# data[].attributes.attachment_link.readable_text
A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem.

Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, ela faz a análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de elementos.

Princípio Fundamental da Contagem

O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, postula que:

"quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibilidades da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)".

Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as escolhas que lhe são apresentadas.
Exemplo
Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidas três opções de sanduíches: hambúrguer especial, sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. Como opção de bebida, pode-se escolher 2 tipos: suco de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de chocolate, cupcake de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras um cliente pode escolher o seu lanche?
Solução
Podemos começar a resolução do problema apresentado construindo uma árvore de possibilidades, conforme ilustrado abaixo:

Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos diferentes de lanches podemos escolher. Assim, identificamos que existem 24 combinações possíveis.

Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Para determinar as diferentes possibilidades de lanches, basta multiplicar o número de opções de sanduíches, bebidas e sobremesa.

Total de possibilidades: 3.2.4 = 24

Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção.

Aprenda mais sobre princípio fundamental da contagem.

Tipos de Combinatória

O princípio fundamental da contagem pode ser usado na maioria dos problemas relacionados com contagem. Entretanto, em algumas situações seu uso torna a resolução muito trabalhosa.

Desta maneira, usamos algumas técnicas para resolver problemas com determinadas características. Basicamente há três tipos de agrupamentos: arranjos, combinações e permutações.

Antes de conhecermos melhor esses procedimentos de cálculo, precisamos definir uma ferramenta muito utilizada em problemas de contagem, o fatorial.

O fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos os seus antecessores. Utilizamos o símbolo para indicar o fatorial de um número.

Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1.
Exemplo
O! = 1
1! = 1
3! = 3.2.1 = 6
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5 040
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800

Note que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. Então, frequentemente usamos simplificações para efetuar os cálculos de análise combinatória.

Saiba mais sobre fatorial.

Arranjos

Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos.

Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
Exemplo
Como exemplo de arranjo, podemos pensar na votação para escolher um representante e um vice-representante de uma turma, com 20 alunos. Sendo que o mais votado será o representante e o segundo mais votado o vice-representante.

Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Observe que nesse caso, a ordem é importante, visto que altera o resultado.

Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes.

Permutações

As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis.

Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de elementos é igual ao número de agrupamentos. Desta maneira, o denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação.

Assim a permutação é expressa pela fórmula:
Exemplo
Para exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se sentar em um banco com 6 lugares.

Como a ordem em que irão se sentar é importante e o número de lugares é igual ao número de pessoas, iremos usar a permutação:

Logo, existem 720 maneiras diferentes para as 6 pessoas sentarem neste banco.

Combinações

As combinações são subconjuntos onde a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são caracterizadas pela natureza dos mesmos.

Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
Exemplo
A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar uma comissão organizadora de um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram.

De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada?

Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante. Isso quer dizer que escolher: Maria, João e José, é equivalente a escolher: João, José e Maria.

Observe que para simplificar os cálculos, transformamos o fatorial de 10 em produto, mas conservamos o fatorial de 7, pois, desta forma, foi possível simplificar com o fatorial de 7 do denominador.

Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão.

Probabilidade e Análise Combinatória

A probabilidade permite analisar ou calcular as chances de obter determinado resultado diante de um experimento aleatório. São exemplos as chances de um determinado número sair em um lançamento de dados, ou, a possibilidade de ganhar na loteria.

A partir disso, a probabilidade é determinada pela razão entre o número de casos favoráveis e número de casos possíveis, apresentada pela seguinte expressão:

Sendo:

P (A): probabilidade de ocorrer um evento A;
n (A): número de resultados favoráveis
n (Ω): número total de resultados possíveis

Para encontrar o número de casos possíveis e favoráveis, muitas vezes necessitamos recorrer às fórmulas estudadas em análise combinatória.
Exemplo
Qual a probabilidade de um apostador ganhar o prêmio máximo da mega-sena, fazendo uma aposta mínima, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados?

Talão da mega-sena

Solução
Como vimos, a probabilidade é calculada pela razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis. Nesta situação, temos apenas um caso favorável, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados.

Já o número de casos possíveis é calculado considerando que serão sorteados, ao acaso, 6 números, não importando a ordem, de um total de 60 números.

Para fazer esse cálculo, usaremos a fórmula de combinação, conforme indicado abaixo:

Assim, existem 50 063 860 modos distintos de sair o resultado. A probabilidade de acertarmos então será calculada como:

Veja mais sobre Probabilidade.

Exercícios de análise combinatória com gabarito

Exercício 1

Uma pessoa mora na cidade A e deseja viajar para conhecer a cidade C. Para isso, é preciso passar primeiro pela cidade B. Existem 4 caminhos que levam até a cidade B e, a partir da cidade B, três caminhos que levam até a cidade C. Supondo que a única maneira de chegar até a cidade C seja passando por B, de quantas formas diferentes esta pessoa pode ir até à cidade C, e voltar para cidade A?

