# data[].attributes.attachment_link.title
ANTON - the free learning app for school

# data[].attributes.attachment_link.description
ANTON - the free learning app for school

# data[].attributes.attachment_link.title
MATHE GRUNDSCHULE / Turm aus 3 Steinen TEIL 1/2 - Die Aufgabe

# data[].attributes.body
Das sollen Grundlagen sein???

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Transkript

1 Grundlagen der Stochastik In Anlehnung an die Vorlesung Grundlagen der Stochastik an der Georg-August-Universität Göttingen von PD Dr. Fiebig im Wintersemester 007/008 Kirsten Bolze Göttingen, Frank Werner Göttingen,

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Literatur 4 Vorwort 5 Grundbegriffe 6. Einführung Mengentheoretische Verknüpfungen Relative Häufigkeiten Axiomatik nach Kolmogoroff Laplace Experimente Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume und -funktionen Siebformeln Allgemeine Siebformeln Die Bonferroni-Ungleichungen Anwendung Kombinatorik. Binomial- und Hypergeometrische Verteilung Ziehen mit Zurücklegen Binomialverteilung Ziehen ohne Zurücklegen Hypergeometrische Verteilung Das Stimmzettelproblem Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten und mehrstufige Experimente 3 3. Unabhängigkeit Bedingte Wahrscheinlichkeiten Mehrstufige Experimente Bemerkung zu bedingten Wahrscheinlichkeiten in mehrstufigen Modellen Produkt-Experimente und spezielle Verteilungen Mit Produktexperimenten zusammenhängende Verteilungen Zufallsvariablen, Verteilungen Zufallsvariablen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen Verteilungen Eigenschaften der Possionverteilung Kenngrößen von Verteilungen Der Erwartungswert Erwartungswerte einiger Verteilungen Eigenschaften des Erwartungswertes Produktformel Varianzen Varianzen einiger diskreter Verteilungen Wahrscheinlichkeitsungleichungen und das SGGZ 7 6. Das schwache Gesetz großer Zahlen SGGZ Spezialfall - Das SGGZ von Bernoulli Exponential-Ungleichungen Faltung, bedingte Verteilungen und Korrelation Die Faltung Spezialfall Faltungen einiger wichtiger Verteilungen Bedingte Verteilungen Der bedingte Erwartungswert Die bedingte Erwartung Anwendung der iterierten Erwartung Anwendung des allgemeineren Satzes Satz Korrelation

3 Inhaltsverzeichnis 3 8 Erzeugende Funktion und Verzweigungsprozesse Verzweigungsprozesse Modellbildung Motivation Aussterbewahrscheinlichkeit Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace Normalapproximation der Binomialverteilung Anwendung I: Normalapproximation der Binomialverteilung Anwendung II: Bestimmung eines Stichprobenumfangs Allgemeine Modelle und stetige Verteilungen Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume und Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf R, reelle Zufallsvariablen, Verteilungsfunktionen Stetige Verteilungen Zufallsvariablen mit stetiger Verteilung Die Gleichverteilung Die Normalverteilung Die Exponentialverteilung Die Pareto-Verteilung Die Cauchy-Verteilung Die Gamma-Verteilung Berechnung und Transformation von Dichten Erwartungswert und Varianz Mehrdimensionale stetige Verteilungen Unabhängigkeit Die mehrdimensionale Normalverteilung Folgerungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen und der zentrale Grenzwertsatz Die Jensen sche Ungleichung Der zentrale Grenzwertsatz ZGWS Markov-Ketten mit endlichem Zustandsraum 33. Steuerung der Sprünge: Übergangsmatrizen und -graphen Potenzen der Matrix P Die Periode einer Übergangsmatrix Markov-Ketten Drei elementare Wahrscheinlichkeiten von Markov-Ketten Invariante Maße und Konvergenzsätze Rückkehrzeiten und starkes Gesetz Der Rückkehrzeitensatz Beispiele Irrfahrt auf ungerichtetem Graphen Ehrenfeld-Diffusion Schätzer und statistische Tests 54. Punktschätzer ML-Schätzer Erwartungstreue Schätzer Statistische Tests Der einseitige Gaußtest Der t-test A Tabelle der Standardnormalverteilung 63 B Kenngrößen der wichtigsten Verteilungen 64 B. Diskrete Verteilungen B. Stetige Verteilungen Stichwortverzeichnis 66

4 4 Literatur Literatur [Dehling/Haupt] Herold Dehling, Beate Haupt : Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Springerverlag Berlin,. Auflage 007, 306 Seiten, ISBN: X [Krengel] Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Viewegverlag, 8. Auflage 005, 57 Seiten, ISBN:

5 Vorwort 5 Vorwort Dieses Skript ist unter einigem Arbeitsaufwand während der Vorlesung Grundlagen der Stochastik von PD Dr. Fiebig im Wintersemester 007/008 an der Georg-August-Universität Göttingen entstanden. Der Begriff der Stochastik umfasst heutzutage die Unterbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Statistik. Die Wahrscheinlichkeitstheorie umfasst dabei die Wahrscheinlichkeitsgesetze und das Studium wahrscheinlichkeitstheoretischer Modelle mit mathematischen Methoden, während die Statistik sich mit der Analyse und Modellierung von Datenstrukturen befasst. Die Ursprünge der Stochastik als Wissenschaft gehen auf das Glücksspiel Würfeln, Kartenspiel etc. zurück und liegen etwa um 630. Als erste stellten Menschen wie Pascal oder Fermat Fragen wie Was ist wahrscheinlicher? Bei vier Würfen mit einem Würfel eine 6 oder bei 4 Würfen mit zwei Würfeln eine Doppel-6 zu haben? Der Begriff der Wahrscheinlichkeit selbst wurde dann im Wesentlichen von Laplace geprägt. Die axiomatische Einführung eines Wahrscheinlichkeitsraumes kam allerdings erst 933 durch Kolmogoroff. Heutzutage findet die Stochastik in vielen Gebieten Anwendung. Zum Beispiel in der Informatik bei Datenkompression, Spracherkennung, maschinellem Lernen oder Netzwerken, in der Technik bei der Qualitätskontrolle oder der Signalerkennung, in der Finanzmathematik bei der Berechnung von Prämien oder in der Biologie und Medizin bei der Bilderkennung oder der DNA-Analyse. In sich ist die Stochastik ein Wechselspiel zwischen Modellen und Daten, wobei von den Modellen aus Prognosen für die Daten getätigt werden und gleichzeitig mittels Daten bereits bestehende Modelle geprüft und neue Modelle geschaffen werden. Es handelt sich hierbei ausdrücklich nur um eine studentische Mitschrift, nicht um ein offiziell vom Dozenten herausgegebenes Skript. Trotz großer Anstrengungen sind sicherlich einige Fehler mathematischer wie auch sprachlicher Natur im Skript verblieben, was hoffentlich nicht allzu große Schwierigkeiten für das Verständnis aufwerfen wird. Göttingen, 3. Januar 009 Kirsten Bolze, Frank Werner

