# data[].attributes.headline
Квадратные уравнения

# data[].attributes.subject
Квадратные уравнения

# data[].attributes.body
https://ppt-online.org/617443

# data[].attributes.attachment_link.title
Квадратные уравнения. 8 класс - презентация онлайн

# data[].attributes.attachment_link.description
Квадратные уравнения
ГБОУ СОШ № 564
Акимова Ольга Борисовна,
учитель математики

# data[].attributes.headline
Квадратные неравенства

# data[].attributes.subject
Квадратные неравенства

# data[].attributes.body
https://ppt-online.org/784786

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
1. Учитель математики Горкина Г.А.

2. Квадратные неравенства

Определение: Квадратным называется
неравенство, левая часть которого −
квадратный трёхчлен, а правая часть
равна нулю:
ах²+bх+с>0
ах²+bх+с≥0
ах²+bх+с<0
ах²+bх+с≤0

Решением
неравенства с одним
неизвестным называется то
значение неизвестного, при
котором это неравенство
обращается в верное числовое
неравенство
Решить неравенство − это
значит найти все его решения
или установить, что их нет.

4. Являются ли следующие неравенства квадратными?

5. Основные способы решения квадратных неравенств:

Метод интервалов
2) Графический метод
1)

Чтобы решить квадратное неравенство
ах²+вх+с >0 методом интервалов надо:
1) Найти корни соответствующего
квадратного уравнения ах²+вх+с = 0;
2) Корни уравнения нанести на числовую ось;
3) Разделить числовую ось на интервалы;
3) Определить знаки функции в каждом из интервалов;
4) Выбрать подходящие интервалы и
записать ответ.

7. Решим квадратное неравенство методом интервалов:

Дано неравенство: х² + х - 6 ≥ 0
Решение: 1) решим соответствующее квадратное
уравнение
х² + 5х - 6 = 0.
Т.к. а+в+с=0, то х₁ =1, а х₂ = - 6
2)
-6
3) Запишем ответ:
1
х
(-∞; -6]U[1; +∞)

8. Работаем в парах:

9. Решите неравенства методом интервалов самостоятельно:

10. Графический метод решения квадратного неравенства:

1).Определить направление ветвей
параболы, по знаку первого
коэффициента квадратичной функции.
2). Найти корни соответствующего
квадратного уравнения;
3). Построить эскиз графика и по нему
определить промежутки, на которых
квадратичная функция принимает
положительные или отрицательные
значения

11. Например:

Решить графически неравенство х²+5х-6≤0
Решение: рассмотрим у = х²+5х-6,
это квадратичная функция, графиком
является парабола, т.к. а=1, то ветви
направлены вверх.
у
+
+
-6
1
x
Ответ: [-6;1]

12. Решите графически неравенства в парах:

# data[].attributes.attachment_link.title
Квадратные неравенства (8 класс) - презентация онлайн

# data[].attributes.attachment_link.description
Определение: Квадратным называется неравенство, левая часть которого − квадратный трёхчлен, а правая часть равна нулю: ах²+bх+с>0 ах²+bх+с≥0 ах²+bх+с 0 методом интервалов надо: 1) Найти корни соответствующего квадратного уравнения ах²+вх+с = 0; 2) Корни уравнения нанести на числовую ось; 3) Разделить числовую ось на интервалы; 3) Определить знаки функции в каждом из интервалов; 4) Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

# data[].attributes.headline
Квадратные уравнения

# data[].attributes.subject
Квадратные уравнения

# data[].attributes.body
https://infourok.ru/uprazhneniya-po-teme-kvadratnie-uravneniya-polnie-nepolnie-3001993.html

# data[].attributes.headline
Квадратные неравенства

# data[].attributes.subject
Квадратные неравенства

# data[].attributes.body
https://infourok.ru/kvadratnie-neravenstva-trenirovochnie-uprazhneniya-klass-2986690.html

# data[].attributes.headline
Методический материал на тему: "Решение квадратных уравнений"

# data[].attributes.subject
Методический материал на тему: "Решение квадратных уравнений"

# data[].attributes.body
https://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-reshat-kvadratnye-uravneniya

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Устройте ребёнку лучшее лето

Бесплатный детский онлайн-лагерь с ценными призами в конце смены

Перейти!

Понятие квадратного уравнения

Уравнение - это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 - это уравнение, которое содержит переменную х.

Корень уравнения - это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 - противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 - верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение - это уравнение вида ax ² + bx + c = 0, где a - первый или старший коэффициент, не равный нулю, b - второй коэффициент, c - свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b ² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

если D < 0, корней нет;

если D = 0, есть один корень;

если D > 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Предложите ребёнку поиграть в математику

Бесплатный математический комикс с творческими задачами на логику и сообразительность

Подробнее!

