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Wenn du dir den Film angeschaut hast, kannst du dieses AB bearbeiten.

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Schaue dir das Video an und beantworte die Fragen auf dem AB.

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Hier findest du dein HA-AB zum Thema 'Alless Fake'. Beantworte die Fragen schriftlich in deinem Heft.

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Hier findest du das AB mit den Fragen zum Film.

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Hier geht's zum Lernpfad Zuordnungen und Funktionen

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Hier geht's zum Lernpfad Zuordnungen und Funktionen

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Lernpfad ist ein digitales Tool, das Lernen mit Inhalten aus unterschiedlichen digitalen Quellen vereinfacht.

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23.11. Englischarbeit (Klasse 9)

24.11. Mathearbeit

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Wochenplan aktualisiert 04.09.  - 08.09. 

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Prozentrechnung mit dem Dreisatz - Mathematik

Im folgenden Text lernst du, wie man den Prozentwert, den Prozentsatz und den Grundwert mithilfe des Dreisatzes berechnen kann.

Wichtige Begriffe der Prozentrechnung - Definitionen

In der Prozentrechnung muss man einige Begriffe kennen, deren Definitionen wir uns im folgenden genauer ansehen:

Der Grundwert ist die Gesamtzahl der betrachteten Menge oder Größe, also das Ganze. Der Grundwert wird mit $G$ bezeichnet.

Der Prozentwert ist ein bestimmter Anteil des Grundwerts, als Zahl angegeben. Der Prozentwert wird mit $W$ angegeben.

Der Prozentsatz ist der prozentuale Anteil des Grundwerts und wird mit $p \%$ angegeben.

Wie diese drei Begriffe zusammenhängen und mit welchen Formeln du diese Werte jeweils ausrechnen kannst, ist in dem folgenden Bild zusammengefasst.

Man muss diese Formeln der Prozentrechnung aber gar nicht auswendig lernen, weil man auch immer den Dreisatz verwenden kann.

Prozentrechnung mittels Dreisatz

Um besser zu verstehen, wie man Aufgaben der Prozentrechnung mit dem Dreisatz löst, betrachten wir nun drei Beispiele, in denen jeweils einer der Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz die gesuchte Größe ist.

Prozentwert mit dem Dreisatz berechnen - Beispiel

Die Monster Bugly und Ugly erschrecken gerne Menschen. Ugly hat in einer Nacht 30 Menschen erschreckt, also ist der Grundwert $G=30$. Bugly hat jedoch nur $80 \%$ davon erschreckt, also ist der Prozentsatz $p \%=80 \%$. Um herauszufinden, wie viele Menschen Bugly erschreckt hat, müssen wir den Prozentwert bestimmen. Der Grundwert entspricht $100 \%$, das heißt, wir können in diesem Beispiel den Grundwert $G=30$ mit $100 \%$ identifizieren. Unser Ausgangspunkt für den Dreisatz ist also:

$100\% \hat{ \ = \ } 30 \text{ Menschen}$

Wir rechnen im ersten Schritt auf $1 \%$ herunter, indem wir durch $100$ teilen. Wir erhalten:

$1\% \hat{ \ = \ } 0,3 \text{ Menschen}$

Danach möchten wir den Prozentwert zum Prozentsatz $80 \%$ bestimmen. Dafür multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit $80$. Insgesamt sieht unsere Rechnung folgendermaßen aus:

So konnten wir mit dem Dreisatz den Prozentwert $W=24$ berechnen, Bugly hat also nur 24 Menschen in der Nacht erschreckt.

Grundwert mit dem Dreisatz berechnen - Beispiel

In einer anderen Nacht hat Ugly $60$ Menschen erschreckt. Dies sollen $20%$ mehr als am Tag zuvor sein. In diesem Fall ist der Prozentwert $W=60$, der Prozentsatz $p\% = 20\%$ und gesucht ist der Grundwert $G$. Auch hier können wir wieder mit dem Dreisatz vorgehen. Unsere Ausgangsgrößen für den Dreisatz sind also

$120\% \hat{ \ = \ } 60 \text{ Menschen}$.

Um auf den Wert von $1 \%$ zu kommen, teilen wir beide Seiten durch $120$ und rechnen danach hoch auf $100 \%$:

Ugly hat am Vortag also $50$ Menschen erschreckt.

Prozentsatz mit dem Dreisatz berechnen - Beispiel

Wieder in einer anderen Nacht hat Ugly $70$ Menschen erschreckt und Bugly $90$ Menschen. Den Unterschied zwischen diesen beiden Werten können wir in Prozent angeben. Dafür gegeben ist der Grundwert $G=70$ und der Prozentwert $W=90$. Wir suchen den Prozentsatz $p \%$. Die Ausgangsgrößen sind in diesem Fall:

$70 \text{ Menschen }\hat{ \ = \ } 100\% $.

Wir teilen erst beide Seiten durch $70$ und rechnen danach hoch auf $90$ Menschen, indem wir mit $90$ multiplizieren:

Bugly hat also ungefähr $28,57 \%$ mehr Menschen erschreckt als Ugly.

Prozentrechnung mit dem Dreisatz - Zusammenfassung

Nach diesen drei Übungen zur Prozentrechnung mit dem Dreisatz können wir nun zusammenfassen: Beim Dreisatz gehen wir in drei Schritten vor, die genauso gelten, wenn wir Werte aus der Prozentrechnung bestimmen möchten.

1. Ausgangsgrößen herausfinden

2. Herunterrechnen auf $1$

3. Hochrechnen auf den gesuchten Wert

Hier auf der Seite findest du noch Übungen und Arbeitsblätter mit Aufgaben zum Thema Prozentrechnung mit dem Dreisatz.

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Prozentrechnung mit dem Dreisatz | sofatutor.com

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Im folgenden Text lernst du, wie man den Prozentwert, den Prozentsatz und den Grundwert mithilfe des Dreisatzes berechnen kann. In der Prozentrechnung muss man einige Begriffe kennen, deren Definitionen wir uns im folgenden genauer ansehen: Der Grundwert ist die Gesamtzahl der betrachteten Menge oder Größe, also das Ganze.

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Vermehrter (Aufschlag) und verminderter (Rabatt) Grundwert 

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Vermehrter (Aufschlag) und verminderter (Rabatt) Grundwert 

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Prozentrechnung: Rabatt und Aufschlag Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozentrechnung: Rabatt und Aufschlag kannst du es wiederholen und üben.

Ein Rabatt reduziert den Ursprungspreis. Ein Aufschlag erhöht den Ursprungspreis.

Der Startpunkt der Rechnung ist der Ursprungspreis.

Richtige Aussagen:
$ \bullet \text{Verkaufspreis} = (100\,\% - \text{Rabatt}) \cdot \text{Ursprungspreis}$

Begründung: Der Verkaufspreis wird ermittelt. Die Reduzierung des Ursprungspreises erfolgt durch die Subtraktion.

$ \bullet \text{Verkaufspreis} = (100\,\% + \text{Aufschlag}) \cdot \text{Ursprungspreis} $

Begründung: Der Verkaufspreis wird ermittelt. Der Aufschlag des Ursprungspreises erfolgt durch die Addition.
Falsche Aussagen:
$\bullet \text{Verkaufspreis} = (100\,\% - \text{Aufschlag}) \cdot \text{Ursprungspreis}$

Begründung: Der Aufschlag wird subtrahiert statt addiert.

$\bullet \text{Ursprungspreis} = (100\,\% - \text{Rabatt}) \cdot \text{Verkaufspreis}$

Begründung: Der Ursprungspreis und der Verkaufspreis sind hier vertauscht. Ermittelt werden soll der Verkaufspreis.