6 6 Grundbegriffe Motivation Zur Motivation wollen wir zwei Beispiele für stochastische Modelle angeben. Europäische Call-Option Dieses Beispiel kommt aus der Finanzmathematik. Wir nehmen folgende Situation an: Zum Zeitpunkt t 0 0 heute kaufe ich das Recht, zu einem Preis k eine Aktie zum Zeitpunkt t > 0 kaufen zu können. Die Frage, die sich dort stellt, ist: Was kostet dieses Recht? Eine mögliche Antwort auf diese Frage wurde 973 durch Black / Scholes unter Benutzung eines stochastischen Modells zur Entwicklung der Preisentwicklung gegeben: C S0 Φω k exp r Φ ω σ t Dabei ist S0 der heutige Preis der Aktie, r ein festgesetzter Zinssatz und σ die Voluntarität Schwankung des Marktes. ω ist gegeben als rt + σ t log k S0 ω σ t und Φ ist die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung, d.h. Φω ω exp x dx π Für dieses Modell wurde 997 der Nobelpreis für Ökonomie verliehen. Spracherkennung Sei A die Mikrofonaufnahme eines gesprochenen Wortes. Für jedes Wort w i in der deutschen Sprache sei W i das Ereignis w i wurde gesprochen Gesucht ist nun das Wort w i, das der Sprecher tatsächlich gesagt hat, d.h. mit unserem Modell das Wort w i, für welches P w i A am größten ist. Praktisch lassen wir dabei i den Zahlenbereich i,..., o.ä. durchlaufen, um alle Wörter der deutschen Sprache abzudecken. Eine Spracherkennungssoftware tut nun Folgendes: Sie berechnet für jedes! i mit Hilfe stochastischer Aussprachemodelle die Wahrscheinlichkeit P A w i. Aus Tabellen entnimmt sie zusätzlich die relative Häufigkeit P W i mit der das Wort w i in der deutschen Sprache auftritt. Dann nutzen wir die Bayes-Formel P A w i P W i P w i A P A w k P W k k Der Nenner dieses Ausdrucks hängt nicht von i ab, daher ist P w i A maximal genau dann, wenn P A w i P W i maximal ist. Grundbegriffe. Definition: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir ein Experiment, dessen Ausgang nicht durch die Versuchsbedingungen bestimmt ist. Unser Ziel in diesem Abschnitt soll es sein, Zufallsexperimente zu modellieren.

7 Grundbegriffe 7. Einführung. Definition: Ein diskreter Grundraum Ω {ω,ω,...} ist eine nicht leere, abzählbare oder endliche Menge. Ein Element ω Ω nennen wir Ergebnis, eine Teilmenge A Ω ein Ereignis. Beispiel.3: Für einen Würfelwurf mit einem Würfel wäre Ω {,,3,4,5,6}. 5 Ω entspricht dann dem Ergebnis 5 wurde geworfen und {,4,6} dem Ereignis eine gerade Zahl wurde gewürfelt..4 Definition: Sei Ω ein diskreter Grundraum. Wir nennen Ω Ω das sichere Ereignis und Ω das unmögliche Ereignis... Mengentheoretische Verknüpfungen Beispiel.5: Wir betrachten einen zweifachen Würfelwurf. Ein geeigneter Grundraum hier ist Ω {,,3,4,5,6 {,,3,4,5,6 {,,3,4,5,6} {i,j i,j N, i,j 6} Wir betrachten die Ereignisse Diese Ereignisse entsprechen dann den Teilmengen und A Beim ersten Wurf wird eine 6 gewürfelt A Beim zweiten Wurf wird eine 3 gewürfelt A {6,i i N, i 6} Ω B {j,3 j N, j 6} Dann ist A B {6,3} und das entspricht dem Ereignis, dass sowohl A als auch B eintreten, d.h. dass im ersten Wurf eine 6 und im zweiten Wurf eine 3 kommt..6 Definition: Sei Ω ein diskreter Grundraum und seien A i, i N sowie A,B Ereignisse. Dann entsprechen A und B treten ein dem Ereignis A B A oder B treten ein dem Ereignis A B Jedes der A i, i N ist eingetreten dem Ereignis A i i N Mindestens eins der A i, i N ist eingetreten dem Ereignis A ist nicht eingetreten dem Ereignis A c : Ω \ A. A i i N Man kann sich mittels Venn-Diagrammen gut Verknüpfungen von Ereignissen verdeutlichen..7 Definition: Sei Ω ein diskreter Grundraum und seien A i Ω, i N paarweise disjunkte Ereignisse, d.h. i j A i A j Dann schreiben wir auch i NA i : i N A i

8 8 Grundbegriffe.. Relative Häufigkeiten Wir wollen nun Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Unsere Motivation dafür sind sogenannte relative Häufigkeiten:.8 Definition: Sei Ω 0 ein diskreter Grundraum. Die relative Häufigkeit eines Ereignisses A Ω 0 in einer Folge von Relationen ω,ω,...,ω n aus gleichwertigen Experimenten ist definiert als Beispiel.9: r n A : n # {j,...,n ω j A} Bei 300 Würfen einer Reißzwecke landet 4 mal die Spitze oben, sonst landet der Kopf oben. Sei das Ergebnis Spitze nach oben und 0 das Ergebnis Kopf nach oben. Dann ist Ω : {0,} 300 {ω,...,ω 300 ω i {0,} i 300} ein geeigneter Grundraum für dieses Experiment. Außerdem setzt man Ω 0 : {0,} als den Grundraum für einen einfachen Wurf der Reißzwecke fest. Entsprechend ist für n 300 also und es gilt r n {} Ω Ω n 0 Wir wollen nun einige offensichtliche Eigenschaften relativer Häufigkeiten in einem Lemma festhalten:.0 Lemma: Es gelten die folgenden Relationen: 0 r n A A Ω 0. r n Ω 0. r n A + B r n A + r n B für A,B Ω mit A B. Die Idee ist nun, dass die relativen Häufigkeiten r n A für n gegen die Wahrscheinlichkeit P A eines Ereignisses A konvergieren. Das macht in sofern Sinn, dass man beobachten kann, wie sich die relativen Häufigkeiten für immer größer werdendes n stabilsieren. Um diese Aussage auch beweisen zu können, brauchen wir nun eine geeignete Axiomatik...3 Axiomatik nach Kolmogoroff 939. Definition: Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Paar Ω, P, wobei Ω ein diskreter Grundraum und P eine auf den Teilmengen P Ω definierte reellwertige Funktion ist, welche die folgenden Axiome erfüllt: A Positivität Es gilt P A 0 für alle A Ω. A Normiertheit Es gilt P Ω. A3 σ-additivität Für jede Folge paarweise disjunkter Teilmengen A,A,... Ω gilt P A i P A i P heißt Wahrscheinlichkeitsmaß oder auch Wahrscheinlichkeits-Verteilung auf Ω. PA ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A Ω.

9 Grundbegriffe 9 Folgerung. Rechenregeln: R Es ist P 0. R Es gilt Additivität, d.h. n P A i n PA i für endlich viele paarweise disjunkte Mengen A,...,A n. R Setze A i für i,,3,... Dann gilt R P P A i Aus der Konvergenz der Summe folgt P 0. R Setze in A3 A i für i > n und benutze R. A3 PA i P In der Stochastik sollten die Ergebnisse, die man aus der Modellierung erhält, empirisch verifiziert werden. Beim Wurf der Reißzwecke setzt man z.b. Ω {0,}, P 0.4 und P0 0.6 wobei Spitze oben bedeutet und bestätigt sich dies so in unserem Versuch mit 300 Würfen, denn.3 Definition: r und r Sei Ω eine Menge und A Ω eine Teilmenge. Wir wollen das Komplement von A bezeichnen mit Wir erinnern uns an die de Morgan schen Regeln:.4 Hilfssatz: Für zwei Mengen M und N gelten: A c : Ω \ A M c N c M N c. M c N c M N c. Sei x M c N c. Dann gilt sicherlich entweder x M c oder x N c oder beides, d.h. x / M oder x / N oder beides. Daher ist x / M N und daher x M N c Ist andersherum x M N c, so ist x / M N und daher entweder x / N oder x / M oder beides. Entsprechend gilt sicherlich x M c oder x N c was. zeigt. Sei x M c N c. Dann ist x M c und x N c, d.h. x / M und x / N. Daher gilt auch x / M N und entsprechend x M N c Ist andersherum x M N c, so ist x / M N, also x / M und x / N. Das hat aber x M c und x N c zur Folge und daher gilt x M c N c Das zeigt.. Bemerkung.5: Natürlich verallgemeinern die de Morgan schen Regeln sich direkt auf unendliche Vereinigungen und Schnitte. Sind A i, i N Mengen, so gilt: c A c i A i.3 A c i Der Beweis dieser Aussage ist analog zu Hilfssatz.4. c A i.4

10 0 Grundbegriffe.6 Lemma weitere Rechenregeln: Sei Ω,P ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. A,B und A i seien Ereignisse für i N. Dann gilt: R3 PA PA c R4 PA für alle A Ω R5 PA \ B PA PB falls B A R6 PB PA, wenn B A Monotonie R7 Für beliebige endliche oder unendliche Folgen A,A,A 3,... gilt P A i PA i i i Boole sche Ungleichung R8 Falls A A A 3..., so gilt R9 Falls A A A 3..., so gilt P P A i lim i PA i A i lim i PA i Stetigkeit von unten Stetigkeit von oben Zum Beweis werden nur die Kolmogoroff-Axiome sowie die Folgerungen R und R benutzt: R3 Es gilt Ω A A c mit A,A c disjunkt und damit A PΩ PA A c R PA + PA c. Durch Umstellen erhält man PA PA c. R4 Da PA c A 0 folgt mit R3 PA PA c. R5 Da A A \ B B eine disjunkte Vereinigung ist, gilt laut R PA PA \ B + PB. R6 Nach Rechenregel R3 ist PB PA PA \B. Außerdem ist PA \B A 0 und es folgt die Behauptung. R7 Setze B : A,B : A \ A,B 3 : A 3 \ A A,... d.h. B n : A n \ A A... A n für n N Die B i sind paarweise disjunkt und B i A i für alle i N. Es gilt also und damit i N B i i N P A i P B i i N R8 Setze die B i wie eben. Dann gilt: P A i i N A i A3 PB i R4 PA i i N i N P B i A3 PB i lim n R lim n P n PB i n B i lim n PA n

11 Grundbegriffe R9 Gilt A A..., so ist offenbar Wir berechnen daher P A i A c A c....4 P R3 P A c i c A c i R8 lim P A c i i R3 lim i P A i lim i P A was die Behauptung zeigt.. Laplace Experimente.7 Definition: Ein Paar Ω,P heißt Laplace-Raum, wenn Ω {ω,...,ω n } endlich ist und für alle A Ω PA #A #Ω # günstige Fälle # mögliche Fälle gilt. P heißt Laplace-Verteilung oder diskrete Gleichverteilung auf Ω {ω,...,ω n }. Bemerkung.8: Sei Ω,P ein Laplace-Raum. Dann ist Beispiel.9: P{ω} #Ω n ω Ω Gegeben sei ein Würfel. Wir setzen als Grundraum Ω {,,...,6} mit P als der Laplace-Verteilung. Uns interessiert das Ereignis A gerade Zahl {,4,6}. Dann gilt: PA #A #Ω #{,4,6} 6 Beim Wurf der Reißzwecke liegt kein Laplace-Raum vor, da P P0 3 Man muss darauf achten den richtigen Laplace-Raum zu wählen. Beim gleichzeitigen Wurf zweier fairer Münzen ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses gesucht. B einmal Kopf und einmal Zahl wird geworfen Modell : Wir setzen Ω : {KK,KZ,ZK,ZZ} als Laplace-Raum. Das liefert PB P {KZ,ZK} #{ZK,KZ} #Ω 4

12 Grundbegriffe Modell : Wir setzen Ω : {KK,KZ,ZZ} ohne Beachtung der Ordnung - das liefert Dieses Ergebnis ist empirisch wiederlegbar. 4 Summe von Augenzahlen P{KZ} 3 Es werde zwei Mal gewürfelt. Sei A m Die Augensumme ist m für m,3,...,. Unser Modell ist Ω {,,...,6} {i,j i,j 6} als Laplace-Raum, d.h. Offenbar ist #Ω 36. Nun ergibt sich PA m #A m #Ω #A #{,} PA 36 #A 3 #{,,,} PA 3 36 #A 4 #{,3,,,3,} 3 PA #A 5 #{,4,,3,3,,4,} 4 PA #A 6 #{,5,,4,3,3,4,,5,} 5 PA #A 7 #{,6,,5,3,4,4,3,5,,6,} 6 PA #A 8 #{,6,3,5,4,4,5,3,6,} 5 PA #A #{6,6} PA 36 5 Teilungsproblem des Luca Paccioli 494 Zwei Spieler A und B wiederholen ein faires Spiel z.b. Münzwurf. Wer zuerst sechs Spiele gewonnen hat, bekommt den gesamten Einsatz. Das Spiel muss beim Stand 5:3 abgebrochen werden. Wie ist der Einsatz gerecht aufzuteilen? Um diese Frage zu beantworten, betrachten wir Verläufe, die zu einer Entscheidung führen. Es ergeben sich die folgenden Modelle: Modell : A, BA, BBA, BBB. Bei dieser Betrachtung gewinnt A in 3 von 4 Fällen. Damit gehen 3 4 des Einsatzes an Spieler A und 4 an Spieler B. Modell : AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB. Nur bei BBB gewinnt B. Nach der Definition des Laplace-Raums gehen 7 8 des Einsatzes an Spieler A und 8 an Spieler B. 6 Wir werfen 0 mal eine Münze. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C mindestens mal tritt Kopf auf Unser Modell ist Ω : {K,Z} 0 {a,...,a 0 a i {K,Z}} als Laplace-Raum. Es folgt #Ω 04 und wir berechnen PC #C #Ω mit Hilfe des Komplements von C, denn dieses ist einfacher zu bestimmen! PC PC c #Cc #Ω # { Es tritt kein mal Kopf auf } #Ω Maxima von Augenzahlen Es wird k mal gewürfelt. Sei m {,,...,6} und das Ereignis B m höchste Augenzahl ist m. Wir verwenden als Modell den Laplace-Raum Ω : {,...,6} k {a,...,a k a i {,...,6}} Für m 6 setze A m als das Ereignis A m alle Augenzahlen sind m fest und erhalte so PA m #A m #Ω mk 6 k. Dann gilt B m A m \ A m und A m A m. Die Rechenregel R5 liefert nun PB m PA m PA m mk m k 6k 6 k mk m k 6 k...

13 Grundbegriffe 3.3 Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume und -funktionen.0 Lemma: Ist Ω,P ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, so ist P festgelegt durch die Werte Sei A Ω beliebig. Dann gilt P {ω}, ω Ω A ω A {ω} ω A und diese Vereinigung ist abzählbar, da der Grundraum Ω selbst schon abzählbar ist. Es folgt aus A3: P A P {ω} P {ω}. ω Ω ω A {ω} Daher ist P durch die Werte in der Voraussetzung bereits festgelegt. Bemerkung.: Wegen A und R4 ist bereits klar, dass 0 P {ω} für alle ω Ω gilt. Genauso muss nach A und A3 auch P {ω} A3 P {ω} gelten. ω Ω Das veranlasst uns zu folgender ω Ω P Ω A. Definition: Sei Ω ein diskreter Grundraum. Eine Abbildung p : Ω [0,] mit der Eigenschaft pω heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Ω. Bemerkung.3: ω Ω Ist P eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Ω, so ist wie oben gesehen eine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Beispiel.4: pω : P {ω} Wir betrachten den zu einmaligem Würfeln gehörigen Laplace-Raum. Dann ist die entsprechende Wahrscheinlichkeitsfunktion p gegeben durch Beispiel.5: p p... p6 6. Wir betrachten wieder unser Beispiel der Reißzwecke. Die hier entstehende Wahrscheinlichkeitsfunktion p ist gegeben durch p 0.4, p Satz: Sei Ω ein diskreter Grundraum und p eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Ω. Dann definieren wir durch P A : ω Apω, A Ω eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P auf Ω.

14 4 Grundbegriffe Wir müssen lediglich die Axiome A, A und A3 prüfen. A Sei A Ω beliebig. Da p 0 gilt, folgt sofort P A ω Apω 0. }{{} 0 A Offenbar ist P Ω ω Ω pω. A3 Seien A i Ω paarweise disjunkt, i N. Dann ist P A i ω A i pω. Per Definition ist p 0, d.h. diese Summe konvergiert absolut. Umordnung liefert wegen der Disjunktheit der A i : P A i pω P A i. ω A i Das zeigt die Behauptung. Bemerkung.7: Für diskrete Grundräume Ω haben wir also folgendes: Die Menge M aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen P auf Ω und die Menge aller Wahrscheinlichkeitsfunktionen p auf Ω lassen sich bijektiv durch ineinander abbilden. P p, pω : P {ω}, ω Ω Die Frage, die man sich also stellt ist, warum man nicht gleich nur mit Wahrscheinlichkeitsfunktionen arbeitet. Eine Antwort darauf ist leicht zu geben, denn im Fall eines nicht-diskreten Grundraumes wie Ω [0, ] oder Ω R macht eine Frage nach P {a}, a Ω - also nach der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses - keinen Sinn! Diese Wahrscheinlichkeit wäre stets 0. Man stelle sich Beispielsweise einen Zufallsgenerator vor, der gleichverteilt Zahlen aus [0,] zieht. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine 0 gezogen wird, müsste dann 0 sein, aber die Summe über alle Zahlen der Wahrscheinlichkeiten wäre weiterhin. Das macht schlicht und ergreifend keinen Sinn! Die Axiome A, A und A3 hingegen lassen sich auf allgemeine nicht abzählbare Grundräume Ω verallgemeinern und liefern so eine einheitliche Theorie für alle Wahrscheinlichkeitsräume. Beispiel.8: Wir können einen gefälschten Würfel modellieren durch p : 0., p... p5 0.75, p6 0.. Das definiert eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Ω {,,..., 6}. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung nach Satz.6 liefert dann die entsprechende gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung. Beispiel.9: Auf Ω {,3,...,} definiere die Wahrscheinlichkeitsfunktion p durch den Vektor 36, 36,..., 5 36, 6 36, 5 36,...,. 36 Damit ist natürlich gemeint, dass p 36, p3 36 etc. ist. Diese Wahrscheinlichkeitsfunktion definiert als Wahrscheinlichkeitsverteilugn genau die Verteilung der Augensumme bei zweimaligem Würfeln.

15 Grundbegriffe 5.4 Siebformeln In diesem Abschnitt wollen wir Wahrscheinlichkeiten von Vereinigungen berechnen oder abschätzen, wenn wir die Wahrscheinlichkeiten von Durchschnitten kennen. Sei stets Ω,P ein Wahrscheinlichkeitsraum..30 Lemma: Sind A,A Ω Ereignisse, so gilt P A A P A + P A P A A. Setze B : A und B : A \ A A \ A A. Dann ist A A B B und B B. Daher gilt: Das zeigt die Behauptung. Beispiel.3: Wir definieren das Ereignis A als P A A P B B R P B + P B P A + P A \ A A R5 P A + P A P A A. A: Eine in,,...,00 rein zufällig gewählte Zahl ist durch oder durch 5 teilbar Um P A zu berechnen definieren wir A : Eine in,,...,00 rein zufällig gewählte Zahl ist durch teilbar A 5 : Eine in,,...,00 rein zufällig gewählte Zahl ist durch 5 teilbar Dann gilt A A A 5, offenbar ist P A 50 00, P A und P A A 5 P Eine in,,...,00 rein zufällig gewählte Zahl ist durch und durch 5 teilbar Nach Lemma.30 ist also P Eine in,,...,00 rein zufällig gewählte Zahl ist durch 0 teilbar P A P A + P A 5 P A A Sind A,A,A 3 Ω nun drei Ereignisse, so ergibt sich als Siebregel P A A A 3 P A + P A + P A 3 P A A P A A 3 P A A 3 + P A A A 3, wie man sich mit einem Venn-Diagramm schnell verdeutlichen kann. Aber diese Aussage folgt auch aus den folgenden allgemeinen Siebformeln..4. Allgemeine Siebformeln Sei Ω,P ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien A,...,A n Ω Ereignisse, n. Setze S k : P A i... A ik für k n. i <i <...<i k n.3 Satz Siebformel von Poincare-Sylvester: Unter obigen Voraussetzungen gilt n P A i n k S k k

16 6 Grundbegriffe Wir zeigen die Aussage durch Induktion über n. Induktionsanfang I.A.: Lemma.30 liefert P A A P A +P A P A A }{{}}{{} S S n k S k k Induktionsvoraussetzung I.V.: Gelte für alle Ereignisse A,...,A m Ω. Induktionsschritt n n + : Wir setzen Dann gilt: n+ P A i P B A n+ I.A. n P A i n k S k k B : A... A n P B + P A n+ P B A n+ n n P A i + P A n+ P A i A n+ I.V. I.V. n n k S k + P A n+ P A i A n+ k n k k n k k n k k n k k i n P A i + n k k i n+ i <i <...<i k n i <i <...<i k n i <i <...<i k n i <i <...<i k n n k k i <i <...<i k n n P A i + k n k k k i <i <...<i k n P A i... A ik + P A n+ P A i A n+... A ik A n+ P A i... A ik + P A n+ P A i... A ik A n+ i <i <...<i k n P A i... A ik A n+ i <i <...<i k+ n P A i... A ik + P A n+ P A i... A ik+ P A i... A ik A n+

17 Grundbegriffe 7 n+ n P A i k + k i <i <...<i k n n+ n P A i k k i <i <...<i k+ n P A i... A ik+ P A i... A ik A n+ n P A... A n n P A... A n n+ n P A i + k k + n P A... A n n+ k S k k i <i <...<i k+ n+ i <i <...<i k n+ P A i... A ik+ P A i... A ik Es folgt die Behauptung..4. Die Bonferroni-Ungleichungen Sei Ω,P ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien A,...,A n Ω Ereignisse. Wir beweisen hier zunächst die folgende Variante der Siebformel:.33 Lemma: Es gilt n P A i n P A i Wir setzen B : A und für k n: k B k : A k \ Dann gilt n i P A i A j.5 A i A k \ n A i und die Mengen B i sind disjunkt. Außerdem gilt wegen k n B i j k A i A k A k A i A k auch P B k P A k P k A i A k

18 8 Grundbegriffe Damit folgt dann: n P A i n P B i n P B i n i P A i P A j A i j n n i P A i P A j A i j was die Behauptung zeigt. Mit den Bezeichnungen S k : für k n kann man jetzt folgern: Folgerung.34: i <i <...<i k n P A i... A ik Sei Ω,P ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien A,...,A n Ω Ereignisse. Dann gilt für jedes m {,...,n} die Formel n m i P A i i S i + m P A i... A im A j.6 Der Beweis erfolgt durch Induktion nach m n. Induktionsanfang I.A.: i <...<i m n Das ist genau die bereits gezeigte Gleichung.5. Induktionsvoraussetzung I.V.: Gelte.6. Induktionsschritt m < n, m m + : Wir wollen Gleichung.5 auf den Term i P A i... A im A j j aus der Induktionsvoraussetzung anwenden. Setze dazu für gegebene j < i <... < i m n j j B j : A i... A im A j Dann gilt: i P A i... A im A j P.5 i j i B j j i P B j j P j k B j B k

19 Grundbegriffe 9 i j i i j P A i... A im A j P j i j k A i... A im A j A i... A im A k P A i... A im A j P j j k A i... A im A j A k Setzen wir das nun in die Induktionsvoraussetzung ein, so erhalten wir n I.V. P A i m i S i + m m i S i + m P i j j k i <...<i m n i <...<i m n i P A i... A im A j j i P A i... A im A j j A i... A im A j A k m i S i + m + m+ i <...<i m n j m i S i + m + m+ m+ i <...<i m+ n i i <...<i m n j i i S i + + m+ P j k i <...<i m+ n P A i... A im A j A i... A im A j A k P A i... A im+ } {{ } S m+ i P Ai... A A im+ j j i <...<i m+ n P i j Ai... A A im+ j was die Behauptung zeigt. Als einfache Folgerung erhalten wir nun.35 Satz Bonferroni-Ungleichungen: Unter den Voraussetzungen wie oben gelten: Für ungerades m {,...,n} gilt n m P A i i S i Für gerades m {,...,n} gilt n m P A i i S i

20 0 Grundbegriffe Nach Definition eines Wahrscheinlichkeitsraums ist für jede Auswahl i <... < i m n i P A i... A im A j 0 Ist nun m {,...,n} ungerade, so folgt n P A i.6 j m i S i + m m i S i m i S i i <...<i m n Ganz analog gilt für jedes gerade m {,...,n}, dass n P A i.6 m i S i + m m i S i + m i S i womit die Behauptung gezeigt ist. Bemerkung.36: i <...<i m n i <...<i m n i P A i... A im A j j j i P A i... A im A j i <...<i m n i P A i... A im A j j j i P A i... A im A j Für m liefert das genau die in R7 unabhängig schon gezeigte Boole sche Ungleichung n n P A i P A i Anwendung Wir wollen hier eine Anwendung aus der Zuverlässigkeitstheorie diskutieren: Korollar.37: Mögen die Voraussetzungen von oben gelten. Sind A,...,A n Ereignisse mit P A i ε i für Zahlen 0 ε i, i,...,n, so gilt n n P A i ε i

21 Grundbegriffe Es gilt n P A i R3 n P.3 n P.7 R3 A c i n P A c i A i c n P A i n ε i n ε i Das zeigt die Behauptung. In der Anwendung sieht das so aus: Man betrachtet etwa ein System mit n Komponenten, welches nur funktioniert, wenn alle Komponenten funktionieren. Dann ist und A i Die i-te Komponente ist intakt n A i Das System ist intakt Man erhält so eine Abschätzung für die Sicherheit des Systems, wenn man Abschätzungen für die Sicherheit der Komponenten hat. Beispiel.38: Ist etwa P A i 0.99 für alle i,...,n, also ε i 0.0 für alle i,...,n, so ist das System immerhin noch mit Wahrscheinlichkeit n P A i n 00 intakt.

22 Kombinatorik Kombinatorik Hier wollen wir das sogenannte Urnen- und Fächermodell einführen. Dazu betrachten wir vier verschiedene Grundräume Ω I,Ω II,Ω III,Ω IV die aus Urnen- bzw. Fächermodellen entstehen und bestimmen ihre Kardinalitäten. In der Praxis werden Ω I,Ω II und Ω III oft als Grundräume für Laplace-Räume benutzt, Ω IV ist spezieller. Beispiel.: Wir wollen Würfeln als Urnenmodell realisieren. Dabei entspricht dann der erste Wurf dem Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit sechs Kugeln, welche mit den Zahlen,,3,4,5,6 beschriftet sind, und dem Zurücklegen der Kugel nach dem Ziehen. Der zweite Wurf ist dann wieder das Ziehen einer Kugel aus der selben Urne mit zurücklegen etc.. Das realisiert genau Würfeln als Laplace-Raum wie bereits bekannt. Urnenmodell I: k-faches Ziehen mit Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge aus einer Urne mit n Kugeln, welche die Nummern bis n tragen. Der Grundraum ist hier Ω I {a,...,a k a i n, i,...,n} wobei a i der Nummer der im i ten Experiment gezogenen Kugel entspricht. Es ist #Ω I n k Das zugehörige Fächermodell sieht so aus: Man betrachtet k Kugeln, welche mit,..., k nummeriert werden und verteilt diese Kugeln in n Fächer. Dabei sind mehrere Kugeln pro Fach erlaubt. Notiert wird als a i die Nummer des Fachs, in welchem die Kugel mit der Aufschrift i gelandet ist. Der Grundraum der Ergebnisse ist dann genau wie oben schon eingeführt Beispiel.: Ω I {a,...,a k a i n, i,...,n} Das Fächermodell findet etwa dann Verwendung, wenn sich k Kunden an n verfügbaren Schaltern anstellen oder in der Informatik k Jobs auf n Prozessoren verteilt werden. Urnenmodell II: k-faches Ziehen ohne Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge aus einer Urne mit n Kugeln, welche die Nummern bis n tragen. Das ist offenbar nur für k n möglich. Der Grundraum ist hier Ω II {a,...,a k a i a j für i j und a i {,...,n} für i,...,k} wobei a i der Nummer der im i ten Experiment gezogenen Kugel entspricht. Die Kardinalität von Ω II berechnet sich wie folgt: Beim Ziehen der ersten Kugel gibt es n Möglichkeiten, beim Ziehen der zweiten Kugel n Möglichkeiten usw, daher ist n! #Ω II n n... n k + n k! : n k Wir sprechen diese Zahl als n unten k. Das zugehörige Fächermodell sieht so aus: Man betrachtet k Kugeln, welche mit,..., k nummeriert werden und verteilt diese Kugeln in n Fächer. Diesmal ist aber jeweils maximal eine Kugel pro Fach erlaubt. Notiert wird als a i die Nummer des Fachs, in welchem die Kugel mit der Aufschrift i gelandet ist.

23 Kombinatorik 3 Bemerkung.3 Spezialfall: Wir betrachten nun den Fall n k, d.h. alle Kugeln werden gezogen. Dann erhalten wir hier als Ω II genau die Menge aller Permutationen der Zahlen {,...,n}, da in den Tupeln a,...,a n jede Zahl aus {,...,n} genau einmal auftaucht. Man sieht mit obiger Formel sofort Beispiel.4: #Ω II n n n! Wir wollen die Wahrscheinlichkeit für Fixpunkte von Permutationen berechnen. Dazu sei k n und Ω II mit der Laplace-Verteilung versehen. Entsprechend gilt dann für jede Permutation a,...,a n Ω II der Menge {,...,n}, dass P {a,...,a n } #Ω II n! Sei nun A i : {a,...,a n Ω II a i i} das Ereignis Die Permutation hat an der Stelle i einen Fixpunkt. Dann gilt P A i #A i n! #Ω II n! n i,...,n da A i genau die Menge aller Permutationen von {,...,n} ist, welche i festhält, also nur n -Zahlen aus {,...,n} \ {i} permutiert. Das entspricht genau einer Permutation der Zahlen {,...,n} \ {i} {,...,n } und deren Anzahl ist wie oben gesehen genau n!. Eine Person probiert ihre n Schlüssel zufällig an einem Schloss durch. Nur einer der Schlüssel passt. Sei B i das Ereignis der i-te Schlüssel passt. Wir bezeichnen die Schlüssel mit,...,n und nehmen durch Umnummerieren stets an, dass der passende Schlüssel ist. Als Modell verwenden wir wieder Ω II als Laplace-Raum. Dann ist B i {a,...,a n Ω II a i } und entsprechend wie oben. P B i #B i #Ω II n Urnenmodell III: k-faches Ziehen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge aus einer Urne mit n Kugeln, welche die Nummern bis n tragen. Das ist offenbar wieder nur für k n möglich. Der Grundraum ist hier Ω III {T {,...,n} #T k} Einer Teilmenge T Ω III entspricht dann das Experiment, dass genau die Kugeln mit den Zahlen i T gezogen wurden Reihenfolge egal!. Die Kardinalität von Ω II berechnet sich mit dem Prinzip des Schäfers: Will man #Ω III durch abzählen berechnen, so erscheint dies sehr schwer. Man definiert also Prinzip des Schäfers: f : Ω II Ω III durch f a,...,a k : {a,...,a k } Will man wissen, wie viele Schafe auf der Wiese stehen, so muss man nicht zwingend die Schafe selbst zählen. Man kann auch die Anzahl der Beine auf der Wiese zählen und durch die Anzahl der Beine pro Schaf teilen, das liefert das selbe Ergebnis: # Beine # Schafe 4 Dieses Prinzip klingt zunächst sehr abstrus, aber oben wird die enorme Mächtigkeit des Prinzips klar.

24 4 Kombinatorik Diese Abbildung ist wohldefiniert, da wir für jedes a,...,a k Ω II gefordert hatten, dass die a i paarweise verschieden sind. Man erhält als Bild unter f also tatsächlich eine k-elementige Teilmenge von {,...,n}. Ganz offenbar ist f surjektiv und jede Menge {a,...,a k } Ω III Schaf hat genau k! Urbilder Beine unter f, da es wie oben gesehen k! Permutationen einer k-elementigen Menge gibt. Daher gilt: #Ω III #Ω II k! n k k! n! k!n k! : Die Zahl n k wird auch Binomialkoeffizient oder n über k genannt. Bemerkung.5 Eigenschaften der Binomialkoeffizenten: Es gilt n n k n k n k Der Binomische Lehrsatz besagt x + y n n k0 n x k y n k k 3 Die Anzahl der möglichen Auswahlen i <... < i k n. - wie sie etwa in Abschnitt.4. vorkommen - entspricht genau der Anzahl der k-elementigen Teilmengen von {,...,n} einfach die Ordnung vergessen. Daher gibt es genau n k Möglichkeiten, Zahlen i,...,i k wie in. auszuwählen. Beispiel.6: Ein klassisches Beispiel für das Urnenmodell III ist das gewöhnliche Lotto. Hier werden 6 Kugeln aus 49 möglichen Kugel ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen, d.h. es ist n 49 und k 6. Man sieht an diesem Beispiel sehr deutlich, dass auch wirklich nur die Teilmenge T der gezogenen Kugeln entscheidend ist. Um die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige zu berechnen, betrachten wir Ω III als Laplace-Raum und erhalten so für einen beliebigen festen Tip T {a,...,a 6 } {,...,49} die Wahrscheinlichkeit P T #T #Ω 49 III Richtige im Lotto erscheinen also als sehr unwahrscheinlich! Jetzt wollen wir noch das zugehörige Fächermodell entwickeln. Man betrachtet dazu die verschiedenen Möglichkeiten k nicht zu unterscheidende Kugeln auf n Fächer zu verteilen. Dabei ist jeweils wieder maximal eine Kugel pro Fach erlaubt. Notiert wird als Ergebnis nur die Teilmenge der besetzten Fächer. 6 Urnenmodell IV: k-faches Ziehen mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge aus einer Urne mit n Kugeln, welche die Nummern bis n tragen. Als Ergebnis notieren wir nur das Tupel k,...,k n, wobei die Zahl k i angibt, wie oft die Kugel mit der Nummer i gezogen wurde. Zwangsläufig gilt dann n k i k

25 Kombinatorik 5 Der Grundraum ist also Beispiel.7: Ω IV : { k,...,k n 0 k i k i,...n und } n k i k Wir haben n 6 Kugeln und ziehen k 0 mal. Dann ist das Ergebnis ein Vektor 3,0,,4,0, welcher symbolisiert, dass 3 mal Kugel Nummer gezogen wurde, 0 mal Kugel Nummer, mal Kugel Nummer 3 usw.. Bevor wir die Kardinalität von Ω IV bestimmen wollen wir kurz das zugehörige Fächermodell vorstellen. Man betrachte k Kugeln, die auf n Fächer verteilt werden - mit erlaubter Mehrfachbesetzung der Fächer - und zähle als Ergebnis nur, wie viele Kugeln im i-ten Fach sind für i,...,n. Beispiel.8: In der Praxis findet dieses Modell etwa Verwendung, wenn k Kunden sich an n Schaltern anstellen und man nachher die Auslastung der einzelnen Schalter betrachten will. Jetzt wollen wir #Ω IV bestimmen. Auch dazu konstruieren wir wieder eine geeignete Abbildung in einen Raum, dessen Kardinalität wir bereits kennen. Wir betrachten die Menge aller Folgen der Zahlen 0 und der Länge n + k. Wir betrachten jetzt 0 als eine Kugel und als die Markierung für nächstes Fach. Unter dieser Identifikation wird etwa das Ergebnis 3,0,,4,0, aus Beispiel.7 zur Folge Wollen wir eine Bijektion zwischen Ω IV und einer Teilmenge von {a i,...,a n a i {0,} für i,...,n} erhalten, so muss jede der Folgen genau n en und k 0en enthalten. Unter dieser Bedingung erhalten wir offenbar eine Bijektion! Eine Folge der Länge n+k mit genau n en und k 0en ist aber bereits eindeutig durch die Auswahl der Positionen der k 0en also Kugeln eindeutig bestimmt - die anderen Positionen müssen en sein. Daher ist n + k #Ω IV # {T {,...,n + k } #T k} k wie oben berechnet. In Beispiel.7 ergibt sich also ! #Ω IV 0 0!5 0! 3003 Wenn wir die Laplace-Verteilung annehmen, dann hat entsprechend jede Konfiguration die Wahrscheinlichkeit Pk,k,...,k n #Ω IV 0, Definition: Wir definieren den Multinomialkoeffizient als k k! : k! k!... k n! falls k i 0 i n, k,k,...,k n 0 sonst Bemerkung.0: n k i k Für den Fall k kennen wir dies bereits als den Binomialkoeffizienten. Sei k k + k, dann gilt: k k! k,k k! k! k! k!k k!. Lemma: Die Anzahl der Möglichkeiten eine Menge A der Kardinalität k in n Teilmengen A,...,A n mit #A i k i und n k i k zu zerlegen ist gegeben durch k k! k,k,...,k n k! k!... k n!

26 6 Kombinatorik Für A gibt es k k Möglichkeiten, Elemente auszuwählen. Dann ist #A \ A k k und es gibt für A nur noch k k k Möglichkeiten, Elemente auszuwählen. Für A3 bleiben k k k k 3 Möglichkeiten usw.. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten A in Teilmengen der Größe k,...,k n zu zerlegen beträgt also Das zeigt die Behauptung. k k k k k k! k!k k! k! k! k!... k n! k k k k 3 k k! k!k k k! Beispiel. zum Vergleich zu Beispiel.7:... Wir wollen nun das obige Beispiel noch einmal bzgl. des Grundraums k k k... k n k n k k k! k 3!k k k k 3!... Ω I {a,...,a k a i,...,n für i k} und der Laplace-Verteilung betrachten. Es werden 0 von bis 0 nummerierte Kugeln auf 6 Fächer verteilt. a i ist das Fach der i-ten Kugel. Sei A k,k,...,k 6 {a,...,a 6 genau k der a i s sind, k der a i s sind,..., k n der a i s sind 6} Laut Lemma. ist und daher gilt Einsetzen in. liefert nun k #A k,...,k 6 k,...,k 6 PA k,k,...,k n n k PA 3,0,,4,0, k! k!... k n! 6 0 0! 4! 0!! 3! 0!! 0,000 PA 0,0,0,0,0,0 0! 60 0! 0, PA,,,,, 6 0 0!!!!!!! 0,0037 Trotzdem: Gewisse Elementarteilchen Bosonen verteilen sich auf verschiedene Energiezustände gemäß der Laplace-Verteilung auf Ω IV.. Binomial- und Hypergeometrische Verteilung Wir betrachten eine Urne mit N Kugeln, wobei R rote Kugeln und N R weiße Kugeln enthalten sind. Daraus wird eine Stichprobe im Umfang von n Kugeln auf Arten mit und ohne Zurücklegen gezogen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit genau r rote Kugeln zu ziehen... Ziehen mit Zurücklegen Binomialverteilung Gegeben sei Ω I {a,a,...,a n a i N} mit der Laplace-Verteilung. Es seien die Kugeln,,...,R die roten Kugeln. Gesucht ist PE r, wobei E r {a,a,...a n #{i a i {,,...,R}} r} E r entspricht den r roten Kugeln, anders gesagt den r Erfolgen. Wir wollen nun #E r bestimmen: Sie I {,,...,n} die Indexmenge der Ziehungen, bei denen eine rote Kugel gezogen wurde. Dann ist E r die disjunkte Vereinigung aller Ereignisse E I {a,a,...,a n a i {,,...,R} i I} kn k n.

27 Kombinatorik 7 über alle r-elementigen Teilmengen I {,,...,n}. Für festes I ist #E I R r N R n r und es gibt n r Teilmengen I {,,...,n} mit #I r. Damit ist PE r #E r #Ω I N n n R r N R n r r n r R R n r N N.3 Definition Binomialverteilung: Für p [0,] und n N heißt bin n,p j bn,p,j n p j p n j, j 0 j n die Binomialverteilung mit Erfolgswahrscheinlichkeit p und Stichprobenumfang n. Beispiel.4 Münzwurf: n-maliges Werfen einer Münze ist wie Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit Kugeln. Wir modellieren mit Hilfe der Binomialverteilung: P k mal Kopf n k k n k.. Ziehen ohne Zurücklegen Hypergeometrische Verteilung n k Man zieht eine Teilmenge T von n N Kugeln. Wir betrachten den Grundraum Ω III {T {,,...,N} #T n} und damit ist #Ω III N n. Die Kugeln,,...,R seien rot. Hier ist E r {T {,,...,N} #T {,...,R} r, #T n} {T {,,...,N} #T {,,...,R} r,#t {R +,...,N} n r} Dabei gibt es genau R r Teilmengen von {,,...,R} der Kardinalität r und N R n r Teilmengen der Kardinalität n r von {R +,...,N}. Damit folgt R N R #E r r n r.5 Definition: Wir nennen hypr,n,r,n : PE r #E r #Ω III R r N R n r N n die hypergeometrische Verteilung zu den Parametern n, N und R. Beispiel.6 Skat: Beim Skatspiel gibt es 3 Karten, darunter 4 Asse. 3 Spieler bekommen je 0 Karten. Es ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Spieler bekommt 3 Asse gesucht. Modell: 3 Kugeln, davon R4 rote Kugeln und n 0 Ziehungen. Gesucht: P3 Erfolge PE 3 Wir oben gesehen berechnet man mit der hypergeometrischen Verteilung: 4 PE 3 hyp3,0,4, , n

28 8 Kombinatorik. Das Stimmzettelproblem Die Auszählung der Stimmen einer Wahl hat ergeben: Kandidat A gewinnt mit a Stimmen gegenüber Kandidat B mit b Stimmen, a > b. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.7 Satz: Wenn a > b, so ist E: A liegt während der gesamten Auszählung in Führung. und hängt damit nur vom Quotienten b a ab. PE b a + b a Wir stellen die Auszählung der Stimmzettel als Pfad da. Der Pfad entspräche dann also der Auszählung B,B,A,A,A,B,A,A,B erste Stimme für B, zweite Stimme für B, dritte Stimme für A usw. Graphisch kann man sich diesen beispielhaften Pfad wie folgt verdeutlichen: Stimmen für A Stimmen für B Abbildung : Der Auszählungspfad B,B,A,A,A,B,A,A,B Wir betrachten dazu also Ω {Pfade von 0,0 nach b,a} als Laplace-Raum. Ein Pfad aus Ω wird offenbar schon durch die Zeitpunkte der A-Stimmen eindeutig festgelegt und hat logischerweise Länge a + b, daher gilt a + b #Ω b Wir wollen Ω jetzt disjunkt zerlegen. Sei dazu E {Pfade oberhalb der Diagonalen} E {Pfade durch 0,, die nicht oberhalb der Diagonalen liegen} E 3 {Pfade, die durch,0 verlaufen} Da jeder Pfad, welcher oberhalb der Diagonalen verläuft, automatisch durch 0, verlaufen muss, gilt dann 3 Ω E i

29 Kombinatorik 9 A A A 0 0 B 0 0 B 0 0 B Abbildung : Von links nach rechts: Beispiel eines Pfades aus E, aus E und aus E 3 Gesucht ist in diesem Zusammenhang natürlich P E P E #E #Ω und wir können #E über #E #Ω #E #E 3 berechnen. Die Kardinalität #E 3 von E 3 ist offenbar a + b #E 3 Anzahl der Pfade der Länge a + b von,0 nach b,a a da jeder Pfad aus E genau eins kürzer ist als ein Pfad aus Ω. Jetzt verwenden wir folgendes.8 Lemma Spiegelungsprinzip: Falls a > b, so gilt #E #E 3 Da a > b ist, muss jeder Pfad aus E 3 mindestens einmal die Diagonale schneiden er beginnt ja schließlich bei, 0!. Sei c, d der erste Schnittpunkt des Pfades mit der Diagonalen. Jetzt spiegeln wir den Teilpfad von 0,0 nach c,d an der Diagonalen und erhalten insgesamt einen Pfad aus E. A A B 0 B Abbildung 3: Verdeutlichung des Spiegelungsprinzips Diese Abbildung ist offenbar bijektiv. Damit folgt dann sofort Daraus folgt und das zeigt die Behauptung. a + b a + b #E #Ω #E 3 b a P E #E #Ω a+b a a+b a a + b!a!b! a!b!a + b! b a + b a + b b a + b a b a + b b a + b a

30 30 Kombinatorik Beispiel.9: Wir betrachten die Wahlergebnisse a 00 und b 50.3 a 00 und b In beiden Fällen ist b a und damit sagt uns obiger Satz, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der siegende Kandidat A während der gesamten Auszählung in Führung lag, in beiden Fällen.3 und.4 bei liegt. PE + 3

