courses: previous possibilities

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Comunicação na sala de aula do PROFMAT e os princípios que regulam as produções textuais

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Comunicação na sala de aula do PROFMAT e os princípios que regulam as produções textuais

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quadrante; investigação em educação matemática; revista de investigação; ensino de matemática; aprendizagem da matemática; professor de matemática; formação de professores de matemática; matemática

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Comunicação na sala de aula do PROFMAT e os princípios que regulam as produções textuais

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Revista de Investigação em Educação Matemática publica periodicamente online artigos de investigação centrados no ensino e aprendizagem da matemática e na formação do professor que ensina matemática, nos diferentes níveis de ensino. A revista pretende contribuir para o debate entre a pluralidade de paradigmas e linhas de pensamento que atravessam a investigação em educação matemática, abrangendo aspetos curriculares, didáticos, sociais, culturais e históricos.

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Discurso da Matemática Específica para Ensinar e a Produção do Sujeito 'Professor(a)-de-Matemática'

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Discurso da Matemática Específica para Ensinar e a Produção do Sujeito 'Professor(a)-de-Matemática'

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ARTIGO ORIGINAL

Discurso da Matemática Específica para Ensinar e a Produção do Sujeito 'Professor(a)-de-Matemática'

The Discourse of Specific Mathematics for Teaching and the Production of the 'Mathematics-Teacher' Subject

Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS), Departamento de Educação, Feira de Santana, BA, Brasil.

Universidade Federal da Bahia (UFBA), Facultade de Educação, Salvador, BA, Brasil.

Universidade Federal de Alagoas (UFAL), Centro de Educação, Maceió, AL, Brasil.

Este ensaio teórico tem como objetivo identificar posições de sujeito disponibilizadas pelo discurso da Matemática específica para ensinar. Tomamos como referência estudos foucaultianos e a literatura existente em torno das discussões sobre Conhecimento Matemático para o Ensino, Conhecimento Especializado do Professor de Matemática e de Matemática para o Ensino. Sistematizamos esses discursos em dois grupos, discursos cognitivo-representacionais e discursos sociodiscursivos, e identificamos diferentes posições de sujeito disponibilizadas por cada um deles. As posições de sujeito identificadas demandam um sujeito-professor(a)-de-Matemática, dialeticamente, um sujeito que se nutre da teoria e aperfeiçoa a sua prática, com base em uma epistemologia da prática; e um sujeito que se institui peça por peça cotidianamente, não sendo possível demarcar situações práticas que não fossem também teóricas.

Palavras-chave: Ensino de matemática; Discurso; Professor-sujeito; Relação teoria-prática

This theoretical essay aimed to identify subject positions afforded by the discourse of specific mathematics for teaching. The study is anchored in Foucault's work and the existing literature on Mathematical Knowledge for Teaching, the Specialized Knowledge of Mathematics Teachers, and Mathematics for Teaching. We have organized these discourses into two groups, cognitive-representational discourses and socio-discursive discourses, and identified different subject positions afforded by either category. The identified subject positions call for a Mathematics-teacher subject: dialectically, a subject who feeds on theory and refines his or her practice, based on an epistemology of practice; and a subject who establishes himself or herself piece by piece daily, and it is not possible to demarcate practical situations that were not theoretical as well.

Keywords: Mathematics teaching; Discourse; Teacher-subject; Theory-practice relationship

Introdução

O presente estudo se insere em um campo crescente de pesquisas que, valendo-se de ferramentas teóricas foucaultianas, pretende problematizar discursos que têm circulado na área de Educação Matemática (KNIJNIK; DUARTE, 2010; MAGNUS; CALDEIRA; DUARTE, 2016; SANTOS; SILVA, 2019; SARTOREI; DUARTE, 2015; SOUZA; SILVA, 2017). Discurso, segundo Foucault (2016), não deve ser associado a uma frase, expressão verbal ou a qualquer conjunto de signos que remetem à suposta essência de um conteúdo específico. Ou seja, o termo discurso não é apenas uma simples combinação de palavras que descrevem as coisas do mundo; eles a constituem, pois são "[...] práticas que formam sistematicamente os objetos de que falam" (FOUCAULT, 2016, p. 60).

Dentre os diferentes discursos que circulam na área, interessamo-nos em investigar aqueles que se apresentam em torno das noções de Mathematical Knowledge for Teaching (MKT), Mathematics Teacher's Specialized Knowledge (MTSK) e Mathematics for Teaching (MfT). Estes foram traduzidos, respectivamente, como Conhecimento Matemático para o Ensino (CME), Conhecimento Especializado do Professor de Matemática (CEPM) e Matemática para o Ensino (MpE). Em linhas gerais, os discursos do CME, CEPM e MpE referem-se a um conhecimento que é tido como específico para o ensino de Matemática, compreendendo que ele difere do conhecimento matemático requerido por outros profissionais, por exemplo, um matemático, um engenheiro, uma enfermeira (BALL; BASS, 2003; NYIKAHADZOYI, 2015). Desse modo, na tentativa de capturar a variabilidade desses discursos em uma única expressão, tomamos a noção de discurso da Matemática específica para ensinar.

De acordo com o nosso aporte teórico, essas práticas discursivas buscam imprimir regimes de verdade. A "verdade", segundo Foucault (1989), é produzida historicamente no interior de discursos que não são em si nem verdadeiros nem falsos, ou seja, o que há são discursos que são acolhidos e passam a funcionar como "verdadeiros". Do mesmo modo, há mecanismos e instâncias habilitadas/reconhecidas como capazes de distinguir e sancionar discursos verdadeiros ou falsos; há técnicas e procedimentos valorizados para a obtenção da verdade, como o método científico, por exemplo; e há aqueles que têm a função de dizer o que funciona como verdadeiro (FOUCAULT, 1989). Os estudos que fazem circular o discurso da Matemática específica para ensinar são associados a instituições de pesquisa. Por meio de métodos científicos, com financiamento público ou privado, buscam aperfeiçoar cada vez mais seus instrumentos de pesquisa para manterem o seu encargo de dizer o que seria a "verdade" sobre a Matemática específica para ensinar.

Não obstante, essas práticas discursivas demandam modos de ser professor(a) de Matemática ao disponibilizar condições de possibilidades para uma variabilidade de tipos de sujeito. O sujeito, segundo Foucault (2006, p. 275), "[...] é uma forma, e essa forma nem sempre é, sobretudo, idêntica a si mesma". Para Foucault (2016), um discurso disponibiliza um espaço de exterioridade para diversas posições de subjetividades. A subjetividade é "[...] a maneira pela qual o sujeito faz a experiência de si mesmo em um jogo de verdade" (FOUCAULT, 2006, p. 236), ou seja, pode ser compreendida como produto do processo de subjetivação que constitui o sujeito quando este se identifica ou é identificável com determinado discurso.

Montecino e Valero (2015), analisando os resultados de pesquisas produzidas sobre professores de Matemática e documentos oficiais, mostram como os discursos expressam características de um(a) professor(a) de Matemática "desejado(a)" que permitem identificar o objeto discursivo que chamamos de "professor(a) de Matemática". Nesta direção, diremos que os discursos que circulam em torno, por exemplo, da categoria "bom professor de Matemática", fornecem aos(às) professores(as) possibilidades de serem reconhecidos(as) por si mesmos ou pelos outros, como: um sujeito em constante atualização; um sujeito que tem domínio do conteúdo matemático; um sujeito masculino; um sujeito rigoroso; um sujeito atencioso com seus alunos, dentre tantos outros. Quando um indivíduo é reconhecido ou se reconhece em determinado discurso, ele é assujeitado a esse discurso, tornando-se um sujeito do discurso, constituído em meio a práticas que "[...] não são, entretanto, alguma coisa que o próprio indivíduo invente. São esquemas que ele encontra em sua cultura e que lhe são propostos, sugeridos, impostos por sua cultura, sua sociedade e seu grupo social" (FOUCAULT, 2006, p. 276).

Desse modo, "[...] nos constituímos como sujeitos de determinado tipo, com certas características, com certos modos de ser e de viver ao ocupar determinadas posições de sujeito que são disponibilizadas nos discursos" (RIBEIRO, 2013, p. 51). Entendemos que posição de sujeito se define pela condição que é possível de ser ocupada por um sujeito em relação a diversos discursos. Face ao exposto, desenvolvemos um ensaio teórico com o objetivo de identificar posições de sujeito disponibilizadas pelo discurso da Matemática específica para ensinar. Segundo Barbosa (2018), os ensaios teóricos se caracterizam por apresentar uma argumentação lógica, rigorosa, coerente e crítica sobre um determinado tema, de modo que os estudos mobilizados visam subsidiar a construção dessa argumentação. Assim, além dos estudos foucaultianos, recorremos a literatura sobre CME, CEPM e MpE no intuito de circunstanciar a nossa construção argumentativa. No estudo, as teorizações foucaultianas foram utilizadas como uma caixa de ferramentas, o que permitiu uma construção do nosso objeto, transformando-o e possibilitando uma nova forma de compreendê-lo.

