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Determinação das razões trigonométricas

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Nesta pgina poder encontrar um pouco sobre:
1. Razes trigonomtricas de um ngulo agudo ; 2. ; 3. Determinao das razes trigonomtricas de ngulos agudos ; 4. ; Razes trigonomtricas de um ngulo generalizado Enquadramento do seno e do co-seno dum ngulo agudo
Razes trigonomtricas de um ngulo agudo
Construmos um tringulo rectngulo [ABC] sobre um ngulo de amplitude ߰
( 0 < ߰ < 90 ). Chama-se seno de ߰ e nota-se por
sen ߰, ao quociente entre as medidas dos comprimentos do cateto oposto ao ngulo considerado e da hipotenusa, isto ,

Chama-se co-seno de ߰ e nota-se por cos ߰, ao comprimento entre as medidas dos comprimentos do cateto adjacente ao ngulo considerado e da hipotenusa, isto , Chama-se tangente de ߰ e nota-se por tg ߰, ao quociente entre as medidas dos comprimentos do cateto oposto e do cateto adjacente, isto , Chama-se co-tangente de ߰ e nota-se por cotg ߰, ao quociente entre as medidas dos comprimentos do cateto adjacente e do cateto oposto, isto , Estas razes chamam-se razes trigonomtricas do ngulo com amplitude ߰.
Das definies anteriores conclui-se que:

Determinao das razes trigonomtricas de ngulos agudos

Recorrendo a um tringulo issceles e rectngulo [BAE], em que a a medida dos catetos, determinemos as razes trigomomtricas do ngulo de 45.

BE = BA , por o tringulo ser issceles.
Logo BE = 45.
Pelo teorema de Pitgoras,

Ento, tendo em conta a definio de cada razo trigonomtrica, temos:

30

45

60

sen

cos

tg

1

cotg

1

Razes trigonomtricas de um ngulo generalizado

Crculo Trigonomtrico

O co-seno a abcissa e o seno a ordenada do ponto P, isto , o ponto de extremidade do ngulo com o arco que limita o crculo trigonomtrico.
Temos ento,
Como o seno de igual ordenada do ponto associado, ao eixo das ordenadas tambm se chama eixo dos senos . Como o co-seno de igual abcissa do ponto associado, ao eixo das abcissas tambm se chama eixo dos cosenos .
A linha das tangentes uma linha vertical que contm o ponto (0,1), e a linha das co-tangentes uma linha horizontal que contm o ponto (0,1).
Enquadramento do Seno e do Co-seno de um ngulo agudo

A tangente e a co-tangente de um ngulo podem tomar qualquer valor .

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Razões Trigonométricas (seno, cosseno e tangente) - Trigonometria no Triângulo Retângulo

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Razões Trigonométricas em triângulos retângulos

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Razões Trigonométricas em triângulos retângulos

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Introdução às razões trigonométricas

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Introdução às razões trigonométricas

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Razões trigonométricas em triângulos retângulos (vídeo) | Khan Academy

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O seno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a define-se como sendo a razão entre o cateto oposto a e a hipotenusa deste triângulo. Ou seja:

Exemplo: Um triângulo retângulo cuja hipotenusa é de valor 10 e seus catetos são de valores 6 e 8. O seno do ângulo oposto ao lado de valor 6 é 6/10 , ou seja, 0,6.

Pode-se definir função seno pela série de Taylor:

Esta série possui raio de convergência infinito e as bem conhecidas propriedades da função seno podem ser demonstradas diretamente através dela.

Tal definição tem sentido tanto no conjunto dos números reais como no conjunto dos números complexos, e desta maneira pode-se definir o seno de um número complexo como:

Onde é a unidade imaginária, é a função seno hiperbólico e é a função cosseno hiperbólico.

Além disso, o seno pode ser expresso como uma soma de exponenciais complexas, devido á relação de Euler.

A recíproca do seno é a cossecante, e sua inversa é arco seno.

Uma lista de aproximações, das mais simples às mais complexas.

Foi através dos árabes que a trigonometria baseada na meia corda de uma circunferência, que foi apresentada pelos hindus, chegou à Europa.

Os árabes haviam traduzido textos de trigonometria do sânscrito. Os hindus tinham dado o nome de jiva à metade da corda, e os árabes a transformaram em jiba. Na língua árabe é comum escrever apenas as consoantes de uma palavra, deixando que o leitor acrescente mentalmente as vogais. Desse modo, os tradutores árabes registraram jb. Na sua tradução do árabe para o latim, Robert de Chester interpretou jb como as consoantes da palavra jaib, que significa " baía" ou " enseada", e escreveu sinus, que é o equivalente em latim. A partir daí, a jiba, ou meia corda hindu passou a ser chamada de sinus, e, em português, seno.

Referências

1. Lars Ahlfors, Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, second edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 1966.

2. Maor, Eli, Trigonometric Delights Arquivado em 4 de abril de 2004, no Wayback Machine., Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.

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O seno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a define-se como sendo a razão entre o cateto oposto a e a hipotenusa deste triângulo. Ou seja: Exemplo: Um triângulo retângulo cuja hipotenusa é de valor 10 e seus catetos são de valores 6 e 8.

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O cosseno (pré- AO 1990: co-seno) é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a , define-se como sendo a razão entre o cateto adjacente a e a hipotenusa deste triângulo. Ou seja:

Pode-se definir a função co-seno pelo polinômio de Mclaurin

para todo , que nada mais é que uma série de Taylor[2] em torno de e possui raio de convergência infinito.

Tal definição tem sentido tanto no conjunto dos números reais como no conjunto dos números complexos, e desta maneira pode-se definir o co-seno de um número complexo como:

Onde é a unidade imaginária, é a função seno hiperbólico e é a função co-seno hiperbólico.

Os valores que um cosseno pode obter repetem-se a cada 360 graus, ou radianos ― por exemplo, o cosseno de é igual ao cosseno de . Portanto:

onde os ângulos estão em radianos. Essa expressão serve para quando se quer saber o cosseno de um ângulo maior que radianos. Na verdade, poderíamos usar qualquer múltiplo inteiro de nessa expressão (incluindo os negativos). Genericamente,

Referências

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Cosseno - Wikipédia, a enciclopédia livre

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O cosseno (pré- AO 1990: co-seno) é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a , define-se como sendo a razão entre o cateto adjacente a e a hipotenusa deste triângulo.

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Tangente - Wikipédia, a enciclopédia livre

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Em trigonometria, tangente é a razão (divisão, proporção) entre o cateto oposto e o cateto adjacente a um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo. O valor desta razão é fixa para cada valor dos ângulos agudos do triângulo retângulo.

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Demonstração da Fórmula Fundamental da Trigonometria - Khan Academy em português (9º ano)

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matemática 11.º ano - fórmulas trigonométricas e ângulos fundamentais - teoria 1

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trigonometria 11.º ano, fórmulas. fórmula fundamental da trigonometria, ângulos fundametais, explicações de matemática 11.º ano

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Trigonometria é a área da matemática que estuda as relações envolvendo os lados de um triângulo retângulo, que um polígono que possui três ângulos. A origem do nome vem do grego que refere-se a medidas de três ângulos.

A partir dos lados do triângulo é que encontramos as razões seno, cosseno e tangente. Na Geometria também existe outras abordagens que utilizam a trigonometria, como nos estudos das esferas.

Trigonometria no triângulo retângulo

No triângulo retângulo, os ângulos notáveis (30º, 45º e 60º) possuem valores que são constantes e são representados pelas relações seno, cosseno e tangente.

Funções trigonométricas

As funções trigonométricas, seno, cosseno e tangente, são as relações no triângulos retângulo (triângulo com um angulo que mede 90°) das razões entre os lados do triângulo em função do ângulo. Podemos encontrar essas funções através dos catetos, oposto e adjacente e da hipotenusa.