$\bullet \text{Ursprungspreis} = (100\,\% - \text{Aufschlag}) \cdot \text{Verkaufspreis}$

Begründung: Der Ursprungspreis und der Verkaufspreis sind hier vertauscht. Zudem wird der Aufschlag hier subtrahiert statt addiert.

$\bullet \text{Verkaufspreis} = (100\,\% + \text{Rabatt}) \cdot \text{Ursprungspreis}$

Begründung: Der Rabatt wird hier addiert statt subtrahiert. Ein Rabatt hat die Reduzierung des Ursprungspreises zur Folge, weshalb subtrahiert werden muss.

Beispiel: Ein Rabatt von $40\,\%$ wird gegeben. Der Prozentsatz ist demnach: $(100\,\% - 40\,\% = 60\,\%)$

oder

$(1 - 0,\!4) = 0,\!6$.

Der Aufschlag wird entweder als Dezimalzahl zu $1$ addiert oder als Prozentzahl zu $100\,\%$.

$\begin{array}{rcl} \text{Verkaufspreis}_{Gitarre} &=& (100\,\% - \text{Rabatt}) \cdot \text{Ursprungspreis} \\ \text{Verkaufspreis}_{Gitarre} &=& (100\,\% - 25\,\%) \cdot 200 \,€ \\ \text{Verkaufspreis}_{Gitarre} &=& 75\,\% \cdot 200 \,€ \\ \text{Verkaufspreis}_{Gitarre} &=& 0,\!75 \cdot 200 \,€ \\ \text{Verkaufspreis}_{Gitarre} &=& 150 \,€ \\ \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \text{Verkaufspreis}_{Saxophon} &=& (100\,\% + \text{Aufschlag}) \cdot \text{Ursprungspreis} \\ \text{Verkaufspreis}_{Saxophon} &=& (100\,\% + 35\,\%) \cdot 500 \,€ \\ \text{Verkaufspreis}_{Saxophon} &=& 135\,\% \cdot 500 \,€ \\ \text{Verkaufspreis}_{Saxophon} &=& 1,\!35 \cdot 500 \,€ \\ \text{Verkaufspreis}_{Saxophon} &=& 675 \,€ \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \text{Verkaufspreis}_{SaxophonNeu} &=& 120\,\% \cdot 675 \,€ \\ \text{Verkaufspreis}_{SaxophonNeu} &=& 1,\!20 \cdot 675 \,€ \\ \text{Verkaufspreis}_{SaxophonNeu} &=& 810 \,€ \\ \end{array}$

Beispielrechnung:

$\text{Ursprungspreis:} ~10\,€$
$\text{Rabatt:} ~20\,\% $

$\begin{array}{lcr} \text{Verkaufspreis} &=& (100\,\% - 20\,\%) \cdot 10\,€ \\ &=& 80\,\% \cdot 10\,€ \\ &=& 0,\!8 \cdot 10\,€ \\ &=& 8\,€ \end{array}$

Der Rabatt wird von $100\,\%$ subtrahiert, der Aufschlag wir zu $100\,\%$ addiert.

Rabatt:
$\text{Ursprungspreis:}~ 35\,€$
$\text{Rabatt:} ~10\,\%$:

$\begin{array}{lcr} \text{Verkaufspreis}_{Rabatt} &=& (1 - \text{Rabatt}) \cdot \text{Ursprungspreis} \\ &=& (100\,\% - 10\,\%) \cdot 35\,€ \\ &=& (1 - 0,\!1) \cdot 35\,€ \\ &=& 0,\!9 \cdot 35\,€ \\ &=& 31,\!50\,€ \end{array}$

Aufschlag:
$\text{Ursprungspreis:}~ 24\,€$
$\text{Aufschlag:} ~55\,\%$:

$\begin{array}{lcr} \text{Verkaufspreis}_{Aufschlag} &=& (1 + \text{Aufschlag}) \cdot \text{Ursprungspreis} \\ &=& (100\,\% + 55\,\%) \cdot 24\,€ \\ &=& (1 + 0,\!55) \cdot 24\,€ \\ &=& 1,\!55 \cdot 24\,€ \\ &=& 37,\!20\,€ \end{array} $

Beispielrechnung: Es wird ein Rabatt von $40\,\%$ gegeben. Der Prozentsatz ist demnach

$(100\,\% - 40\,\%) = 60\,\%$.

Der Prozentsatz kann auch in Dezimalzahlen geschrieben werden:

$(1 - 0,\!4) = 0,\!6$.

$1.$
$\text{Ursprungspreis} = 20\,€$
$\text{Aufschlag} = 30\,\% $,

$\begin{array}{rcl} \text{Verkaufspreis} &=& (1 + 0,\!3) \cdot 20\,€ \\ &=& 1,\!3 \cdot 20\,€ \\ &=& 26\,€ \end{array}$

$2.$
$\text{Ursprungspreis} = 5\,€$
$\text{Aufschlag} = 15\,\% $,

$\begin{array}{rcl} \text{Verkaufspreis} &=& (1 + 0,\!15) \cdot 5\,€ \\ &=& 1,\!15 \cdot 5\,€ \\ &=& 5,\!75\,€ \end{array}$

$3.$
Kunden:
$\text{Ursprungspreis} = 3,\!50\,€$
$\text{Rabatt} = 40\,\%$,

$\begin{array}{rcl} \text{Verkaufspreis} &=& (1 - 0,\!4) \cdot 3,\!50\,€ \\ &=& 0,\!6 \cdot 3,\!50\,€ \\ &=& 2,\!10\,€ \end{array}$

Mitarbeiter:
$\text{Ursprungspreis} = 3,\!50\,€$
$\text{Rabatt} = 70\,\%$,

$\begin{array}{rcl} \text{Verkaufspreis} &=& (1 - 0,\!7) \cdot 3,\!50\,€ \\ &=& 0,\!3 \cdot 3,\!50\,€ \\ &=& 1,\!05\,€ \end{array}$

Der Verkaufspreis ist der Preis, zu dem ein Produkt verkauft werden soll.

Aufschläge steigern die Preise.

Richtige Aussagen:
$\bullet$ „Der Wert der Erhöhung wird Aufschlag genannt."

$\bullet$ „Der Wert der Reduktion eines Preises wird Rabatt genannt. Er kann als Geldbetrag oder als Prozentsatz angegeben werden."

$ \bullet$ „Der Verkaufspreis wird durch den Ursprungspreis und den Aufschlag bzw. den Rabatt errechnet."

Falsche Aussagen:

$\bullet$ „Der Ursprungspreis ist der Preis, der durch die Erhöhung oder die Reduzierung des Startpunktes ermittelt wird."

Begründung: Der Verkaufspreis wird ermittelt. Der Ursprungspreis ist der Startpunkt.

$\bullet$ „Der Aufschlag kann nur als Prozentsatz angegeben werden."

Begründung: Der Aufschlag kann auch als Geldwert angegeben werden.

$\bullet$ „Der Wert einer Reduktion eines Preises wird Aufschlag genannt."

Begründung: Der Wert einer Reduktion ist der Rabatt. Der Aufschlag gibt eine Erhöhung des Preises an.

$\bullet$ „Der Ursprungspreis wird durch den Verkaufspreis und den Aufschlag bzw. den Rabatt errechnet."

Begründung: Der Ursprungspreis ist der Startpunkt der Berechnung. Der Verkaufspreis wird durch den Ursprungspreis und den Aufschlag bzw. den Rabatt errechnet.

Gesucht werden hier der Aufschlag bzw. der Rabatt. Die bekannten Formeln müssen daher umgestellt werden.

Beispiel $1$:
$\text{Verkaufspreis} = 150\,€$
$\text{Ursprungspreis} = 200\,€$

$\begin{array}{rcl} \text{Prozentsatz} &=& \frac{\text{Verkaufspreis}}{\text{Ursprungspreis}} \\ &=& \frac{150\,€}{200\,€} \\ &=& 0,\!75 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \text{Rabatt} &=& 1 - \text{Prozentsatz} \\ &=& 1 - 0,\!75 \\ &=& 0,\!25 \\ &=& 25\,\% \end{array}$

Beispiel $2$:
$\text{Verkaufspreis} = 300\,€$
$\text{Ursprungspreis} = 200\,€$

$\begin{array}{rcl} \text{Prozentsatz} &=& \frac{\text{Verkaufspreis}}{\text{Ursprungspreis}} \\ &=& \frac{300\,€}{200\,€} \\ &=& 1,\!5 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \text{Aufschlag} &=& \text{Prozentsatz} - 1 \\ &=& 1,\!5 - 1 \\ &=& 0,\!5 \\ &=& 50\,\% \end{array}$

$1.$

$\text{Verkaufspreis} = 121,\!50 \,€$
$\text{Ursprungspreis} = 90 \,€$

$\begin{array}{rcl} \text{Prozentsatz} &=& \frac{\text{Verkaufspreis}}{\text{Ursprungspreis}} \\ &=& \frac{121,50 \,€}{90 \,€} \\ &=& 1,\!35 \end{array}$

Da der Prozentsatz größer als $1$ ist, handelt es sich um einen Aufschlag:

$\begin{array}{rcl} \text{Aufschlag} &=& (\text{Prozentsatz} - 1) \\ &=& 1,\!35 - 1 \\ &=& 0,\!35 \\ &=& 35\,\% \end{array}$

$2.$

$\text{Verkaufspreis} = 248 \,€$
$\text{Ursprungspreis} = 310 \,€$

$\begin{array}{rcl} \text{Prozentsatz} &=& \frac{\text{Verkaufspreis}}{\text{Ursprungspreis}} \\ &=& \frac{248 \,€}{310 \,€} \\ &=& 0,\!8 \end{array}$

Da der Prozentsatz kleiner als $1$ ist, handelt es sich um einen Rabatt:

$\begin{array}{rcl} \text{Rabatt} &=& (1 - \text{Prozentsatz}) \\ &=& 1 - 0,\!8 \\ &=& 0,\!2 \\ &=& 20\,\% \end{array}$

$3.$

$\text{Verkaufspreis} = 3,\!50 \,€$
$\text{Ursprungspreis} = 5,\!00 \,€$

$\begin{array}{rcl} \text{Prozentsatz} &=& \frac{\text{Verkaufspreis}}{\text{Ursprungspreis}} \\ &=& \frac{3,50 \,€}{5 \,€} \\ &=& 0,\!7 \end{array}$

Da der Prozentsatz kleiner als $1$ ist, handelt es sich um einen Rabatt:

$\begin{array}{rcl} \text{Rabatt} &=& (1 - \text{Prozentsatz}) \\ &=& 1 - 0,\!7 \\ &=& 0,\!3 \\ &=& 30\,\% \end{array}$

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Prozentrechnung: Rabatt und Aufschlag | sofatutor.com

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Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozentrechnung: Rabatt und Aufschlag kannst du es wiederholen und üben. Ein Rabatt reduziert den Ursprungspreis. Ein Aufschlag erhöht den Ursprungspreis. Der Startpunkt der Rechnung ist der Ursprungspreis. Richtige Aussagen: $ \bullet \text{Verkaufspreis} = (100\,\% - \text{Rabatt}) \cdot \text{Ursprungspreis}$ Begründung: Der Verkaufspreis wird ermittelt.

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Kapital, Zinsen, Zinssatz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kapital, Zinsen, Zinssatz kannst du es wiederholen und üben.

Wenn Monty einen Kredit aufnimmt, muss er dafür jedes Jahr zusätzlich die Zinsen bezahlen.

Der Zinssatz der Zinsrechnung entspricht dem Prozentsatz der Prozentrechnung und ist ein Verhältnis, das man in $\%$ oder als Dezimalbruch angeben kann.

Wenn Monty einen Kredit von $200$ Knochen zu einem Zinssatz von $11\,\%$ aufnimmt, so muss er dafür jährlich $200 \cdot 0,\!11 = 22$ Knochen an Zinsen zahlen.

Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung. Die Begriffe der Prozentrechnung haben in der Zinsrechnung eigene Namen. Die Formeln kannst du direkt übertragen. Der dem Grundwert entsprechende Wert heißt in der Zinsrechnung Kapital. Auf ein Kapital, das man als Kredit aufnimmt, muss man üblicherweise jährliche Zinsen zahlen. Die Zinsen sind also zusätzliches Geld, das der Kreditnehmer an den Kreditgeber bezahlt. Die Zinsen entsprechen dem Prozentwert aus der Prozentrechnung. Das bedeutet, dass die Höhe der Zinsen von der Höhe des als Kredit aufgenommenen Kapitals abhängt. Diese Abhängigkeit ist mit dem Zinssatz festgelegt. Dieser ist nämlich das Verhältnis aus Zinsen und Kapital. In der Prozentrechnung gibt es eine ganz analoge Größe, nämlich den Prozentsatz, d. h. das Verhältnis aus Prozentwert und Grundwert.

Monty will ein Kapital von $K = 210$ Knochen als Kredit aufnehmen. Dafür soll er jährlich $Z = 21$ Knochen Zinsen zahlen. Monty rechnet den zugehörigen Zinssatz aus. Dazu teilt er Zinsen durch Kapital und erhält:

$p\% = \frac{ Z}{ K} = \frac{21}{210} = 0,\!1 =10\,\%$.

$21$ Knochen Zinsen pro Jahr sind Monty zu viel. Stattdessen bietet er an, nur $Z = 12$ Knochen Zinsen jährlich zu zahlen. Für die niedrigeren Zinsen begnügt er sich auch mit einem geringeren Kapital von $K = 150$ Knochen. Mit diesen Werten sind nicht nur Kapital und Zinsen niedriger. Auch der Zinssatz ist kleiner geworden:

$p\% = \frac{ Z}{K} = \frac{12}{150} = 0,\!08 = 8\,\%$

Die Zinsen sind das Produkt aus Zinssatz und Kapital.

Das Kapital ist der Wert, auf den sich die Zinsen beziehen.

Das Verhältnis von Zinsen und Kapital entspricht dem Verhältnis von Prozentwert und Grundwert.

Die Zinsrechnung ist eine direkte Anwendung der Prozentrechnung. Das Kapital $ K$ entspricht dem Grundwert $G$ aus der Prozentrechnung, die Zinsen $Z$ dem Prozentwert $W$ und der Zinssatz $p\%$ dem Prozentsatz $p\%$ . Die Formeln der Prozentrechnung kannst du direkt in die Zinsrechnung übertragen. So ist der Zinssatz das Verhältnis aus Zinsen und Kapital:

$p\% =\dfrac{ Z}{ K}$

Die Zinsen sind das Produkt aus Zinssatz und Kapital:

$ Z = p\% \cdot K$.

Das Kapital kannst du auch als Verhältnis von Zinsen und Zinssatz berechnen:

$K =\frac{Z}{ p\%}$.

Die Zinsen sind zusätzliches Geld, das für einen Kredit bezahlt werden muss. Üblicherweise werden die Zinsen einmal jährlich fällig.

Mit diesen Überlegungen findest du folgende Sätze:

Der Grundwert ... heißt in der Zinsrechnung Kapital.

Der Zinssatz ... ist der Quotient aus Zinsen und Kapital.

Die Zinsen ... müssen jedes Jahr neu bezahlt werden.

Das Produkt aus Prozentsatz und Grundwert ... heißt Prozentwert.

Du kannst das Kapital aus den Zinsen und dem Zinssatz berechnen.

Die Zinsen entsprechen dem Prozentwert $ W$, der Zinssatz dem Prozentsatz $p\%$. Den Grundwert kannst du daraus berechnen mit der Formel:

$ G = \frac{W}{p\%}$.

Die Zinsen von $Z = 250$ bei einem Zinssatz von $ p\% = 1\,\%$ gehören zu dem Kapital

$K = \frac{ Z}{ p\%} = \frac{250}{1\,\%} = \frac{250}{0,01} = 25\,000$

Für die Zinsrechnung sind die Begriffe Kapital, Zinssatz und Zinsen relevant. Der Zinssatz ist das Verhältnis aus Zinsen und Kapital. Die Zinsen sind das Produkt aus Zinssatz und Kapital. Das Verhältnis von Zinsen und Zinssatz ergibt wiederum das Kapital. In Formeln:

$p\% = \frac{Z}{K}$ und $Z = p\% \cdot K$ und $ K = \frac{ Z}{p\%}$

Du kannst also aus jedem Paar von Zinsen und Zinssatz mit der dritten Formel das Kapital berechnen. So findest du folgende Zuordnungen:

Kapital $K = 1\,000$:

Hierzu passt das Paar aus Zinsen $ Z = 125$ und Zinssatz $ p\% = 0,\!125$, denn $\frac{125}{0,125} = 1\,000$.

Auch das Paar $ Z = 375$ und $p\% =37,\!5\,\%$ passt: $\frac{375}{37,5\,\%} = \frac{375}{0,375} = 1\,000$.

Kapital $ K = 375$:

Als Kredit wäre es nicht günstig, aber als Übungsaufgabe passt das Paar $ Z = 375$ und $p\% = 100\,\%$, denn $\frac{375}{100\,\%} = \frac{375}{1} = 375$.

Dieser Kredit ist auch teuer, aber rechnerisch ebenso passend: $ Z = 75$ und $p\% = 20\,\%$, denn $\frac{75}{20\,\%} = \frac{75}{0,2} = 375$.

Kapital $ K = 450$:

Zu diesem Kapital passt das Paar aus Zinssatz $ p\% = 0,\!2$ und Zinsen $Z = 90$, denn $\frac{90}{0,2} = 450$.

Auch das folgende Kreditangebot passt: $ p\% = 11\,\%$ und $ 49,\!5$, denn $\frac{49,5}{11\,\%} = \frac{49,5}{0,11} = 450$.

Kapital $K=1\,250$:

Ein passendes Paar ist das aus Zinssatz $ p\% = 20\,\%$ und Zinsen $Z = 250$, denn hier ist $\frac{250}{0,2} = 1\,250$.

Gleichfalls passend ist das Paar aus Zinsen $Z = 125$ und Zinssatz $p\% = 0,\!1$: hierfür ist nämlich $\frac{125}{0,1} = 1\,250$.

Wandle die Prozentangaben in einen Dezimalbruch um.
Beispiel: $p\% = 5\,\% = 0,\!05$

$p\% = \dfrac{Z}{K}$

$Z = K \cdot p\%$

$K = \dfrac{Z}{p\%}$

Zur Berechnung der fehlenden Angaben hilft uns unser Wissen zur Prozentrechnung. Die Formeln der Prozentrechnung können in diesem Fall direkt auf die Zinsrechnung übertragen werden. Wir passen dabei lediglich die Begriffe an. Statt dem Grundwert $G$ sprechen wir vom Kapital $K$. Zum Prozentwert $W$ sagen wir Zinsen $Z$. Während wir den Prozentwert mit Prozentsatz $p\%$ berechnen, können wir die Zinsen mit dem Zinssatz berechnen. Auch hier verwenden wir ein $p\%$ als Abkürzung. Um mit diesen Werten rechnen zu können, wandeln wir die Prozentangabe in einen Dezimalbruch um. Beispielsweise entsprechen $3\,\%$ dem Dezimalbruch $0,\!03$. Somit ergeben sich folgende Formeln zur Berechnung der einzelnen Werte:

In den folgenden beiden Aufgaben ist das Kapital $K$ gesucht. Die gegebenen Werte setzen wir somit in die Formel $K = \dfrac{Z}{p\%}$ ein.

Gegeben: $Z = 245$ und $p\%=35\,\%=0,\!35$. Somit rechnen wir $K = \dfrac{245}{0,\!35} = 700$.

Gegeben: $Z = 10,\!05$ und $p\%=0,\!1\,\%=0,\!001$. Wir rechnen also $K = \dfrac{10,\!05}{0,\!001} = 10\,050$.

Bei den nächsten beiden Aufgaben sind die Zinsen $Z$ gesucht. Deshalb verwenden wir die Formel $Z = K \cdot p\%$.

Gegeben: $K = 400$ und $p\%=18\,\%=0,\!18$. Also rechnen wir $Z = 400 \cdot 0,\!18 = 72$.

Gegeben: $K = 1\,456$ und $p\%=3\,\%=0,\!03$. Wir rechnen $Z = 1\,456 \cdot 0,\!03 = 43,\!68$.

Bei den letzten beiden Aufgaben war der Zinssatz $p\%$ zu ermitteln. Wir verwenden deshalb die Forml $p\% = \dfrac{Z}{K}$. Hier war zu beachten, dass die errechneten Werte in Prozent angegeben werden und somit der Dezimalbruch umgerechnet werden muss.

Gegeben: $K = 250$ und $Z = 25$. In die Formel eingesetzt ergibt sich dann $p\% = \dfrac{25}{250} = 0,\!1 = 10\,\%$.

Gegeben: $K = 520$ und $Z = 13$. Hier rechnen wir dann $p\%= \dfrac{13}{520} = 0,\!025 = 2,\!5\,\%$.

Der Zinssatz ist das Verhältnis aus Zinsen und Kapital.

Die Formel für den Zinssatz kannst du auch nach dem Kapital oder den Zinsen auflösen.

Bei einem Zinssatz von $2\,\%$ und einem Kapital von $400$ betragen die jährlichen Zinsen $2\,\% \cdot 400 = 0,\!02 \cdot 400 = 8$.

Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung. Die Begriffe der Prozentrechnung heißen Grundwert $G$, Prozentsatz $ p\%$ und Prozentwert $W$. Der Grundwert ist der Wert, von dem ausgehend der Prozentwert bestimmt wird. Der Prozentsatz ist das Verhältnis von Prozentwert und Grundwert. In Formeln bedeutet das:

$ p\% = \frac{W}{ G}$

Diese Formel kannst du auch nach dem Prozentwert oder dem Grundwert auflösen. Dadurch findest du die Formeln:

$W = p\% \cdot G$ und $ G = \frac{W}{ p\%}$

In der Zinsrechnung entspricht der Grundwert dem Kapital $ K$. Der Prozentwert entspricht den Zinsen $ Z$ und der Prozentsatz dem Zinssatz $ p\%$.

Setzt du diese Begriffe in die Formeln der Prozentrechnung ein, so findest du die Formeln auf dem Bild.

Mit diesen Überlegungen findest du auch heraus, welche Formeln aus der Übung richtig sind:

$ p\% = \frac{ Z}{K}$: Der Zinssatz ist das Verhältnis aus Zinsen und Kapital.

$W = p\% \cdot G$: Den Prozentwert kannst du als Produkt aus Prozentsatz und Grundwert ausrechnen.

$ K = \frac{ Z}{p\%}$: Aus dem Verhältnis von Zinsen und Zinssatz erhältst du das Kapital zurück.

$p\% = \frac{ W}{G}$: Der Prozentsatz ist das Verhältnis von Prozentwert und Grundwert.

Folgende Formeln dagegen sind falsch:

$K \neq \frac{p\%}{Z}$: Das Kapital kannst du als Quotient von Zinsen und Zinssatz bestimmen. Der Bruch muss also umgedreht werden, sodass die Formel stimmt.

$W \neq p\% \cdot Z$: Hier kommen die Begriffe der Prozent- und Zinsrechnung durcheinander. Es gibt keine solche Formel, in der sowohl der Prozentwert als auch die Zinsen vorkommen.

$ Z \neq \frac{K}{p\%}$: Die Zinsen sind das Produkt und nicht der Quotient aus Kapital und Zinssatz.

Liegt der Zinssatz bei $20\,\%$ pro Jahr, so sind die Zinsen von $5$ Jahren mindestens so hoch wie das ursprüngliche Kapital.

Bei einem Zinssatz von $9\,\%$ und einem Kapital von $111$ sind ${111 \cdot 0,\!09 = 9,\!99}$ Knochen Zinsen pro Jahr zu bezahlen.

Die Hundemafia gibt sich alle Mühe, die Kreditbedingungen mit undurchsichtigen Sätzen zu verschleiern. Aber wenn du einen kühlen Kopf behältst und die Formeln der Zinsrechnung richtig anwendest, kannst du der Mafia auf die Pfoten schauen:

Die Beziehung zwischen Kapital $\text K$, Zinssatz $\text p\%$ und Zinsen $\text Z$ wird durch folgende drei äquivalenten Formeln bestimmt:

$\text Z = \text p\% \cdot \text K$ und $\text p\% = \frac{\text Z}{\text K}$ und $\text K = \frac{\text Z}{\text p\%}$.

Mit diesen Formeln kannst du die Sätze überprüfen.

Folgende Sätze sind richtig:

„Kein Kredit, dessen Zinsen in $10$ Jahren das ursprüngliche Kapital übersteigen, hat einen Zinssatz unter $10\,\%$ pro Jahr." Hat ein Kredit einen Zinssatz von weniger als $10\,\% = 0,\!1 = \frac{1}{10}$, so machen die jährlichen Zinsen weniger als ein Zehntel des Kapitals aus. In $10$ Jahren ist daher weniger als zehnmal ein Zehntel des Kapitals an Zinsen fällig, also weniger als das ursprüngliche Kapital.

„Legt der Mafiaboss seine Knochen mit Zinsen von $15\,\%$ pro Jahr an, so wird sich sein Vermögen während einer siebenjährigen Haftstrafe mindestens verdoppeln." Wenn der Mafiaboss jedes Jahr $15\%$ Zinsen erhält, so hat er nach $7$ Jahren $7 \cdot 15\,\% = 105\,\%$ an Zinsen erhalten. Dadurch hat sich sein Vermögen verdoppelt. Denn ihm gehört nicht nur das Kapital, sondern auch die Zinsen. In der Geldanlage-Praxis tritt die Verdoppelung sogar noch früher ein. Der Grund dafür ist der Zinseszins. Aber das ist ein weiterführendes Thema.

Folgende Sätze sind falsch:

„$13$ Knochen Zinsen pro Jahr bei einem Zinssatz von $5\,\%$ versprechen ein Kapital von mehr als $300$ Knochen." Das Kapital zu diesen Kreditkonditionen wäre $\text K = \frac{\text Z}{\text p\%} = \frac{13}{0,05} = 260 < 300$.

„Um nicht mehr als $15$ Knochen pro Jahr an Zinsen bezahlen zu müssen, darf bei einem Zinssatz von $15\,\%$ das Kapital nicht kleiner als $150$ Knochen sein." Wieder kannst du das Kapital aus den Kreditkonditionen bestimmen: $\text K = \frac{\text Z}{\text p\%} = \frac{15}{0,15} = 100$. Tatsächlich darf also das Kapital unter diesen Bedingungen nicht größer als $100$ Knochen sein.

„Um mit höchstens $11$ Knochen Zinsen pro Jahr ein Kapital von $222$ Knochen zu erhalten, darf der Zinssatz bis zu $5\,\%$ betragen." Der Zinssatz ist das Verhältnis aus Zinsen und Kapital. Hier beträgt der Zinssatz also $\frac{11}{222} = 0,\!0495 = 4,\!95\,\% < 5\,\%$. Der Zinssatz darf also höchstens bei $4,\!95\,\%$ liegen.

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Kapital, Zinsen, Zinssatz | sofatutor.com

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Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kapital, Zinsen, Zinssatz kannst du es wiederholen und üben. Wenn Monty einen Kredit aufnimmt, muss er dafür jedes Jahr zusätzlich die Zinsen bezahlen. Der Zinssatz der Zinsrechnung entspricht dem Prozentsatz der Prozentrechnung und ist ein Verhältnis, das man in $\%$ oder als Dezimalbruch angeben kann.

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Was ist der Prozentsatz?

In der Prozentrechnung begegnen uns die Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz. Dabei steht der Grundwert $G$ für die Gesamtzahl oder Grundgesamtheit, die wir betrachten. Der Prozentwert $W$ beschreibt einen Anteil als Zahlenwert und der Prozentsatz $p\%$ beschreibt den prozentualen Anteil des Prozentwerts am Grundwert.

Wenn beispielsweise von $100$ Personen $27$ eine Brille tragen, dann ist der Grundwert $G = 100$, da wir insgesamt $100$ Personen betrachten. Der Anteil der Brillenträger ist der Prozentwert ${W = 27}$. Als prozentualen Anteil von Personen mit Brille können wir $p\% = 27\,\%$ oder $0{,}27$ schreiben.

Prozentsatz berechnen

Für die Berechnung des Prozentsatzes gibt es zwei Möglichkeiten:

Grundwert und Prozentwert in die Formel für den Prozentsatz einsetzen.

Prozentsatz mit dem Dreisatz aus dem Grundwert berechnen.

Prozentsatz berechnen - Grundgleichung

Aus dem Dreieck der Prozentrechnung können wir die Formel für den Prozentsatz ablesen:

Wir können den Prozentsatz also berechnen, indem wir den Prozentwert durch den Grundwert teilen.

Betrachten wir das Beispiel mit den $27$ Brillenträgern unter $100$ Personen. Wir erhalten für den Prozentsatz:

$p\% = \dfrac{W}{G} = \dfrac{27}{100} = 0{,}27 = 27\,\%$

Prozentsatz berechnen - Dreisatz

Eine Alternative für die Berechnung des Prozentsatzes zu einem gegebenen Prozentwert ist der , da Prozentwert und Prozentsatz proportionale Größen sind.

Es gilt: $G ~\hat{=}~ 100\,\%$

Auch hiermit können wir den Prozentsatz von $27$ Brillenträgern unter $100$ Personen ermitteln. Dazu beginnen wir mit dem Grundwert $100$, der $100\,\%$ entspricht.

Wir sehen, dass eine Person genau einem Prozent entspricht und erhalten damit nach Multiplikation mit $27$ einen Prozentsatz von $p\% = 27\,\%$ für $27$ Personen.

Prozentsatz berechnen - Beispiele

Wir wollen nun weitere Beispiele für die Berechnung des Prozentsatzes betrachten.
Dazu schauen wir, wie erfolgreich der Geist Buuuhgo Lebewesen erschreckt, während er für seine Schreckgespenst-Prüfung übt.

Prozentsatz berechnen: Aufgabe 1

Letzte Nacht hat Geist Buuuhgo versucht, $50$ Lebewesen zu erschrecken. Also ist $50$ der Grundwert $G$.
Bei $27$ Lebewesen hatte er Erfolg. Das ist der Prozentwert $W$.
Wie viel Prozent sind nun $27$ von $50$? Um das herauszufinden, benutzen wir die Formel für den Prozentsatz:

$p\% = \dfrac{W}{G} = \dfrac{27}{50} = 0{,}54$

Hier steht der Prozentsatz als Dezimalzahl. Um den Prozentsatz in Prozent umzurechnen, multiplizieren wir mit $100$ und ergänzen das $\%$-Zeichen:

$p\% = 54\,\% $

Buuuhgo hat also $54\,\%$ der Lebewesen erfolgreich erschreckt.

Prozentsatz berechnen: Aufgabe 2

In seiner zweiten Übungsrunde versucht Buuuhgo, $26$ Lebewesen zu erschrecken. Bei $18$ Lebewesen hat er Erfolg. Wir setzen die Werte in die Formel für den Prozentsatz ein:

$p\% = \dfrac{W}{G} = \dfrac{18}{26} \approx 0{,}69$

Wir multiplizieren wieder mit $100$ und ergänzen das $\%$-Zeichen, um den Prozentsatz in Prozent zu erhalten:

$p\% = 69\,\%$

Buuuhgo konnte also $69\,\%$ der Lebewesen erschrecken.

Prozentsatz berechnen: Aufgabe 3

In seiner Prüfung muss Buuuhgo versuchen, $736$ Lebewesen zu erschrecken. Er schafft es bei $720$ Lebewesen. Ist das ausreichend? Um das herauszufinden, müssen wir den Prozentsatz ermitteln. Dieses Mal nutzen wir zur Berechnung des Prozentsatzes eine alternative Methode.

Wir bestimmen zunächst, wie viel Prozent ein Lebewesen von insgesamt $736$ Lebewesen ist. Um von $736$ auf $1$ Lebewesen zu kommen, müssen wir $736$ durch $736$ teilen. Daher müssen wir auch $100\,\%$ durch $736$ teilen, um den Prozentsatz für $1$ Lebewesen zu bestimmen:

$736 ~\hat{=}~ 100\,\%$

$\downarrow ~ ~ ~ :736$

$1 ~\hat{=}~ 0{,}136\,\%$

Ein Lebewesen entspricht also $0{,}136\,\%$ von $736$ Lebewesen.
Um jetzt zu bestimmen, wie viel Prozent $720$ Lebewesen sind, müssen wir mit $720$ multiplizieren.

$1 ~\hat{=}~ 0{,}136\,\%$

$\downarrow ~ ~ ~ \cdot~ 720$

$720 ~\hat{=}~ 97{,}92\,\%$
Das ist der gesuchte Prozentsatz zu $720$ von $736$ Lebewesen:

$p\% = 97{,}92\,\%$

Buuuhgo hat es geschafft, ungefähr $98\,\%$ der Lebewesen zu erschrecken. Damit hat er die Prüfung sicher bestanden!

Prozentsätze über 100 %

Und was ist, wenn Buuuhgo so gruselig ist, dass er alle Lebewesen und noch dazu $10$ der Spuk-Professoren erschreckt? Also insgesamt $736+10 = 746$?

$736$ Lebewesen entsprechen $100\,\%$, denn es sind gerade alle Lebwesen, die Buuuhgo erschrecken muss. $746$ sind mehr als $736$. Aber kann auch der Prozentsatz mehr als $100\,\%$ sein? Und wie können wir einen Prozentsatz von mehr als $100\,\%$ berechnen?

Wir gehen dazu genauso vor wie im vorigen Beispiel. Wir haben schon ausgerechnet, dass ein Lebwesen $0{,}136\,\%$ entspricht. Wir müssen also die Anzahl an Lebwesen mit diesem Wert multiplizieren:

$746 \cdot 0{,}136\,\% = 101{,}46\,\%$

Buuuhgo hätte in diesem Fall also sogar $101{,}46\,\%$ der prüfungsrelevanten Lebewesen erschreckt und die Prüfung damit wohl mit Auszeichnung bestanden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Prozentsatz berechnen

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In der Prozentrechnung begegnen uns die Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz. Dabei steht der Grundwert $G$ für die Gesamtzahl oder Grundgesamtheit, die wir betrachten. Der Prozentwert $W$ beschreibt einen Anteil als Zahlenwert und der Prozentsatz $p\%$ beschreibt den prozentualen Anteil des Prozentwerts am Grundwert.

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Prozentrechnung: der Prozentwert

Du kennst das bestimmt: Du sitzt in der Bahn auf dem Weg in die Schule und hörst mit deinem Handy Musik. Du schaust auf das Display und siehst: Du hast nur noch $5~\%$ der Akkuleistung übrig. Wird das für die restliche Fahrzeit ausreichen?

Um das zu berechnen, musst du dich mit dem Prozentwert in Mathe auskennen. Wir schauen uns im Folgenden an, was der Prozentwert ist und wie du ihn berechnen kannst.

Der Prozentwert - Erklärung
Prozentwert - Definition
Der Prozentwert $W$ ist in Mathe der Anteil an einer Grundmenge oder einem Grundwert. Der Anteil kann dabei kleiner oder größer als der Grundwert sein. Auf einen Handyakku bezogen ist der Grundwert die gesamte Akkulaufzeit. Der Prozentwert ist ein Anteil der Laufzeit.
Wie berechnet man den Prozentwert?
Um herauszufinden, wie man den Prozentwert berechnen kann, erinnern wir uns an das „Dreieck der Prozentrechnung":

Wir können den Prozentwert berechnen, wenn wir den Grundwert $G$ und den Prozentsatz $p\%$ kennen. Die Formel zur Berechnung des Prozentwertes ist dann:

$W = p\% \cdot G$

Schauen wir uns dazu ein paar Beispiele an.

Der Prozentwert - Beispiele
Beispiel 1
Wir betrachten ein Handy, dessen Akku eine Laufzeit von $16~\pu{h}$ hat. Davon bleiben noch $5~\%$. In diesem Fall ist $G = 16~\pu{h}$ der Grundwert. Den Prozentsatz können wir auch als Dezimalzahl schreiben: $p\% = 0,05$. Setzen wir beides in die Gleichung ein, erhalten wir den Prozentwert $W$:

$W = p\% \cdot G = 0,05 \cdot 16~\pu{h} = 0,8~\pu{h} = 48~\pu{min}$

Der Akku läuft also noch $48$ Minuten.
Beispiel 2
Dieses Mal betrachten wir ein Handy mit einer Akkulaufzeit von insgesamt $21~\pu{h}$. Das ist unser Grundwert $G$. Davon sind noch $23~\%$ übrig. Der Prozentsatz ist also: $p\% = 0,23$. Wir setzen beide Werte in die Gleichung ein und erhalten:

$W = 0,23 \cdot 21~\pu{h} = 4,83~\pu{h}$

Der Akku läuft also noch $4,83$ Stunden.
Beispiel 3
In unserem dritten Beispiel wollen wir den Prozentwert mit einer alternativen Methode bestimmen. Dazu betrachten wir ein Handy mit einer Akkulaufzeit von $120~\pu{h}$. Das ist der Grundwert $G$. Von diesem Grundwert bleiben noch $78~\%$. Den Prozentwert $W$ können wir auch berechnen, indem wir zunächst den Prozentwert zu $1~\%$ ermitteln. Dazu teilen wir den Grundwert durch $100$:

$1~\% \hat{=} \frac{120~\pu{h}}{100} = 1,2~\pu{h}$

Um von $1~\%$ auf $78~\%$ zu kommen, müssen wir mit $78$ multiplizieren. Wir müssen also auch $1,2~\pu{h}$ mit $78$ multiplizieren, um den Prozentwert zu erhalten:

$78~\% \hat{=} 1,2 \cdot 78 ~\pu{h} = 93,6~\pu{h}$

Der Akku läuft also noch $93,6$ Stunden.

