# data[].attributes.body
Δ > 0 (Duas raízes diferentes)
Δ = 0 (Duas raízes iguais)
Δ < 0 (Não existe raiz)

# data[].attributes.body
https://youtu.be/V9yhPL87lGs
https://youtu.be/mytzKEjGM_A
https://youtu.be/nzGKw1MZSXg
Funções Compostas (20 questões):
https://youtu.be/KJCFSk5vtfo

# data[].attributes.body
a < 0 (Função decrescente)

# data[].attributes.body
https://youtu.be/qySmGYTlbMs
https://youtu.be/iC4q1AGeN5A

# data[].attributes.body
Uma função de A em B e y uma função de B em C, chama-se composta de g e f a função h de A em C definida por h(x) = y(f(x)) para todo x em A

# data[].attributes.body
Com a intersecção central:
https://youtu.be/0fqEHgFVgCg
Sem a intersecção central:
https://youtu.be/eaW8JeRyqc0

# data[].attributes.body
https://youtu.be/i2dCe9aYGjw
https://youtu.be/eLJXEUjUV8M
https://youtu.be/ExoKS0TJn6o

# data[].attributes.body
https://youtu.be/pyAapMye4Ts
https://youtu.be/0y5zrjMb5IM

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Alguns vídeos sobre o assunto:

https://youtu.be/15L_ntOBIw0

https://youtu.be/k-BPycvaZLA

https://youtu.be/HJoDcA-SyP0

Boa sorte nos estudos!

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Gráfico de setas...

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Função do Primeiro Grau (Função Afim): Zero ou Raiz da Função e Razões Trigonométricas:

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Função do Primeiro Grau (Função Afim): Zero ou Raiz da Função e Razões Trigonométricas:

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Alguns vids:
https://youtu.be/PgOLmJ00KPQ
https://youtu.be/v0Yj0JWs-h4
https://youtu.be/qWbN0Tz8Lqo

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Site mostrando como fazer o cálculo e também estão disponíveis alguns exercícios

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Conhecemos como função inversa aquela f(x)⁻¹ que faz o oposto do que a função f(x) faz, de forma geral, seja f(x) uma função f: A→ B, em que f(a) = b, então, a função inversa f-1: B → A, tal que f(b) = a.

Nem toda função admite uma inversa, podemos encontrar a função inversa só quando a função for bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. Para encontrar a lei de formação da função inversa, precisamos realizar operações com a equação, para que seja possível que ela realize, de fato, o inverso da função.

Por exemplo, se a função f(x) faz com que os valores de x dobrem, ou seja, pegamos o valor de x e multiplicamos por 2, a função inversa fará o contrário, ou seja, com que o valor seja dividido por 2.
Leia também: 5 passos para construir o gráfico de uma função do 2º grau
Quando uma função admite inversa?

Representação gráfica de uma função e sua função inversa.

Quando falamos de função inversa, nem toda função é inversível, ou seja, nem sempre conseguimos encontrá-la. Para isso, a função precisa ser necessariamente bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Uma função é sobrejetora quando o conjunto imagem for igual ao contradomínio, isso significa que para todo elemento b no contradomínio existe um elemento em a, tal que f(a) = b.

Para que uma função seja injetora, cada imagem possui um único correspondente associado a ela no contradomínio.

Exemplo de funções injetoras e sobrejetoras, com domínio e contradomínio nos números reais:

Um exemplo de função que não é injetora é a função com domínio e contradomínio nos reais, com lei de formação f(x) = x², pois f(2) = 4 e f(-2) = 4, logo, para valores diferentes de x, tem-se a mesma imagem y, o que faz com que essa função definida para esse domínio e contradomínio não admita função inversa.

A função f(x) = x² também não é sobrejetora, pois, como definimos o contradomínio sendo o conjunto dos números reais, não existe valor de x que faça com que f(x) = -2 nesse conjunto.

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Como se determina a função inversa?

Para determinar a função inversa, precisamos compreen der bem o domínio e o contradomínio da função que estamos trabalhando.

Seja f(x) uma função, f: A → B, em que A = {a, b, c, d} e B = {e, f, g, h}, tal que:

Primeiro vamos verificar se a função é injetora e sobrejetora.
Para que ela seja injetora, para cada elemento de B, deve existir um único elemento de A associado, o que ocorre nesse caso. Além disso, para que ela seja sobrejetora, todos os elementos de B devem possuir correspondente em A, o que também ocorre nesse caso, então f é bijetora, logo, ela admite inversa.
Veja também: O que é uma função constante?
Dados os conjuntos A e B já conhecidos, então a inversa de f será a função f⁻¹ : B → A.
Exemplo 1:
Como se determina a lei de formação da função inversa?

