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Resolver um conjunto de equações logarítmicas simples em uma planilha online.

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Acompanhar os alunos durante a prática em grupo e fazer perguntas para verificar entendimento.

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O que são equações logarítmicas e como podemos resolvê-las?

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Cada grupo compartilha uma estratégia ou dificuldade que encontrou ao resolver as equações.

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Os alunos serão capazes de resolver equações logarítmicas simples, aplicando as propriedades dos logaritmos.

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Explorar um artigo online que explica aplicações reais de logaritmos.

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Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia, entre outras. Por meio de exemplos, demonstraremos a utilização dessas técnicas de logaritmos na busca de resultados para as variadas situações em questão.
1º Exemplo - Matemática Financeira
Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 em uma instituição bancária, que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

Resolução:

Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C·(1 + i). De acordo com a situação-problema, temos:

M (montante) = 3500
C (capital) = 500
i (taxa) = 3,5% = 0,035
t = ?

Aplicando o logaritmo:

log 1,035 t = log 7
t ·log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica)
t ·0,0149 = 0,8451
t = 0,8451 / 0,0149
t = 56,7

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.
2º Exemplo - Geografia
Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população dessa cidade dobrará, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

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População do ano-base = P0
População após um ano = P0 ·(1,03) = P1
População após dois anos = P0 ·(1,03) ²= P2
População após x anos = P0 ·(1,03) x = Px

Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos:

Aplicando logaritmo:

A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.
3º Exemplo - Química
Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, reduza-se a 200 g. Utilize a seguinte expressão: Q = Q·e, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

A substância levará 80,47 anos para reduzir-se a 200 g.

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Aplicação dos logaritmos - Mundo Educação

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Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia, entre outras. Por meio de exemplos, demonstraremos a utilização dessas técnicas de logaritmos na busca de resultados para as variadas situações em questão.

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Aplicar um quiz online para revisar as propriedades dos logaritmos e os processos de resolução.

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Roberta Verônica Barcarolo Wilhelm Neiss

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Quizz Sobre Logaritmos | Roberta Verônica Barcarolo Wilhelm Neiss | Quizur

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Apresentar as propriedades fundamentais dos logaritmos e como usá-las para simplificar e resolver equações.

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Explicação Fácil e Rápida I Aprenda I Logaritmo

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Os alunos escrevem uma breve reflexão sobre o que mais aprenderam.

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Transformações geométricas são mudanças realizadas em imagens, como: transportar, espelhar, girar, ampliar ou reduzir. Podem ser feitas em qualquer figura, sejam formas geométricas simples ou imagens complexas.

Estas transformações nos permitem criar novas figuras a partir das originais ou alterar sua posição. Para realizar estas transformações precisamos utilizar um sistema de referência e uma unidade de medida padrão, como no plano cartesiano.

O plano cartesiano é um sistema de coordenadas em um plano, onde cada ponto possui um único endereço. Ele é composto por dois eixos numerados, o x e o y. Assim, um par (x, y) fornece a localização exata deste ponto.

Ao conservar as formas, ou seja, mantendo os comprimentos e os ângulos, podemos realizar três transformações geométricas: translação, rotação e reflexão.

Por exemplo, ao mover uma imagem para um novo local, estaremos realizando uma translação. Se a girarmos em torno de um ponto, será uma rotação. Se refletirmos a figura em relação a um eixo, estaremos fazendo uma reflexão.

Translação

A translação consiste em mover uma figura de um ponto a outro no plano, mantendo sua forma, orientação e tamanho.

Exemplo
Os dois triângulos da imagem abaixo são congruentes, ou seja, iguais. Podemos dizer que o triângulo ABC se moveu para a segunda posição, representada pelo triângulo A'B'C'.

O triângulo ABC foi transladado ou, transportado.

Reflexão

A reflexão consiste em espelhar uma imagem em relação a uma reta, que pode ser horizontal, vertical ou inclinada. Esta reta é chamada de eixo de reflexão.

Na reflexão, as coordenadas de cada ponto da figura original são invertidos em relação ao eixo de reflexão.

Exemplo
Na reflexão em relação ao eixo x abaixo, as coordenadas dos pontos A, B e C, passaram para A', B' e C', assim:

A (-5, 3) ► A' (-5, -3)

B (-6, 1) ► B' (-6, -1)

C (-2, 2) ► C' (-2, -2)

Em outros termos, cada ponto A, B e C, está a mesma distância do eixo x, de reflexão, que estão os pontos A', B' e C'.

Reflexão do triângulo ABC em relação ao eixo x.

Rotação

A rotação de uma imagem consiste em girá-la em relação a um ponto no plano, chamado de centro de rotação. Para realizar a rotação de uma figura, devemos considerar a orientação do giro (sentido horário ou anti-horário), e a medida, em graus, do ângulo de rotação.

Exemplo
O triângulo ABC sofreu um giro no sentido anti-horário de um ângulo de rotação de 45°. O centro de rotação é o ponto A, que por isto, permanece fixo.

Triângulo ABC girado em torno do centro de rotação A.

Transformações geométricas de redução e ampliação

Na redução ou ampliação, as dimensões da imagem são aumentadas ou diminuídas, mantendo a proporção.

Nestes casos, os ângulos permanecem os mesmos, mas os comprimentos e larguras aumentam ou diminuem. Por isto, a forma da imagem é mantida, enquanto sua área é alterada.
Exemplo
Exercícios sobre transformações geométricas

Exercício 1

O quadrilátero ABCD a seguir, transladou quais medidas nas direções x e y, até a posição A'B'C'D'?

Ver Resposta

Exercício 2

Faça um esboço da reflexão do pentágono em relação à reta vertical.

Ver Resposta

Exercício 3

O triângulo retângulo a seguir sofreu uma rotação com centro de rotação no ponto B. Responda o sentido do giro e a medida do ângulo de rotação.

Ver Resposta

Veja também:

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Transformações geométricas: translação, rotação e reflexão

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Transformações geométricas são mudanças realizadas em imagens, como: transportar, espelhar, girar, ampliar ou reduzir. Podem ser feitas em qualquer figura, sejam formas geométricas simples ou imagens complexas. Estas transformações nos permitem criar novas figuras a partir das originais ou...

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Compreender as propriedades fundamentais dos logaritmos, incluindo domínio e regras de cálculo.

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Revisar individualmente as tarefas realizadas durante a prática independente para verificar o progresso.

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Resolver em pequenos grupos questões simples de equações logarítmicas.

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Você sabe resolver igualdades que envolvem logaritmos? Confira a lista de exercícios sobre equação logarítmica que o Mundo Educação preparou para você!

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Este plano busca promover o entendimento prático e teórico de equações logarítmicas, alinhado aos padrões estabelecidos.

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Os alunos individualmente resolverão uma série de equações, utilizando planilhas interativas disponíveis online.

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Atividade com Planilha Eletrônica

No BrOffice ( http://www.broffice.org/) pode-se realizar atividades envolvendo logaritmos que favorecem muito o seu aprendizado. Uma planilha é um excelente recurso para trabalhar esse assunto de uma forma que pode abrangir o conteúdo necessário no trabalho com os logaritmos no nível do Ensino Médio. Os alunos podem produzir gráficos, trabalhar com logaritmos de qualquer base e também com logaritmos naturais ou neperianos. Veja como essas atividades podem ser feitas usando a planilha eletrônica.

Uma proposta coerente com a apresentação sugerida é a de resolver um dos exercícios propostos.

Para efetuar esse cálculo em uma planilha, é necessário criar uma fórmula que utilize a base 7. Veja como pode isso ser feito na imagem abaixo.

Pode-se utilizar o assistente de fórmulas ou digitar a fórmula diretamente na barra de fórmulas.

=LOG(A2;7) realizará o cálculo do logaritmo que está na célula A2 usando a base 7.

Observe os resultados usando uma coluna de valores como exemplo:

Utilizando o recurso das fórmulas pode-se calcular logaritmos em qualquer base.

Gráficos de funções logaritmicas em uma planilha

Como exemplo, faremos 3 gráficos. O primeiro é é explicado na apresentação sugerida para esta aula e os outros dois são exercícios sugeridos na mesma apresentação.

Na planilha a função acima será chamada de função exemplo.

Na planilha serão mantidos os identificadores A e B, correspondentes as funções acima.

Veja na imagem abaixo como eles podem ser construídos.

Na coluna valor, mantivemos os valores usados na apresentação, de forma a facilitar a comparação dos gráficos com os exemplos anteriormente apresentados. Selecionamos as 4 colunas e depois clicamos no assistente de gráficos (botão com forma de gráfico pizza).

Selecionando as opções de acordo com a imagem acima, o gráfico que mostra as 3 funções simultaneamente é mostrado automaticamente ao lado da tabela com os dados. Com um pouco de formatação, o resultado fica assim:

Esta atividade foi extraída da aula Logaritmos da professora Lutécia Gasparoto - Curitiba/PR. Disponível no Portal do Professor/MEC. Acessado em 12/07/2013. Todas as informações contidas nela são de responsabilidade do autor.

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Sugestão de atividade - Logaritmos na planilha

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Site da Disciplina de Matemática do Portal Dia-a-dia Educação, do Estado do Paraná

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Alunos avançados podem explorar equações mais complexas com mudanças na base do logaritmo. Ofertar tutoria individual para alunos que precisam de reforço.

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O logaritmo de um número b na base a é igual ao expoente x ao qual se deve elevar a base, de modo que a potência seja igual a b, sendo a e b números reais e positivos e a≠1.

Este conteúdo é frequentemente cobrado nos vestibulares. Assim, aproveite as questões comentadas e resolvidas para tirar todas as suas dúvidas.

Questões de Vestibulares Resolvidas

Questão 1

(Fuvest - 2018) Sejam f : ℝ → ℝ e g: ℝ⁺→ ℝ definidas por respectivamente.

O gráfico da função composta g o f é:

Questão 2

(UFRGS - 2018) Se log 3 x + log 9 x = 1, então o valor de x é

Ver Resposta

Alternativa correta: e) ∛9.

Questão 3

Determine o valor de:

a)

b)

c)

Ver Resposta

Pela definição de logaritmo, temos:

a)

b)

c)

Portanto, ; e

Questão 4

Calcule:

a)

b)

c)

Questão 5

(Enem - 2017) Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5 000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula

Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para log 400; 2,525 como aproximação para log 335.

De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é

Questão 6

(UFRGS - 2017) Se log ₅ x = 2 e log ₁₀ y = 4, então log ₂₀ y/x é

Ver Resposta

Alternativa correta: a) 2.

Questão 7

(UERJ - 2016) Admita que a ordem de grandeza de uma medida x é uma potência de base 10, com expoente n inteiro, para

Considere que um terremoto tenha liberado uma energia E, em joules, cujo valor numérico é tal que log ₁₀ E = 15,3. A ordem de grandeza de E, em joules, equivale a:

Ver Resposta

Alternativa correta: b) 10 ¹⁵.

Questão 8

(Enem - 2016) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3 000 ºC e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min.

Use 0,477 como aproximação para log ₁₀(3) e 1,041 como aproximação para log ₁₀(11).

O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 °C é mais próximo de

Questão 9

(Fuvest - 2016) Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão

O valor de S é

Questão 10

(UFRGS - 2016) Se 10 x = 20 y, atribuindo 0,3 para log 2, então o valor de x/y é

Ver Resposta

Alternativa correta: e) 1,3.

Questão 11

(Enem - 2015) Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y = log (x), conforme a figura

A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros. A expressão algébrica que determina a altura do vidro é

Questão 12

(UERJ - 2015) Observe a matriz A, quadrada e de ordem três.

Considere que cada elemento a ij dessa matriz é o valor do logaritmo decimal de (i + j).

O valor de x é igual a:

Ver Resposta

Alternativa correta: b) 0,70.

log 10 5 = 1 - 0,3 = 0,7

Para saber mais, veja também:

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Logaritmo: Questões Resolvidas e Comentadas

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O logaritmo de um número b na base a é igual ao expoente x ao qual se deve elevar a base, de modo que a potência a x seja igual a b, sendo a e b números reais e positivos e a≠1. Este conteúdo é frequentemente cobrado nos vestibulares.