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Explicação de fatoração

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Fatorar significa transformar a soma e a subtração de expressões algébricas ou equações em um produto com fatores. Podemos entender a fatoração como sendo a simplificação das sentenças matemáticas. Existem sete casos de fatoração, confira a seguir alguns deles.

Fator comum em evidência

Esse caso de fatoração é determinado pela fórmula:

Veja que o termo a ser colocado em evidência foi o x, pois ele se repete na composição do monômio ax e bx.

Exemplos:

Observe que nesse exemplo o x de menor grau foi colocado em evidência.

Agrupamento

A fórmula geral que estabelece o agrupamento é dada por:

Sendo que:

Observe que nesse caso de fatoração não há um fator que será comum a todos os termos, temos somente fatores que são comuns a alguns termos.

Exemplos:

Diferença de dois quadrados

Confira a seguir a fórmula geral desse caso de fatoração:

Observe que esse caso de fatoração é o inverso do produto notável Soma pela Diferença de Dois Quadrados, representado por: . Acompanhe a seguir alguns exemplos da Diferença de Dois Quadrados:

Exemplos:

Trinômio quadrado perfeito

Esse caso de fatoração é o inverso dos produtos notáveis: Quadrado da soma de dois termos e Quadrado da diferença de dois termos. O Trinômio quadrado perfeito possui representação tanto na soma como na diferença. Acompanhe a seguir as suas fórmulas gerais.

Façamos agora um exemplo de cada caso:

Exemplos:

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/fatoracao/

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Fatorar significa transformar a soma e a subtração de expressões algébricas ou equações em um produto com fatores. Podemos entender a fatoração como sendo a simplificação das sentenças matemáticas. Existem sete casos de fatoração, confira a seguir alguns deles.

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Aplicando fatoração por evidência para simplificar frações algébricas.

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Aplicando fatoração de produtos notáveis para simplificar frações algébricas.

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Simplificação de fração algébrica - exemplo 1 - professora Edna Mendes

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o vídeo explica e ajuda a resolver questões de produtos notáveis e fatoração algébrica

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Matemática - Fatoração Algébrica - Produtos Notáveis

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PRODUTOS NOTÁVEIS - O quadrado da soma de dois termos - Aula 02

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8o Ano - Produtos notáveis (completo) (4/21) - Álgebra - Ensino Fundamental

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https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-produtos-notaveis.htm

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A linguagem algébrica, inicialmente facilitadora da resolução de problemas, é hoje poderosa ferramenta da modelagem matemática de diferentes fenômenos. Mesmo para situações mais simples, existem fórmulas definidas que tornam a resolução mais rápida, como é o caso dos produtos notáveis.

Chamamos de produtos notáveis algumas multiplicações envolvendo expressões algébricas que apresentam resultados padronizados. O conhecimento desses padrões possibilita reduzir a quantidade de cálculos, agilizando o trabalho em cálculo algébrico. Vejamos alguns deles, considerando a e b pertencentes aos reais (R).
1 - Quadrado da soma de dois termos
Forma o produto notável: (a + b) 2 = a² + 2ab + b²
2 - Quadrado da diferença de dois termos (a - b) 2 = a2 - 2ab + b²
Observação
As expressões a ² + 2ab + b ² (I) e a ² - 2ab + b ² (II) são chamadas trinômios quadrados perfeitos, pois apresentam dois termos quadrados perfeitos (a ² e b ²) e o terceiro termo é o duplo produto das bases desses quadrados perfeitos precedido do sinal de + (em I) ou de - (em II).
3 - Produto da soma pela diferença de dois termos (a + b) · (a − b) = a² − b² 4 - Cubo da soma de dois termos (a + b) 3 = a³ + 3a² b + 3ab² + b³ 5 - Cubo da diferença de dois termos (a − b) 3 = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
Exercícios resolvidos:
1) Desenvolva: a) (3x+y)² b) ((1/2)+x²)² c) ((2x/3)+4y³)² d) (2x+3y)³ e) (x⁴+(1/x²))³ f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5) 2) Efetue as multiplicações: a) (x-2)(x-3) b) (x+5)(x-4) 3) Simplifique as expressões: a) (x+y)²-x²-y² b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)
(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) = x ²+(2+(-7))x+2.(-7) + x ²+(-5+3)x+3.(-5) =
c) (2x-y)²-4x(x-y)

