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LAL (Lado–Ángulo–Lado)

Criterio: Si en dos triángulos dos lados correspondientes y el ángulo comprendido entre ellos son iguales, los triángulos son congruentes.

Ejercicio (LAL):
En los triángulos △ABC \triangle ABC△ABC y △DEF \triangle DEF△DEF se sabe que AB=DEAB = DEAB=DE, AC=DFAC = DFAC=DF y ∠A=∠D \angle A = \angle D∠A=∠D (el ángulo A está comprendido entre AB y AC; el ángulo D entre DE y DF). Demuestra que los triángulos son congruentes.

Solución:
Como los lados adyacentes a los ángulos dados son iguales (AB=DEAB = DEAB=DE, AC=DFAC = DFAC=DF) y los ángulos comprendidos son iguales (∠A=∠D\angle A = \angle D∠A=∠D), por el criterio LAL (SAS) se concluye que △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF△ABC≅△DEF.
De ello siguen las igualdades correspondientes: ∠B=∠E\angle B = \angle E∠B=∠E, ∠C=∠F\angle C = \angle F∠C=∠F, y los lados restantes BC=EFBC = EFBC=EF.

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Criterio: Si en dos triángulos dos ángulos correspondientes y el lado comprendido entre ellos son iguales, los triángulos son congruentes.

Ejercicio (ALA):
En los triángulos △PQR \triangle PQR△PQR y △STU \triangle STU△STU se sabe que ∠P=∠S\angle P = \angle S∠P=∠S, ∠Q=∠T\angle Q = \angle T∠Q=∠T y PQ=STPQ = STPQ=ST (el lado PQ está comprendido entre ∠P\angle P∠P y ∠Q\angle Q∠Q, y ST entre ∠S\angle S∠S y ∠T\angle T∠T). Demuestra la congruencia.

Solución:
Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro, el tercer ángulo también es igual (porque la suma de ángulos internos es 180∘180^\circ180∘). Así ∠R=∠U\angle R = \angle U∠R=∠U. Además el lado comprendido PQ = ST. El criterio ALA (ASA) afirma que con dos ángulos correspondientes y el lado comprendido iguales, los triángulos son congruentes. Por tanto △PQR≅△STU\triangle PQR \cong \triangle STU△PQR≅△STU. Se siguen las igualdades de los lados restantes: PR=SUPR = SUPR=SU, QR=TUQR = TUQR=TU.

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En matemáticas, congruente se refiere a dos figuras geométricas que tienen la misma forma y el mismo tamaño, de modo que sus lados y ángulos correspondientes son iguales. Estas figuras pueden estar rotadas, trasladadas o reflejadas, pero aun así coinciden exactamente en sus dimensiones.

🔹 Ejemplo:
Si dibujamos dos triángulos con lados de 5 cm, 6 cm y 7 cm, aunque uno esté girado o volteado respecto al otro, siguen siendo triángulos congruentes, porque todos sus lados y ángulos son iguales.

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Los criterios de congruencia son las condiciones mínimas que se necesitan para asegurar que dos triángulos son congruentes sin tener que verificar la igualdad de todos sus seis elementos (tres lados y tres ángulos).

Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes iguales y el ángulo comprendido entre ellos también es igual.

Ejercicio LAL

Problema: Dados los triángulos △ABC y △A

′

B

′

C

′

, si se sabe que:

AB=A

′

B

′

=5 cm

BC=B

′

C

′

=7 cm

m∠ABC=m∠A

′

B

′

C

′

₌₆₀

∘

Conclusión: Por el criterio LAL, el triángulo △ABC es congruente con el triángulo △A

′

B

′

C

′

(△ABC≅△A

′

B

′

C

′

).

Criterio ALA (Ángulo-Lado-Ángulo)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos correspondientes iguales y el lado comprendido entre ellos también es igual.

Ejercicio ALA

Problema: Dados los triángulos △PQR y △P

′

Q

′

R

′

, si se sabe que:

m∠PQR=m∠P

′

Q

′

R

′

₌₄₀

∘

QR=Q

′

R

′

=10 cm

m∠QRP=m∠Q

′

R

′

P

′

₌₈₀

∘

Conclusión: Por el criterio ALA, el triángulo △PQR es congruente con el triángulo △P

′

Q

′

R

′

(△PQR≅△P

′

Q

′

R

′

).

Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)

El criterio LLL (Lado-Lado-Lado) establece que dos triángulos son congruentes si sus tres lados correspondientes son iguales en longitud.

Concepto LLL:

Si los lados a,b, y c de un triángulo son respectivamente iguales a los lados a

′

,b

′

, y c

′

de otro triángulo, entonces ambos triángulos son congruentes.

Ejercicio LLL

Problema: Dados los triángulos △MNO y △M

′

N

′

O

′

, si se sabe que:

MN=M

′

N

′

=8 cm

NO=N

′

O

′

=6 cm

OM=O

′

M

′

=10 cm

Conclusión: Por el criterio LLL, el triángulo △MNO es congruente con el triángulo △M

′

N

′

O

′

(△MNO≅△M

′

N

′

O

′

).

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📌 Conclusión

En este trabajo aprendí que los triángulos congruentes son figuras geométricas que tienen la misma forma y tamaño, aunque estén en distinta posición. Conocí los criterios de congruencia (LAL, ALA y LLL) que permiten demostrar cuándo dos triángulos son congruentes sin necesidad de medir todos sus lados y ángulos.

También estudié algunos teoremas importantes:

En el triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales.

En el triángulo equilátero, todos sus lados y ángulos son iguales (60° cada uno).

En el triángulo rectángulo, se cumple el Teorema de Pitágoras.

A través de los problemas contextualizados (con ejemplos de María, Juan, Ana y Carlos) comprendí cómo aplicar estos criterios y teoremas para resolver y demostrar propiedades de los triángulos.

👉 En conclusión, este trabajo me permitió reforzar mi capacidad de razonar, demostrar y aplicar propiedades geométricas en situaciones prácticas, desarrollando un pensamiento más lógico y ordenado.