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ÁNGULOS

El ángulo puede ser definido como la parte del plano determinada por dos semirrectas llamadas lados que tienen el mismo punto de origen llamado vértice del ángulo. La unidad de medida de los ángulos son los grados.

La esquina de un ángulo se llama vértice

Y los lados rectos son lados

El ángulo es la cantidad de giro entre los dos lados.

Se representa con letras griegas

Siempre se deben de medirse con direccionalidad si es positivo o negativo

1.  Ángulos Notables:

Los ángulos notables son aquellos que aparecen frecuentemente en la resolución de problemas. Estos ángulos son los que miden:

30°, 45° y 60°

2. Tipos de ángulos:

Ángulo Agudo: El ángulo agudo es aquel cuya inclinación es mayor a 0° y menor a 90°

Ángulo Recto: Se denomina como ángulo recto a aquel cuya amplitud mide 90° partiendo desde el mismo vértice, por tanto, sus lados son perpendiculares.

Ángulo Obtuso: El ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a 90° y menor a 180°, sin incluir las medidas mencionadas.

Ángulo Llano: El ángulo llano a aquel cuya medida de amplitud es de 180°. Este ángulo posee una característica en particular, y es que sus dos líneas se unen desde el vértice formando una prolongación en forma de línea recta.

Ángulo Complementarios: son aquellos cuya suma de amplitud da como resultado 90°.

Ángulo Suplementarios: son aquellos cuya suma de amplitud da como resultado 180°.

Ángulos Conjugados: Los ángulos conjugados (α y β) son los que, sumándolos, se obtiene un ángulo de 360º. Es decir, es un par de ángulos tal que α+β=360º.

Ángulos Perígonal: es aquel que mide 360º. Así, es un ángulo que se forma cuando se da un giro completo, volviendo al punto de inicio.

Rumbos: es la dirección de una línea, definida por el ángulo horizontal entre el norte magnético y la línea que representan un lado de la poligonal. El valor de los rumbos no excede 90 grados y se miden desde el Norte o Sur hacia el Este u Oeste, su orientación depende del cuadrante donde esté ubicada la línea

Azimut: es la dirección de una línea, definida por el ángulo horizontal de una poligonal que siempre parte del Norte en sentido de las manecillas del reloj. Su abertura angular varía entre 0 a 360 grados. Los azimuts se diferencian por cuadrantes.

3. Trazo de Ángulos:

Utiliza regla y transportador

Apoyándote en una regla, traza la semirrecta que será el lado inicial del ángulo

Identifica el centro del transportador, el cero de la escala y el origen de la semirrecta que es el lado inicial del ángulo.

Coloca el transportador sobre la línea, haciendo que coincida el inicio de la semirrecta con el centro del transportador y el otro extremo, con el cero de la escala

Con ayuda de una regla y partiendo del origen de la semirrecta original del ángulo y del centro del transportador, ubica los grados que va a medir el ángulo en la escala interior del transportador y marca un punto al margen del transportador

Retira el transportador y con ayuda de la regla, traza la semirrecta final del ángulo haciendo que coincida el origen de la semirrecta inicial del ángulo con el punto que trazaste con tu lápiz. Dale la medida necesaria, el punto sólo es la referencia

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RECTAS

La recta o la línea recta es una línea que se extiende en una misma dirección; por lo tanto, tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. Dicha recta también se puede describir como una sucesión continua de puntos extendidos en una sola dirección.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano.

Semirrectas: es una de las dos partes en la que queda dividida una recta a partir de un punto. Así tiene un extremo definido, pero se extiende hasta el infinito.

Como mostrar un ejemplo de semirrecta pensemos en una recta que presenta todos los números (incluidos aquellos negativos). Entonces, yo puedo tomar el conjunto de aquellos números que son mayores de 10, y este podría representarse con una semirrecta.

Otro caso, más gráfico, es el de dos semirrectas que pueden formar un ángulo, como vemos en la figura inferior.

Segmento: El segmento es una parte de la recta, y está delimitado por dos puntos, de manera que tiene un inicio y un final.

El segmento se distingue de la semirrecta en que esta última tiene un origen, pero se prolonga hasta el infinito. En cambio, el segmento está acotado en sus dos extremos.

Una forma más formal de definir una recta es la intersección entre la semirrecta que tiene como origen el punto A (y que contiene el punto B) con la semirrecta que parte del punto B (y que contiene el punto A).

Tipos de segmento

Entre los tipos de segmento, podemos distinguir:

Consecutivos: Son aquellos que tienen en común un extremo (pueden o no pertenecer a la misma recta).

Colineales, alineados o adyacentes: Son aquellos que pertenecen a la misma recta.

No colineales: No pertenecen a la misma recta.

Segmento nulo: Su punto de inicio y de fin son los mismos.

Operaciones con segmentos

Suma: La suma de dos segmentos da como resultado un nuevo segmento que está acotado por los puntos extremos que no tienen en común ambos segmentos. Por ejemplo, en la figura de abajo, la suma del segmento AB más el segmento BC, da como resultado el segmento AC.

Resta: La resta de dos segmentos tiene como resultado un nuevo segmento que tiene como punto de origen el punto inicial del segmento de menor longitud y como punto final el mismo punto final que el segmento de mayor longitud. Por ejemplo, viendo de nuevo la imagen de arriba, el segmento AC menos el segmento AB, da igual al segmento BC.

Existen 2 tipos de rectas:

Rectas Paralelas:

Las rectas paralelas son dos o más rectas en un plano que nunca se intersectan. Hay muchos ejemplos de rectas paralelas como los lados opuestos del marco rectangular de una pintura y los estantes de un librero.

Dos rectas no verticales en un plano son paralelas si tienen:

o       la misma pendiente

o        distintas intersecciones en y

Cualquier par de rectas verticales en un plano son paralelas.

Rectas Perpendiculares:

Las rectas perpendiculares son dos o más rectas que se intersectan formando un ángulo de 90 grados, como las dos rectas dibujadas en la gráfica. Los ángulos de 90 grados también se llaman ángulos rectos. Dos rectas no verticales son perpendiculares si la pendiente de una es el recíproco negativo de la pendiente de la otra. Si la pendiente de la primera ecuación es 4, entonces la pendiente de la segunda ecuación será porque las rectas son perpendiculares.

Rectas Secantes: Entonces, lo opuesto a las rectas paralelas, que son aquellas que no se cruzan en ningún punto. Debemos recordar que una recta en una secuencia infinita de puntos que va en una sola dirección, sin presentar curvas.

Cabe mencionar además que un tipo de rectas secantes son las rectas perpendiculares, que son aquellas que al cruzarse forman cuatro ángulos iguales que son rectos (miden 90º), como en el dibujo inferior.

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·         Triángulos

“Polígono de tres lados” (RAE,2022) “Los triángulos o trígonos son figuras geométricas planas, básicas, que poseen tres lados en contacto entre sí en puntos comunes denominados vértices. Su nombre proviene del hecho de que posee tres ángulos interiores o internos, formados por cada par de líneas en contacto en un mismo vértice.”

a.       Clasificación

“Estas figuras geométricas se nombran y clasifican de acuerdo a la forma de sus lados y al tipo de ángulo que construyen. Sin embargo, sus lados son siempre tres y la suma de todos sus ángulos siempre dará 180°”.

Existen dos clasificaciones principales de los triángulos:

Según sus lados. Dependiendo de la relación que haya entre sus tres distintos lados, un triángulo puede ser:

·         Equilátero. Cuando sus tres lados tienen la misma exacta longitud.

·         Isósceles. Cuando dos de sus lados tienen la misma longitud y el tercero una distinta.

·         Escaleno. Cuando sus tres lados poseen longitudes distintas entre sí.

Según sus ángulos. Dependiendo en cambio de la apertura de sus ángulos, podemos hablar de triángulos:

·         Rectángulos. Presentan un ángulo recto (de 90°) conformado por dos lados similares (catetos) y contrapuestos al tercero (hipotenusa).

·         Oblicuángulos. Aquellos que no presentan ningún ángulo recto, y que a su vez pueden ser:

·         Obtusángulos. Cuando alguno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°) y los otros dos agudos (menores de 90°).

. Acutángulos. Cuando sus tres ángulos interiores son agudos (menores de 90°).

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Rectas notables de un triángulo | Bisectriz, mediana, mediatriz y altura

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Rotación de Ángulos Positivos y Negativos

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Rotación de Ángulos Positivos y Negativos

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AccessDenied

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Geometría triángulos  (Ejercicios Básicos)

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·         El cuadrilátero es una figura geométrica, específicamente un polígono, conformada por cuatro lados, cuatro ángulos y cuatro vértices.

a.       Clasificación

Paralelogramo: Es un cuadrilátero donde los lados opuestos son paralelos entre sí (los segmentos no llegarían a intersecarse aunque fueran prolongados) y miden la misma longitud. Es una categoría dentro de la cual se encuentran otras varias.

Cuadrado: Es un tipo de paralelogramo con cuatro lados de igual longitud y paralelos entre sí. Sus ángulos interiores son rectos, es decir, miden 90º. Sus diagonales son perpendiculares entre sí (cuando se cortan forman cuatro ángulos de 90º).

Rectángulo: De sus cuatro lados, hay dos pares de lados de igual longitud. Todos sus ángulos interiores miden 90º. Sus diagonales miden lo mismo, pero no son perpendiculares entre sí.

Rombo: Todos sus lados tienen la misma longitud. Dos de sus ángulos interiores son agudos (menores a 90º), miden igual y están uno frente al otro. En tanto, los otros dos ángulos interiores son obtusos (mayores a 90º) y también miden lo mismo. Sus diagonales son perpendiculares entre sí, pero miden diferente.