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Du kennst das bestimmt: Du sitzt in der Bahn auf dem Weg in die Schule und hörst mit deinem Handy Musik. Du schaust auf das Display und siehst: Du hast nur noch $5~\%$ der Akkuleistung übrig. Wird das für die restliche Fahrzeit ausreichen? Um das zu berechnen, musst du dich mit dem Prozentwert in Mathe auskennen.

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Prozentrechnung: Grundwert Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozentrechnung: Grundwert kannst du es wiederholen und üben.

Die Prozentzahl ist die Zahl vor dem Prozentzeichen. Der Prozentsatz ist die Zahl mit Prozentzeichen.

Den Prozentsatz kannst du als $42\%$ oder als $0,42$ schreiben.

Bei dem Prozentsatz kleiner als $100~\%$ bzw. $1,0$ in der Dezimalbruchschreibweise ist der Grundwert größer als der Prozentwert.

Wilbur berechnet die Gesamtmenge seiner Erdnussernte im Vorjahr. Dies ist der Grundwert. Der Prozentwert $W$ ist ein Anteil des Grundwertes $G$, der als Zahl angegeben wird. Der Prozentsatz $p\%$ ist der zugehörige prozentuale Anteil. Er wird meistens als Dezimalbruch angegeben. Manchmal wird er aber auch als Prozentzahl mit darauffolgenden Prozentzeichen angegeben.

Wilbur hat in diesem Jahr $17\%$ weniger geerntet als im Vorjahr. Die Vorjahresernte ist der Grundwert $G$, also $100\%$ und die aktuelle Ernte der Prozentwert $W$. Um nun den prozentualen Anteil der diesjährigen Ernte zu erhalten, müssen wir die $17\%$ subtrahieren:

$100\% - 17\% = 83\%$

Den Prozentsatz $p\%$ schreiben wir üblicherweise als Dezimalbruch:

$83\%=0,83$

In diesem Jahr hat Wilbur $520~\text{kg}$ Erdnüsse geerntet. Dies ist der Prozentwert. Den Grundwert $G$ berechnet er, indem er den Prozentwert durch den Prozentsatz dividiert. Um dir diese Formel zu merken, kann dir das Dreieck oben helfen.

$G = \frac{W}{p\%} = \frac{520}{0,83} \approx 626,5$

Er hat im Vorjahr also $626,5~\text{kg}$ Erdnüsse geerntet.

Zwei Jahre später hat Wilbur $1 315~\text{kg}$ Erdnüsse geerntet. Das sind diesmal $30\%$ mehr als im Vorjahr. Bezogen auf die Vorjahresernte ist der aktuelle Ertrag der Prozentwert. Wie zuvor berechnet Wilbur die Vorjahresernte, d. h. den Grundwert:

$G = \frac{W}{p\%}= \frac{1315~\text{kg}}{1,3} = 1 011,5~\text{kg}$

Er hat im Jahr davor also $1 011,5~\text{kg}$ Erdnüsse geerntet.

Den Prozentsatz setzt du in der Rechnung am besten als Dezimalbruch ein, d. h. $57~\% = \frac{57}{100} = 0,57$.

Bei einem Prozentwert $W = 118$ und einem Prozentsatz $p\% = 71~\%$ beträgt der Grundwert:

$ G = \frac{W}{p\%} = \frac{118}{0,71} \approx 166,2$

Zur Berechnung des Grundwertes $ G$ aus dem Prozentwert $W$ und dem Prozentsatz $p\%$ verwendest du die Formel:

$G = \frac{ W}{p\%}$

Hier sind die Rechnungen:

Für $W = 520$ und $p\% = 83\%$ erhältst du: $G = \frac{520}{0,83} = 626,5$.

Bei $W = 1315$ und $p\% = 130\%$ ist $G = \frac{1315}{1,3} = 1011,5$.

Ist $W = 1214$ und $p\% = 120\%$, so erhältst du den Grundwert $ G = \frac{1214}{1,2} = 1011,\overline{6}$.

Für $W = 1214$ und $p\% = 100\%$ kommst du auf $ G = \frac{1214}{1,0} = 1214$.

Berechne den Grundwert, indem du den Prozentwert durch den Prozentsatz dividierst.

Bei einem Prozentwert $W = 957$ und einem Prozentsatz $p\% =87\%$ beträgt der Grundwert:

$G = \frac{957}{0,87} = 1100$

Ist der Prozentsatz größer als $100\%$, so ist der Grundwert kleiner als der Prozentwert.

Zur Berechnung des Grundwertes $G$ aus dem Prozentwert $W$ und dem Prozentsatz $p \%$ verwendest du die Formel:

$G = \frac{W}{p \%}$

Damit erhältst du folgende Rechnungen:

Der Ertrag an Spinat ist um $20\%$ auf $W = 150$ gestiegen. Damit ist $p \% = 100\% + 20\% = 120\%$. Die Vorjahresernte ist der Grundwert $G = \frac{150}{1,2} = 125$.

Der Blaubeerertrag ist um $20\%$ zurückgegangen, daher ist $p\% = 80\%$. Mit dem Prozentwert $W = 120$ kommst du auf den Grundwert $G = \frac{120}{0,8} = 150$.

Der Ertrag an Auberginen liegt bei $W = 1100$, dies entspricht dem Prozentwert $W = 97\%$. Der zugehörige Grundwert ist $G = \frac{1100}{0,97} \approx 1134$.

Die Mirabellenernte ist um $3\%$ gegenüber dem Vorjahr gestiegen, d. h. der Prozentsatz beträgt $103\%$. Der Prozentwert ist $ W = 1133$ und der zugehörige Grundwert ist $G = 1100$.

Berechne den Grundwert z. B. mit dem Dreisatz: Den Grundwert zu $ W = 81$ und $ p\% = 90$ findest du, indem du zuerst die $81$ durch $90$ dividierst: $1\%$ entsprechen nämlich $81:90 = 0,9$. Diesen Zwischenwert multiplizierst du mit $100$ und erhältst den Grundwert: $G = 0,9 \cdot 100 = 90$.

Ist der Prozentsatz größer als $100\%$, so ist der Grundwert kleiner als der Prozentwert.

Den Grundwert zu einem Prozentwert $\text W$ und Prozentsatz $\text p \%$ berechnest du jeweils mit der Formel:

$G = \frac{W}{p\%} = \frac{ W}{p \%}$

Oder mit dem Dreisatz:

$G = \frac{W}{p} \cdot 100$

Wir rechnen exemplarisch zu jedem Grundwert ein Beispiel.

Zu dem Grundwert $ G = 125$ gehören folgende Paare:

${W} = 25$ und $p\% = 20\%$, denn $ W : 20 = 1,25$ und $ G = 1,25 \cdot 100 = 125$ oder $G=\frac{25}{0,2}=125$.

${W} = 50$ und $p\%= 40\%$

${W} = 60$ und $p\% = 48\%$

Zu dem Grundwert $ G = 64$ gehören dann die folgenden Paare:

${W} = 80$ und $p\%= 125\%$, denn $ W : 125 = 0,64$ und $G = 0,64 \cdot 100 = 64$ oder $G=\frac{80}{1,25}=64$.

${ W} = 48$ und $p\% = 75\%$

${ W} = 56$ und $p\% = 87,5\%$

${W} = 128$ und $p\% = 200\%$

Die Paare zu dem Grundwert $G = 128$ sind:

${W} = 64$ und $p\% = 50\%$, denn $ G = \frac{64}{50\%} = \frac{64}{0,5} = 128$.

