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Es el proceso que se basa en modificar una interacción, expresión o figura por otra. De esta forma, tenemos la posibilidad de cambiar una ecuación algebraica en otra ecuación todas cuyas raíces sea el triple de la raíz que corresponde de la ecuación dada; o tenemos la posibilidad de cambiar una expresión trigonométrica en otra utilizando las interrelaciones trigonométricas primordiales.

Es decir, una transformación es una operación por la cual una interacción, expresión o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada. Analíticamente, la ley se expresa por una o más ecuaciones denominadas ecuaciones de transformación.

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Transformación de Coordenadas Rectangulares a Polares 

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Transformación de Coordenadas Rectangulares a Polares 

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Las coordenadas polares son escritas de la forma (r, θ), donde se tiene que “r” es la distancia y “θ” es el ángulo. Este tipo de coordenadas pueden llegar a ser relacionadas con las coordenadas rectangulares a través de la trigonometría, utilizando el triángulo rectángulo que se forma en el eje de coordenadas y a su vez, el teorema de Pitágoras, donde para encontrar la distancia se hace uso del teorema de Pitágoras y para el ángulo, la función tangente. Esto se hace de la siguiente manera:

1)  Mediante el uso del triángulo rectángulo, se obtienen las coordenadas rectangulares que servirán para conseguir las polares. Acá los ejes X y Y constituyen la altura y la base del triángulo,  donde el lado faltante representa la hipotenusa, la cual en este caso sería la distancia (r), la cual conseguimos a través del teorema de Pitágoras donde: r²=x²+y²,  y se despeja de la manera: r=√(x^2 + Y^2)

2)  Luego para encontrar el ángulo, es necesaria la función tangente, donde esta es la división del cateto opuesto sobre el cateto adyacente, así se tiene: tan θ= CO/CA; donde  θ= tan⁻¹(CO/CA).

EJEMPLO

Se tienen las coordenadas rectangulares (3, 4), ¿Cuál es su equivalente en coordenadas polares?.

Solución:

Tenemos x= 3, y= 4, por lo que usamos las fórmulas dadas para encontrar las coordenadas polares. Entonces utilizamos el teorema de Pitágoras para conseguir el valor de r.

Donde; r=√(x^2 + Y^2)  --->  r=√(3^2 + 4^2)  ---> r= √(9 + 16) ---> r=√(25) --->  r= 5

Ahora para conseguir el ángulo, usamos la función tangente:

Θ= tan-1 (y/x)  ---> Θ= tan⁻¹ (4/3)  ---> Θ= 0,93 rad.

Los componentes “X” y “Y” son ambos positivos, por lo que el punto están en el primer cuadrante. Esto significa que el ángulo obtenido es el correcto.

Las coordenadas polares son (5, 0.93 rad).

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Transformación de Coordenadas Polares a Rectangulares

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Transformación de Coordenadas Polares a Rectangulares

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Para poder convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares se hace una forma bastante rápida y sencilla, donde se deben relacionar estas dos coordenadas a través de la trigonometría.

Donde se puede encontrar las coordenadas del “Y”, usando la función seno, y para las coordenadas de “X”, usando la función coseno, expresadas de la siguiente manera: x = r coseno (θ) y para y=r seno (θ), donde “r” es la distancia y “θ” el ángulo formado por la línea y el eje “X”.

EJEMPLO

Si un punto tiene las coordenadas polares (20, π/5), ¿Cuáles son sus coordenadas rectangulares?.

Solución:

Se tienen los valores r= 20  y θ= π/5, y con esto, encontramos al valor de x al usar la función coseno y sustituir estos valores:

x= r cos (θ), por lo tanto: x= 20 cos(π/5) --->  x= 20 (0,809) ---> x= 16,18

Para el valor de y, hacemos:

y= r sen (θ), por lo tanto: y= 20 sen(π/5) ---> x= 20 (0,588) ---> y= 11,76

Donde las coordenadas rectangulares son: (16.18, 11.76).