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным - все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение - это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах - вот у нас есть два уравнения:

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x ² ), а значит уравнение называется приведенным.

2x² − 4x - 12 = 0 - первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование - разделить обе его части на первый коэффициент.

У преобразованного уравнения те же корни, что и у первоначального. Ну или вообще нет корней.
Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x² + 20x - 9 = 0 - в приведенное.
Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x ² + 2,5x - 1,125 = 0.

Пройдите тест и узнайте, какие темы отделяют от пятёрки по математике

Добро пожаловать в школу магии.

О нет! Мальчик-молния случайно попал в школьные часы. Теперь они отстают. Мы все можем задержаться в школе

Жми на стрелки сверху, чтобы путешествовать в истории→

‌

Одна ученица когда-то была в школьной кладовке и видела там схему часов

Но в кладовку просто так не попадёшь→

‌

Реши два примера от волшебной статуи на входе в кладовку

\frac{1}{7} + \frac{3}{7} = \frac{4}{7} \frac{5}{7} \frac{4}{14} \frac{2}{7}

\frac{4}{15} - \frac{1}{15} = \frac{1}{3} \frac{1}{5} \frac{3}{30} \frac{1}{10}

‌

Деталь можно сделать из проволоки и формы для заливки металла. Найди их на картинке

‌

Теперь осталось взять инструменты у садовника! Он обменяет их на волшебные бобы для его сада

‌

Для починки часов нужны: молоток, отвертка и плоскогубцы.

Ты можешь либо одолжить у садовника набор, либо отдельные инструменты, либо и то, и другое. Какое минимальное количество волшебных бобов ты можешь отдать садовнику?

Ответ: 562 боба 400 бобов 553 боба

‌

Деталь имеет форму прямоугольника со сторонами 5 см и 12 см. Найди периметр и площадь детали, чтобы посчитать, сколько проволоки для неё понадобится

Периметр прямоугольника равен 40 см 26 см 22 см 34 см

Площадь прямоугольника равна 50 см^2 46 см^2 60 см^2 62 см^2

‌

Мальчик-молния выплавил деталь, часы должны работать! Но они почему-то не идут... Кажется, одной шестерёнки не хватает - она куда-то упала

‌

В коробке, шкатулке, ящике и банке находятся пыльца, волчий корень, золото и шестерёнка. Шестерёнка и пыльца не в коробке, ёмкость с волчьим корнем стоит между ящиком и ёмкостью с золотом, в банке не волчий корень и не шестерёнка. Шкатулка стоит около банки и ёмкостью с пыльцой. В какой ёмкости что находится?

Соедини ёмкости с содержимым на картинках ниже
Шестерёнка Золото Волчий корень Пыльца
‌

Дальше узнаешь свои результаты →

‌

Выберите идеального репетитора по математике

15 000+ проверенных преподавателей со средним рейтингом 4,8. Учтём ваш график и цель обучения

Выбрать!

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax ² + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение -- это квадратное уравнение вида ax ² + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение - это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:

Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + 0x+c=0 и оно равносильно ax² + c = 0.

Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax² + bx = 0.

Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название - неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax ² = 0 равносильно x ² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения является нуль, так как 0 ² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax ² = 0 имеет единственный корень x = 0.
Пример 1. Решить −6x² = 0.
Как решаем:

Замечаем, что данному уравнению равносильно x² = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень - нуль.

Ответ: 0.

Как решить уравнение ax² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax ² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону - меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) - у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим "равносильные преобразования"): ax ² + c = 0:

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение - c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если - c/а < 0, то уравнение x ² = - c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при - c/а < 0 ни для какого числа p равенство р2 = - c/а не является верным.

Если - c/а > 0, то корни уравнения x ² = - c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) ² = - c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) ² = - c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.
Пример 1. Найти решение уравнения 8x² + 5 = 0.
Как решать:

1. Перенесем свободный член в правую часть:

2. Разделим обе части на 8:

3. В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8x ² + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax² + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax ² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

1. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения - вынесем за скобки общий множитель x.

2. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее - линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax ² + bx = 0 имеет два корня:
Пример 1. Решить уравнение 0,5x² + 0,125x = 0
Как решать:

1. Вынести х за скобки
х(0,5x + 0,125) = 0

2. Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.

3. Решить линейное уравнение:
0,5x = −0,125,
х = −0,125/0,5

4. Разделить:
х = −0,25

5. Значит корни исходного уравнения - 0 и −0,25.

Ответ: х = 0 и х = −0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b ² − 4ac - дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

, .

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней - это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0:

вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b²−4ac;

если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;

если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;

если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.
Пример 1. Решить уравнение −4x² + 28x - 49 = 0.
Как решаем:

1. Найдем дискриминант: D = 28² - 4(-4)(-49) = 784 - 784 = 0

2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень

3. Найдем корень
х = - 28/2(-4)

х = 3,5

Ответ: единственный корень 3,5.
Пример 2. Решить уравнение 54 - 6x² = 0.
Как решаем:

1. Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1
54 - 6x ² = 0 | *(-1)

2. Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую
х = ±√9

Ответ: два корня 3 и - 3.
Пример 3. Решить уравнение x²- х = 0.
Как решаем:

Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители
х(х - 1) = 0

х₁ = 0, х₂ = 1

Ответ: два корня 0 и 1.
Пример 4. Решить уравнение x²- 10 = 39.
Как решаем:

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую
х = ±√49

х₁ = 7, х₂ = −7

Ответ: два корня 7 и −7.
Пример 5. Решить уравнение 3x²- 4x+94 = 0.
Как решаем:

1. Найдем дискриминант по формуле
D = (-4) ² - 4 * 3 * 94 = 16 - 1128 = −1112

2. Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный - сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b ² - 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax ² + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) ²- 4ac = 4n ² - 4ac = 4(n ²- ac) и подставим в формулу корней:

Для удобства вычислений обозначим выражение n ² -ac как D ₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D ₁, или D ₁= D/4. Проще говоря, D ₁ - это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.
Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

если D₁< 0, значит действительных корней нет;

если D₁= 0, значит можно вычислить единственный корень уравнения по формуле x = -n/a;

если же D₁> 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Теорема Виета

Сумма корней x ² + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x ² + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x ² + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x ₁ и x ₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x ² + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x ² + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x ₁ и x ₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.
Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x² − 6x + 8 = 0.
Как решаем:

1. Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

2. Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.
Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x ₁ и x ₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x ₁ + x ₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

3. Значит числа 4 и 2 - корни уравнения x² − 6x + 8 = 0. p>

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче - это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x ² - 4 x - 6 = 0, чем 1100x ² - 400x - 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x ² - 400x - 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x ²- 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x ² - 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x ² + 4x - 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения - для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x ²- 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x ² + 3x - 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней - свободному члену. Например, по виду уравнения 3x ²- 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
как решать квадртаные уравнения

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
квадратные уравнения

# data[].attributes.attachment_link.title
Как решать квадратные уравнения? Формулы и Примеры

# data[].attributes.attachment_link.description
Как правильно решать квадратные уравнения? Наглядные примеры решений и формулы. Математика 8 класс

# data[].attributes.headline
Методический материал на тему: "Решение квадратных неравенств"

# data[].attributes.subject
Методический материал на тему: "Решение квадратных неравенств"

# data[].attributes.body
https://skysmart.ru/articles/mathematic/metod-intervalov-reshenie-neravenstv

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Определение квадратного неравенства

Неравенство - алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Числовое неравенство - это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение - значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Квадратное неравенство выглядит так:

где x - переменная,

a, b, c - числа,

при этом а ≠ 0.

Квадратное неравенство можно решить двумя способами:

графический метод;

метод интервалов.

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Получить

Решение неравенства графическим методом

При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.

Как дискриминант влияет на корни уравнения:

1. D = 0. Если дискриминант равен нулю, тогда у квадратного уравнения есть один корень;

2. D > 0. Если дискриминант больше нуля, тогда у квадратного уравнения есть два различных корня;

3. D < 0. Если дискриминант меньше нуля, тогда у квадратного уравнения нет корней.

В зависимости от полученных корней и знака коэффициента a, возможно одно из шести расположений графика функции .

Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен больше нуля, то этот числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ.

Если нужно найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен меньше нуля - это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое - не входят.

Обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart сделает сложные темы понятными, а высокий балл на экзаменах - достижимым!

Решение неравенства методом интервалов

Метод интервалов - это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) - рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, <, ≤, ≥.

Сейчас мы узнаем про интервалы в контексте решения квадратных неравенств.

Интервал - это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя числами - концами интервала. Представить эти промежутки не так просто, поэтому интервалы принято рисовать.
Алгоритм решения квадратных неравенств методом интервалов:

1. Найти нули квадратного трехчлена ax² + bx + c из левой части квадратного неравенства.

2. Изобразить координатную прямую и при наличии корней отметить их на ней.

Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое - обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.

3. Определить, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке (если на первом шаге нашли нули) или на всей числовой прямой (если нулей нет). И проставить над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.

4. Если квадратное неравенство со знаком > или ≥ - наносим штриховку над промежутками со знаками +.
Если неравенство со знаком < или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −.

В результате получаем геометрический образ некоторого числового множества - это и есть решение неравенства.

Либо вместо штриховки можно нарисовать "арки" для интервалов. Справа налево, начиная с +, проставить чередуя знаки + и −.

5. Выбрать необходимые интервалы и записать ответ.

Расскажем подробнее про третий шаг алгоритма. Существует несколько подходов для определения знаков на промежутках.

Для примера возьмем трехчлен x² + 4x - 5, его корнями являются числа -5 и 1, они разбивают числовую ось на три промежутка: (-∞, -5), (-5, 1) и (1, +∞).

Определим знак трехчлена на промежутке (1, +∞). Для этого вычислим значение данного трехчлена при некотором значении x из этого промежутка. Можно брать любое значение переменной, главное - чтобы вычисления были простыми. В нашем случае, возьмем x = 2. Подставим его в трехчлен вместо переменной x:

7 - положительное число. Это значит, что любое значение квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) будет положительным. Так мы определили знак плюс.

Определим знаки на оставшихся двух промежутках. Начнем с интервала (-5, 1). Из этого интервала можем взять x = 0 и вычислить значение квадратного трехчлена при этом значении переменной:

Так как -5 - отрицательное число, то на этом интервале все значения трехчлена будут отрицательными. Так мы определили знак минус.

Осталось определиться со знаком на промежутке (-∞, -5). Возьмем x = -6, подставляем:

Следовательно, искомый знак - плюс.

Можно расставить знаки быстрее, если запомнить эти факты:

Плюс или минус: как определить знаки

Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:

если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,

если a < 0, последовательность знаков: −, +, −.

Можно также сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:

если a > 0, последовательность знаков: +, +,

если a < 0, последовательность знаков: −, −.

Например -4x ² - 7 не имеет корней и на промежутке (−∞, +∞) его значения отрицательны, так как коэффициент при есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен.

Когда квадратный трехчлен при D > 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.

Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −.

Когда квадратный трехчлен корней не имеет (D < 0), то знаки его значений на всей числовой прямой совпадают как со знаком старшего коэффициента a, так и со знаком свободного члена c.

Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.
Пример 1. Решить неравенство методом интервалов: x^2 - 5x + 6 ≥ 0.
Как решаем:

1. Приравняем квадратный трехчлен к 0 и найдем нули:
x ² - 5x + 6 = 0
(x - 3) (x -2) = 0
x - 3 = 0
x - 2 = 0
x = 3
x = 2

2. Отметим полученные значения на числовой прямой:

3. Расставим знаки на полученных промежутках:

Ответ: х ≤ 2, х ≥ 3.
Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3 < 0.
Как решить неравенство методом интервалов, нам уже известно. Поэтому можем оформить решение кратко:

Ответ: -3 < x < -2.
Пример 3. Выполнить решение квадратного неравенства методом интервалов:
Как решаем:

1. Находим корни квадратного трехчлена, который находится в левой части:

2. Так как мы решаем строгое неравенство, то на координатной прямой изображаем выколотую точку с координатой 7:

3. Теперь определим знаки на двух полученных промежутках (−∞, 7) и (7, +∞).
Это легко сделать, потому что дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, а старший коэффициент со знаком минус. Фиксируем знаки: −, −:

4. Так как мы решаем неравенство со знаком <, то изобразим штриховку над интервалами со знаками минус:

Очевидно, решениями являются оба промежутка (−∞, 7), (7, +∞).

Ответ: (−∞, 7), (7, +∞).

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
метод интервалов

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
решение неравенств

# data[].attributes.attachment_link.title
Решение неравенств через метод интервалов

# data[].attributes.attachment_link.description
Неравенство - алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥. Числовое неравенство - это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения. Решение - значение переменной, при котором неравенство становится верным. Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

# data[].attributes.headline
Ссылка на тестирование по теме: "Решение квадратных уравнений"

# data[].attributes.subject
Ссылка на тестирование по теме: "Решение квадратных уравнений"

# data[].attributes.body
https://onlinetestpad.com/ru/test/31984-kvadratnye-uravneniya

# data[].attributes.headline
Ссылка на тестирование по теме: "Решение квадратных неравенств"

# data[].attributes.subject
Ссылка на тестирование по теме: "Решение квадратных неравенств"

# data[].attributes.body
https://banktestov.ru/test/85895

# data[].attributes.attachment_link.title
Решение квадратных неравенств

# data[].attributes.attachment_link.description
Решение квадратных неравенств - пройти тест бесплатно и без регистрации в режиме онлайн ✅. Тест по математике.

# data[].attributes.headline
Видеоурок: решение квадратных уравнений

# data[].attributes.subject
Видеоурок: решение квадратных уравнений

# data[].attributes.body
https://www.youtube.com/watch?v=ON9P6JnY4sU

# data[].attributes.attachment_link.title
Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.

# data[].attributes.headline
Видеоурок: решение квадратных неравенств методом интервалов

# data[].attributes.subject
Видеоурок: решение квадратных неравенств методом интервалов

# data[].attributes.body
https://www.youtube.com/watch?v=G1KGP3TyPhw

# data[].attributes.attachment_link.title
Решение квадратных неравенств методом интервалов. 8 класс.