${W} = 96$ und $p\% = 75\%$

${W} = 112$ und $p\%= 87,5\%$

${ W} = 144$ und $p\% = 112,5\%$

Schließlich gehören zu dem Grundwert $G = 512$ die folgenden Paare:

${W} = 288$ und $p\% = 56,25\%$, denn $ G = \frac{288}{56,25} \cdot 100 = 512$.

${W} = 192$ und $p\% = 37,5\%$

${W} = 32$ und $p\% = 6,25\%$

Der Prozentwert ist immer ein Anteil des Grundwertes.

Ist der Prozentsatz größer als $100\%$, so ist der Prozentwert größer als der Grundwert.

Hier ist ein Beispiel für den Dreisatz:

$\begin{array}{rcl} 520 &\widehat{=}& 83\% \\ 520 : 83 = 6,265 &\widehat{=}& 1\% \\ 100 \cdot 6,265 = 626,5 &\widehat{=}& 100\% \end{array}$

Der Prozentwert ist ein Anteil der Erdnussernte bezogen auf einen Grundwert. Der Prozentsatz gibt denselben Anteil an, bezogen auf den Grundwert $100$. Aus dem Prozentsatz und dem Prozentwert kannst du den Grundwert mithilfe des Dreisatzes ausrechnen.

Dazu dividierst du den angegebenen Prozentwert durch die zugehörige Prozentzahl. Das Ergebnis ist der Prozentwert für $1\%$. Du multiplizierst diesen mit $100$ und erhältst so den Grundwert.

Wilburs Ernte in $\text{kg}$ beträgt $W=1214$. Dies sind $20\%$ mehr als die Vorjahresernte, also $120\%$ des Grundwertes.

Der Prozentwert in $\text{kg}$ zu dem Prozentsatz $1\%$ beträgt dann:

$1214 : 120 = 10,12$

Wilbur rechnet daraus den Grundwert in $\text{kg}$ aus:

$G= 10,12 \cdot 100= 1012$

Du kannst den Dreisatz auch so aufschreiben:

$\begin{array}{rcl} 1214 & \widehat{=} & 120\% \\ 101,2 & \widehat{=} & 1\% \\ 1012 & \widehat{=} & 100\% \end{array}$

Bei einem Zuwachs um $5\%$ ist der Prozentwert das $1,05$-fache des Grundwertes. Überlege, wie sich der Wert verändert, wenn du den Prozentwert als neuen Grundwert nimmst und der Zuwachs wieder $5\%$ beträgt.

Wir rechnen mit einem Grundwert von $G_1=100$. Bei einem Zuwachs von $5\%$, also einem Prozentsatz von $p\%=105\%=1,05$ beträgt der Prozentwert $W_1=105$.

Betrachten wir nun das folgende Jahr, ist der Prozentwert $W_1$ unser neuer Grundwert $W_1=G_2=105$ und wir erhalten $W_2=110,25$.

Das entspricht einem Zuwachs von $10,25\%$.

Folgende Aussagen sind richtig:

„Wenn die Ernte in diesem Jahr um $25\%$ größer ausfällt als im Vorjahr, so macht der diesjährige Ertrag $\frac{5}{4}$ des Vorjahresertrags aus." Der Prozentsatz beträgt $125\%$, das sind $\frac{125}{100} = \frac{5}{4}$. Daher macht der diesjährige Ertrag $\frac{5}{4}$ des Vorjahresertrags aus.

„Ist der Ertrag im zweiten Jahr um $25\%$ größer als im ersten Jahr und im dritten Jahr um $20\%$ kleiner als im zweiten Jahr, so sind die Erträge des ersten und dritten Jahres gleich." Der Prozentsatz des Ertrags des zweiten Jahres gegenüber dem ersten Jahr beträgt $125\% = 1,25 = \frac{5}{4}$. Der Prozentsatz des dritten Jahres gegenüber dem zweiten beträgt $80\% = 0,8 = \frac{4}{5}$. Daher beträgt der Prozentsatz des dritten Jahres gegenüber dem ersten $\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} = 1 = 100\%$. Wichtig ist hierbei, dass der Ernteertrag des zweiten Jahres sowohl der Prozentwert der ersten Berechnung, als auch der Grundwert der zweiten Berechnung ist.

„Wachsen der Prozentsatz und der Prozentwert um denselben Faktor, so bleibt der Grundwert gleich." Für den Grundwert gilt die Formel $G = \frac{W}{p \%}$. Die Multiplikation von Zähler und Nenner mit demselben Faktor ändert den Grundwert nicht.

„Ist der Prozentsatz kleiner als $1$, so ist der Grundwert größer als der Prozentwert." Der Prozentwert ist das Produkt aus Prozentsatz und Grundwert. Ist der Prozentsatz kleiner als $1 = 100\%$, so ist der Prozentwert kleiner als der Grundwert.

Folgende Aussagen sind falsch:

„Wächst die Ernte in zwei aufeinander folgenden Jahren jeweils um $10\%$, so ist die Ernte im dritten Jahr genau um $20\%$ gegenüber dem ersten Jahr angewachsen." Ein Zuwachs um $10\%$ entspricht der Multiplikation mit dem Faktor $1,1$. Ein weiterer Zuwachs um $10\%$ entspricht wieder der Multiplikation mit $1,1$. Damit entspricht der Ertrag des dritten Jahres im Vergleich zum ersten der Multiplikation mit $1,1 \cdot 1,1 = 1,21$. Dies ist ein Zuwachs von $21\%$ statt nur $20\%$, wie behauptet. Eine andere Erklärung ist, dass im ersten Jahr der Ertrag bei $100\%$ liegt. Im zweiten Jahr kommen $10\%$ hinzu, weshalb der Ertrag bei $110\%$ liegt. Im dritten Jahr gibt es wieder eine Steigerung um $10\%$, wobei diese sich nun auf den Grundwert vom zweiten Jahr beziehen. $10\%$ von $110\%$ sind $11\%$. Diese sind den zu den $110\%$ aus dem zweiten Jahr hinzuzurechnen. Somit ergibt sich für das dritte Jahr: $100 \% + 10\% + 11\% = 121\%$.

„Ist die Prozentzahl größer als $1$, so ist der Prozentwert größer als der Grundwert." Die Prozentzahl ist die Zahl vor dem Prozentzeichen. Der Prozentsatz ist ein Dezimalbruch: Der Zähler ist die Prozentzahl, der Nenner ist $100$. Der Prozentwert ergibt sich aus der Multiplikation des Grundwertes mit dem Prozentsatz, nicht mit der Prozentzahl. Ist z. B. der Prozentsatz $p\% = 5\%$, so ist die Prozentzahl größer als $1$ (nämlich $5$). Der Prozentwert ist aber kleiner als der Grundwert, da der Prozentwert nur $5\%$ des Grundwertes ausmacht. Nur wenn die Prozentzahl größer als $100$ ist, dann ist der Prozentwert größer als der Grundwert.

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Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Prozentrechnung: Grundwert kannst du es wiederholen und üben. Die Prozentzahl ist die Zahl vor dem Prozentzeichen. Der Prozentsatz ist die Zahl mit Prozentzeichen. Den Prozentsatz kannst du als $42\%$ oder als $0,42$ schreiben. Bei dem Prozentsatz kleiner als $100~\%$ bzw.

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Lerne Prozentrechnung verständlich per Video erklärt auf sofatutor.com!

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Digitale Tools für Unterricht und Schule

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30.04. Tiere aus Handtüchern falten III

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12.03. Webrahmen aus Pappe, erste Schritte