Muitas vezes o interesse maior está na lei de formação da função. Para determinar essa lei, torna-se necessário o estudo de equações, pois vamos inverter as incógnitas na lei de formação da função, faremos a inversão de x por y e de y por x, ou então de x por f(x) e de f(x) por x. Veja alguns exemplos a seguir.

f(x) = 2x - 6

f: R → R

Faremos f(x) = x e x = f(x), então temos que

x = 2 f(x) - 6

É necessário isolar o f(x), então temos que:

Exemplo 2:

Trocando x por y:
Veja também: Quais as diferenças entre função e equação?
Aplicando logaritmo de base 3 dos dois lados:

Então a inversa da função y = 3 x é a função y = log ₃ x.

Gráfico da função inversa

Ao compararmos os gráfico s de duas funções inversas, sempre será possível encontrar um eixo de simetria entre elas.
Resolução

A função exponencial tem como inversa a função logaritmo.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (UEL) Sendo f: R → R₊* a função definida por f(x) = 2 x, então a expressão que define a função inversa de f é:

Alternativa C
Resolução
Trocando x por f(x):

Aplicando logaritmo dos dois lados:

Questão 2 - Seja f : A → B, tal que f(x) = 5x - 3, uma função inversível, então o valor de f⁻¹(7) é:

Alternativa C

Dada duas funções inversas, sabemos que f(a) = b → f⁻⁻¹(b) = a, sendo assim, calcular f⁻¹(7) é o mesmo que encontrar o valor de x, tal que f(x) = 7.

Então faremos:

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Função inversa: o que é, gráfico, exercícios - Mundo Educação

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Conhecemos como função inversa aquela f(x)-1 que faz o oposto do que a função f(x) faz, de forma geral, seja f(x) uma função f: A→ B, em que f(a) = b, então, a função inversa f -1 : B → A, tal que f(b) = a.

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Aprenda a calcular a inversa de uma função resolvendo estes exercícios.

Ver resposta

Termos que começar a responder a questão fazendo a permutação das variáveis, assim:

A função dada é:

Após permutar as variáveis, temos:

Agora vamos expressar y em função de x:

Então, a função inversa de f é:

2) Determine a função inversa de f, de R - {5} em R - {-1}, definida por

Ver resposta

Temos que a função dada no problema é:

Permutando as variáveis, temos:

Agora expressaremos y em função de x:

Portanto, a inversa de f, de R - {5} em R - {-1} é:

3) Determine a função inversa das seguintes funções:

a) y = 4x + 3

b) y = 7x

c) y = 6x - 2

d) y = 9x -3

e) y = -x + 7

Ver resposta

a)

y = 4x + 3 permutando x com y ⇒

x = 4y + 3 isolando y ⇒

-4y = 3 - x ⇒

y = (3 - x)/-4 ⇒

y = (x - 3)/4

b)

y = 7x ⇒

x = 7y ⇒

y = x/7

c)

y = 6x - 2 ⇒

x = 6y - 2 ⇒

x + 2 = 6y ⇒

y = (x + 2)/6

d)

y = 9x -3 ⇒

x = 9y - 3 ⇒

x + 3 = 9y ⇒

y = (x + 3)/9

e)

y = -x + 7 ⇒

x = -y + 7

y = 7 - x

4) Seja a função inversa de f: R -> R, definida por f(x) = 7x - 3, então (4) é igual a:

a) 1

b) 2/3

c) -1/3

d) -4

e) 5/2

Ver resposta

A função dada é: f(x) = y = 7x - 3

Permutando das variáveis, temos:

x = 7y - 3

Expressando y em função de x, temos que:

x = 7y - 3 ⇒

x + 3 = 7y ⇒

y = (x + 3)/7

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Exercícios sobre Função Inversa, Resolvidos - Matemática Básica

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Aprenda a calcular a inversa de uma função resolvendo estes exercícios.

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Vídeos:
https://youtu.be/PGPRh4JBIsg
https://youtu.be/NZZpRJ6lIz4

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Alguns exercícios sobre função composta 

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Alguns exercícios sobre função composta 

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https://youtu.be/mytzKEjGM_A

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Crescente: a>0
Decrescente: a<0

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Sen = C.oposto/Hipotenusa;
Cos = C.adjacente/Hipotenusa;
Tg = C.oposto/C.adjacente.

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Relações métricas no Triângulo Retângulo

# data[].attributes.subject
Relações métricas no Triângulo Retângulo

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https://youtu.be/a6ABh1Q_KYk