Cateto oposto

O cateto oposto é o que fica no lado oposto ao ângulo referência (θ).

Cateto adjacente

O cateto adjacente é o que está ao lado (adjacente) do ângulo de referência (θ).

Hipotenusa

A hipotenusa é o lado mais longo do triângulo, oposto ao ângulo reto.

Seno (sen)

O seno é dado pela razão do cateto oposto sobre a hipotenusa.

Cosseno (cos)

O cosseno é dado pela razão entre o cateto adjacente sobre a hipotenusa.

Tangente (tan ou tg)

A tangente é a razão dada pelo cateto oposto sobre a cateto adjacente.

A partir das funções trigonométricas acima, podemos encontrar outras funções trigonométricas: cotangente, cossecante e secante.

Cotangente (cot)

A cotangente é o inverso da tangente, dado pelo cateto adjacente sobre o cateto oposto, que é o mesmo que o cosseno sobre o seno.

Cossecante (csc)

A cossecante é o inverso do seno, ou seja, a hipotenusa sobre o cateto oposto.

Secante (sec)

A secante é a razão dada pela hipotenusa sobre o cateto adjacente.

Círculo trigonométrico

O círculo trigonométrico ou ciclo trigonométrico é a disposição no plano cartesiano para facilitar a visualização das funções trigonométricas durante o estudo da trigonometria. Dessa forma, é possível visualizar graficamente durante o estudo dessas funções e poderá entender a disposição do seno, cosseno, tangente, cotangente, cossecante e secante. Veja abaixo:

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras define que a relação em um triângulo ABC, com ângulo reto em C, vale a seguinte relação: (AB)² = (AC)² + (BC)². Em outras palavras, Pitágoras descobriu que o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Considere o triângulo retângulo:

a² = b² + c²
Onde

Geometria Euclidiana

Euclides definiu alguns conceitos que são usados no estudo da trigonometria aplicada no triângulo.

Lei dos Senos

A Lei dos Senos serve para relacionar o seno do ângulo de um triângulo qualquer com o lado oposto a este ângulo.

Exemplo:

Considere o triângulo ABC abaixo, inscrito na circunferência, com lados a, b e c:

A lei dos senos é dada pela seguinte fórmula:

A fórmula diz que a razão entre um lado qualquer do triângulo e o seno do ângulo oposto a este lado, é igual a 2 vezes o tamanho do raio da circunferência.

Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos diz que podemos encontrar a medida de um lado de um triângulo, somando os lados opostos a ele e subtraindo pelo dobro do produto entre os lados opostos e o cosseno do ângulo, também, dos lados opostos.

Exemplo:

Considere o triângulo ABC abaixo, com lados a, b e c:

A lei dos cossenos é dada pela seguinte fórmula:

A fórmula diz que podemos encontrar a medida elevada ao quadrado de um lado do triângulo, realizando a soma dos lados opostos também ao quadrado. Após isso, subtraímos desta soma dos lados opostos ao quadrado, o produto entre as medidas dos lados opostos e o cosseno do ângulo oposto ao lado que queremos encontrar multiplicado por 2.

Lei das Tangentes

A Lei das Tangentes diz que é equivalente os comprimentos de um triângulo não isósceles com a tangente dos ângulos opostos a esses lados.

Exemplo:

Considere o triângulo ABC abaixo, inscrito na circunferência, com lados a, b e c:

A lei dos tangentes é dada pela seguinte fórmula:

Exercícios de trigonometria

Veja os exercícios acessando o link a seguir:

É isso aí!

Bons estudos!

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Trigonometria: Fórmulas das Funções - Matemática Básica

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Trigonometria é a área da matemática que estuda as relações envolvendo os lados de um triângulo retângulo, que um polígono que possui três ângulos. A origem do nome vem do grego que refere-se a medidas de três ângulos. A partir dos lados do triângulo é que encontramos as razões seno, cosseno e tangente.