Romboide: Tiene dos pares de lados que se corresponden en longitud y tiene dos ángulos interiores agudos y dos obtusos. Cada par de ángulos, que miden también lo mismo, están uno frente al otro.

Cóncavos: Cuando al menos uno de sus ángulos interiores es mayor a 180°.

Convexos: Cuando ninguno de sus ángulos interiores mide más de 180°.

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Sistema coordenado lineal

Es el conjunto de los números reales representado gráficamente por una recta en la que se pueden ubicar todos los números naturales, enteros, fraccionarios, decimales, etc

Sistema de coordenadas cartesianas

En un espacio euclídeo, un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}} se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto ({\displaystyle \mathbf {r} _{\text{A}}={\text{OA}}\,}) sobre un eje determinado:

Sistema de coordenadas polares

Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto o posición del plano se determina mediante un ángulo y una distancia.⁵​

Se elige un punto como polo y se toma una semirrecta desde este punto como eje polar. Para un ángulo dado {\displaystyle \theta }, hay una única línea recta que pasa por el polo cuyo ángulo con el eje polar es {\displaystyle \theta } (medido en sentido contrario al de las agujas del reloj desde el eje hasta la línea).

Sistema de coordenadas log-polares

Es un sistema de coordenadas donde un punto se identifica con dos números, uno para el logaritmo de la distancia a un cierto punto y otro para un ángulo. Las coordenadas logarítmicas están estrechamente conectadas con las coordenadas polares, que generalmente se usan para describir dominios en el plano con algún tipo de simetría rotacional.

Sistema de coordenadas log-polares
El sistema de coordenadas cilíndricas {\textstyle {\mathcal {C}}=\{(\rho ,\varphi ,z)|\ \rho >0,\ 0\leq \varphi <2\pi ,\ z\in \mathbb {R} \}} se usa para representar los puntos de un espacio euclídeo tridimensional.   Resulta especialmente útil en problemas con simetría axial. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el eje {\displaystyle Oz} y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje {\displaystyle Ox} y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada {\displaystyle z} que determina la altura del cilindro.

Sistema de coordenadas esféricas
Este tipo de coordenadas cartográficas, subtipo de las coordenadas esféricas, se usa para definir puntos sobre una superficie esférica. Hay varios tipos de coordenadas geográficas. El sistema más clásico y conocido es el que emplea la latitud y la longitud, que pueden mostrase en los siguientes formatos:

DD   — Decimal Degree (Grados Polares): ej. 49.500-123.500

DM   — Degree:Minute (Grados:Minutos): ej. 49:30.0-123:30.0

DMS — Degree:Minute:Second (Grados:Minutos:Segundos): ej. 49:30:00-123:30:00

También se pueden definir las coordenadas de un punto de la superficie de la Tierra utilizando una proyección cartográfica. El sistema de coordenadas cartográficas proyectadas más habitual es el sistema de coordenadas UTM.

Coordenadas curvilíneas generales

Un sistema de coordenadas curvilíneos es la forma más general de parametrizar o etiquetar los puntos de un espacio localmente euclídeo o de una variedad diferenciable (globalmente, el espacio puede ser euclídeo, pero no necesariamente). Si se trata de un espacio localmente euclídeo {\displaystyle M} de dimensión {\displaystyle m}, se puede construir un sistema de coordenadas curvilíneo local en torno a un punto {\displaystyle p} siempre a partir de cualquier difeomorfismo que cumpla:

Para cualquier punto q cercano a p se definen sus coordenadas curvilíneas como:

Coordenadas curvilíneas ortogonales
se llama ortogonal cuando el tensor métrico expresado en esas coordenadas tiene una forma diagonal.

Cuando eso sucede muchas de las fórmulas del cálculo vectorial diferencial se pueden escribir de forma particularmente simple en esas coordenadas, pudiéndose aprovechar ese hecho cuando existe por ejemplo simetría axial, esférica o de otro tipo fácilmente representable en esas coordenadas curvilíneas ortogonales.

Las coordenadas esféricas y cilíndricas son casos particulares de coordenadas curvilíneas ortogona

Coordenadas homogéneas

En matemáticas, y más concretamente en geometría proyectiva, las coordenadas homogéneas son un instrumento usado para describir un punto en el espacio proyectivo. Fueron introducidas por el matemático alemán August Ferdinand Möbius en el año 1837.

También pueden usarse como un sistema alternativo de coordenadas para trabajar en el espacio euclídeo, pues este puede verse como un subconjunto del espacio proyectivo. De ese modo, las coordenadas homogéneas son ampliamente usadas en infografía para la representación de escenas en tres dimensiones. Su notación en forma matricial se emplea en bibliotecas de programación gráfica en 3D como OpenGL y Direct3D.