Ver Resposta

Resposta: 72 possibilidades.

4 x 3 = 12

2 x 3 = 6

No total, são:

12 x 6 = 72 possibilidades.

Exercício 2

Gabriel, Maurício, Luiza, Paula e Raquel são um grupo de amigos que decidem ir ao cinema. Eles compram ingressos na mesma fileira, de forma que estejam sempre juntos, sem nenhuma cadeira vazia ou ocupada por outro espectador. Como Maurício e Luiza são namorados, eles irão sentar lado a lado. De quantas maneiras o grupo de amigos podem se sentar, de modo que o casal permaneça junto?

Ver Resposta

Resposta: 48 maneiras.

Gabriel, Paula, Raquel, casal

24 . 2 = 48

Exercício 3

Um restaurante oferece oito opções para o prato principal, dentre as quais, o cliente pode escolher 4. Suponha que um cliente almoçará todos os dias neste restaurante, enquanto houverem opções diferentes. Quantos dias este cliente poderá almoçar no restaurante, sem repetir uma refeição?

Ver Resposta

Resposta:

Para completar seus estudos faça os Exercícios de Análise Combinatória

Leia também:

Referências Bibliográficas

HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matemática elementar Combinatória Probabilidade. 8ª ed. São Paulo, Atual Editora, 2013.

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A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem. Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, ela faz a análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de...

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Mapas mentais para você iniciar seus estudos!

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Mapas mentais para você iniciar seus estudos!

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ARRANJO | ANÁLISE COMBINATÓRIA | Professor Boaro | AULA 1

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ARRANJO | ANÁLISE COMBINATÓRIA | Professor Boaro | AULA 2

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REVISÃO ENEM | MATEMÁTICA: PROBABILIDADE E ANÁLISE COMBINATÓRIA | ESQUENTA ENEM | DESCOMPLICA

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Análise COMBINATÓRIA |  PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM | Prof. Gis/

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A análisecombinatória é um campo de estudo da matemática associado com as regras de contagem. No início do século XVIII, o estudo sobre jogos envolvendo dados e cartas fez com que as teorias de contagem tivessem grande desenvolvimento.

O trabalho da análise combinatória possibilita a realização de contagens cada vez mais precisas.O princípio fundamental da contagem (PFC) , o fatorial e os tipos de agrupamento são exemplos de conceitos estudados na análise combinatória, que, além de propiciar maior precisão, auxilia n o desenvolvimento de outras áreas da matemática, como a probabilidade e o binômio de Newton.

Tópicos deste artigo

Para que serve a análise combinatória?

A analise combinatória está associada com o processo de contagem, ou seja, o estudo dessa área da matemática possibilita-nos desenvolver ferramentas que nos auxiliam na realização de contagens de maneira mais eficiente. Vamos analisar um problema típico de contagem, veja:

Considere três cidades A, B e C interligadas pelas rodovias R ₁, R ₂, R ₃, R ₄ e R ₅. Determine de quantas maneiras podemos ir da cidade A para cidade C passando pela cidade B.

Para que serve a análise combinatória?

Observe que precisamos sair da cidade A e ir para cidade B, e somente depois podemos seguir viagem para cidade C, assim vamos analisar todas as possibilidades de realizarmos o evento seguindo as rodovias.

Portanto, temos seis maneiras diferentes de ir da cidade A para cidade C passando pela cidade B. No entanto, observe que o problema proposto é relativamente simples e que a análise realizada foi pouco trabalhosa. Assim, a partir de agora, vamos estudar ferramentas mais sofisticadas que possibilitam resolver problemas com bem menos trabalho.

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Princípio fundamental da contagem (PFC)

Considere um evento E que possa ser realizado em n etapas independentes e consecutivas. Agora, considere que o número de possibilidades de realizar-se a primeira etapa seja igual a P ₁, imagine também que o número de possibilidades de realizar-se a segunda etapa seja de P ₂, e assim sucessivamente, até que cheguemos à última etapa, que possui P n possibilidades de ser realizada.

O princípio fundamental da contagem (PFC) afirma que o total de possibilidades de realizar-se o evento E é dado por:

Dessa forma, o total é dado pelo produto das possibilidades de cada uma das etapas que constituem o evento E. Observe que, para determinar-se o total de possibilidades de realização do evento E, é necessário conhecer-se o total de possibilidades de cada uma das etapas.

Vamos refazer o exemplo 1 utilizando-nos do princípio fundamental da contagem.

Considere a imagem do exemplo 1.

Para que serve a análise combinatória?

Observe que o evento pode ser realizado em duas etapas, a primeira consiste em ir da cidade A para cidade B, e a segunda, em ir da cidade B para cidade C. Para realizarmos a primeira etapa, temos duas possibilidades (estradas R ₁ e R ₂), e, para realizarmos a segunda etapa, temos três possibilidades (R ₃, R ₄ e R ₅).

1ª etapa → duas possibilidades

2ª etapa → três possibilidades

Pelo princípio fundamental da contagem, devemos multiplicar o total de possibilidades de cada etapa.