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Este es el cambio que se realiza a los ejes de referencias sin necesidad de girarlos, de forma que cada eje permanece paralelo a su postura original. El objetivo de tal traslación de ejes es simplificar la ecuación de una curva que nos posibilite laborar con las ecuaciones más básicas.  Esto se debe a que existen cónicas que no poseen su centro en el origen, ni sus ejes concuerdan con cualquier eje "X" o "Y", y la ecuación cónica se complica mucho, por lo cual se necesita una traslación de ejes.

Para lograr realizar esa traslación, se tiene que cuando los principios de un sistema de ejes x e y se cambia al punto O´ (xo, yo) en el sistema original, se necesita ofrecer a cada punto p(x, y) en el sistema original un nuevo grupo de coordenadas p´(x´, y´) en el nuevo sistema.

Dónde: x = x´+ h;  y = y´ + k   à O también: x´ = x – h; y´ = y – k.

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Es el proceso que se basa en modificar una interacción, expresión o figura por otra. De esta forma, tenemos la posibilidad de cambiar una ecuación algebraica en otra ecuación todas cuyas raíces sea el triple de la raíz que corresponde de la ecuación dada; o tenemos la posibilidad de cambiar una expresión trigonométrica en otra utilizando las interrelaciones trigonométricas primordiales.

Es decir, una transformación es una operación por la cual una interacción, expresión o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada. Analíticamente, la ley se expresa por una o más ecuaciones denominadas ecuaciones de transformación.

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Transformación de Coordenadas Rectangulares a Polares 

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Transformación de Coordenadas Rectangulares a Polares 

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Las coordenadas polares son escritas de la forma (r, θ), donde se tiene que “r” es la distancia y “θ” es el ángulo. Este tipo de coordenadas pueden llegar a ser relacionadas con las coordenadas rectangulares a través de la trigonometría, utilizando el triángulo rectángulo que se forma en el eje de coordenadas y a su vez, el teorema de Pitágoras, donde para encontrar la distancia se hace uso del teorema de Pitágoras y para el ángulo, la función tangente. Esto se hace de la siguiente manera:

1)  Mediante el uso del triángulo rectángulo, se obtienen las coordenadas rectangulares que servirán para conseguir las polares. Acá los ejes X y Y constituyen la altura y la base del triángulo,  donde el lado faltante representa la hipotenusa, la cual en este caso sería la distancia (r), la cual conseguimos a través del teorema de Pitágoras donde: r²=x²+y²,  y se despeja de la manera: r.

2)  Luego para encontrar el ángulo es necesaria la función tangente, donde esta es la división del cateto opuesto sobre el cateto adyacente, así se tiene: tan θ= CO/CA; donde  θ= tan⁻¹(CO/CA).

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Este es el cambio de la orientación de los ejes de referencia, siempre y cuando se conserve el origen, de manera que si los ejes originales “X” y “Y” rotan en sentido contrario al reloj, un ángulo θ, para cualquier punto P(x, y) que se tenga, las coordenadas originales (x, y) se convierten en las nuevas coordenadas (x´, y´), las cuales son:

x´ = x cos θ + y sen θ

y´ = - x sen θ + y cos θ.
Así que si se giran los ejes “X” y “Y” un ángulo θ alrededor del origen 0, entonces las coordenadas (x, y) y (x´, y´) de un punto P en los dos sistemas está relacionado, por lo que se tiene:

a)    x = x´ cos θ - y´ sen θ,   y = x´ sen θ + y´ cos θ

b)    x´= x cos θ + y sen θ,     y´ = -x´ sen θ + y´ cos θ

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Gráfica de Circunferencia en Coordenadas Polares

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Gráfica de Circunferencia en Coordenadas Polares

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Gráfica de Parábola en Coordenadas Polares

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Gráfica de Parábola en Coordenadas Polares

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Información Completa de Transformación de Coordenadas contenida en el MURO