En coordenadas homogéneas, todo punto bidimensional está definido por tres coordenadas, de tal modo que un punto de dimensiones {\displaystyle (x,y)}, se representa por la terna

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Los tipos de rectas - Rectas paralelas, secantes y perpendiculares

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Breve reseña histórica de los inicios de la geometría

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Conceptos Basicos

La Geometría tiene tres entes o elementos fundamentales no definidos: punto, recta y plano.

Punto El punto es el primer elemento que no está definido en Geometría. Se representa gráficamente por un pequeño círculo y una letra mayúscula que lo identifica. La siguiente figura muestra tres puntos A, B y C. A C

Recta El segundo término no definido de la Geometría Euclideana es el de recta, aunque se entiende que una recta es un conjunto infinito de puntos que se extienden indefinidamente en sentidos opuestos. Para referirse a una recta, se seleccionan dos puntos sobre ella; la recta queda determinada por dichos puntos. Una recta también se puede identificar por una letra minúscula. La figura siguiente muestra la recta AB que pasa por los puntos A y B. La recta de la figura también está identificada como la recta l.

Plano El tercer término no definido de la Geometría Euclideana es el de plano. Se entiende que un plano es una superficie totalmente plana que se extiende indefinidamente. Una mesa de vidrio o la cubierta de un escritorio da la idea de un plano. Un plano se representa geométricamente por una figura de cuatro lados y una letra mayúscula. La siguiente figura representa al plano P.

Definiciones fundamentales A partir de los elementos fundamentales se pueden definir otros elementos de la Geometría, en ésta sección se definen algunos de ellos.

Espacio Está formado por todos los puntos posibles y contiene infinitos planos.

Puntos colineales Son todos los puntos que están situados sobre una misma recta

Segmento de recta El segmento de recta AB está formado por todos los puntos entre A y B incluyendo los puntos A y B. La longitud de un segmento es la distancia entre sus puntos extremos. Para indicar que la longitud del segmento AB es 5 escribimos AB = 5 . La siguiente figura muestra el segmento de recta AB.

Rayo o semirrecta El Rayo AB está formado por todos los puntos que se extienden en una sola dirección a partir del punto A pasando por el punto B. El punto A se llama origen o punto extremo del rayo. La siguiente figura muestra el Rayo AB.

Punto medio de un segmento Es el punto que divide un segmento en dos segmentos iguales. Si C es el punto medio de AB, entonces

Ángulos y su medida

Un ángulo está formado por dos rayos que tienen el mismo punto extremo. Al punto extremo común se le llama vértice y a los dos rayos se las llama lados del ángulo. El ángulo de la figura siguiente está formado por los rayos AB y AC, su vértice está en el punto A y sus lados son los rayos AB y AC.

Para referirse al ángulo de la figura anterior se puede hacer como Ð1 , ÐCAB , Ð BAC y si el vértice no es compartido con otro ángulo puede identificarse como Ð A . En Geometría usualmente la medida de un ángulo se expresa en grados sexagesimales. Un círculo tiene 360 grados, así un grado (1º) es el ángulo formado por 1 360 parte de un círculo. Un grado se divide en 60 minutos y un minuto se divide en 60 segundos.   1º 60´    1´60”

Ángulo agudo Es un ángulo cuya medida es mayor que cero y menor de 90º. Por ejemplo el ángulo A de la figura siguiente tiene una medida de 50º, es decir Ð = A 50º

Ángulo recto Es un ángulo cuya medida es 90º y usualmente se representa con una pequeña escuadra en el vértice del ángulo.

Ángulo obtuso Es un ángulo cuya medida es mayor de 90º pero menor que 180º, en la figura se muestra un ángulo obtuso de 150º

Ángulo llano Es un ángulo cuyos lados son rayos opuestos. La medida de un ángulo llano es 180º

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GEOMETRIA EN BABILONIA: Los babilonios vivieron en   Mesopotamia entre entre los ríos Tigris y Éufrates, se les atribuye la invención de la rueda aproximadamente en el año 2,000 antes de nuestra hera, por eso se piensa que atribuyeron a la longitud de la circunferencia en relación con su diámetro, el diámetro cabe 3 veces y un poco mas en la circunferencia
Ellos estudiaban los astros y debido a que su año se dividía en 360 días establecieron que la circunferencia se dividiera también en 360 partes, por ejemplo es cuando usamos el transportador para medir ángulos

La geometría en el antiguo Egipto:

La geometría tuvo sus orígenes en Egipto con la medición de áreas, ya que al desbordarse el rio Nilo, borraba las señales que delimitaban los terrenos de los agricultores, por lo que nuevamente se tenia que hacer la medición de las parcelas de tierra para reconstruirlas después de las inundaciones anuales.

La geometría en Grecia:  La geometría griega fue la primera en ser formal, tenían escuelas donde se encontraban grandes sabios por ejemplo la escuela pitagórica como maestro principal Pitágoras, en este cuadro pintado por Rafael en 1509 se ve la escuela de Atenas con platón y Aristóteles al centro. Estos filósofos elaboraban hipótesis y propuestas, y hacían demostraciones y había que considerar si una hipótesis era cierta había que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hipótesis deberíamos también probar, así se tiene un proceso de que todo tiene que ser demostrado.  (Formulación, Argumentación, Demostración) este razonamiento lógico es el verdadero aporte de la geometría a la matemática. El nombre de la geometría significa (GEO=Tierra ; Metria=medida) = (Medición de la tierra)

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Propuso un sistema de estudio en el que se da por sentada la veracidad de ciertas proposiciones por ser intuitivamente claras y a partir de ellas se deduce los demás resultados. Escribió el libro los elementos, en el cual con tan solo 5 postulados construyo toda la geometría conocida hasta ese momento.

1-      Dos puntos determinan un segmento de recta
2-
Un segmento de recta se puede extender infinitamente en una línea recta

3-

Se puede trazar una circunferencia dados el centro y un radio cualquiera

4-      Todos los ángulos rectos son iguales entre si

5-      Paralelas: Si una línea recta corta a otras 2 de tal manera que las suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sean menor que los rectos las otras dos rectas se cortan al prolongarse por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos

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Propuso un sistema de estudio en el que se da por sentada la veracidad de ciertas proposiciones por ser intuitivamente claras y a partir de ellas se deduce los demás resultados. Escribió el libro los elementos, en el cual con tan solo 5 postulados construyo toda la geometría conocida hasta ese momento.

1-      Dos puntos determinan un segmento de recta
2-
Un segmento de recta se puede extender infinitamente en una línea recta

3-

Se puede trazar una circunferencia dados el centro y un radio cualquiera

4-      Todos los ángulos rectos son iguales entre si

5-      Paralelas: Si una línea recta corta a otras 2 de tal manera que las suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sean menor que los rectos las otras dos rectas se cortan al prolongarse por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos

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Propuso un sistema de estudio en el que se da por sentada la veracidad de ciertas proposiciones por ser intuitivamente claras y a partir de ellas se deduce los demás resultados. Escribió el libro los elementos, en el cual con tan solo 5 postulados construyo toda la geometría conocida hasta ese momento.

1-      Dos puntos determinan un segmento de recta
2-      Un segmento de recta se puede extender infinitamente en una línea recta

3-      Se puede trazar una circunferencia dados el centro y un radio cualquiera

4-      Todos los ángulos rectos son iguales entre si

5-      Paralelas: Si una línea recta corta a otras 2 de tal manera que las suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sean menor que los rectos las otras dos rectas se cortan al prolongarse por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos

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Entre los tipos de geometría más destacadas se encuentran:

Geometría euclidiana

Geometría plana

Geometría espacial

Geometría analítica

Geometría diferencial

Geometría proyectiva

Geometría descriptiva

Geometría de incidencia

Geometría de dimensiones bajas

Geometría Sagrada

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Entre los tipos de geometría más destacadas se encuentran:

Geometría euclidiana

Geometría plana

Geometría espacial

Geometría analítica

Geometría diferencial

Geometría proyectiva

Geometría descriptiva

Geometría de incidencia

Geometría de dimensiones bajas

Geometría Sagrada

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Entre los tipos de geometría más destacadas se encuentran:

Geometría euclidiana

Geometría plana

Geometría espacial

Geometría analítica

Geometría diferencial

Geometría proyectiva

Geometría descriptiva

Geometría de incidencia

Geometría de dimensiones bajas

Geometría Sagrada

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En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema de referencia que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto u objeto geométrico.

En geometría, las coordenadas son cantidades que determinan la posición de un punto en un plano o en el espacio.

1. En un plano, la posición de un punto suele estar determinada por las distancias a dos líneas rectas (ejes de coordenadas) que se cruzan en un punto (origen) en ángulo recto; una de las coordenadas se llama ordenada y la otra abscisa.

2. En el espacio según el sistema de Descartes, la posición de un punto está determinada por las distancias a tres planos de coordenadas que se cruzan en un punto en ángulo recto entre sí, aunque también se usan otros sistemas como por ejemplo las coordenadas esféricas (donde el origen está en el centro de una serie de esferas)

3. En geografía, las coordenadas se eligen como un sistema de coordenadas aproximadamente esférico: latitud, longitud y altura por encima de un nivel general conocido (como por ejemplo, el del océano).

4. En astronomía, las coordenadas celestes son un par ordenado de cantidades angulares (por ejemplo, ascensión recta y declinación), con las que se determina la posición de distintos puntos luminosos y de puntos auxiliares en la esfera celeste. En la práctica, se utilizan varios sistemas de coordenadas celestes. Cada uno de ellos es esencialmente un sistema de coordenadas esféricas (sin coordenadas radiales) con un plano fundamental y un origen elegidos apropiadamente.

5. El sistema de coordenadas más utilizado es el sistema de coordenadas rectangulares, también conocido como sistema de coordenadas cartesianas.
Las coordenadas en el plano y en el espacio se pueden definir de un número ilimitado de formas diferentes. La resolución de numerosos problemas matemáticos o físicos implica elegir aquel sistema de coordenadas específico en el que el problema se resuelva más fácil o más conveniente en cada caso particular.

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Las coordenadas son un sistema de valores que dan la cuenta sobre la situación de alguna cosa o de alguna persona e indican el lugar del mapa donde se encuentran en determinado momento. Este tipo de mediciones, hacen referencia a un par de magnitudes denominadas latitud y longitud las cuales determinan las posiciones de los puntos marcados sobre la superficie del globo.

Gracias a las coordenadas podemos lograr conocer nuestra ubicación en el mapa y además realizar un trazado del planisferio lo más preciso posible y con una gran cantidad de detalles. A lo largo de la historia se han implementado diferentes sistemas de coordenadas que han tenido el mismo objetivo: lograr dividir el mapa en pequeñas porciones mucho más sencillas de estudiar por la geografía.

Coordenadas de Gauss-Krüger

Las coordenadas de Gauss-Krüger son conocidas también como transversales de Mércator. Se trata de una proyección cilíndrica que no mantiene direcciones reales. Esto significa que se coloca el meridiano en el centro del trozo de mapa que se va a medir puesto que no se basa en la ubicación de Greenwich para realizar dichos trazados. Es una proyección cartográfica que se utiliza la dirección norte y sur. Las coordenadas de Gauss-Krüger se encargan de dividir el planeta en franjas del mismo tamaño que miden 6 grados de ancho.

Mercator

Es un sistema de coordenadas, junto con el de Gauss-Krüger más utilizado. Se basa en la proyección cartográfica de Mercator que se construye de manera tangencial con el Ecuador y se hace secante al meridiano. Este tipo de coordenadas geográficas se expresan en metros a nivel del mar siendo una base de la proyección elipsoide que se mantiene de referencia. Cabe destacar también que este tipo de coordenadas reciben el nombre de UTM.

La latitud y la longitud se miden en grados sexadecimales. Esto significa que se cuentan de 6 en 6. La medición normal se hace en grados, minutos y segundos.

Polares

El sistema de coordenadas polares es conocido también como cartesiano. Su principal característica es ser bidimensional. Cada punto del plano está determinado de acuerdo a un ángulo y a una distancia determinadas. Se emplea por lo general en la física y en la trigonometría. Por ejemplo, las coordenadas polares se pueden emplear si tomamos un punto A del plano el cual es el origen de la coordenada que se denomina polo u origen y se traza una recta o segmento denominado AB que lo une con otro punto. Esto hace referencia a una unidad de medida en metros. En este caso, para localizar un objeto, se necesitan dos puntos, uno en el eje X y otro en el eje Y. Para diferenciarlos, se colocan entre paréntesis con una coma como separador: (X,Y).

Latitud y longitud

La latitud se mide de norte a sur basándose en la línea del Ecuador donde se encuentra el punto que mide 0º. La longitud, por otro lado, demarca el este y el oeste. El punto medio, donde se encuentran los 0º, está ubicado en el meridiano de Greenwich.

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Las coordenadas son un sistema de valores que dan la cuenta sobre la situación de alguna cosa o de alguna persona e indican el lugar del mapa donde se encuentran en determinado momento. Este tipo de mediciones, hacen referencia a un par de magnitudes denominadas latitud y longitud las cuales determinan las posiciones de los puntos marcados sobre la superficie del globo.

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formulas ejemplos angulos area figuras lados perimetro ejercicios nombres irregular

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Un polígono regular es una figura plana delimitada por un número de lados 'n' con todos sus lados y ángulos iguales.

Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. A los polígonos de mayor número de lados se les añade el adjetivo regular.

Solo algunos polígonos regulares admiten construcción geométrica exacta.

Su construcción se se basan en la división de la circunferencia en un número 'n' de partes iguales.

Elementos

CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA. Circunferencia que pasa por los vértices del polígono.

CIRCUNFERENCIA INSCRITA. Circunferencia tangente a los lados del polígono.

CENTRO: El centro de las dos circunferencias antedichas es a su vez, centro del polígono.

RADIO: Distancia del centro a un vértice, radio de la circunferencia circunscrita.

APOTEMA. Radio de la circunferencia inscrita del polígono o perpendicular del centro a un lado del polígono.

PERÍMETRO. Suma de las longitudes de los lados.

LADO: Une dos vértices consecutivos. Su mediatriz pasa por el centro del polígono.

DIAGONAL. Une dos vértices no consecutivos, su mediatriz pasa por el centro del polígono.

Construcción de polígonos regulares convexos que admiten representación exacta

Para dibujar un polígono regular suelen darnos como dato la magnitud de su lado o del radio de la circunferencia circunscrita generalmente.

Hay métodos de trazado específicos en función del número de lados, más exactos o sencillos de aplicar, y métodos generales. Algunos polígonos regulares admiten representación geométrica exacta y otros no. A continuación veremos cada caso.

Conociendo el radio de la circunferencia circunscrita -R-

Polígonos regulares de 3 y 6 lados: triángulo y hexágono regular

Dibujamos la circunferencia de radio R y su diámetro. Desde el extremo del diámetro trazamos un arco con el valor del radio y obtenemos dos puntos de intersección que unidos entre sí y con el extremo contrario del diámetro me determinan el triángulo equilátero.

En el caso del hexágono, si estos puntos obtenidos A y B los unimos con el extremo del diámetro D, tendremos los lados AD y DB del polígono buscado. Trasladamos la magnitud del lado obtenido AD por el perímetro de la circunferencia a partir de los vértices ya conocidos y obtenemos el resto de vértices.

Obsérvese que en el hexágono, la magnitud del lado coincide con el radio de la circunferencia circunscrita.

Polígonos regulares de 4 y 8 lados: cuadrado y octógono regular

En el caso del cuadrado, los extremos de dos diagonales perpendiculares son los vértices buscados.

Para dibujar el octógono dibujamos la mediatriz de uno de los lados del cuadrado hasta cortar en G a la circunferencia. CG es el lado buscado y trasladamos su magnitud con el compás por la circunferencia a partir de los vértices conocidos para obtener el resto.

Polígonos regulares de 12 y 16 lados: dodecágono y hexadecágono regular

Como en el caso anterior, trazamos las mediatrices de los lados obtenidos previamente del hexágono y del octógono para obtener un vértice del dodecágono y del hexadecágono respectivamente. Trasladamos la magnitud obtenida con el compás para hallar el resto de vértices.

Polígonos regulares de 5 y 10 lados: pentágono y decágono regular

Trazamos dos diámetros perpendiculares CA y DB. Con centro en B un arco de radio R que corta en Ñ y N a la circunferencia. Los unimos y obtenemos M (NÑ es la mediatriz de BO).

Con centro en M trazamos un arco de radio MC que corta en X al diámetro horizontal.

CX es la magnitud del lado del pentágono y OX la del decágono. Trasladamos esta magnitud con el compás.

Conociendo el lado

Polígono regular de 5 lados conociendo el lado: pentágono regular. 2 métodos

Dibujamos el lado FG con el valor del lado dado. Trazamos una perpendicular por G y le trazamos la mediatriz al lado obteniendo el punto medio M.

Calcularemos sobre esa mediatriz el vértice C opuesto al lado FG por dos métodos distintos.

Obtenido C trazamos arcos con la magnitud del lado y centros F, G y C. Las intersecciones de estos arcos serán los vértices E y H restantes.

Primer método

Trazamos un arco GF hasta cortarla en N.

Con centro en M trasladamos la distancia MN a la prolongación de lado y obtenemos S.

Trasladamos la distancia FB a la mediatriz y obtenemos C.

Segundo método

Trasladamos la distancia GM a la perpendicular y obtenemos N por donde trazamos una semirrecta de origen F.

Trasladamos la magnitud NG sobre la semirrecta y obtenemos S.

Trasladamos FS a la mediatriz y obtenemos C.

Polígonos regulares de 3 y 6 lados conociendo el lado: triángulo y hexágono regular

Dibujamos el segmento AB con el valor del lado dado. Con radio AB trazamos sendos arcos que se cortan en el tercer vértice -C- del triángulo.

Procediendo de igual manera obtenemos en lugar de 'C' el centro O6 de la circunferencia circunscrita del hexágono, por la que trasladamos con el compás la magnitud del lado AB dado.

Polígonos regulares de 4 y 8 lados conociendo el lado AB: cuadrado y octógono regular

Dibujamos AB y trazamos su mediatriz NÑ que corta al lado en su punto medio M, desde donde trazamos una semicircunferencia de diámetro AB que corta a la mediatriz en O4, centro de la circunferencia circunscrita del cuadrado. Trasladamos por ella la magnitud del lado AB dado y obtenemos C y D.

Polígonos regulares de 12 y 16 lados conociendo el lado: cuadrado y octógono regular

Obtenemos O6 y O8 según hemos visto en los ejercicios anteriores y trazamos las circunferencias de radios O6-A y O8-A para obtener O12 y O16, centros de las circunferencias circunscritas de los polígonos buscados.

Trasladamos las medidas del lado dado sobre las circunferencias y obtenemos el resto de vértices.

Construcción de polígonos regulares que no admiten representación exacta

Conociendo la altura

Pentágono regular conociendo la altura

Dibujamos una recta y le trazamos una perpendicular, a partir de ella llevamos la altura dada h obteniendo así los puntos A y C.

Con centro en A y radio A-C trazamos un arco que determina los puntos N y B sobre la recta tomada. Calculamos la mediatriz del segmento N-A y trazamos un arco con centro en su punto medio M y radio M-B hasta cortar en E a la mediatriz.

Trazamos el segmento E-N y a este una recta paralela C-F por el punto C. Esta paralela es diagonal del polígono.

El segmento F-A tiene de magnitud la mitad del lado buscado del pentágono. Calculamos el simétrico de F respecto de A-C y obtenemos el punto G siendo F-G un lado del pentágono buscado.

Conocido el lado A-C y el vértice C podemos construir el polígono.

Conociendo el radio e la circunferencia circunscrita

Heptágono -7- conociendo el radio

Trazamos un diámetro A-B y en uno de sus extremos un arco de radio R dado, obteniendo la cuerda M-N sobre la circunferencia. La magnitud MN/2 (X-M) es el valor del lado del HEPTÁGONO.

Eneágono -9- conociendo el radio

Trazamos dos diámetros perpendiculares entre sí. Con centro en los extremos de uno de ellos (A-B), trazamos dos arcos de radio R en un mismo sentido, que cortan a la circunferencia en M y N.

Con centro en A y B y radios B-M y A-N, trazamos dos arcos que se cortan en Ñ.

Con centro en Ñ y radio B-Ñ, trazamos un arco que corta al diámetro D-C en X, el segmento D-X es igual a la magnitud del lado del ENEÁGONO.

Endecágono -11- conociendo el radio

Trazamos dos diámetros perpendiculares entre sí, A-B y C-D.

Con centro en B y radio R trazamos un arco que corta a la circunferencia en M.

Con centro en D y radio R, trazamos otro arco que corta a la circunferencia en N.

Con centro en M y radio M-N trazamos un arco que corta al diámetro A-B en Ñ.

La distancia N-Ñ es igual a la magnitud del lado del polígono.

Conociendo la magnitud del lado del polígono

Heptágono -7- conociendo el lado

Prolongamos el segmento dado J-I en cualquier sentido y trazamos un arco de centro en I y radio I-J que corta en S a la prolongación del segmento I-J y en N a su mediatriz.

Con centro en S y radio B-N (B=punto medio del segmento I-J), trazamos un arco que corta al trazado anteriormente en G.

I-G es lado del heptágono, su mediatriz cortará a la mediatriz de I-J en el centro de la circunferencia circunscrita que trazaremos para llevar el lado a lo largo de ella.

Eneágono -9- conociendo el lado

Trazamos la mediatriz del lado dado K-L. Con centro en K o L y radio K-L trazamos un arco que corta en X a la mediatriz. Con centro en X y el mismo radio trazamos otro arco que corta en Y a la mediatriz.

Con centro en Y y el mismo radio trazamos otro arco que corta en A a la mediatriz.

A-K es diagonal del polígono, su mediatriz determina sobre la mediatriz de I-J el centro O de su circunferencia circunscrita que trazaremos para, sobre ella, llevar 9 veces el lado dado.

Métodos generales para la construcción de polígonos regulares

Con centro en A y B trazamos dos arcos de radio A-B, en el mismo sentido, que se cortan en N.

Desde N unimos mediante una recta con la segunda división de A-B y obtenemos en su corte con la circunferencia el punto C.

El segmento AC es lado del polígono buscado.

Conociendo la magnitud del lado (A-B) del polígono regular

Con centro en A y B y radio A-B trazamos dos arcos que se cortan en O ₆ sobre la mediatriz de A-B. Con centro en O ₆ y radio A-O ₆, trazamos un arco que corta en O ₁₂ a la mediatriz. Dividimos el segmento O ₆-O ₁₂ en 6 partes obteniendo O ₇, O ₈, O ₉, O ₁₀ Y O ₁₁.

Si seguimos graduando la mediatriz con esta unidad obtenemos O ₁₃, O ₁₄, etc., por encima y O ₅, O ₄ por debajo de O ₁₂ y O ₆ respectivamente.

Todos estos puntos calculados son centros de las circunferencias circunscritas de los polígonos que llevan su número.

Trazamos la deseada y distribuimos el lado A-B por ella, en el ejemplo el heptágono. Esta construcción es aproximada.

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Un polígono regular es una figura plana delimitada por un número de lados 'n' con todos sus lados y ángulos iguales. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. A los polígonos de mayor número de lados se les añade el adjetivo regular.

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Cómo dibujar polígonos regulares dado el lado - Recopilación

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Cómo dibujar polígonos regulares inscritos en circunferencias - Recopilación

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https://pruebat.org/SaberMas/MiClase/inicia/9610/616d87cba762ae7be668923044f7b59e/149461

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Hallar el ángulo central en polígonos regulares

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Aprenderás a trazar los ángulos centrales de un polígono y calcularlo.