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A linguagem algébrica, inicialmente facilitadora da resolução de problemas, é hoje poderosa ferramenta da modelagem matemática de diferentes fenômenos. Mesmo para situações mais simples, existem fórmulas definidas que tornam a resolução mais rápida, como é o caso dos produtos notáveis. Chamamos de produtos notáveis algumas multiplicações envolvendo expressões algébricas que apresentam resultados padronizados.

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Formulário: padrões dos produtos notáveis

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Italo Correa Da Silva (801-A)

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Vídeo Produtos notáveis e fatoração:
Esse é um vídeo super legal que me auxiliou no estudo de produtos notáveis e faturação.

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FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS | QUER QUE DESENHE | MAPA MENTAL

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MIGUEL MACHADO
(801 -A)

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Ana Beatriz Matias Mendonça ( 801-A)
Tipos de fatoração

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Os produtos notáveis têm como principal finalidade nos auxiliar no desenvolvimento de expressões algébricas, pois estes produtos apresentam uma regularidade, um padrão, em todos os seus resultados. Eles nos auxiliam, pois nos fazem economizar tempo com cálculos.

Hoje veremos um padrão para um destes produtos notáveis, que é o produto da soma pela diferença de dois termos.

O nome já dá uma ideia de como este produto notável deverá ser expresso.

Denotaremos estes dois termos pelos números: a e b.

A soma destes dois termos será: (a+b)
A diferença destes dois termos: (a-b)

Com isso, teremos que o produto da soma pela diferença será expresso da seguinte forma:

Dessa forma, este produto notável tem o seguinte padrão:

O mesmo também pode ser dito da seguinte maneira:

"Produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo".
Uma forma que temos de interpretar este produto é por meio do cálculo da área de um retângulo.

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Para calcularmos a área do retângulo azul, precisaríamos multiplicar a base pela altura.

Temos que a base é (a+b) e a altura (a-b).

Sendo assim, a área seria expressa da seguinte forma:

Como podemos ver, esta expressão é a mesma do produto notável que vimos.

Um exemplo da aplicação deste produto notável é visto no seguinte problema:

"Qual é o produto do sucessor pelo antecessor do número inteiro 100?"

Sucessor: 101 = 100+1
Antecessor: 99 = 100-1

Produto do sucessor pelo antecessor:

101.99=(100+1).(100-1)

Veja que temos o produto da soma pela diferença de dois termos, e temos a expressão que representa este produto. Com isso, podemos escrever a expressão da seguinte forma:

(100+1).(100-1)=100²-1²=10000-1=9999

Uma conta que poderia ter levado muito tempo, tornou-se um simples cálculo de potência de dois números, cujas potências quadradas são fáceis de encontrar.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática

Publicado por: Gabriel Alessandro de Oliveira

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Produto da soma pela diferença de dois termos. Obtendo a regra do produto da soma pela diferença - Mundo Educação

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Os produtos notáveis têm como principal finalidade nos auxiliar no desenvolvimento de expressões algébricas, pois estes produtos apresentam uma regularidade, um padrão, em todos os seus resultados. Eles nos auxiliam, pois nos fazem economizar tempo com cálculos. Hoje veremos um padrão para um destes produtos notáveis, que é o produto da soma pela diferença de dois termos.

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Tipos de Produtos Notáveis

Esse link é do site TodaMatéria. Nele você pode encontrar os tipos de produtos notáveis e como expandí-los.
https://www.todamateria.com.br/produtos-notaveis/

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Maria Carolina Marins façanha (801-A)

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18 minutos de exercícios resolvidos sobre produtos notáveis.

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Produtos Notáveis | EXERCÍCIOS | Matemática básica |019| -

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Arthur Schotz Pêgo Mafort 801A
O que são os produtos notáveis

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(801-B)

Produtos Notáveis e Fatoração:

Vídeo aula sobre a matéria de

Produtos Notáveis e Fatoração.

Com o canal chamado Matemática em exercícios

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Matemática Básica - Produtos Notáveis e Fatoração - Prof. Gui

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(801-B)

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Matemática Rio com Prof. Rafael Procopio

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Problema Envolvendo FATORAÇÃO E PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO

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https://www.youtube.com/watch?v=EDB_K6wDrkg
se quiser aprender sobre produtos notaveis- quadrado da soma de dois termos, essa é uma aula explicando.

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Interpretação geométrica dos produtos notáveis.

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Interpretação geométrica dos produtos notáveis

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vídeo aula da Professora Angela sobre quadrado da diferença de dois termos, no canal dela tem vários videos sobre o assunto.

https://youtu.be/kAuopf5iT1o

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Produtos Notáveis - QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS - Professora Angela

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Maria Eduarda Marins Façanha (8a)

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FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS | QUER QUE DESENHE | MAPA MENTAL

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Aplicação dos produtos notáveis em aritmética.

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Produtos notáveis #3/9 | Quadrado da soma | APLICAÇÃO EM ARITMÉTICA | Aula do Guto

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esse é um video que me ajudou bastante e tirou boa parte das minhas duvidas.

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FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS | QUER QUE DESENHE | MAPA MENTAL

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Aplicação de fatoração para resolver equação do 2° grau (vocês aprenderão a resolução da equação do 2° grau no 9° ano). Para isso, aprendem fatoração antes.

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9º Ano (Vídeo 7) - Aplicação dos casos de fatoração

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Alexandre Braz Carelli de Amorim (801-B)

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Alexandre Braz Carelli de Amorim (801-B)

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Aula explicando a fatoração da diferença entre dois quadrados.

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Fatoração 02: Diferença entre dois quadrados

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Guilherme Lacerda do Valle
(801b)

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Produtos Notáveis - QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS - Professora Angela

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Luciano Augusto Batista Pieroni Lima 801A

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Luciano Augusto Batista Pieroni Lima 801A

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https://www.youtube.com/watch?v=4GoM32IUfVE

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mostra os produtos notáveis e suas classificações. e o link de um vídeo sobre fatoração: https://youtu.be/QKseo59yLFA

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FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS | QUER QUE DESENHE | MAPA MENTAL

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Giulia Cecilia Brito do Nascimento (801-b)

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Giulia Cecilia Brito do Nascimento (801-b)

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Em alguns casos da multiplicação algébrica, é possível utilizar os produtos notáveis

Antes de entendermos o que são produtos notáveis, devemos saber o que são expressões algébricas, isto é, equações que possuem letras e números. Veja alguns exemplos:

Os produtos notáveis possuem fórmulas gerais, que, por sua vez, são a simplificação de produtos algébricos. Veja:
Cinco casos de Produtos Notáveis
Há cinco casos distintos de produtos notáveis, a saber:

Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois termos.

Efetuando o produto do quadrado da soma, obtemos:

Toda essa expressão, ao ser reduzida, forma o produto notável, que é dado por:

Sendo assim, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
Segundo Caso: Quadrado da diferença de dois termos.

Vamos efetuar os produtos por meio da propriedade distributiva:

Reduzindo essa expressão, obtemos o produto notável:

Temos, então, que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença de dois termos.

Produto = operação de multiplicação;

Soma de dois termos = a + b;

Diferença de dois termos = a - b;

O produto da soma pela diferença de dois termos é: (a + b) . (a - b)

Resolvendo o produto de (a + b) . (a - b), obtemos:

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Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

Podemos concluir, portanto, que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
Quarto caso: Cubo da soma de dois termos

Efetuando o produto por meio da propriedade distributiva, obtemos:

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo.
Exemplos
Quinto caso: Cubo da diferença de dois termos

Efetuando os produtos, obtemos:

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

O cubo da diferença de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.
Exemplo:

Por Naysa Oliveira
Graduada em Matemática

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Antes de entendermos o que são produtos notáveis, devemos saber o que são expressões algébricas, isto é, equações que possuem letras e números. Veja alguns exemplos: Os produtos notáveis possuem fórmulas gerais, que, por sua vez, são a simplificação de produtos algébricos.