31 3 Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten und mehrstufige Experimente 3 3 Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten und mehrstufige Experimente 3. Unabhängigkeit Wir beginnen mit einem motivierenden Beispiel. Beispiel 3.: Man betrachtet das Werfen zweier Würfel und die Ereignisse A Augensumme ist gerade B Mindestens eine 6 Wir fragen uns hier, ob das Eintreten von B die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A beeinflusst. Dazu simulieren wir n Würfe mit zwei Würfeln und erhalten in unserer Simulation, dass das Ereignis A h A 5069 mal, das Ereignis B h b 306 mal und das Ereignis A B also A und B gleichzeitig genau h A B 386 mal eintritt. Wenn B keinen Einfluss auf das Eintreten von A hat, so sollte h A n h A B h B gelten. Wir können diese Aussage auf relative Häufigkeiten umformen: h A B n h A n hb n. Der Übergang von relativen Häufigkeiten zu Wahrscheinlichkeiten liefert nun die folgende 3. Definition: Sei Ω,P eine Wahrscheinlichkeitsraum. Zwei Ereignisse A,B Ω heißen unabhängig, falls gilt. Beispiel 3.3: P A B P A P B Im Beispiel 3. oben vermutet man dann nach der Simulation, dass A und B nicht unabhängig sind, denn h A B n h A n hb n. Um diese Aussage anhand der Definition nachzuprüfen betrachtet man Ω {,,3,4,5,6} als Laplace- Raum und hat damit Also gilt #A 8 und #B. Das liefert Jetzt berechnet man noch A {,,,3,,5,,,...,6,6}, B {,6,...,6,6,6,,...,6,5}. P A und P B 36. A B {,6,4,6,6,6,6,,6,4} und hat damit P A B #A B #Ω P A P B. 36 Die angegebenen Ereignisse A und B sind also in der Tat abhängig. Beispiel 3.4: Betrachte wieder das Setting aus Beispiel 3. und das zusätzliche Ereignis C Der erste Wurf ist eine 6 Wir wollen zeigen, dass A und C unabhängig sind. Dazu berechnen wir was diese Aussage zeigt. P A C P {6,,6,4,6,6} 3 36 P A P C, 6

32 3 3 Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten und mehrstufige Experimente Beispiel 3.5: Wir betrachten eine Urne mit drei von bis 3 nummerierten Kugeln, davon seien die Kugeln und rot und Kugel 3 weiß. Wir wollen zwei Ziehungen durchführen und betrachten die Ereignisse A erster Zug rot B zweiter Zug weiß Ziehen wir mit Zurücklegen, so ist offenbar Ω {i,j i,j 3} und daher #Ω 9. Das liefert P A 3, P B, P A B P {,3,,3} 3 #Ω P A P B. 9 Mit Zurücklegen sind A und B also unabhängig. Ziehen wir ohne Zurücklegen, so ist offenbar Ω {i,j i,j 3,i j} und daher #Ω 6. Das liefert P A 3, P B P {,3,,3} #Ω 3, P A B P {,3,,3} #Ω P A P B. 6 Ohne Zurücklegen sind A und B also abhängig! Bemerkung 3.6: Sei Ω,P ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien A,B Ω zwei Ereignisse mit A B. Dann können A und B offenbar nur dann unabhängig sein, wenn d.h. wenn entweder P A 0 oder P B 0 gilt. 0 P A B P A P B, Jetzt wollen wir unsere Definition auf n Ereignisse A,...,A n Ω des Wahrscheinlichkeitsraumes Ω,P verallgemeinern. Wir definieren dazu wie folgt: 3.7 Definition: Sei Ω,P ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien A,...,A n Ω Ereignisse. Wir nennen A,...,A n unabhängig, falls für jede Auswahl von k Indizes i i <... < i k n, k n beliebig, die Gleichung k P k P A ij gilt. j Diese Definition mag zunächst etwas unintuitiv erscheinen, sie ermöglicht aber folgendes 3.8 Lemma: Sei Ω,P ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien A,...,A n Ω unabhängige Ereignisse. A ij Für jede Auswahl k n und i <... < i k n beliebig ist dann auch die entstehende Teilfamilie A i,...,a ik unabhängig. Sei B i A i oder B i A c i für jedes i n. Dann sind auch die Ereignisse B,...,B n unabhängig. Diese Aussage ist mit der Definition sofort klar. Offenbar genügt es zu zeigen, dass die Ereignisse A c,a,...,a n ebenfalls unabhängig sind. Den allgemeinen Fall erhalten wir daraus durch iteriertes Anwenden und Umbennenen das genaue Vorgehen dafür kann man etwa bei [Dehling/Haupt] nachlesen.. Wir wollen die offenbar gültige Gleichung j P A c B P B P A B 3.

33 3 Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten und mehrstufige Experimente 33 nutzen. Seien nun i <... < i k n vorgegeben. Ist i >, so ist in unserem Setting nichts zu zeigen. Ist i, so gilt P A c... A ik 3. P A i... A ik P A A i... A ik was die Behauptung zeigt. Unabhängigkeit von A,A i,...,a ik P Ai... P A ik P A... P A ik P A P A c k P A ij j k P A ij Im Beweis des Lemmas haben wir schon gesehen, wieso wir in unserer Definition nicht nur die Unabhängigkeit aller Teilfamilien gefordert haben. Folgendes Beispiel zeigt, wie gravierend der Unterschied ist: Beispiel 3.9 Paarweise Unabhängigkeit impliziert nicht Unabhängigkeit: Wir betrachten de dreifachen Münzwurf, also Ω {K,Z} 3 mit der Laplace-Verteilung. Wir betrachten die Ereignisse Scheinbar ist dann j A erster Wurf zweiter Wurf A zweiter Wurf dritter Wurf A 3 erster Wurf dritter Wurf P A # {KKK,KKZ,ZZZ,ZZK} #Ω 4 8 und ganz analog P A P A 3. Jetzt berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten der Schnitte: P A A # {KKK,ZZZ} #Ω 4 P A A 3 P A A 3. Wegen 4 sind also A,A und A 3 paarweise unabhängig. Da aber P A A A 3 P {KKK,ZZZ} P A A P A A 3 P A A 3 4 sind die Ereignisse A,A und A 3 insgesamt nicht unabhängig. Das ergibt anschaulich auch Sinn, schließlich erzwingt das Eintreten von A und A bereits das Eintreten von A 3 und umgekehrt. 3. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Bei n Versuchen trete das Ereignis A B mit Häufigkeit h A B und das Ereignis B mit Häufigkeit h B 0 auf. Anschaulich ist dann gegeben als in relativen Häufigkeiten. die relative Häufigkeit des Auftretens von A, gegeben B tritt auf h A B h B Der Übergang von relativen Häufigkeiten zu Wahrscheinlichkeiten liefert uns jetzt folgende 3.0 Definition: Sei Ω,P ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien A,B Ω Ereignisse. Ist P B > 0, so ist P A B : h A B n h Bn P A B P B die bedingte Wahrscheinlichkeit des Auftretens von A gegeben B.

# data[].attributes.attachment_link.title
Grundlagen der Stochastik - PDF Kostenfreier Download

# data[].attributes.attachment_link.description
1 Grundlagen der Stochastik In Anlehnung an die Vorlesung Grundlagen der Stochastik an der Georg-August-Universität Göttingen von PD Dr. Fiebig im Wintersemester 007/008 Kirsten Bolze Göttingen, Frank Werner Göttingen, 2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Literatur 4 Vorwort 5 Grundbegriffe 6. Einführung Mengentheoretische Verknüpfungen Relative Häufigkeiten Axiomatik nach Kolmogoroff Laplace Experimente Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume und -funktionen Siebformeln Allgemeine Siebformeln Die Bonferroni-Ungleichungen Anwendung Kombinatorik.

# data[].attributes.body
Besser geht`s nicht!!!

# data[].attributes.body
3.Seetag