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In questa bacheca lo studente potrà inserire le proprie riflessioni ed i propri materiali riguardanti le funzioni matematiche. L'idea è quella di approfondire l'argomento attraverso la storia, la teoria e l'applicazione del concetto matematico di funzione ad altre scienze in piena libertà.

Il padlet è rivolto agli studenti della classe 4C e sarà possibile inserire post fino alla fine del primo quadrimestre.

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Una funzione è una relazione tra due insiemi che associa, ad ogni elemento del primo insieme, un unico elemento del secondo insieme.

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In matematica, una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio della funzione, che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.

Se i due insiemi sono rispettivamente indicati con e , la relazione è indicata con e l'elemento associato a tramite la funzione viene abitualmente indicato con (si pronuncia "effe di x").

La parola funzione quindi non si riferisce alla sola relazione, ma alla terna: relazione, dominio e codominio. Per esempio: la funzione che associa a un numero naturale la radice quadrata di quel numero è diversa dalla funzione che associa a un numero intero la radice quadrata di quel numero (a seconda di come è definito il codominio, la seconda potrebbe non essere neppure un'associazione corretta). In molti casi, quando il dominio e il codominio sono chiari dal contesto, una funzione viene espressa indicando solamente la relazione e sottintendendo dominio e codominio.

Si dice che è l'argomento della funzione, oppure un valore della variabile indipendente, mentre è un valore della variabile dipendente della funzione.

Sinonimi del termine funzione sono applicazione e mappa. Il termine trasformazione viene utilizzato spesso in ambito geometrico per indicare una funzione invertibile e che conserva le proprietà geometriche di , mentre operatore è talvolta utilizzato nella trattazione di funzioni lineari tra spazi vettoriali.

Le funzioni hanno un ruolo molto importante in tutte le scienze esatte. Il concetto di dipendenza funzionale tra due grandezze sostituisce infatti, all'interno delle teorie fisiche e matematiche, quello di causa-effetto, che, al contrario del precedente, non riguarda gli enti teorici ma direttamente gli elementi della realtà concreta. Se si afferma, ad esempio, che la pressione di una certa quantità di gas perfetto è funzione della sua temperatura e del suo volume si sta facendo un'affermazione interna a un modello termodinamico, mentre il rapporto di causa-effetto che viene individuato fra le tre grandezze dipende in modo sostanziale dalle possibilità di intervento concreto su di esse. Rimanendo a questo esempio, il valore della pressione viene visto più spesso come conseguenza del valore degli altri due parametri, poiché è generalmente molto più facile intervenire sul volume e sulla temperatura che direttamente sulla pressione.

Gli esempi più semplici di funzione sono quelli per cui sia il dominio che il codominio sono insiemi numerici. Per esempio, se a ogni numero naturale si associa il doppio di tale numero, si ha una funzione, il cui dominio è dato dai naturali e il cui codominio è costituito dai naturali pari.

Tuttavia si parla di funzione anche quando il dominio o il codominio, o entrambi, non sono insiemi numerici. Se, per esempio, a ogni triangolo del piano si associa il cerchio in esso inscritto, si ha ugualmente una funzione, in quanto per ogni triangolo esiste uno e un solo cerchio in esso inscritto.

Inoltre spesso si parla di funzioni con più argomenti, o con più valori: per esempio la funzione che alle coordinate di un punto nello spazio fa corrispondere temperatura e pressione dell'aria. In tal caso, la funzione ha in realtà sempre un solo argomento, che è la terna e ha sempre un solo valore, che è la coppia

Dati due insiemi non vuoti e , si chiama funzione da in una relazione tale che per ogni esiste uno ed un solo elemento tale che . Tale elemento tradizionalmente si denota con : in altre parole, invece di scrivere si può usare la scrittura più tradizionale:

Il fatto che sia una funzione da in che associa a l'elemento si può esprimere con la scrittura:

L'insieme (da cui la funzione "prende" i valori) è il dominio della funzione , mentre l'insieme (in cui si trovano i valori "restituiti" dalla funzione ) è il codominio della funzione .[1]

Le espressioni "prendere un valore" e "restituire un valore" fanno riferimento a un modello meccanico delle funzioni, rappresentate come meccanismi che, fornito loro un elemento del dominio, lo "trasformano" nel corrispondente elemento del codominio.

Data una funzione di dominio e codominio comunque scelto un elemento del dominio, si chiama immagine di il corrispondente elemento del codominio, indicato con Analogamente, se è un elemento del codominio che sia immagine di un elemento del dominio, cioè se , si dice che è una controimmagine di Mentre a ogni elemento del dominio di è assegnata una e una sola immagine, è possibile che un elemento nel codominio possegga diverse controimmagini, o che non ne possieda affatto. Si definisce quindi "controimmagine" dell'elemento l'insieme

Se per ogni si dice che è suriettiva, mentre se contiene al più un elemento per ogni si dice che è iniettiva. Se valgono entrambe le condizioni, è detta biiettiva o biunivoca.