2 · 3
6
Portanto, para ir da cidade A para cidade C passando pela cidade B, temos o total de seis possibilidades.

De quantas maneiras podem ser distribuídas as três medalhas olímpicas numa prova de mountain bike com cinco competidores?

Organizar a distribuição das medalhas é um evento que pode ser realizado em três etapas. A primeira etapa consiste em analisar-se o total de possibilidades de quem ficará com a medalha de ouro, ou seja, cinco possibilidades.

A segunda etapa consiste em analisar-se as possibilidades de quem ficará com a medalha de prata, ou seja, quatro, uma vez que o primeiro colocado não entra nessa escolha. A terceira etapa consiste em analisar-se o total de possibilidades de quem ficará com a medalha de bronze, ou seja, três, uma vez que os dois primeiros já foram escolhidos.

1ª etapa → cinco possibilidades

2ª etapa → quatro possibilidades

3ª etapa → três possibilidades

Então, pelo princípio fundamental da contagem, temos:
5 · 4 · 3 60 possibilidades Veja também: Princípio aditivo da contagem - união de um ou mais conjuntos
Fatorial

O fatorial é uma forma de decompor-se um número natural. Para calcular-se o fatorial de um número, basta multiplicá-lo por todos os seus antecessores até o número 1. O fatorial é representado pelo sinal de exclamação - "!".

Veja alguns exemplos de como se calcular o fatorial de alguns números.

a) 2! (lê-se: dois fatorial)

Para o cálculo, basta multiplicarmos o número que acompanha o fatorial por todos seus antecessores até o número 1, assim:

2! = 2 ·1 = 2

b) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24

c) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

d) 1! = 1

Formalmente podemos escrever o fatorial da seguinte maneira:
n! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) · ... · 1

Considere um número natural n > 2. O fatorial de n é indicado por n! e é dado pela multiplicação de n por todos seus antecessores inteiros positivos.

Observe os fatoriais a seguir:

4! e 5!

Agora realize o desenvolvimento de ambos:

Observe que no desenvolvimento do 5! aparece o desenvolvimento do 4!. Portanto, podemos escrever o 5! desta forma:

5! = 5 · 4!

Calcule o fatorial a seguir:

Veja que o 15! foi desenvolvido até o 13!. Observe também que, no numerador da fração, os elementos estão sendo multiplicados, logo, podemos "cortar" o 13!, resultando somente em 15 · 14.

Tipos de agrupamento

Alguns problemas de contagem são mais complexos e resolvidos com maior facilidade mediante novas ferramentas. Essas ferramentas são chamadas de agrupamento, pois elas agrupam elementos de diferentes maneiras, facilitando o processo de contagem. São esses agrupamentos: arranjo simples, permutação, e combinação simples.

Considere um conjunto com n elementos distintos. Vamos chamar de arranjo de n os elementos tomados p a p, qualquer sequência ordenada porp, e os elementos distintos escolhidos entre os nelementos.

Dessa forma, a quantidade de subconjuntos formados por p elementos será o arranjo de n elementos tomados p a p. A fórmula que nos permite realizar o cálculo do número de arranjos é dada por:

Calcule o valor de A 4,2 + A 5,2.

Para calcularmos o valor da expressão, vamos determinar cada um dos arranjos e, em seguida, somar esses valores. Para determinarmos o valor de cada arranjo, devemos substituir os valores na fórmula.

Veja que n = 4 e p = 2, ambos foram substituídos na fórmula. Agora, devemos calcular o valor do arranjo de cinco elementos tomados dois a dois.

Assim, temos que:
32
12 + 20

Quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Nesse problema podemos utilizar o arranjo simples, uma vez que 2435 ≠ 4235. Veremos que, em alguns casos, a ordem dos elementos não os diferencia, e, dessa forma, não podemos utilizar o arranjo.

Como queremos determinar o total de números que podem ser formados, observe que o total de elementos é igual a oito, e queremos agrupá-los de quatro em quatro, portanto:

Considere um conjunto com n elementos. Vamos chamar de permutação simples de n elementos todo arranjo de n elementos tomados n a n. Assim temos que:

Para que não haja confusão entre os conceitos, vamos denotar a permutação simples de n elementos por P n. Portanto, temos que:

Para calcularmos essas permutações, devemos substituir os valores na fórmula. Veja:

Determine quantos anagramas podem haver na palavra Brasil.

Entendemos como anagrama todas as possíveis transposições das letras da palavra, por exemplo, "Lisarb" é um anagrama da palavra Brasil. Para determinarmos a quantidade de anagramas, devemos calcular a permutação das letras da palavra, assim temos que:

P ₆ = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
Acesse também: Permutação com elementos repetidos
Portanto, a palavra Brasil possui 720 anagramas.