Problematizar esse discurso no intuito de pôr sob exame como ele se engendra para produzir o sujeito-professor(a)-de-Matemática requer a compreensão de que M. Foucault abandonou a noção de "sujeito desde sempre aí" (VEIGA-NETO, 2016, p. 107) e trabalhou para mostrar de que maneiras tipos de sujeito são produzidos como efeitos de discursos. Quando nos referimos a sujeito-professor(a)-de-Matemática através de uma única expressão conectada por hífen, não estamos afirmando que esse discurso forma um sujeito uno. Queremos demarcar um sujeito em sua descontinuidade e dispersão, o seu caráter fabricado, múltiplo e incessante de sua subjetivação diante das múltiplas posições de sujeito que um indivíduo pode assumir. Mesmo considerando que as posições de sujeito não são fixas e nem unitárias, pois são instáveis, cambiantes e permanentemente modificáveis, quando um sujeito é identificado como professor(a) de Matemática é porque ele foi capturado, assujeitado, por diferentes discursos que o identificam e o fazem reconhecer-se como um(a) professor(a) de Matemática num determinado tempo e espaço.

Situando Estudos da Área

Apoiados nos estudos sobre o conhecimento profissional do professor desenvolvidos por Shulman (1987), pesquisadores da área de Educação Matemática têm dedicado esforços para investigar o conhecimento necessário para ensinar Matemática. Sobre o tema, destacam-se os estudos desenvolvidos pelo grupo liderado pela pesquisadora Deborah Ball, de quem identificamos trabalhos datados do início dos anos 2000 (BALL; BASS, 2003; STYLIANIDES; BALL, 2004). Essas pesquisas têm recorrido ao estudo de L. Shulman para desenvolver a noção de Conhecimento Matemático para o Ensino (CME) com o objetivo de construir uma teorização capaz de mapear o conhecimento matemático necessário para executar as tarefas recorrentes no ensino de Matemática (BALL; THAMES; PHELPS, 2008).

Segundo essa perspectiva, a prática docente requer um conhecimento que entrelaça aspectos do ensino e da aprendizagem com o conteúdo e sustenta que a descompactação de ideias matemáticas é uma das características distintivas desse conhecimento (BALL; BASS, 2003). Em linhas gerais, o "descompactar" é compreendido como a capacidade que o(a) professor(a) tem de detalhar, tornando explícitas as ideias e os procedimentos matemáticos.

Além do descompactar, Ball e Bass (2003) afirmam que o ensino requer que os(as) professores(as) auxiliem os(as) estudantes a conectar ideias matemáticas como, por exemplo, conectar noções algébricas com noções geométricas. Requer ainda que os(as) professores(as) antecipem como as ideias matemáticas evoluem e mudam. Ou seja, espera-se que os(as) professores(as) estejam atentos(as) para afirmações generalizantes do tipo: não é possível subtrair um número maior de um menor, ou, em uma divisão, o resultado é sempre menor, levando em consideração que afirmações como essas mudam à medida que se amplia o estudo sobre os conjuntos numéricos. Ainda segundo as autoras, é esperado que os(as) professores(as) representem as ideias matemáticas de diferentes formas e que sejam capazes de avaliar a qualidade matemática dos materiais de ensino (um livro didático, por exemplo).

Em busca de delinear o conhecimento matemático necessário para o ensino, Ball, Thames e Phelps (2008) argumentam em favor de um entendimento que evite uma assunção estritamente reducionista e utilitarista do termo "necessário". Essa concepção mais generosa do termo permitiria englobar habilidades, hábitos mentais e percepções que importam para o ensino efetivo da disciplina e, em busca de identificá-las, os autores propuseram um refinamento das categorias de Shulman (1987), conforme a Figura 1.

Os domínios propostos por Ball, Thames e Phelps (2008) para identificar o CME aparecem divididos em Conhecimento do Conteúdo e em Conhecimento Pedagógico do Conteúdo. O primeiro deles é subdividido em Conhecimento Comum do Conteúdo, Conhecimento Especializado do Conteúdo e Conhecimento do Conteúdo no Horizonte. O segundo subdivide-se em Conhecimento do Conteúdo e Alunos, Conhecimento do Conteúdo e Ensino, e Conhecimento do Conteúdo e do Currículo. Como a caracterização desses domínios é de fácil localização na literatura da área (LAUTENSCHLAGER; RIBEIRO, 2017; RIBEIRO, 2011), não a mencionaremos para evitar repetições desnecessárias.

A configuração desses domínios estabeleceu uma agenda de pesquisas na área de Educação Matemática em diversos países com o propósito de identificar e caracterizar tais conhecimentos. No Brasil, por exemplo, destacamos os estudos de: Ribeiro (2012) que discute o conhecimento matemático para o ensino de equações; Rangel, Giraldo e Maculan Filho (2015) sobre o conhecimento de matemática para o ensino do conceito de número racional; Ferreira, Ribeiro e Ribeiro (2017), que discutem o ensino de álgebra para os anos iniciais do Ensino Fundamental; Lautenschlager e Ribeiro (2017) que discorrem sobre o conhecimento matemático de professores para o ensino de polinômios na Educação Básica; e Pazuch, Lima e Albrecht (2018) sobre os conhecimentos relativos ao conceito de função. Entre os estudos que recorrem a esses domínios, é comum a sinalização de necessidade de maior refinamento dos mesmos, seguindo o entendimento de Ball, Thames e Phelps (2008) de que eles não significam uma classificação exaustiva do conhecimento matemático do(a) professor(a).

No intuito de contribuir com esse refinamento, o grupo de pesquisa liderado por José Carrillo propõe que o conhecimento dos(as) professores(as) é especializado, configurando a noção de Conhecimento Especializado de Professores de Matemática, eliminando a referência ao Conhecimento Comum do Conteúdo (), conforme Figura 2.

Como observamos, o CEPM também se organiza em domínos e subdomínios que focalizam demandas relacionadas ao ensino de Matemática em particular. O domínio Conhecimento Matemático é subdividido em: Conhecimento dos Tópicos Matemáticos; Conhecimento da Estrutura da Matemática; e Conhecimento da Prática Matemática. O domínio Conhecimento Pedagógico do Conteúdo é subdividido em: Conhecimento do Ensino de Matemática; Conhecimento das Características de Aprendizagem de Matemática; Conhecimento dos Parâmetros de Aprendizagem de Matemática. Para mais detalhes sobre esses domínios, ver os trabalhos de e Mello, Moriel Junior e Wielewski (2017).

Como um contraponto aos domínios do conhecimento matemático para o ensino, pesquisadores(as) passaram a adotar o termo Matemática para o Ensino (MpE). Argumentam que esse termo tem o intuito de apreender em uma única categoria o Conhecimento do Conteúdo e o Conhecimento Pedagógico do Conteúdo (), de mostrar que, de uma perspectiva epistemológica social, os domínios Conhecimento Especializado do Conteúdo e Conhecimento Comum do Conteúdo são controversos (ADLER; HULLIET, 2008), e de evidenciar que as conceptualizações do CME são demasiadamente focadas no indivíduo, não contemplando o caráter dinâmico, emergente, tácito e em constante desenvolvimento que envolve o trabalho de ensino (; DAVIS; RENERT, 2014).

Esses estudos procuram explicar a MpE afastando-se das discussões sobre as demandas de conhecimento do(a) professor(a) (DAVIS; SIMMT, 2006) para aproximar-se de uma análise da atividade de ensino em si (DAVIS; ADLER; PARKER, 2007). Defendem que a matemática para o ensino é tácita (DAVIS; SIMMT, 2006) e buscam explorá-la por meio de ações efetivamente desenvolvidas nas aulas de Matemática, de discussões realizadas por professores(as) em cursos de formação continuada e na análise de material didático.

Para Davis, Adler e Parker (2007), a MpE está inserida numa prática pedagógica e é constituída a partir de múltiplos objetos que se inter-relacionam, dos quais se destacam a Matemática e o ensino, por não haver separação entre eles. Desse modo, a MpE seria regulada pelas regras e normatizações da prática pedagógica na qual é desenvolvida. Neste sentido, os autores argumentam que as pesquisas que buscam investigar a MpE, necessariamente, precisam ser sensíveis ao contexto e as condições nas quais ela se desenvolve.

Barwell (2013) sugere que o conhecimento dos(as) professores(as) de matemática é organizado socialmente e estruturado discursivamente. Esta compreensão o faz considerar que o ensino de matemática in situ não seria bem captado por domínios de conhecimento definidos a priori. Nesta mesma direção, Davis e Renert (2014) defendem que a MpE exige compromissos coletivos e participativos, de modo que o conhecimento individual e o coletivo não podem ser dicotomizados; é muito vasta e volátil para ser considerada em termos de domínios; no nível individual, os entendimentos de conceitos e saberes de matemática são emergentes e, no nível dos coletivos sociais, é, em grande parte, tácito; no nível cultural, os(as) professores(as) são participantes vitais na criação da Matemática, principalmente quando selecionam e/ou dão ênfases a determinadas interpretações em detrimento de outras.

Para compreender o que está em jogo na constituição de uma MpE, Davis e Renert (2014), propuseram uma metodologia participativa através da qual os(as) professores(as) questionam e elaboram a matemática com vistas ao ensino, conforme a Figura 3, denominada de Concept Study, o qual traduzimos como Estudo do Conceito. Os autores organizaram o Estudo do Conceito em torno de quatro ênfases para a discussão coletiva de conceitos matemáticos. São elas: realizações, panoramas, vinculações e combinações conceituais. Assim, como os domínios propostos por Ball, Thames e Phelps (2008) e , essas ênfases vêm sendo divulgadas em investigações da área (RANGEL; GIRALDO; MACULAN FILHO, 2015; SANTOS; BARBOSA, 2016) e não são tratadas como etapas ou níveis que seguem um processo linear. São consideradas imprevisíveis, decorrentes de interesses comuns, de conhecimentos divergentes e encontros acidentais.

Segundo Davis e Renert (2014, p. 35, tradução nossa), a Matemática para o Ensino (MpE) "[...] é melhor interpretada como uma disposição aberta em relação à matemática em ambientes educacionais, do que como uma coleção específica de habilidades ou competências". Até aqui, tivemos o propósito de situar os estudos sobre o conhecimento matemático para ensinar no intuito de perguntar e examinar como ele acontece e se engendra nos discursos que circulam nas pesquisas da área.

Identificação de Posições de Sujeito

Investigar de que modo vem se dando a constituição desse sujeito-professor(a)-de-Matemática, uma "analítica do sujeito" nas palavras de Veiga-Neto (2016), requer examinar as práticas discursivas que o constituem. Assim, nos propomos a problematizar discursos que circulam nas investigações da área e que configuram as noções de CME, CEPM e MpE, examinando-os em sua produtividade.

Com o objetivo de identificar posições de sujeito disponibilizadas pelo discurso da Matemática específica para ensinar, optamos por separá-los em dois grupos: cognitivo-representacional e sociodiscursivo. O primeiro grupo reúne discursos que tomam o conhecimento matemático como parte de processos cognitivos, portanto, é individual e representam as ações de professores(as). No segundo grupo estão os discursos que consideram o conhecimento matemático como tácito e emergente de uma prática social. Essa estratégia analítica visa demarcar que esses discursos partem de filiações epistemológicas distintas, independentemente das terminologias adotadas pelos seus autores, e não descarta que eles podem se influenciar mutuamente. Além disso, para cada posição de sujeito identificada buscamos exemplificá-las em termos das supostas capacidades e habilidades que o sujeito precisa ter para assumi-la, tornando-se capaz de ensinar adequadamente a Matemática.

Posições de sujeito disponibilizadas por discursos cognitivo-representacionais

Após mais de uma década de pesquisas sobre o CME, a revisão de literatura realizada por apontou que os estudos liderados por Deborah Ball estabeleceram uma agenda de pesquisas na área, mas, ao mesmo tempo, a ausência de uma perspectiva teórica bem definida sobre o tema possibilitou refinamentos como o CEPM, por exemplo. Tomando como base os estudos seminais, Ball e Bass (2003) e Ball, Thames e Phelps (2008), e o trabalho de , identificamos posições de sujeito disponibilizadas pelos discursos cognitivo-representacionais.

Com base no exposto em Ball e Bass (2003), a primeira posição de sujeito identificada é o sujeito descompactador do conteúdo. Essa posição associa-se a um(a) professor(a) que tem a capacidade de detalhar, desempacotar, todos os procedimentos que geralmente são omitidos, tornando-os acessíveis aos(as) estudantes. Por exemplo, na resolução de uma operação de multiplicação, é comum que qualquer pessoa alfabetizada matematicamente saiba resolvê-la pelo algoritmo tradicional ( Figura 4A). Entretanto espera-se que o(a) professor(a), além do algoritmo tradicional, saiba explicar a propriedade distributiva que é "compactada" pelo algoritmo tradicional e possa decompor os números que compõem os fatores para mostrar aos(as) estudantes o que foi "compactado" pelo algoritmo tradicional ( Figura 4B).

Dos estudos de Ball e Bass (2003) e , identificamos a posição de sujeito conectador de diferentes áreas da Matemática tal que o(a) professor(a) seria capaz de articular diferentes campos da Matemática de forma compreensível aos(as) estudantes. Para exemplificá-la tomamos como referência o conteúdo Produtos Notáveis, geralmente apresentado no 8 o ano do Ensino Fundamental, quando o(a) professor(a) ao tratar do Quadrado da soma de dois termos ( Figura 5A) o faz associando à representação geométrica ( Figura 5B) o que lhe permite diferenciar (a + b) ² de a ² + b ² ( Figura 5C), como segue:

Vimos em Ball e Bass (2003) que aos(as) professores(as) também é disponibilizada a posição de sujeito antecipador de dificuldades, ou seja, que demonstra conhecer como os estudantes se relacionam com os conteúdos identificando que etapas de um procedimento matemático é mais comum a incidência de erros, seja de ordem conceitual ou mesmo procedimental. Isso pode ser percebido, por exemplo, quando um(a) professor(a) apresenta as propriedades da potenciação e antecipa aos(as) estudantes que (a+b) ² ≠ a ²+b ². Esta diferença pode ser ilustrada algebricamente pela Figura 5B e geometricamente pela Figura 5C. Nesta mesma direção, é disponibilizada a posição de sujeito que escolhe atividades adequadas: um(a) professor(a) que monitora a aprendizagem dos estudantes ao escolher adequadamente questões sobre o conteúdo estudado, conforme ilustra a Figura 6.

Como mostram Ball e Bass (2003), para saber se os estudantes sabem ordenar corretamente números decimais, o(a) professor(a) deveria escolher questões que exigem a comparação desses números verificando a sua parte decimal. Assim, entre as opções da atividade apresentada na Figura 6, o(a) professor(a) deveria saber que a melhor delas é o item (c), pois exige atenção às casas decimais que, se ignoradas, podem levar a uma ordenação incorreta dos números. O mesmo não ocorre nos itens (a) e (b), pois caso o estudante ignore o ponto ou, no nosso caso, a vírgula, ainda assim os ordenariam corretamente.

Identificamos ainda em Ball e Bass (2003) a posição de s ujeito crítico dos materiais didáticos. Essa posição informa que os(as) professores(as) deveriam ser capazes de avaliar criticamente os materiais didáticos que lhes são disponibilizados, para que possam escolher o que melhor se adapta a sua realidade. Citamos como exemplo a escolha dos livros didáticos a partir do guia disponibilizado pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), ou seja, espera-se que os(as) professores(as) sejam capazes de avaliar os livros disponíveis e identificar o de melhor qualidade para ser utilizado com os(as) estudantes.

Ball e Bass (2013) destacam também que os(as) professores(as) devem ser capazes de compreender métodos não-convencionais utilizados pelos estudantes ao resolver questões para informar se eles fazem ou não sentido matematicamente, disponibilizando a posição de sujeito que compreende resoluções não-convencionais. Assim, defendem que ter habilidades para analisar e avaliar as características matemáticas e a validade de métodos alternativos são importantes para um(a) professor(a) de Matemática. Para exemplificar essa situação, os autores apresentam duas formas de resolução de uma operação de subtração ( Figuras 7A, 7B e 7C) que desafiam aquilo que corriqueiramente é realizado no algoritmo tradicional.

Ball e Bass (2003) e Ball, Thames e Phelps (2008) argumentam que diante de um erro cometido pelo estudante, os(as) professores(as) precisam mais do que identificar uma resposta incorreta: requer a capacidade de rapidamente dimensionar a fonte de um erro matemático de maneira eficiente e fluente. Ainda segundo os autores, a análise de erros, muitas vezes de provas fracassadas, é uma prática comum entre os matemáticos, mas difere daquela requerida aos(as) professores(as), porque esta se concentra nos erros produzidos por estudantes, enquanto aquela decorre de seu próprio trabalho.

Neste contexto, vê-se também disponibilizada a posição de sujeito eficiente. Ou seja, o(a) professor(a) deve ser ágil e rápido em identificar as demandas matemáticas de seus estudantes. Para Ball, Thames e Phelps (2008, p. 397, tradução nossa), "[...] este é um trabalho que os professores devem fazer rapidamente, muitas vezes na hora, porque em uma sala de aula, os alunos não podem esperar enquanto um professor se intriga sobre a matemática em si", os(as) professores(as) precisam processar tais análises com fluência e rapidez.

A posição de sujeito articulador didático também é disponibilizada aos(às) professores(as). Um(a) professor(a) que mobiliza diferentes estratégias de ensino com o objetivo de superar as dificuldades dos(as) estudantes ou de explorar certos aspectos de um conteúdo demonstrando ter conhecimento do conteúdo e das possíveis dificuldades dos(as) estudantes. Podemos ilustrar essa situação quando um(a) professor(a), no contexto da Geometria Euclidiana, necessita provar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 o. Neste caso, pode recorrer à demonstração ( Figura 8A), a utilização recursos manipuláveis ( Figura 8B), ao uso de um software ( Figura 8C), dentre outros.

Fonte: elaborado pelos autores.

Fonte: elaborado pelos autores.

Fonte: elaborado pelos autores.

Quando Ball e Bass (2003), Ball, Thames e Phelps (2008) e argumentam sobre o conhecimento do conteúdo e sua relação com o ensino, disponibilizam a posição de sujeito regente, ou seja, aquele que relaciona o conteúdo com a prática de ensino. Para os autores, durante uma discussão em sala de aula, o(a) professor(a) deve decidir quando fazer uma pausa para obter mais esclarecimentos, quando usar a observação de um(a) estudante para fazer um questionamento e quando fazer uma nova pergunta ou colocar uma nova tarefa para promover o aprendizado dos(as) estudantes como se regesse uma orquestra.

