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¿Cual es el significado numérico de la representación acostumbrada para los números?

Es decir, por ejemplo

¿qué significa la representación del número N=1998?

Como es sabido, el número anterior significa 1 millar, más 9 centenas, más 9 decenas, más 8

unidades, es decir, N puede escribirse como

N=1*103 + 9 * 102+9*101 +8*100

Es decir, en general, un número cualquiera N de n dígitos escrito como

N=An-1 A n-2...A 1 A 0

donde los dígitos A n-1,... A 1 A 0

son alguno de los diez siguientes: 0, 1, 2, ..., 9.

También podrá escribirse como

N =A n-1 *10 n-1+A n-2*10 n-2+ ...+A 1*101+A 0 *10 0

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A base de un sistema numérico es el número de dígitos diferentes usados en ese sistema.

A continuación se ejemplifican estas definiciones con los sistemas numéricos más comúnmente usados

Notación

En adelante, para distinguir entre los diferentes sistemas numéricos encerraremos entre paréntesis el

número y le añadiremos un subíndice, indicando la base que se está usando.

Sin embargo, si no se usa subíndice se deberá entender que el número está en base diez, a menos que se diga lo contrario.

Ejemplos:

35 = (35) 10 = 35 base 10 (sistema decimal)

(110100)2 = 110100 base 2 (sistema binario)

(34) 16 = 34H = 34 base 16 (sistema hexadecimal)

Notación

En general cualquier número entero consta de

Parte entera . Parte Fraccionaria

Cualquier número se puede escribir de dos maneras, mediante la notación

yuxtaposicional o simplemente

posicional (ecuación 1.1) o la notación polinomial (ecuación 1.2).

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Problema general de convertir un número de su representación en base r a la correspondiente en base q se puede resolver en un sólo paso si se maneja aritmética de base r o de base q, sin embargo, si se quiere usar en el proceso solamente aritmética de base 10 debemos plantearlo en dos etapas como se muestra en la figura

CONVERSIÓN DE BASE r A BASE 10

Como lo sugiere la figura 1.1 este caso puede ser tratado directamente usando la notación polinomial y aritmética de base 10. Este procedimiento consiste en usar la expresión

expresando todas las cantidades involucradas en decimal.

Ejemplo

Convertir (B2A)16 a base 10.

Expresando el número en notación polinomial usando base 10 para representar cada cantidad involucrada en dicha notación:

(B2A) 16

=(*162 +2*161 +10*160)

=(11*256 +2*16 + 10 )

=(2858)

Ejemplo

Convertir (11011) 2, a base 10

En forma similar al ejemplo anterior

(11011) 2=1*24+1*23 +0*22 +1*21 +1*20

=16 + 8 + 0 + 2 + 1

= (27)

(en este caso y en los sucesivos se han obviado los paréntesis y el subíndice 10 para indicar decimal,

excepto hasta el resultado final)

CONVERSIÓN DE BASE 10 A BASE q

El método para realizar esto que se presenta aquí y que se denomina método de divisiones sucesivas por la base

q está basado en las siguientes consideraciones generales:

Consideremos un número entero N escrito en la base r, en la notación posicional, es decir, N

=(a n-1 a n-2...a 1 a 0)r

es decir, en notación polinomial N

=a n-1 r n-1+a n-2 r n-2+ ... +a 1 r + a 0

factorizando r podemos reescribir N

= r[(a n-1 r n-2+ a n-2 r n-3 + ... + a 1) +(a 0/r)]

Es decir, N/r

=(a n-1 r n-2+a n-2 r n-3+ ... + a 1) +(a 0/r)

Como se observa, el primer término en el segundo miembro de la igualdad anterior que denotaremos N1 se puede representar en forma posicional en base r como sigue N1

=(a n-1 a n-2...a 1)r

con lo cual N/r

= N 1 +(a 0/r)

Conclusión

La expresión anterior significa que al dividir N

=(a n-1 a n-2...a 1 a 0) r

entre r obtenemos

como cociente N1 y como residuo de la división a 0. En forma similar si dividimos

N1=(a n-1 a n-2...a 1)r

entre r o b

tendremos como cociente

N2=(a n-1 a n-2...a 2) r

y como residuo a y así sucesivamente.

De esta manera, para obtener los n dígitos de N en base r se deberán obtener los n residuos de n divisiones sucesivas entre r. Obteniéndose en el orden de

LSD a MSD.

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Arte fraccionaria de un número de base 10 puede convertirse a base r en forma similar a lo descrito para la parte entera, pero en este caso, en lugar de realizar divisiones se realizan multiplicaciones sucesivas, y en lugar de ir tomando residuos se toman las partes enteras resultantes de dichas multiplicaciones, obteniéndose los dígitos del número en base r en el orden de

MSD a LSD.

Esto se justifica de manera similar a lo mostrado para el caso de las divisiones sucesivas, ya que si un número N se representa en notación posicional en base r como

N =(0.a -1 a-2 a-3...)

es fácil ver que

N*r=(a-1.a-2 a-3 a-4...)

es decir que la parte entera de N*r

es a-1.

Ejemplo

convertir (0.27) 10 a base 2

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Cuando una de las bases involucradas en la conversión es una potencia entera de la otra la

conversión se vuelve muy sencilla, ya que se puede realizar en un sólo paso expresando cada dígito

del número en base rk

usando k dígitos de base r. Además, este procedimiento no requiere aritmética de ningún tipo.

Ejemplo

Convertir N=(10111011110)

a base 8 y a base 16

para base 8:

Como 8 = 2 3, bastará con representar cada 3 dígitos del número binario en octal como se muestra a continuación N

=1 0,111,011,1102736

Es decir, N=(2736)

para base 16

: como 16=2 4, en forma similar al caso anterior N

=101,1101,11105 D E

Es decir, N=(5 DE)

Ejemplo

Convertir N=(3F45) a b a se 4 y a base 2

para base 4

como 16 = 4 2, se convertirá cada dígito del número usando dígitos de base 4 como se muestra a continuación N

=3,F,4,503331032

Es decir, N=(03331032)

para base 2

en forma similar, como 16 = 2

N=3,F,4,50011111101000101

Es decir, N=(0011111101000101)

Por la importancia del caso a continuación se tratará de manera especial el caso de base dos o sistema binario, ya que la información manejada por los sistemas digitales es información de tipo binaria.

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Como se puede observar del caso de conversión descrito en la sección anterior, el sistema octal (base 8) y hexadecimal (base 16) pueden ser considerados como “binario abreviado”, en el sentido de que la conversión de éstos a binario y viceversa es prácticamente inmediata a simple vista, es por ello que estos sistemas tradicionalmente han sido utilizados para representar de manera compacta

información binaria en los sistemas digitales.

Observé se que para realizar la conversión

octal-binario o hexadecimal-binario, basta tener presente la

conversión de los 8 dígitos del octal o de los 16 dígitos del hexadecimal:

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Sistema binario (r=2) requiere únicamente dos dígitos, 0 y 1. Este sistema es ideal para uso en

sistemas digitales, ya que éstos están construidos de dispositivos de dos estados (reveladores, transistores, etc.).

Notación:

Se acostumbra representar los dígitos binarios (bits) de diversas maneras, dependiendo del contexto, por ejemplo:

1= encendido =ON= alto = H0= apagado =OFF = bajo = L

Cuando se conectan varios dispositivos que pueden almacenar cada uno de ellos un bit, al arreglo así formado se le llama registro, de esta manera, diferentes combinaciones de valores de los bits guardados en un registro se pueden interpretar como un número binario. Así, un registro de 8 bits se representará como sigue:

pendiendo de la longitud (medida en número de bits) del registro, este se denomina de acuerdo.

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En dominio de la electrónica digital y ramas afines exige saber de memoria por lo menos

algunos números en binario, especialmente los primeros. por ello es conveniente saber contar en

binario, o en cualquier otro sistema. Para ello repasemos la manera en que contamos en decimal:

Se en lista de manera ordenada los dígitos desde el 0 hasta el 9 (es opcional anotar a la

izquierda de estos números tantos dígitos cero como se desee).

Al agotar los dígitos (después de llegar al 9) se repite el paso 1 pero incrementando en uno el

dígito en la columna de la izquierda cada vez que se llegue al 9. Se hace esto hasta agotar

otra vez los dígitos en esta posición (hasta llegar al 99).

Se repiten los pasos 1 y 2 incrementando en uno el dígito de la izquierda cada vez que se

alcance en las primeras dos columnas el 99, hasta llegar al 999, etc..

Ejemplos

¿Cual es el número en binario que sigue de N1= (110110110)

2, y de N2=(1011111)?

Para N1 no se han agotado los dígitos de la columna menos significativa (la de más a la derecha),

por lo tanto sólo se incrementará esta posición: N1+1 = (110110111).

Para N2 se han agotado las 5 posiciones menos significativas, por lo tanto habrá que incrementar la

siguiente posición a la izquierda de éstas y reiniciar

las 5 posiciones: N2+1=(1100000)

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En la sección 1.2.1 fue tratado el caso general de conversión de cualquier base a decimal usando la

representación polinomial.

Es conveniente tratar el caso particular de convertir un número binario a decimal por ser una caso muy utilizado en sistemas digitales y porque el método puede ser

simplificado de la siguiente manera:

Anote (de ser posible mentalmente) los “pesos” o potencias de 2 correspondientes a las posiciones

de los bits del número a convertir. Luego, simplemente, sume los pesos correspondientes a las

posiciones de los bits

Para ello es conveniente memorizar algunas potencias de 2: