# data[].attributes.body
https://fi.wikibooks.org/wiki/Matematiikka/Tilavuus

# data[].attributes.body
https://fi.wikibooks.org/wiki/Matematiikka/Pinta-ala

# data[].attributes.body
Kolmion kulmien summa on 180 astetta!

# data[].attributes.attachment_link.description
Määritellään sini, kosini ja tangentti suorakulmaisen kolmion avulla. Videossa olevilla esimerkeillä ratkaistaan tuntemattoman sivun pituus sekä tuntemattoman kulman suuruus.

# data[].attributes.attachment_link.description
Kolmiot ABC ja ADE ovat yhdenmuotoisia kolmioita, koska molemmissa kolmioissa kaikki kulmat ovat yht suuria. Yhdenmuotoisten kuvioiden vastinosien suhteet ovat samat.

# data[].attributes.attachment_link.description
Suorakulmiossa vastinsivut ovat yht pitkt ja yhdensuuntaiset keskenn. Lisksi jokainen kulma on suora.

# data[].attributes.attachment_link.description
Ensimmäisessä esimerkissä ratkaistaan pythagoraan lauseen avulla suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus ja toisessa esimerkissä ratkaistaan kateetin pituus.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Periaatteessa kolmion pinta-alan laskemisen periaate on helppo ja se opitaan jo alakoulussa:
kanta kertaa korkeus jaettuna kahdella (tai kerrottuna puolella, se antaa saman tuloksen).

Mutta mistä tietää, mikä sivu on kanta ja mistä löytyy korkeus?
Periaatteessa minkä tahansa kolmion sivun voi valita kannaksi. Korkeus löytyy sitten piirtämällä jana, joka on kohtisuorassa kantaa vasten ja jonka toinen päätepiste on valittua kantaa vasten olevassa kulmassa.
Ohessa on sama kolmio kolmeen kertaan. Jokaiseen on merkitty valittu kanta mustalla ja korkeusjana punaisella. Kaikilla näistä saadaan sama pinta-alan arvo.

Se, mikä sivu kulloinkin kannattaa valita kannaksi, riippuu siitä mitä tietoja tehtävässä on annettu.
Tarkistuksen (ja harjoituksen) vuoksi voi laskea saman tehtävän useampaakin eri reittiä (jos se on mahdollista).

Suorakulmainen kolmio on sellainen, josta löytyy suora kulma (90 astetta). Suorasta kulmasta lähteviä sivuja kutsutaan kateeteiksi (a ja b) ja suoraa kulmaa vastapäätä oleva sivu on puolestaan hypotenuusa (c). Hypotenuusa on aina suorakulmaisen kolmin pisin sivu. (Huom! Nimitykset kateetti ja hypotenuusa kuuluvat vain suorakulmaiseen kolmioon.)

Suorakulmaisessa kolmiossa kannan valinta on yleensä helppo. Jompikumpi kateeteista kannattaa valita kannaksi ja se toinen on sitten korkeus. Mutta periaatteessa hypotenuusakin voitaisiin valita kannaksi. Usein korkeusjanan määrittäminen vaan teettää silloin lisätyötä.

Suorakulmaisen kolmion toisen kateetin pituus on 8 metriä ja hypotenuusan pituus 10 metriä. Laske kolmion pinta-ala.

(Vastaus: 24 neliömetriä. Pääsetkö samaan?)

Tasakylkinen kolmio
Tasakylkinen kolmio on sellainen, jossa kaksi sivuista on keskenään yhtä pitkät. Niitä kutsutaan kolmion kyljiksi. Tasakylkisessä kolmiossa kannattaa lähes poikkeuksetta valita se kolmas, eripituinen sivu, kannaksi. Tasakylkisellä kolmiolla on vielä sellainen mukava piirre, että sen kantakulmat ovat yhtäsuuret ja kantaa vasten piirretty korkeusjana puolittaa kannan ja jakaa kolmion kahdeksi yhtäsuureksi suorakulmaiseksi kolmioksi.

Pinta-alan ratkaisutapa riippuu siitä, mitä tietoja kolmiosta on annettu.

Jos on annettu kannan ja sivujen pituudet, ratkaistaan korkeus Pythagoraan lauseen avulla.

Jos on annettu kanta ja jonkun kulman suuruus, ratkaistaan korkeus trigonometrian avulla.

Jos on annettu sivun pituus ja jonkun kulman suuruus, ratkaistaan sekä korkeus että kannan puolikas trigonometrian avulla (tai toisessa voi käyttää Pythagoraan lausettakin).

Välivaiheissa tulee aina käyttää tarkkoja arvoja ja vasta vastaus pyöristetään lähtöarvojen mukaiseen tarkkuuteen.

Laske sellaisen tasakylkisen kolmion pinta-ala, jonka kantakulma on 38º ja korkeus 220 m.

(Vastaus: Pinta-ala noin 6,2 ha. Pääsetkö samaan vai kaipaatko esimerkkiratkaisua :-)?)

Tasasivuisessa kolmiossa kaikki kolme sivua ovat yhtä pitkiä. Tasasivuisen kolmion pinta-alan ratkaisuun löytyy oma kaavansa, jossa a on sivun pituus:

Pinta-alan voi kuitenkin ratkaista myös pidempää reittiä, hyödyntäen suorakulmaisen kolmion trigonometriaa tai Pythagoraan lausetta. Tasasivuisella kolmiolla kun on vielä sellaiset hauskat ominaisuudet, että kaikki kulmat ovat yhtäsuuria (60 astetta) ja korkeusjana jakaa kolmion kahdeksi yhtäsuureksi suorakulmaiseksi kolmioksi (samaan tapaan kuin tasakylkisessä kolmiossa). Tämä on kuitenkin sen verran työläämpi reitti, että sitä kannattaa oikeastaan käyttää vain siinä tapauksessa, jos erityisesti nauttii matemaattisten yhtälöiden pyörittelystä ja/tai haluaa tarkistaa tehtävänsä tai muuten vaan hankkia rutiinia laskemiseen.
Tylppäkulmainen kolmio

Tylppäkulmaisessa kolmiossa on yksi tylppä (eli yli 90-asteinen) kulma. Siinä korkeusjana joudutaan kahdessa tapauksessa piirtämään kannan jatkeelle. Eli kantaa joudutaan jatkamaan, jotta saataisiin korkeusjana suoraan kulmaan.

Tästä löytyy esimerkki MAB2-kurssin luvusta 2 Monikulmiot ja sieltä esimerkki 21.

Muitakin konsteja kolmioiden pinta-alojen ratkaisuun löytyy, mutta niistä lisää valinnaisella kurssilla MAB8 tai pitkän matematiikan MAA3-kurssilla.

# data[].attributes.attachment_link.description
Periaatteessa kolmion pinta-alan laskemisen periaate on helppo ja se opitaan jo alakoulussa: kanta kertaa korkeus jaettuna kahdella (tai kerrottuna puolella, se antaa saman tuloksen). Mutta mistä tietää, mikä sivu on kanta ja mistä löytyy korkeus? Periaatteessa minkä tahansa kolmion sivun voi valita kannaksi.