L'insieme

degli elementi del codominio per i quali esiste almeno un nel dominio che ha come immagine è detto immagine di e si denota con o con .[2]

Per quella che chiamiamo notazione a funzione prefissa si pone

Per quella che chiamiamo notazione a funzione suffissale si pone

A volte al posto delle parentesi tonde si usano parentesi quadrate:

In questo modo si evitano confusioni con le parentesi che indicano l'ordine delle operazioni. Questa notazione è usata da alcuni programmi di calcolo simbolico.

Nelle funzioni di due variabili si usa talvolta la notazione infissa, ossia

ad esempio, nelle usuali operazioni di addizione e sottrazione si usa scrivere e invece di e

Data una funzione e un insieme tale che , si dice che la funzione è un' estensione di f all'insieme se

dove è l' inclusione di in , data da . Si dice viceversa che è la restrizione di all'insieme .

Funzioni di due o più variabili

Quando il dominio di una funzione è il prodotto cartesiano di due o più insiemi, e dunque la funzione agisce su -uple di elementi di insiemi, allora l'immagine del vettore di questi elementi viene indicata con la notazione

In questo caso la funzione viene anche chiamata funzione di vettore. A tal proposito in fisica si parla di campo.

Per esempio, si consideri la funzione di moltiplicazione che associa un vettore di due numeri naturali e al loro prodotto: . Questa funzione può essere definita formalmente come avente per dominio , l'insieme di tutte le coppie di numeri naturali; si noti inoltre che in questo caso la funzione è simmetrica rispetto alle componenti del vettore: e quindi si tratta di una funzione di un insieme in cui non importa cioè l'ordine degli elementi. Sono inoltre possibili anche altri raggruppamenti delle variabili: per esempio risulta estremamente importante nello studio dei sistemi di equazioni differenziali la teoria della funzione di matrice:

Molte operazioni binarie dell' aritmetica, come l' addizione e la moltiplicazione, sono funzioni dal prodotto cartesiano a valori in , e vengono descritte tramite la notazione infissa: si scrive cioè (e non ) per descrivere l'immagine della coppia tramite l'operazione .[3]

Questa notazione è stata generalizzata dall' algebra moderna, per definire strutture algebriche come ad esempio quella di gruppo, come un insieme dotato di alcune operazioni binarie aventi determinate proprietà.

Funzioni a più valori

Se il codominio di una funzione è il prodotto cartesiano di due o più insiemi, questa può essere indicata come funzione vettoriale. Tali variabili spesso vengono aggregate in un vettore; a tal proposito in fisica si parla di campo vettoriale.

Un esempio tipico è dato da una trasformazione lineare del piano, ad esempio:

Una funzione è invece detta nel caso in cui esista almeno un elemento del dominio cui corrisponde più di un elemento del codominio. In effetti tali funzioni non rientrano nella definizione data inizialmente, ma in alcuni campi (ad esempio in analisi complessa) essa viene estesa proprio in questo senso. Un esempio di funzione polidroma è la radice quadrata di un numero reale positivo, che può essere descritta come una funzione

che associa a ogni numero reale positivo l' insieme delle sue due radici quadrate. Un esempio analogo è il logaritmo definito sull'insieme dei numeri complessi.

Nella matematica e sostanzialmente in tutte le sue applicazioni si incontrano numerosi tipi di funzioni, che si presentano anche con caratteristiche molto diverse, e che vengono classificate seguendo diversi criteri.

Classificazione delle funzioni nell'ambito dell'analisi matematica

Data una funzione di variabile reale a valori reali e una costante , su di essa sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari ovvero somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, radice n-esima ovvero:

se si ha anche

se si ha anche

Date due funzioni e di variabile reale a valori reali sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari di cui sopra ovvero:

se si ha anche

Date due funzioni : → e : → si può definire la loro composizione: questa è definita applicando prima ad e quindi applicando al risultato .

Questa nuova funzione viene denotata con (si legge: "f composto g"). [senza fonte] Riconducendoci alla notazione tradizionale con le due notazioni il risultato della precedente composizione applicato all'elemento x del dominio si può scrivere[5]

Data una funzione di variabile reale a valori reali e una costante :

Data una funzione di variabile reale a valori reali:

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In matematica, una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio della funzione, che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio. Se i due insiemi sono rispettivamente indicati con e , la relazione è indicata con e l'elemento associato a tramite la funzione viene abitualmente indicato con (si pronuncia "effe di x").

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Una funzione f tra due insiemi A e B si indica con:
f:A\rightarrow B
o anche
x \mapsto y=f(x)

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L'insieme di partenza A è anche detto Dominio della funzione

L'insieme di arrivo B è anche detto Codominio della funzione

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x è detta variabile indipendente

y è detta variabile dipendente o immagine di x

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Tre elementi essenziali:

Dominio

Codominio

Equazione (o grafico)