Considere um conjunto A com n elementos distintos. Vamos chamar de combinação dos n elementos tomados p a p qualquer subconjunto de A formado por p elementos. A fórmula para o calculo da combinação é dada por:

Calcule a combinação de 10 elementos tomados de quatro a quatro.

Quantos quadriláteros distintos podemos formar com vértices nos pontos A, B, C, D, E e F?

Veja que o quadrilátero ABCD é igual ao quadrilátero CDBA nesse contexto, logo, devemos utilizar a combinação e não arranjos. Temos o total de seis pontos e queremos combiná-los de quatro em quatro, assim:

Portanto, podemos formar 15 quadriláteros distintos.

Análise combinatória e probabilidade

O estudo da probabilidade está intimamente relacionado com o estudo da análise combinatória. Em alguns problemas da probabilidade, é necessário determinar-se o espaço amostral, que consiste em um conjunto formado por todos os possíveis resultados de um determinado evento.

Em alguns casos, o espaço amostral E é escrito de maneira bem direta, como no lançamento de uma moeda honesta, em que os possíveis resultados são cara ou coroa e são denotados da seguinte maneira:

Agora imagine a seguinte situação: um dado é lançado três vezes consecutivas e estamos interessados em determinar o espaço amostral desse experimento. Veja que anotar todas as possibilidades já não é uma tarefa tão simples, precisamos utilizar o princípio fundamental da contagem (PFC). O evento pode ser realizado em três etapas, em cada uma delas temos seis possibilidades, uma vez que um dado possui seis faces, assim:

1ª etapa → seis possibilidades

2ª etapa → seis possibilidades
6 · 6 · 6 216
3ª etapa → seis possibilidades

Pelo PFC, temos que o total de possibilidades é de:

Assim podemos dizer que o espaço amostral desse evento é 216.

Veja que para o estudo da probabilidade é necessário ter-se um conhecimento básico de análise combinatória, pois, sem determinarmos o espaço amostral de um experimento, é impossível resolvermos a grande maioria dos exercícios de probabilidade. Para saber mais detalhes sobre esse campo da matemática, leia o texto: Probabilidade.

A analise combinatória está também associada com o estudo de binômios.

Resolução
Exercícios resolvidos

Questão 1 - Determine a quantidade de anagramas da palavra castelo. Em seguida, determine a quantidade de anagramas que começam com a letra c.

Para determinarmos a quantidade de anagramas, devemos calcular a permutação da quantidade de letras, assim:

P ₇ = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

A palavra possui 5040 anagramas. Agora, para determinarmos a quantidade de anagramas que começam com a letra c, devemos fixar a letra e calcular o anagrama das demais, veja:

Ao fixarmos a letra c, note que sobraram seis campos para calcularmos a permutação, assim:

P ₆ = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
Resolução
Portanto, temos 720 anagramas da palavra castelo que começam com a letra c.

Questão 2 - Em uma sala de aula, tem-se cinco homens e sete mulheres. Quantos grupos de três homens e quatro mulheres podem ser formados?

Primeiramente, veja que a ordem na qual escolhemos as pessoas não importa, por exemplo o grupo formado por João, Marcos e José é o mesmo grupo formado por Marcos, João e José, portanto, devemos utilizar a combinação para o cálculo.
·
Vamos calcular separadamente a quantidade de grupos que podem ser formados por homens e mulheres, e, em seguida, vamos multiplicar esses resultados, pois cada grupo de homens pode misturar-se com cada grupo de mulheres.
350
Portanto, o total de grupos que podem ser formados por três homens e quatro mulheres é de:

10 · 35

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

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Análise combinatória: conceitos, fórmulas, exemplos - Brasil Escola

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A análisecombinatória é um campo de estudo da matemática associado com as regras de contagem. No início do século XVIII, o estudo sobre jogos envolvendo dados e cartas fez com que as teorias de contagem tivessem grande desenvolvimento.

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A análise combinatória é a área da matemática que desenvolve métodos de contagem aplicados para analisar a quantidade de reagrupamentos possíveis dos elementos de um conjunto em determinadas condições. Na análise combinatória, existem formas diferentes de agrupamentos, e todos eles podem ser resolvidos com o princípio fundamental da contagem, conhecido também como princípio multiplicativo. Tendo como base o princípio multiplicativo, foi possível desenvolver fórmulas diferentes para cada um dos tipos de agrupamento.

Além de problemas comuns de contagem, existem os três tipos de agrupamentos:

Em situações-problemas em que se aplica técnicas de contagem, é importante analisar e saber diferenciar o tipo de agrupamento que está sendo resolvido, já que, para cada um, há métodos específicos para encontrar-se o total de reagrupamentos possíveis. Na análise combinatória, é importante também saber calcular o fatorial de um número, que nada mais é que a multiplicação desse número por todos os seus sucessores naturais diferentes de zero.

Além de uma vasta aplicação em outras áreas do conhecimento, como a biologia e a química, na própria matemática existem aplicações de técnicas de contagem desenvolvidas pela análise combinatória em situações que envolvem o estudo da probabilidade, essencial na tomada de decisões.
Leia também: Análise combinatória no Enem: como esse tema é cobrado?
Qual é a função da análise combinatória?

A análise combinatória é a área da matemática que analisa todas as combinações possíveis.

A análise combinatória possui várias aplicações, como na probabilidade e estatística, e essas três áreas auxiliam de forma direta as tomadas de decisões. Um exemplo bastante presente se dá na análise das contaminações em uma pandemia e na estimativa das futuras contaminações. A análise combinatória está presente também no estudo dagenética ou até mesmo no nosso CPF, que é único em território nacional, além de senhas e sistemas de segurança, que analisam as combinações possíveis para maior proteção.

A análise combinatória está presente também em jogos de loteria, de poker, entre outros jogos de tabuleiros. Em resumo, ela tem como função encontrar todos os agrupamentos possíveis dentro de um conjunto por meio de condições pré-determinadas, além disso, na maioria das vezes, o interesse é saber a quantidade de agrupamentos possíveis, valor que conseguimos encontrar utilizando as ferramentas desse tipo de análise.

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Princípio fundamental da contagem

O princípio fundamental da contagem, conhecido também como princípio multiplicativo, é a base para os cálculos envolvendo contagem de reagrupamentos. Ainda que existam fórmulas específicas para calcular alguns casos de agrupamentos, elas surgem desse princípio, conhecido também como P.F.C.

O princípio fundamental da contagem diz que:

Se uma decisão a pode ser tomada de n formas e uma decisão b pode ser tomada de m formas, e essas decisões são independentes, então o número de combinações possíveis entre essas duas decisões é calculado pela multiplicação n · m.

Exemplo:

Márcia vai viajar da cidade A para a cidade C, mas, durante o percurso, ela decidiu que passará pela cidade B para visitar alguns parentes. Sabendo que há 3 rotas para ir da cidade A para a cidade B, e que há 5 rotas para ir da cidade B para a cidade C, de quantas maneiras distintas Márcia pode fazer essa viagem?

Há duas decisões a serem tomadas, d ₁ → rota entre as cidades A e B; e d ₂ → rota entre as cidades B e C.
Veja também: Quais são as operações com conjuntos?
Assim a primeira decisão pode ser tomada de 3 maneiras, e a segunda, de 5 maneiras, logo, basta multiplicar 3 × 5 = 15.

Fatorial de um número

Em problemas envolvendo análise combinatória, é bastante comum aparecer o cálculo do fatorial de um número, que nada mais é que amultiplicação de um número por todos os seus sucessores maiores que zero. Representamos o fatorial de um número n por n! (n fatorial).

n! = n . (n-1) . (n-2) . ... 3 . 2 . 1

Exemplos:

6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40.320

Tipos de agrupamentos

Existem problemas que são resolvidos pela aplicação do princípio multiplicativo, entretanto, em muitos casos, convém analisar mais a fundo, a fim de aplicar uma fórmula específica ao problema de acordo com o tipo de agrupamento que estamos resolvendo.

Existem três tipos de agrupamento que são igualmente importantes, são eles a permutação, a combinação e o arranjo. Compreender as características de cada um é essencial para resolver situações-problemas que envolvam qualquer um deles.

Dado um conjunto com n elementos, chamamos de permutação todos os agrupamentos ordenados formados com esses n elementos, por exemplo, em situações envolvendo filas, em que queremos saber de quantas maneiras uma fila pode ser organizada, em problemas envolvendo anagramas, entre outros.

Para diferenciar a permutação da combinação e do arranjo, é importante entender, na permutação, que a ordem dos elementos é importante e que todos os elementos do conjunto farão parte desses reordenamentos.

Para calcular a permutação de n elementos, utilizamos a fórmula:

Exemplo:

De quantas maneiras 6 pessoas podem se organizar em uma fila?

Pelo princípio multiplicativo, sabemos que 6 decisões serão tomadas. Sabemos que há 6 possibilidades para a primeira pessoa, 5 possibilidades para a segunda pessoa, 4 possibilidades para a terceira pessoa, 3 possibilidades para a quarta pessoa, 2 para a quinta pessoa, e, por fim, 1 possibilidade para a última, mas perceba que, ao multiplicar as decisões, estamos calculando nada mais que 6!, sendo assim, sabemos que:

P ₆ = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

Exemplo 2:

Quantos anagramas existem na palavra Marte?

O anagrama nada mais é que o reordenamento das letras de uma palavra, ou seja, vamos permutar as letras de lugar. Como a palavra Marte possui 5 letras, então, o total de anagramas pode ser calculado por:

P ₅ = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

Um agrupamento é conhecido como arranjo quando selecionamos parte dos elementos dentro de um conjunto. Seja n a quantidade de elementos de um conjunto, o calculo do arranjo é a quantidade de agrupamentos ordenados que conseguimos formar com p elementos desse conjunto, em que n > p.

Lê-se: arranjo de n elementos tomados de p em p.

Exemplo:

10 atletas estão disputando uma corrida de 100 metros rasos, de quantas maneiras distintas podemos ter o pódio, supondo que os atletas sejam igualmente qualificados e sabendo que ele é formado pelo primeiro, segundo e terceiro lugares?

Calcular as combinações possíveis é contar quantos subconjuntos podemos formar com parte dos elementos do conjunto. Diferentemente do arranjo e da permutação, na combinação, a ordem não é importante, então, o conjunto não é ordenado. Para calcular a combinação, utilizamos a fórmula:
Acesse também: Como estudar Matemática para o Enem?
Exemplo:

Para comemorar o sucesso em vendas de uma corretora de imóveis, a empresa decidiu sortear, entre os 10 funcionários que mais venderam, 4 deles para viajarem para a cidade de Caldas Novas-GO, com a sua família e todas as despesas pagas. Quantos resultados distintos podemos ter com esse sorteio?

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Enem) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.
Resolução
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez, um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.

O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há

A) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
B) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
C) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
D) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
E) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
Resolução
Alternativa A

Pelo princípio fundamental da contagem, sabemos que o número de respostas distintas é calculado pelo produto 5 × 6 × 9 = 270. Como há 280 alunos, então, temos 10 alunos a mais que possíveis respostas distintas.

Questão 2 - Uma filial de uma empresa de consórcio decidiu selecionar dois funcionários para irem até a matriz conhecer o novo sistema voltado para o departamento de contemplação de consórcios. Para isso, o gerente decidiu realizar um sorteio entre os 8 funcionários do departamento, a fim de decidir quais participariam dessa formação. Sabendo disso, o número de resultados possíveis para esse torneiro é:

Alternativa E

Note que esse é um problema de combinação, pois a ordem não é importante e estamos selecionando parte do conjunto. Vamos calcular a combinação de 8 tomados de dois em dois.

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Análise combinatória: o que estuda e quando usar? - PrePara Enem

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A análise combinatória é a área da matemática que desenvolve métodos de contagem aplicados para analisar a quantidade de reagrupamentos possíveis dos elementos de um conjunto em determinadas condições. Na análise combinatória, existem formas diferentes de agrupamentos, e todos eles podem ser resolvidos com o princípio fundamental da contagem, conhecido também como princípio multiplicativo.

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A análise combinatória é a área da Matemática que tem como função estudar a quantidade de agrupamentos que podem ser formados a partir de um conjunto de valores. O foco é o estudo dos tipos de agrupamento, que são resolvidos pelo princípio fundamental da contagem. Esses agrupamentos são a permutação, a combinação e o arranjo. Cada tipo tem aplicações específicas, e o que determina qual deve ser usado é a situação em que se encontram e o objetivo da contagem.

Esse ramo da Matemática também exige domínio de uma operação específica, que é o fatorial de um número, representado pelo símbolo de exclamação - "!". Calcular o fatorial de um número é encontrar o produto desse número pelos seus antecessores. Vale dizer também que o cálculo dos agrupamentos é de grande importância para a área de probabilidade, o que torna a análise combinatória um pré-requisito para quem deseja dominá-la a fundo.

A análise combinatória estuda possibilidades e combinações, como os possíveis resultados de um dado.

Qual é a função da análise combinatória?

Como o nome sugere, a análise combinatória tem como função analisar e contar todas as combinações possíveis. Os agrupamentos estão constantemente presentes no nosso dia a dia e prever essas combinações é fundamental para a tomada de decisões.

Você já se perguntou quantos resultados podem ser obtidos na loteria? Ou a quantidade de senhas possíveis para que a sua senha de banco seja segura? A combinação faz parte do nosso cotidiano, desde objetos simples, como a placa de um carro - que deve ser única por estado -, o Cadastro de Pessoa Física (CPF), que é único por cidadão, até as decisões mais complexas, como algoritmos de programação, investimentos em bolsas etc. Além disso, a análise combinatória dá suporte para outras áreas de conhecimento e para estudos mais aprofundados na própria matemática.
Leia também: Três erros mais cometidos no cálculo de probabilidade
Princípio fundamental da contagem

Base para a análise combinatória, o princípio fundamental da contagem é uma forma rápida de calcular a quantidade de combinações possíveis para determinadas decisões. Conhecido também como PFC, esse princípio diz o seguinte:

Se uma decisão d ₁ pode ser tomada de n maneiras e uma decisão d ₂ pode ser tomada de m maneiras, e essas decisões são independentes entre si, então o número de combinações possíveis entre essas duas decisões é calculado por ( n · m).

A aplicação do princípio fundamental da contagem é bastante simples quando se entende bem a situação proposta, o que pode dificultar muito é a interpretação do problema, e não o cálculo em si.

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Resolução 1:
Em uma sanduicheria, os sanduíches são vendidos em combos. O cliente pode escolher um entre três tipos de carne (frango, porco ou bovina), um entre três tipos de queijo (muçarela, cheddar ou prato) e um entre dois tipos de bebidas (refrigerante e suco). Sendo assim, quantas vezes um cliente pode pedir um combo sem repeti-lo?

Sem usar o princípio fundamental da contagem, uma forma de resolução possível é realizar a listagem das escolhas e contar o número de possibilidades.
Resolução 2:
Ao todo o cliente terá que tomar três decisões (carne, queijo, bebida). Podemos listar todas as possibilidades por meio de uma tabela, lista ou diagrama. O problema é que esse processo se torna cada vez mais trabalhoso quando a quantidade de possibilidades para cada decisão aumenta.

Pelo princípio fundamental da contagem, chegamos à mesma quantidade, mas sem a necessidade de fazer a lista de todas as possibilidades. Sabemos que há três decisões a serem tomadas, então o número de possibilidades é igual ao produto das possibilidades de cada uma dessas decisões:

Fatorial de um número

A multiplicação de um número por seus antecessores é bastante recorrente em problemas que envolvem análise combinatória, e é importante compreender as operações com fatorial e também as possíveis simplificações.

Seja n um número natural maior que 2, chamamos de n! (n fatorial) a operação:

n! = n. (n-1). (n-2) . ... 3. 2 .1

5! = 5.4.3.2.1= 120

10! = 10 . 9. 8 . 7 .6 .5 .4. 3. 2. 1 = 3.628.800

Por definição, temos que:

0!=1

1!=1

Tipos de agrupamentos

Os agrupamentos estudados na análise combinatória são a permutação, combinação e arranjo. Cada um deles é empregado em uma situação e possui métodos específicos para ser calculado. O que deve ficar claro é quando devemos escolher o agrupamento e como realizar o cálculo.

Conhecemos como permutação os agrupamentos ordenados de todos os elementos de um conjunto. Permutar é trocar de posição, formando uma nova ordem.
P = n!
A permutação de um conjunto com n elementos é calculada por:

Aplicações: problemas que envolvem anagramas, filas, posições.

Lembre-se de que, para ser permutação, todos os elementos do conjunto devem ser utilizados. Além disso, a ordem dos elementos é importante.
Resolução 1 (pelo PFC):
Quantos anagramas existem na palavra AMOR?
Anagrama nada mais é do que a troca de posição entre as letras da palavra, formando novas palavras, que podem fazer sentido ou não na nossa língua. Esse problema é uma permutação porque estamos calculando todos os agrupamentos possíveis ao mudar a ordem de todos os elementos do conjunto.

A palavra AMOR possui 4 letras. Pelo PFC vamos tomar 4 decisões, ou seja, escolher a primeira, segunda, terceira e quarta letra.

1ª letra: Para escolher a primeira letra, há quatro possibilidades (A, M, O, R).

2ª letra: Como escolhemos uma letra na primeira, restam três possibilidades, independentemente da escolha.

3ª letra: Como escolhemos uma letra na primeira e outra na segunda posição, restam duas possibilidades, independentemente das escolhas.

4ª letra: Como já escolhemos três letras (primeira, segunda e terceira posição), resta apenas uma possibilidade para a quarta letra.

Resolução 2:
Pelo PFC o número de anagramas da palavra amor será calculado por: 4.3.2.1. Esse produto é igual a 24 possibilidades.

Vale ressaltar que a fórmula da permutação resulta do princípio fundamental da contagem, logo ela pode ser utilizada de forma direta.

Como a palavra AMOR tem quatro letras, o total de anagramas possíveis é dado pela permutação de quatro elementos.

A permutação P ₄=4! = 4.3.2.1= 24 possibilidades.

Entendemos como a rranjo s os agrupamentos ordenados formados por parte dos elementos de um conjunto. Dado um conjunto de n elementos, queremos saber quantos agrupamentos ordenados podemos formar com p elementos, sendo p sempre menor que n. Perceba a diferença entre o arranjo e a permutação - em ambos a ordem é importante, mas na permutação agrupamos todos os elementos do conjunto, já no arranjo agrupamos apenas parte desses elementos.

O conselho de uma escola organizou-se para escolher os ocupantes dos cargos administrativos mais importantes. Esses cargos seriam escolhidos a partir de votação de todos os membros do conselho. Os cargos da instituição são diretor, secretário e coordenador financeiro. Em cada voto será colocado o trio que ocupará cada um dos cargos. Sabendo que há 5 candidatos possíveis para cada uma das vagas, o número de comissões administrativas possíveis é?

Analisando o problema:

Ao analisar situações-problema que envolvem análise combinatória, é importante identificar o agrupamento. Perceba que será feita uma escolha de 3 entre 5 possibilidades. Note também que a ordem é importante. Por exemplo, o voto para Aline, Brenda e Cláudio não é o mesmo que o voto para Cláudio, Aline e Brenda - nesse caso, já que são atribuídas funções para cada um deles, por mais que a comissão seja formada pelos mesmos três candidatos, a ordem é importante, o que torna essa questão um problema de arranjo.

Resolução:

n = 5 e p = 3
Veja também: Critérios para identificação de arranjo ou combinação
Logo queremos calcular:

A combinação é um agrupamento que está ligado a subconjuntos de um conjunto. Entendemos como combinação de n, tomados de p em p, a contagem de todos os subconjuntos possíveis com p elementos de n. A diferença entre a combinação e o arranjo é que, na combinação, a ordem não é importante, então os conjuntos {A,B,C} e {C,A,B} são os mesmos conjuntos.

Para calcular a c ombinação, utilizamos a fórmula:

Para a organização da colação de grau, os estudantes decidiram montar uma comissão de formatura. Sabendo que havia 30 formandos e que somente 2 alunos seriam escolhidos, a quantidade de comissões possíveis será?
Resolução:
Analisando o problema:

Ao analisar situações-problema que envolvem análise combinatória, é importante identificar o agrupamento. Perceba que será feita uma escolha de 2 entre 30 possibilidades. Além disso, é possível perceber que a ordem não é importante, pois se a comissão for composta por {Robson, Kleyton} ou {Kleyton, Robson}, por exemplo, não haverá diferença alguma. Como a ordem não importa e estamos escolhendo subconjuntos de um conjunto de 30 possibilidades, esse problema deve ser resolvido por combinação.

Análise combinatória e probabilidade

Probabilidade é uma importantíssima área da Matemática e determina a chance de um evento ocorrer. Estamos cercados por probabilidade nas lotéricas, nos jogos de dados, cartas, entre várias outras situações. Para estudarmos probabilidade a fundo,é fundamental o domínio dos conceitos da análise combinatória, pois a probabilidade de um evento acontecer é a razão entre a contagem de todos os casos favoráveis sob a contagem de todos os casos possíveis.
Resolução
Assim, problemas que envolvem probabilidade podem também necessariamente envolver uma situação de análise combinatória. Percebemos, então, que a análise combinatória é um pré-requisito para o aprendizado da probabilidade, oferecendo ferramentas importantes para a contagem tanto dos casos favoráveis como dos casos possíveis.

Em uma turma de Inglês, será sorteada para três estudantes uma viagem com tudo pago para a cidade de Caldas Novas. Sabendo que no curso há 12 alunos e que 5 são meninos, qual é a probabilidade de a dupla sorteada ser composta por duas meninas?

Para calcular a probabilidade, precisamos antes contar todas os trios possíveis e também calcular todos os trios formadas por duas meninas. Como a ordem não é importante, podemos usar combinação.

1º passo - Todos os trios possíveis

n= 12 (todos os alunos)

p = 3 (quantidade de alunos a serem escolhidos)

2º passo - Todos os trios formados por duas meninas
Veja também: Definições básicas de probabilidade

n = 12 - 5→ n = 7 (total de meninas)

p=3 (quantidade de alunos a serem escolhidos)

3º passo - Cálculo da probabilidade

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Enem 2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas por meio de:

a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
Resolução:
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente.

c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.

d) duas combinações.
e) dois arranjos.

No problema são feitos dois agrupamentos. No primeiro deles, a ordem não é importante, o que caracteriza uma combinação, pois, independentemente da ordem em que os times forem sorteados, os quatro vão compor o grupo A. Agora, no segundo agrupamento, a ordem torna-se relevante, pois o primeiro sorteado jogará em casa, logo encontramos um arranjo. Assim sendo, a alternativa correta é a letra "a".

Questão 2 - O diretor de uma escola convidou os 280 alunos do terceiro a participarem de uma brincadeira. Havia 5 objetos e 6 personagens em uma casa de 9 cômodos. Um dos personagens deveria esconder um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira era adivinhar qual objeto foi escondido, por qual personagem e em qual cômodo da casa.

Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno era sorteado e dava a sua resposta. As respostas deveriam ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não poderia ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estivesse correta, ele seria declarado vencedor e a brincadeira seria encerrada.

O diretor sabia que algum aluno acertaria a resposta porque havia:

a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
Resolução
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

Pelo princípio fundamental da contagem, vamos analisar quantas combinações possíveis havia para personagem, brinquedo e cômodo.

6 possibilidades de personagem

5 possibilidades de brinquedo

9 possibilidades de cômodo

Pelo PFC o número de agrupamentos possíveis é 6.5.9 = 270. Como há 280 estudantes, então há 10 alunos a mais do que a quantidade de combinações possíveis, logo a resposta correta é a alternativa "a".

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Análise combinatória: o que é, funções, fórmulas - Mundo Educação

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A análise combinatória é a área da Matemática que tem como função estudar a quantidade de agrupamentos que podem ser formados a partir de um conjunto de valores. O foco é o estudo dos tipos de agrupamento, que são resolvidos pelo princípio fundamental da contagem. Esses agrupamentos são a permutação, a combinação e o arranjo.