Ball, Thames e Phelps (2008) e , ao tratarem da importância do(a) professor(a) conhecer como o currículo organiza os conteúdos, disponibilizam a posição de sujeito conhecedor dos guias curriculares. Ou seja, aquele(a) que conhece como os conteúdos aparecem nos guias curriculares e, portanto, são capazes de articulá-los, antecipando aos(as) estudantes como as ideias matemáticas evoluem e mudam. Citamos como exemplo uma situação na qual um(a) professor(a) discute a solução da equação x ²+4x+5=0, em uma turma do 9 o ano do Ensino Fundamental, que pelos guias curriculares opera com o Conjunto dos Números Reais, e alerta os estudantes sobre a existência do Conjunto dos Números Complexos, que será discutido no Ensino Médio e no qual a solução da equação existe.

Além das posições elencadas até aqui, destacamos os estudos de Stylianides e Ball (2008), Steele e Rogers (2012) e por tratar de um método próprio da área de Matemática - demonstração - dos quais emerge a posição de sujeito que sabe provar. Ou seja, um(a) professor(a) que conhece diferentes estratégias de prova e sabe avaliar que tarefas envolvendo provas podem ser propostas ou não aos(as) estudantes e que tipo de prova os(as) estudantes serão capazes de realizar. O Quadro 1 mostra a sistematização elaborada por Steele e Rogers (2012) sobre o Conhecimento Matemático para o Ensino de Provas (CME-P). Segundo os autores, essa sistematização não representa o corpo completo do CME-P, mas constitui ponto de partida para a sua identificação.

Além do destaque à especificidade do CME-P, chama-nos a atenção a revisão de literatura realizada por . Nela, os autores destacam que a área tem começado a despertar para a necessidade de abordar a persistente desigualdade na aprendizagem da Matemática, tanto produzidas como reproduzidas na escola, disponibilizando a posição de sujeito minimizador desigualdades. Ou seja, os(as) professores(as) devem permitir que grupos historicamente marginalizados acessem o conhecimento matemático, além de reconhecer que existem diferentes Matemáticas em circulação dentro e fora da sala de aula.

Nesta categoria, identificamos posições de sujeito disponibilizadas por discursos cognitivo-representacionais da Matemática específica para ensinar. Esses discursos fornecem modos de ser professor(a) de Matemática que se engendram para constituir um sujeito capaz de: descompactar, conectar, antecipar, articular, compreender e provar ideias matemáticas de forma associada às demandas específicas do ensino. Por isso, é um sujeito: que escolhe atividades adequadas, crítico de materiais didáticos e curriculares, eficiente, regente das tarefas vinculadas ao ensino e minimizador de desigualdades.

Posições de sujeito disponibilizadas por discursos sociodiscursivos

Como vimos, há discursos da Matemática específica para ensinar que consideram que este conhecimento é de caráter dinâmico, tácito, emergente e dependente do contexto. Argumentam que o(a) professor(a) é indissociável dos contextos sociais dos quais participa e, portanto, precisa ser sensível a esse contexto. Face ao exposto, inferimos que qualquer posição de sujeito a ser disponibilizada por discursos sociodiscursivos está enviesada pela dimensão contextual como apontam os estudos nos quais circulam esses discursos.

Nesta direção, Davis, Adler e Parker (2007) afirmam que a MpE é regulada/controlada por princípios da prática pedagógica na qual é elaborada. Neste sentido, esse discurso disponibiliza a posição de sujeito regulado, uma vez que estes princípios regulam, por exemplo, o sequenciamento dos conteúdos, o tempo destinado à aprendizagem dos mesmos pelos estudantes, a relação entre diferentes disciplinas, muitas vezes influenciados por fatores externos, a exemplo das avaliações padronizadas, por exemplo.

Admitindo que a MpE se dá em contextos controlados, Davis e Renert (2014) destacam que ela pode ser tanto mais vasta, evolutiva e distribuída, quanto mais flexíveis forem as relações entre a Matemática e as questões de ordem social, cultural, política, econômica, etc. Os autores citam como exemplo o fato de novas tecnologias, como as calculadoras gráficas, estarem substituindo as antigas (por exemplo, o lápis e papel), permitindo que os(as) estudantes resolvam problemas mais sofisticados e realistas (DAVIS; RENERT, 2014).

Os autores acreditam que "[...] uma questão crítica (se não a principal) aqui é a falta de capacidade dos professores para lidar com o novo conteúdo matemático, e mesmo com o conteúdo atual, de maneira convincente" (DAVIS; RENERT, 2014, p. 13, tradução nossa), disponibilizando assim a posição de sujeito flexível. Um sujeito flexível mostra uma atitude crítica em relação à Matemática, sintonizando-a com a rápida transformação da sociedade; é atento às competências matemáticas requeridas atualmente.

Considerando que a MpE é tácita (DAVIS; SMMIT, 2006) e que se explica por meio das ações efetivamente desenvolvidas nas aulas (BARWELL, 2013), espera-se que um(a) professor(a) saiba lidar com o imprevisível diante de questionamentos realizados por estudantes, conseguindo explorar a situação de modo a criar novas formas de comunicar um conceito matemático em estudo, disponibilizando a posição de sujeito explorador de oportunidades. No modelo proposto por Coutinho e Barbosa (2016), ao abordar o conceito de Combinação Simples, um(a) professor(a) deveria ser capaz de recorrer a diferentes realizações a depender dos questionamentos dos estudantes, tais como: "[...] diagramas de árvores, definição formal, listagem dos agrupamentos, fórmula, ordenação irrelevante dos elementos, contagem dos agrupamentos usando modelos concretos e comparação com arranjo" (COUTINHO; BARBOSA, 2016, p. 793).

O estudo de Davis e Renert (2014), bem como aqueles que seguiram o modelo analítico do Estudo do Conceito por eles elaborado, têm disponibilizado posições de sujeito em torno da natureza complexa do conhecimento matemático para ensinar. Davis e Renert (2014) exploram o conceito de substructing na intenção de discorrer sobre o que significa uma compreensão profunda de um conceito. Segundo os autores, essa compreensão requer mais do que separar um conceito em partes, diferindo da ideia de descompactar, pois envolveria a análise de como essas partes se mantêm ou não unidas a depender do contexto sugerindo uma (re)formulação do conceito. Assim, à ideia de substructing disponibiliza-se a posição de sujeito reformulador de conceitos. Um(a) professor(a) capaz de desenvolver uma compreensão profunda sobre um conceito a ponto de poder reformulá-lo, reconstruí-lo, transformá-lo de maneira criativa e não apenas descritiva/interpretativa como no processo de descompactar.

Podemos ilustrar essa posição com a situação explorada por Davis e Renert (2014) diante do questionamento de um professor sobre a primalidade do número 1. A situação mostra que diferentes metáforas e interpretações sobre a multiplicação podem levar a conclusão indesejável de que 1 é primo ( Quadro 2), mas também revela que, antes do século XIX, a maioria dos matemáticos considerava 1 primo, o que faz os(as) professores(as) ponderarem sobre a necessidade de os(as) estudantes também se envolverem em estudos desse tipo, já que poderiam verificar como a Matemática se desenvolve.

Na perspectiva de Davis e Renert (2014), a MpE é resultado de desdobramentos de entendimentos coletivos sobre determinados conceitos matemáticos decorrentes da participação do(a) professor(a) em contextos comunicativos, tais como: cursos de formação inicial ou continuada, interação com materiais curriculares, dentre outros. Assim, se disponibiliza a posição de sujeito participativo, ou seja, aquele que participa de contexto nos quais se discute formas de comunicar um conceito sempre disponível para compartilhar com outros professores o seu modo de comunicar conceitos matemáticos. Um(a) professor(a) comprometido(a) com o grupo do qual participa, que busca variados recursos para aprimorar o modo como comunica conceitos matemáticos, é comunicativo(a), proativo(a).

A partir do modelo analítico proposto por Davis e Renert (2014) identificamos a posição de sujeito de repertório evolutivo-coletivo. Um(a) professor(a) que não existe em separado, como se através dele(a) fosse possível representar todo o conhecimento matemático que está distribuído entre os(as) professores(as), pois participa de coletivos sociais nos quais as realizações coletivas se desdobram em realizações individuais, sem dicotomizá-las. Por exemplo, para comunicar o conceito de Função o grupo de professores(as) investigado por Santos e Barbosa (2016) recorre a diferentes realizações, que não se referem ao repertório de um(a) único(a) professor(a), mas do coletivo de professores(as), conforme a Figura 9.

Segundo Santos e Barbosa (2016), a disposição separada dos panoramas visa demarcar que eles têm identidade e fronteiras específicas, mas que não há entre eles hierarquia e, portanto, recomenda-se que haja ligação entre eles de modo a promover uma variabilidade de realizações do conceito em estudo. O repertório não é fixo, pois comunica um determinado conceito de diferentes formas que variam de acordo com os coletivos sociais dos quais o(a) professor(a) participa. O que existe é uma compreensão coletiva da Matemática, na qual cada professor(a) é um sujeito com predisposição para evolução de seus entendimentos pessoais.

Nesta categoria, identificamos posições de sujeito disponibilizadas por discursos sociodiscursivos da Matemática específica para ensinar. Esses discursos fornecem modos de ser sujeito-professor(a)-de-Matemática que se engendram para constituir um sujeito regulado, flexível, explorador de oportunidades e reformulador de conceitos matemáticos de acordo com o contexto do qual participa. Um sujeito que se constitui coletivamente, portanto, é complexo, participativo e engajado e sua prática resulta de um repertório evolutivo uma vez que é coletivo e instável.

Considerações Finais

Com o objetivo de identificar posições de sujeito disponibilizadas pelo discurso da Matemática específica para ensinar, nossa problematização de inspiração foucaultiana incidiu sobre estudos do Conhecimento Matemático para o Ensino, do Conhecimento Especializado do Professor de Matemática e da Matemática para o Ensino. Ao incidir o nosso olhar sobre os discursos que circulam nas pesquisas da área, optamos por analisá-los separando-os em dois grupos: os discursos cognitivo-representacionais e os discursos sociodiscursivos. Sobre a nomenclatura adotada para estes últimos, ponderamos que, em uma perspectiva foucaultiana, ambos os grupos são de ordem discursiva e que o uso da palavra "discursivo" se deu para registrar que os adeptos desses discursos admitem que a Matemática a ser ensinada emerge das interações discursivas que ocorrem em uma prática social.

No estudo identificamos 12 (doze) posições de sujeito disponibilizadas por discursos cognitivo-representacionais. Tais discursos disponibilizam modos de ser professor(a) de Matemática que se engendram para constituir um sujeito capaz de: descompactar, conectar, antecipar, articular, compreender e provar ideias matemáticas de modo a torná-las mais acessíveis aos estudantes. Todas essas "capacidades" atenderiam demandas específicas relacionadas ao ensino de uma Matemática que pode vir a minimizar desigualdades sociais, especialmente, por dar oportunidade a grupos historicamente excluídos. Por isso, é um sujeito que escolhe atividades adequadas, é crítico de materiais didáticos e curriculares, regendo com eficiência as tarefas vinculadas ao ensino.

Em relação aos discursos sociodiscursivos, foram identificadas 6 (seis) posições possíveis que se engendram para constituir um sujeito controlado pelas regras do contexto em que se insere, flexível, explorador de oportunidades e capaz de (re)formular conceitos matemáticos. Um sujeito complexo, que se constitui coletivamente. Logo, espera-se que seja participativo e engajado em situações coletivas nas quais possa discutir e, consequentemente, aumentar/reconfigurar o seu repertório conceitual. Portanto, a sua prática de ensino resultaria de um repertório evolutivo, uma vez que é coletivo e instável.

Cada uma dessas posições identificadas define a condição que é demandada, possível de ser ocupada pelo sujeito-professor(a)-de-Matemática, pelos discursos cognitivo-representacionais e sociodiscursivos. Os discursos cognitivo-representacionais disponibilizam posições que demandam tornar a matemática acessível aos estudantes e que visam diminuir a incidência de erros. Os discursos sociodiscursivos, disponibilizam posições que relacionam a prática do(a) professor(a) de Matemática a fatores externos, e que se entrelaça com posições demandadas pelo discurso cognitivo-representacional, a exemplo do sujeito minimizador de desigualdades.

Decorre da nossa opção teórica que discursos são apreensíveis, porém os seus efeitos não são esgotáveis, uma vez que a produção discursiva não acaba. Desse modo, não tivemos a pretensão de esgotar todas as posições de sujeito disponibilizadas pelo discurso da Matemática específica para ensinar, haja vista que constantemente tantas outras posições estão sendo disponibilizadas. Entretanto, consideramos que as posições aqui identificadas nos permitem mostrar como vem se dando a produção desse sujeito-professor(a)-de-Matemática em meio aos discursos que circulam na área de Educação Matemática.

Como vimos, as posições de sujeito identificadas fazem surgir semelhanças e diferenças entre discursos cognitivo-representacionais e sociodiscursivos. Olhar esses discursos em torno de suas dispersões nos permite inferir que discursos cognitivo-representacionais demandam um sujeito-professor(a)-de-Matemática que se nutre da teoria e aperfeiçoa a sua prática de maneira não dicotômica, com base em uma epistemologia da prática. Outrossim, os discursos sociodiscursivos demandam um sujeito-professor(a)-de-Matemática que se institui peça por peça cotidianamente, não sendo possível demarcar situações práticas que não fossem também teóricas.

Por fim, o estudo mostrou o quanto se demanda de um(a) professor(a) de Matemática para que ele(a) seja considerado(a) apto(a) a ensinar, o quanto precisa saber para reconhecer-se e ser reconhecido(a) como um(a) bom(boa) professor(a) de Matemática, o quanto que a questão da docência, em especial à docência em Matemática, não é uma questão trivial.

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The Discourse of Specific Mathematics for Teaching and the Production of the 'Mathematics-Teacher' Subject

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ARTIGO ORIGINAL Discurso da Matemática Específica para Ensinar e a Produção do Sujeito 'Professor(a)-de-Matemática' The Discourse of Specific Mathematics for Teaching and the Production of the 'Mathematics-Teacher' Subject Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS), Departamento de Educação, Feira de Santana, BA, Brasil. Universidade Federal da Bahia (UFBA), Facultade de Educação, Salvador, BA, Brasil.

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Identificação de temáticas de trabalhos de conclusão de curso por meio de redes semânticas

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Identificação de temáticas de trabalhos de conclusão de curso por meio de redes semânticas

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Graph-based feature extraction: A new proposal to study the classification of music signals outside the time-frequency domain

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Graph-based feature extraction: A new proposal to study the classification of music signals outside the time-frequency domain

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Dirceu de Freitas Piedade Melo,

Inacio de Sousa Fadigas,

Hernane Borges de Barros Pereira

Subject Areas

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Abstract

Most feature extraction algorithms for music audio signals use Fourier transforms to obtain coefficients that describe specific aspects of music information within the sound spectrum, such as the timbral texture, tonal texture and rhythmic activity. In this paper, we introduce a new method for extracting features related to the rhythmic activity of music signals using the topological properties of a graph constructed from an audio signal. We map the local standard deviation of a music signal to a visibility graph and calculate the modularity ( Q), the number of communities ( Nc), the average degree (〈 k〉), and the density (Δ) of this graph. By applying this procedure to each signal in a database of various musical genres, we detected the existence of a hierarchy of rhythmic self-similarities between musical styles given by these four network properties. Using Q, Nc, 〈 k〉 and Δ as input attributes in a classification experiment based on supervised artificial neural networks, we obtained an accuracy higher than or equal to the beat histogram in 70% of the musical genre pairs, using only four features from the networks. Finally, when performing the attribute selection test with Q, Nc, 〈 k 〉 and Δ, along with the main signal processing field descriptors, we found that the four network properties were among the top-ranking positions given by this test.

Citation: Melo DdFP, Fadigas IdS, Pereira HBdB (2020) Graph-based feature extraction: A new proposal to study the classification of music signals outside the time-frequency domain. PLoS ONE 15(11): e0240915. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0240915

Editor: Enrique Hernandez-Lemus, Instituto Nacional de Medicina Genomica, MEXICO

Received: March 30, 2020; Accepted: October 5, 2020; Published: November 12, 2020

Copyright: © 2020 Melo et al. This is an open access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original author and source are credited.

Data Availability: In our experiments, we used four databases. 1. The GTZAN database is not our own. It is available for free access and public use. The download is available in: http://marsyas.info/downloads/datasets.html Here we also provide the download link in case it is not possible to access GTZAN database website. ( https://drive.google.com/file/d/1--YG-rlgjF5hB9n8Fvb4F2SIjrm8DGsk/view?usp=sharing) The authors had no special access privileges to the GTZAN database. 2. Audio Signal Visibility Descriptors (ASVD) and Audio Signal Processing Descriptors (ASPD) - Table with 31,000 records - XLSX File. https://doi.org/10.7910/DVN/P9LQRB 3. Standard Deviation Series - 1,000.txt files. https://doi.org/10.7910/DVN/ZIZZKS 4. Database of the Visibility Graphs - This database is our own and has 1,000.net files. https://doi.org/10.7910/DVN/DOYIKR.

Funding: Unfunded studies.

Competing interests: NO authors have competing interests.

Intoduction

The extraordinary growth in digital music production, storage and sharing has spurred the emergence of platforms with increasingly sophisticated automated management and recommendation systems. The classification of musical genres has drawn attention as a very efficient way of organizing digital music libraries [ 1, 2].

Most of the studies on this type of categorization use the extraction of attributes such as rhythm, melody and timbre as one of their main steps [ 3- 5]. Among these attributes, rhythm plays a very important role in defining the musical style [ 6]. The study of rhythmics in music signals includes investigating the regularity of its transients, which can be considered as "peak intensity homogeneity" (PIH). Signal PIH can provide relevant information about this feature of rhythmic activity (i.e. it is the result of a set of musical events that constitute the musical information contained in a piece of audio), and thus significantly contributes to classification systems.

The beat histogram has been a widely used tool to help define differences between musical genres by detecting the rhythmic "self-similarity" [ 7]. Other ways of studying signal self-similarity have also been explored [ 8, 9].

As an alternative to the techniques used in the signal processing field, this paper proposes studying rhythmic PIH using four properties of audio-associated visibility graphs. We will call the set formed by these four properties the Audio Signal Visibility Descriptor (ASVD).

Materials and method

Part of the methodology adopted in this article was based on [ 10].

Database

The database used in this study was the GTZAN Genre Collection ( http://marsyas.info/downloads/datasets.html). This database consists of ten musical genres (Classical, Jazz, Blues, Pop, Rock, Hip-hop, Metal, Disco, Reggae and Country), each with 100 audio files, sample rate 44,100-Hz and 16-bit quantization. This database was proposed by [ 7] and has been used in many studies involving music information retrieval. The GTZAN database has been established as an important reference in the study of musical genre classification [ 11].

Transformation of the {U i} series into a local standard deviation series {V j}

The reduced representation of the audio signal through the local standard deviation series proposed by [ 8] is calculated as described below. Let { U i} be the series of samples that represents the signal. The total number of points N is a function N = S r × t, where the sampling rate is reduced to S r = 11, 000 Hz with a duration of t = 30 s. The set { U i} = { U ₁, ⋯, U N} is segmented into m = 3, 000 nonoverlapping boxes, each with a size of λ = 110 samples. For each box j = 1⋯ m the standard deviation is calculated. In Eqs 1 and 2, the sum is over the elements inside the box of size of λ. At the j th box, we have: (1) where the mean is given by Eq 2. (2)

Therefore, a series { V j} = { V ₁, V ₂, ⋯, V m} with m = 3, 000 points is created. In this article, we refer to the series { V j} as a series of local standard deviation.

Fig 1(a) shows a 30 s audio excerpt from the musical piece Ainsi La Nuit, a string quartet by composer Claude-Achille Debussy, along with its respective local standard deviation series { V j}.

Transformation of series {V j} into a visibility graph

The graph is a mathematical structure G = ( V, E), where V is the (finite and nonempty) set of vertices and E is the set of edges (pairs of unordered vertices).

Each point in the series { V j}, with j = 1⋯ m, is considered a vertex of the graph. We consider each vertex as an ordered pair ( j, V j), where j is the position of the point in the series. Eq 3 defines the criterion used to link two vertices [ 12]. According to this criterion, two vertices ( a, V a) and ( b, V b) are connected if every point ( c, V c) between V a and V b satisfies: (3)

Eq 3 gives the comparison between the slope of the line passing through points ( b, V b) and ( c, V c)- α bc-left side of the equation-and the slope of the line passing through ( b, V b) and ( a, V a)- α ba-right side of the equation. Every time that α bc > α ba for all points ( c, V c) between ( a, V a) and ( b, V b), there is visibility between ( a, V a) and ( b, V b), and a link (( V a, V b)) ∈ E is created in the graph. Otherwise, no link is created. After applying Eq 3 to all point pairs in the series, we have the local standard deviation series { V j} mapped onto a graph G.

Fig 2(a) shows an eight-point series in the Cartesian plane and Fig 2(b) shows the visibility graph generated from this series. The numeric values that appear on the label of each vertex correspond to the series { V j}. If we imagine each point in this series as a mountain peak, we can say that every time an observer on one of these peaks can see the other peak in a straight line without being visually blocked by an intermediate peak, a link between their respective vertices is created in the graph [ 12]. Otherwise, no link between the vertices is created. The higher the signal point is relative to its neighbors, the higher its visibility is, and the more edges it will have in the graph.

An example of a visibility graph constructed from a musical audio signal is shown in Fig 3. This graph represents the mapping of the series shown in Fig 1(b). It has 3, 000 vertices and 88, 481 edges. The numbers appearing on graph's vertex labels correspond to the position j of each point V j of the local standard deviation series, and the sizes of the vertices are proportional to their respective degrees. Note that the highest degree vertices correspond to the points in the series that have the highest V j peaks, such as j = 429 (highest degree), j = 1280 and j = 1292.

Calculation of the Audio Signal Visibility Descriptor

In this paper, we call the Audio Signal Visibility Descriptor (ASVD) a vector formed by four properties of the visibility graphs [ 12] mapped from the local standard deviation of the music signals [ 8]. They are: 1) modularity ( Q), 2) number of communities ( Nc), 3) average degree 〈 k 〉 and 4) density (Δ). Each of these properties is considered as an attribute here. The calculation of each of these attributes is presented below.

Modularity and number of communities.

Modularity is a measure of network structure. This measure is designed to estimate the strength of a division of a network into modules (or communities). A network with a high modularity has dense connections between the vertices within the modules but sparse connections between the vertices in different modules [ 13]. A high modularity value indicates that the density of edges within communities is higher than expected at random, indicating a good network partition. According to [ 13], modularity is defined by Eq 4. (4) where i and j are the network's vertices; A ij represents the number of edges between i and j; k i = ∑j A ij; m is the sum of all edges of the graph ( m = | E|); and δ( c i, c j) is the Kronecker delta function (0 for c i = c j and 1 for c i ≠ c j); where c i and c j are the vertex communities.

The maximization of the modularity is computed using the Louvain algorithm [ 14]: (5) where ∑in is the sum of the edges within community C; ∑tot is the sum of the incident edges at the vertices in C; k i is the sum of the edges that link i to the vertices in C; k i,in is the sum of the edges incident on vertex i; m is the sum of the edges in the network.

Average degree.

The degree of a vertex corresponds to the total number of its edges. Let k i be the degree of the i th vertex of a network. The average degree of a network with N vertices is the arithmetic mean of k i. (6)

This parameter measures the average connectivity strength of each network vertex. In the visibility graphs, this measure can be interpreted as the average local visibility level of the signal peaks. Signals in which few high local visibility peaks predominate will generate visibility graphs with higher average degrees than signals with many low local visibility peaks. In this sense, the average degree of an audio-associated visibility graph is sensitive to intensity nuances of the music information contained in the audio spectrum. Music signals of styles that use significant percussive activity and intense, regular and persistent rhythmic attacks will be associated with visibility graphs with lower 〈 k 〉 values when compared to the average degrees of graphs generated from music audios that have a greater variety of dynamics nuances and less rhythmic persistence.

Density.

Let N be the number of vertices of a graph. The density Δ is the ratio of the total number of a network's edges ( m = | E|) to the largest possible number of edges. (7)

The density measures the overall level of network connectivity. In the visibility graphs associated with the audio signals, this measure indicates the overall visibility level of these signals. The higher the level of rhythmic persistence in the signal, the lower the overall visibility, and the lower the density.

Peak intensity homogeneity of music signals

In this paper, we use peak intensity homogeneity, equivalent to the meaning adopted by [ 7]. The authors consider that audio recordings with music excerpts that have very strong and persistent beats will produce very PIH signals and that the lower are the persistence and strength of the main beats, the lower the PIH. For the authors, this perception occurs during the calculation of the autocorrelation function, which is during the beat histogram construction process.

In Fig 4(a) we have a very homogeneous signal, low local visibility and strong PIH, while Fig 4(b) shows a heterogeneous signal with high local visibility and low PIH.

Audio Signal Processing Descriptors

We use the following descriptors: Mel-Frequency Cepstral Coefficients, Spectral Flux, Zero Crossing Rate, Loudness, Dynamic Complexity, Onset Rate, Detrended Fluctuation Analysis Exponent, Beats Per Minute, and Beat Histogram (First Peak BPM, First Peak Weight, First Peak Spread, Second Peak BPM, Second Peak Weight and Second Peak Spread).

In Appendix section (DETAILS OF AUDIO SIGNAL PROCESSING DESCRIPTORS USED), we will introduce the basics of some of the state-of-the-art descriptors in the audio signal processing field. The computational implementation of these descriptors was performed using the algorithms available in the Essentia library [ 15].

Attribute selection

One way of measuring the relative importance of attributes within a classification system is by calculating the information gain from each of these attributes in a decision tree-based structure.

In this study, we use the Ranker + GainRatioAttributeEval algorithm from the machine-learning software WEKA 3.6.9 [ 16]. It has a tool to identify the most significant attributes in a J48 decision tree, which is a WEKA version of the C4.5 algorithm. At the end, the attribute with the highest gain ratio is selected as the division attribute. The nonterminal vertices of the generated tree are considered as the relevant attributes [ 17].

Results

Standard deviation series calculated from audio signals

We transformed each of the 1, 000 30 s audio samples into a series of local standard deviation { V j}, representing the original music signals. Fig 5 shows a series of local standard deviation for three musical styles (classical, jazz and hip-hop). If we compare the behavior of the transients within each cluster and between a pair of clusters, different trends are observed between each pair, in addition to a pattern between the signals within each genre.

The color blue represents the jazz genre, and red and black represent the hip-hop and classical genres, respectively.

For example, the hip-hop style (in red) has a greater PIH in its signals when compared to the other two genres. One might initially speculate that there is a PIH hierarchy that would place the classical, jazz, and hip-hop musical genres in ascending order, where the classical style would have the lowest PIH and hip-hop would have the highest PIH among the three, with jazz in an intermediate position ( Fig 5). It might also be inferred that these differences are due to the aesthetic choices of each musical style. Thus, the high rhythmic persistence found in hip-hop, due to the rhythmic and instrumental choices inherent to the style, would be more moderate and less persistent in jazz, and even less so in the classical style, where there are typically greater variations in the dynamics and rhythmic nuances.

At this point, it is not yet clear whether these trends will be preserved for the entire database, given that within the same style, one can find signals with completely different patterns or with features similar to signals of another style. Signals with the same PIH features of hip-hop or jazz can be found in the classical style, and consequently with numerical coefficients that indicate patterns that place them in the same cluster. It should not be overlooked that this type of situation is inherent to the field of classification through pattern recognition for both quantitative and qualitative approaches. The observations made from Fig 5 bring an initial reflection on aspects that will be addressed during the presentation of the results in the following sections.

Audio-associated visibility graphs

For each local standard deviation series, we generated a visibility graph, i.e., we built a total of 1, 000 graphs. Fig 6 shows four { V j} series of distinct musical genres and their respective visibility graphs. The different colors in the graphs are communities identified through the modularity algorithm [ 14], the computational modeling of which was performed in Gephi 0.9.0 (available at https:gephi.org). For all graphs, we used the random mode, which is an option given by the software to produce better decomposition, and the default resolution of 1.0 (more details in [ 18]). We also used the same visualization algorithm and vertex distribution options.

The colors in the graphs are the communities, which are obtained from modularity.

The algorithm termination criterion was the best visualization of the clusters. In the final result, we observe that graphs with a larger number of communities (or modularity classes) have graphs with smaller and more scattered nodes for easier visualization. In Fig 6, we can observe a correspondence between the persistence features of signal transients and the topological features of community detection in their associated graphs. We can also note that as PIH increases, the modularity and number of communities also increase, while the average degree and density decrease. This feature suggests that the visibility descriptor parameters can be used to hierarchize a set of signals according to the PIH of their transients.

Hierarchy according to peak intensity homogeneity

Table 1 shows the mean and standard deviation of the modularity, the number of communities, the average degree and the density of the visibility graphs corresponding to 100 audio samples grouped into 10 musical genres.

If we rank the means of the average degree ( ) and density ( ) in descending order, we will obtain the same sequence of musical genres. Among the ascending orders of and , there was a difference in the position for only three clusters (Blues, Hip-hop and Pop). For the four ASVD components, the mean values for Classical, Jazz, Rock, Reggae and Pop were preserved in the same position when placed in descending order for and , and in ascending order for and . If we use and , in that order, to think of a hierarchy, we can consider Fig 7(a) and 7(b) as representations of musical genres in ascending order of PIH. Thus, the musical genre that has the least self-similar signals is Classical, as noted by the large difference in the and values of the Classical genre relative to all other genres. The genres whose signals have the highest PIH are Metal, Disco, and Hip-hop.

Jazz is the genre closest to Classical but there are considerable differences between them. For all four components, Reggae occupies the intermediate position. This type of hierarchical organization corroborates the idea that musical genres that opt for very "dense", "intense", and "persistent" instrumental arrangements have signals with higher PIH and tend to occupy positions opposite to genres with instrumental textures richer in dynamics, and therefore with less PIH in their signals. In an intermediate position are musical styles that seek to balance the aesthetic influences of both extremes. In many cases there may be no significant differences between the clusters established by Q, 〈 k〉, Δ, and Nc. To study this aspect, we performed a hypothesis test for pairwise comparisons between the mean , , , and .

Table 2 shows the percentage of pairs of musical genres that have significant differences according to Tukey's test, adopting a confidence interval of 0.95. We note that the means of the four components of the ASVD vector respond positively to the hypothesis of significant differences for most pairs of musical genres. For example, 39 of the 45 genre pairs hypothesized to have a significant difference for (mean number of communities) showed a positive response ( Fig 8). Specifically, between the Classical style and all the others, the test was positive. Conversely, Metal and Hip-hop, Rock and Blues, and Country and Jazz were the only pairs with rejected hypothesis. These results vary slightly for , and , but retain the same overall characteristic. This shows that , and can be used as representative parameters for most musical genres used in this experiment. Although the rejection of the hypothesis of significant differences between some pairs suggests that they may be labeled within the same cluster, we note that the ASVD components have detected an overall PIH trend for the musical genres in this database that follows an increasing order for and and a decreasing order for and , which can be interpreted according to the intuitive notion suggested by the label of each genre. This trend reinforces the hierarchy presented in Fig 7.

Black boxes represent statistically significant differences, and white boxes represent nonsignificant differences.

Until this point, the techniques necessary to distinguish between clusters have not been used. So far, the evidence of trends that may be useful in classifying musical genres has been detected.

Machine learning and classification

Machine learning and classification were performed with supervised artificial neural networks taking two scenarios into consideration. In the first, we used an attribute vector with only the ASVD (modularity, number of communities, density and average degree). The idea was to explore a situation where only this descriptor of rhythmic activity was used. Next, we performed learning and classification with only the Beat Histogram (BH). Then, we compared the results.

In the second scenario, which also used neural networks, experiments were performed using each of the descriptors in the first scenario separately, adding the timbre, dynamics and onset detection descriptors. First, we set up an attribute vector by joining the ASVD with 18 ASPD (Audio Signal Processing Descriptors: 13 MFCCs, Spectral Flux, Zero Crossing Rate, Onset Rate, Loudness and Dynamic Complexity). Next, we performed machine learning by combining the BH to the same ASPD. Then, we compared the results again. In Appendix section (SCHEMATIC EXPLANATION OF THE ARTIFICIAL NEURAL NETWORKS), we present some details of the artificial neural networks used.

Scenario 1.

The neural network that presented the best results for the first scenario was a network with a hidden layer of 16 neurons. On average, 39% of instances were correctly classified. The confusion matrix in Table 3 shows the results of the classification with artificial neural networks using only the four ASVD parameters as input attributes. In the main diagonal, where we have the true positives, we observe that the Classical, Disco, Metal and Pop genres had the highest rate of true positives (68, 67, 55 and 55%, respectively). This indicates that in these cases, the PIH patterns described by the ASVD were better interpreted by the neural networks than the other musical genres. We can speculate that these genres have more typical features according to the classification system used. The lowest hit rate was found for Blues. This indicates that, in the vast majority of cases, the PIH pattern of its signals is not typical enough to strongly characterize its cluster in this particular system. This situation was expected because the use of a single attribute type in the classification is not sufficient to achieve a high hit rate for all clusters, as it is natural for audio signals to share PIH characteristics.

Using only the six beat histogram parameters as input attributes in a neural network with a hidden layer of 16 neurons, we obtained a mean true positive rate of 48.3%. Although the mean value is higher than the value obtained with the ASVD, when we compare the rate of instances correctly classified by musical genre using just the ASVD and that using just the beat histogram, we found that the ASVD achieves, for seven of the ten genres, hit rates that are higher than or equal to those achieved by the classification using the beat histogram ( Fig 9). The ASVD classification outperforms the beat histogram for the Classical, Jazz, Reggae, Disco, Country and Metal genres and ties for the Rock genre.

Scenario 2.

For the second scenario, where in addition to the rhythm descriptors, descriptors of other aspects of the signal were used, the best result was obtained by a neural network with two hidden layers, each with 32 neurons, obtaining a result of 76.7%. In this case, the input set ( x i) was formed by 22 attributes extracted from an audio signal, four being the ASVD and 18 Audio Signal Processing Descriptors (ASPD). The output y k was the music class attributed to the respective signal based on the pattern recognition provided by the descriptors.

When we built the neural network using a hidden layer of 32 neurons and 24 input attributes (six beat histogram parameters plus the same 18 ASPD attributes), we obtained an average accuracy of 80.7%. When comparing the classification performance per musical genre of the input configuration using the ASVD + ASPD and BH + ASPD, despite a mean accuracy of 76.7%, looking at each genre individually case by case, we note that in half of the musical genres the percentage of true positives with the ASVD + ASPD exceeded or equaled the results using the beat histogram ( Fig 10). This indicates that the use of the ASVD as a descriptor of rhythmic activity in a classification system is comparable to the beat histogram used in the same function in a similar system.

Gain ratio ranking

To select the attributes, we used the Ranker + GainRatioAttributeEval algorithm in WEKA 3.6.9. The attributes extracted for selection were: the ASVD (modularity- Q, number of communities- Nc, average degree-〈 k〉, density-Δ), 13 MFCCs, Beat Histogram (bh-p1, bh-p1-spread, bh-p1-weight, bh-p2, bh-p2-spread, bh-p2-weight), Loudness, DFA Exponent, Dynamics Complexity, Spectral Flow, Onset Rate, and Zero Crossing Rate. Fig 11 shows the ranking of the best gain ratios among these attributes. Among the 13 MFCCs, we highlight only MFCC 8, which achieved the best information gain ratio. The other 12 MFCCs occupied positions in all ranges and were omitted to simplify the analysis and to focus on other attribute types.

The results show that the two best gain ratios were obtained with two timbre descriptors (MFCC 8 and Zero crossing rate). In third place was Q as the visibility descriptor representative, which was higher than the six beat histogram attributes and the traditional audio signal processing field descriptors such as Spectral Flow, Onset Rate and Loudness. The other visibility descriptors (〈 k〉, Nc and Δ) occupy the sixth, seventh, and eighth positions, respectively, all reaching similar ratios and ranking ahead of the DFA Exponent self-similarity descriptor and the three other time-frequency descriptors. Overall, the visibility descriptors occupied a good position in relation to the timbre descriptors, and an excellent position in relation to the rhythm descriptors.

Comparison with related studies

The 76.7% mean accuracy using the ASVD + ASPD attributes exceeded those found in some studies with the same database and similar classification systems, for example, [ 7] (61%), [ 19] (74%), [ 20] (74.5%), and [ 21] (58.07%), and is comparable to the works of [ 22] (78.5%), [ 23] (76.8%), and [ 24] (78.2%), which also used the same database. To better understand the value of the results found in the classification using the Audio Signal Visibility Descriptor, it is important to note that the mentioned studies have a larger number of attributes, reaching up to 80 [ 25], compared with only the 22 attributes used in our experiment.

The accuracy of the classification of this experiment (black bars) and of the experiment of [ 7] (white bars) are shown in Fig 12. It can be observed that our work obtained a higher hit rate for all categories except for the Jazz genre. For the seven classes there was a difference ≥19%. For Country and Metal, in particular, there was a noticeable difference in the number of true positives: 32% and 37%, respectively. These results show that, in this case, the classification of musical genres using the ASVD for rhythmic activity extraction instead of the beat histogram resulted in a categorization system with a better overall and individual hit rate. This comparison is very important because the work in [ 7] has been used as a benchmark in many music information retrieval studies, and this shows how the new feature extraction method used in this work can succeed over a method traditionally used in the literature.

Conclusion

In this study, we introduced the Audio Signal Visibility Descriptor (ASVD) as a new way to extract features in audio signals for the classification of musical genres using network properties rather than Fourier transform-based algorithms.

We showed that the visibility graphs constructed from audio signals revealed, through graphical representation ( Fig 6) of the ASVD parameters (Tables 1 and 2), distinct PIH features associated with the rhythmic activity of musical styles. Based on these results, we proposed a hierarchy according to PIH ( Fig 7) and then showed that the modularity, number of communities, average degree and density can be used in classification systems as parameters of the feature's vector in different scenarios.

In a classification system using only the ASVD, we achieved an average accuracy of 39%. We compared the instances correctly classified by this system with another system using only the beat histogram, and then, in a pairwise comparison of genres, obtained an accuracy higher than or equal to the second system in 70% of the musical genre pairs ( Fig 9).

Considering a scenario with 18 audio signal processing descriptors plus the ASVD, the mean accuracy of the classification was 76.7%, which is comparable to or higher than several related studies ( Fig 12). In yet another classification experiment using the same 18 attributes as the previous experiment, and using the beat histogram instead of the ASVD, we obtained equal or higher accuracy in half of the ten groups of musical genres ( Fig 10).

In studying the attribute selection, we obtained the ASVD parameters among the top positions and at intermediate positions ( Fig 11). This outcome shows that the ASVD plays a relevant role in the decision making of the algorithm, as it occupies positions alongside the best attributes for classification. We conclude that the proposed descriptor for this database and for this classification system displayed the ability to identify patterns of rhythmic activity that contributed significantly to the study of the representation, hierarchization and categorization of musical genres.

Based on the results obtained in this experiment, the Audio Signal Visibility Descriptor (ASVD) can be considered as a new alternative for the extraction of features for the retrieval of music information in audio signals and can be successfully used together with the descriptors based on Fourier transforms. In future works, we intend to extend the ASVD vector, adding other metrics used in complex networks.

Appendix

Details of Audio Signal Processing Descriptors used

Now we will introduce the basics of some of the state-of-the-art descriptors in the audio signal processing field: Mel-Frequency Cepstral Coefficients, Spectral Flux, Zero Crossing Rate, Loudness, Dynamic Complexity, Onset Rate, Detrended Fluctuation Analysis Exponent, Beats Per Minute and Beat Histogram.

The computational implementation of these descriptors was performed using the algorithms available in the Essentia library [ 15].

Mel-Frequency Cepstral Coefficients-MFCC.

These features were first explored in voice processing [ 26], and then began to have applications in music signal processing and gained much importance in genre classification [ 7]. These coefficients are a representation of the spectral envelope that is based on the Short-Time Fourier Transform (STFT). MFCCs use a spectral envelope representation that seeks to approximate nonlinear human pitch perception through the also nonlinear Mel scale.

Spectral flux.

Spectral flux is the quantitative measure of changes in the power spectrum of the signal. The spectral flux is given by the difference between two consecutive STFT frames of the magnitude spectrum, and it plays an important role in the detection of onsets. [ 27] presents different ways to calculate the spectral flux so it can play the role of a novelty function within an audio signal detection scheme.

Zero crossing rate.

When successive signals assume values with opposite signs (positive-negative or negative-positive), we say that at this point there was a zero crossing. The zero crossing rate is the ratio between the number of consecutive sign changes and the total number of values.

In the context of studying music signals, the zero crossing rate has been used in musical genre classification systems [ 28, 29] and in the study of percussive sound separation [ 30].

Loudness.

Loudness is defined as an entity related to the perception of sound, while intensity is an entity related to the physical features of sound, whose magnitude can be measured numerically. Therefore, loudness essentially has a subjective nature.

Stevens [ 31] proposed a way of quantifying the loudness by establishing a relation between the sensation of sound perception and the intensity of the sound ( Eq 8). (8)

ψ( I) is the magnitude of the subjective sensation given by the sound stimulus; I is the magnitude of the physical stimulus, α is the exponent for the stimulus given by a sound pressure of 3, 000 Hz tone. For the loudness α = 0.67; k is a proportionality constant that depends on the units used.

Dynamic complexity.

Dynamic complexity is calculated by the absolute mean deviation from the overall estimated loudness level on the dB scale. This index reflects the amount of loudness fluctuation in the dynamic range of an audio track.

Onset rate.

Calculates the number of onsets per second in an audio excerpt. The onset rate is based on a high frequency content method known as the High Frequency Content (HFC) function. According to [ 32], HFC is more successful at detecting percussive onsets than nonpercussive onsets, such as strings and flute.

Detrended fluctuation analysis exponent.

The Detrended Fluctuation Analysis (DFA), proposed by [ 33], is a statistical method that detects long-range correlations present in a nonstationary time series in different scales and measures the level of self-similarity in this time series. According to some authors [ 34- 36], the DFA method has an advantage of allowing the "long-range power-law correlations in signals with embedded polynomial trends that can mask the true correlations in the fluctuations of a noise signal".

An adaptation of DFA for the study of music audio signals-The Detrended Fluctuation Analysis Exponent (DFA exponent)-was proposed by [ 8], where a coefficient for calculating the power-law deviations at time intervals of various sizes is presented. With this coefficient, genres such as Dance are associated with low DFA exponent values as a consequence of a low long-range correlation in the time series of its audio signal. In turn, genres such as Hindustani and Classical have high DFA exponent values, reflecting the high long-range correlations in their series. The DFA exponent is also known as danceability [ 37].

Beats Per Mimute-BPM.

It is the average of the most salient BPM values that represent periodicities in the signal (the average BPM). The set of features to represent the structure of the rhythm is based on the detection of the most salient signal periodicities. The signal is first decomposed into an octave band frequency series using the discrete wavelet transform (DWT). After this decomposition, each band's time-domain amplitude envelope is separately extracted. This is achieved by applying full-wave rectification, low-pass filtering and downsampling to each octave frequency band. After the average removal, the envelopes of each band are summed, and the autocorrelation of the resulting sum envelope is calculated. The dominant peaks of the autocorrelation function correspond to the various periodicities of the signal envelope. These peaks are accumulated throughout the sound file into a beat histogram, where each box corresponds to the peak interval, i.e., the beat period in beats per minute (bpm) [ 7].

The time t in BPM of a constant-time music audio segment can be calculated using the time interval Δ t in seconds and the number of beats B in this segment [ 27]. (9)

Beat histogram.

Automatic beat detection systems in audio signals provide an estimation of the execution and strength of their main rhythm. In addition to these resources for characterizing musical genres, the following information can be used in the attribute vectors: i) regularity of the rhythm, ii) relation of the main beat to sub beats, and iii) relative strength of the sub beats to the main rhythm.

The beat histogram is widely used to detect these additional features. This histogram is constructed as follows. First, using a discrete wavelet transform (DWT) [ 38], the audio signal is decomposed into a series of octave frequency bands. Subsequently, the amplitude envelope of each band in the time domain is extracted using full-wave rectification, low-pass filtering, downsampling, and mean removal. Next, all the envelopes are summed, and the resulting envelope auto-correlation is calculated. Thus, we have a self-correlation function that reveals the various periodicities of the signal envelope through its dominant peaks. Finally, the beat histogram is formed by the accumulation of all peaks in the sound file. Note that when there is a strong PIH in the signal (usually in strong-beat signals), the histogram peaks will be higher [ 7].

In this study, six features of the beat histogram were calculated. Algorithms for computational calculations are available in the Essentia library [ 15] and have the following nomenclatures and definitions:

First Peak BPM (BH-p1-BPM): value of the highest peak in BPM.

First Peak Weight (BH-p1-weight): weight of the highest peak.

First Peak Spread (BH-p1-spread): spread of the highest peak.

Second Peak BPM (BH-p2-BPM): value of the second-highest peak in BPM.

Second Peak Weight (BH-p2-weight): weight of the second-highest peak

Second Peak Spread (BH-p2-spread): spread of the second-highest peak.

Schematic explanation of the artificial neural networks

As commented, we have performed the machine learning and classification with supervised artificial neural networks (SANN), using the WEKA multilayer perceptron algorithm. The activation function used was the sigmoid . The attribute vector is formed by the following characteristics extracted from each audio signal:

Audio Signal Visibility Descriptors-ASVD: k, Q, N c, and Δ

Audio Signal Processing Descriptors-ASPD: MFCCs, Loud, SFlux, Onset, ZeroCr, and CDyn

Beat Histogram-BH:bh-p1, bh-p1-spread, bh-p1-weight, bh-p2, bh-p2-spread, and bh-p2-weigh

In the output layer are the musical genres.

Scenario 1.

The SANN that showed the best results were:

Scenario 2.

The best SANN for the second scenario were:

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Graph-based feature extraction: A new proposal to study the classification of music signals outside the time-frequency domain

# data[].attributes.attachment_link.description
Most feature extraction algorithms for music audio signals use Fourier transforms to obtain coefficients that describe specific aspects of music information within the sound spectrum, such as the timbral texture, tonal texture and rhythmic activity.

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The perception of a polyhedron in a generalized kaleidoscope: a perceptive experience

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The perception of a polyhedron in a generalized kaleidoscope: a perceptive experience