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Emanuelle Sant'ana Tenório de Matos (801-B)

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Matemática Rio com Prof. Rafael Procopio

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⏱ PRODUTOS NOTÁVEIS - Quadrado da Diferença de Dois Termos 👉 Minuto Matemática

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O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

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Expansão (OTÁVIO AUGUSTO- B)

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Análise Combinatória - Expansão Multinomial, Aula 2 - Aula 67

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Produtos Notáveis - QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS - Professora Angela

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Bernardo Motta (801-A)

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Produtos Notáveis - QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS - Professora Angela

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Rodrigo 801 b

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Matemática Básica - Aula 20 - Produtos notáveis (parte 1)

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Maria Eduarda Silva das Chagas (801-B)
Vídeo explicativo de como fazer a resolução de produtos notáveis.
(vídeos aula de: Ferretto Matemática)

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Matemática Básica - Aula 20 - Produtos notáveis (parte 1)

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Maria Eduarda Silva das Chagas (801-B)
Vídeo explicativo de como fazer a resolução de produtos notáveis.
(vídeos aula de: Waldematica)

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Fuvest 2020 (1ªF-Q20) | Produtos Notáveis

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Produtos notáveis e fatoração - aula ao vivo 9A 18/6

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https://www.google.com.br/amp/s/m.brasilescola.uol.com.br/amp/o-que-e/matematica/o-que-sao-produtos-notaveis.htm

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Produtos notáveis são multiplicações em que os fatores são polinômios. Existem cinco produtos notáveis mais relevantes: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença.

Os produtos entre polinômios conhecidos como quadrados da soma são os do tipo:

(x + a)(x + a)

O nome quadrado da soma é dado porque a representação por potência desse produto é a seguinte:

A solução desse produto notável sempre será o polinômio a seguir:

Esse polinômio é obtido por meio da aplicação da propriedade distributiva da seguinte maneira:

O resultado final desse produto notável pode ser usado como fórmula para qualquer hipótese em que houver uma soma elevada ao quadrado. Geralmente, esse resultado é ensinado da seguinte maneira:
O quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo
Exemplo:

Observe que esse resultado é obtido pela aplicação da propriedade distributiva em (x + 7) ². Portanto, a fórmula é obtida a partir da propriedade distributiva sobre (x + a)(x + a).

O quadrado da diferença é o seguinte:

(x - a)(x - a)

Esse produto pode ser escrito da seguinte maneira por meio da notação de potências:

O seu resultado é o seguinte:

Perceba que a única diferença entre os resultados do quadrado da soma e da diferença é um sinal negativo no termo do meio.

Geralmente, esse produto notável é ensinado da seguinte maneira:
O quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo.
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É o produto notável que envolve um fator com uma soma e outro com uma subtração. Exemplo:

(x + a)(x - a)

Não há representação em forma de potência para esse caso, mas sua solução sempre será determinada pela seguinte expressão, também obtida com a técnica do quadrado da soma:

Como exemplo, vamos calcular (xy + 4)(xy - 4).

Esse produto notável é ensinado da seguinte maneira:
O quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
Com a propriedade distributiva, é possível criar uma "fórmula" também para produtos com o seguinte formato:

(x + a)(x + a)(x + a)

Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira:

Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos o seguinte para esse produto notável:

Assim, em vez de fazer um cálculo extenso e cansativo, podemos calcular (x + 5) ³, por exemplo, facilmente da seguinte maneira:

O cubo da diferença é o produto entre os seguintes polinômios:

(x - a)(x - a)(x - a)

Por meio da propriedade distributiva e simplificando os resultados, encontraremos o seguinte resultado para esse produto:

Vamos calcular como exemplo o seguinte cubo da diferença:

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Os produtos notáveis são usados para facilitar cálculos

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O que são produtos notáveis? - Brasil Escola

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Produtos notáveis são multiplicações em que os fatores são polinômios. Existem cinco produtos notáveis mais relevantes: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença.