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Ecuaciones diferenciales de primer orden.

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Ecuaciones diferenciales de primer orden.

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En términos simples, una ecuación diferencial de primer orden expresa una relación entre una función desconocida y su derivada. Su solución proporciona la función que satisface dicha relación y nos permite comprender cómo varía la función a lo largo de la variable independiente.

Una ecuación diferencial de primer orden puede tener varias formas, como ecuaciones lineales, no lineales, separables o exactas. La clasificación depende de la forma en que se relacionan la función desconocida y su derivada en la ecuación.

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Clasificación de las ecuaciones diferenciales

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Clasificación de las ecuaciones diferenciales

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Las ED pueden clasificarse de acuerdo con su:
-Tipo
-Orden
-Grado
-Linealidad

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Una ecuación diferencial lineal es aquella en la que la función desconocida y sus derivadas aparecen de forma lineal, es decir, no se multiplican ni se dividen entre sí ni se elevan a potencias diferentes de 1.

Las ecuaciones diferenciales lineales tienen propiedades y técnicas de solución bien establecidas. Una de las técnicas más comunes para resolver ecuaciones diferenciales lineales es el factor integrante, que permite convertir la ecuación en una forma más fácil de integrar.

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Ecuaciones diferenciales lineales - no lineales

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Las ecuaciones diferenciales no lineales son aquellas en las que la función desconocida y sus derivadas aparecen de forma no lineal. Esto significa que pueden involucrar productos, cocientes, potencias u otras operaciones no lineales.

Las ecuaciones diferenciales no lineales son de gran importancia en muchas áreas de la ciencia y la ingeniería, ya que pueden modelar sistemas más realistas y complejos.

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Ecuación diferencial no lineal (autónoma), resuelta por regla de cadena (Ejemplo 5)

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Las ecuaciones diferenciales con variables separables son un tipo común y solvable de ecuaciones diferenciales. La razón por la que se llaman "variables separables" es que estas ecuaciones pueden expresarse de manera que las variables dependientes e independientes se puedan separar y manipular por separado.

Una ecuación diferencial con variables separables tiene la forma general:

dy/dx​=f(x)g(y)

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1. Ecuación diferencial de variables separables

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Una ecuación diferencial exacta es aquella en la que se cumple una condición de exactitud, que implica que la ecuación puede ser obtenida a partir de una función potencial o función escalar. En otras palabras, la ecuación se puede escribir en la forma:

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 donde M(x,y) y N(x,y) son funciones y sus derivadas parciales con respecto a "y" y "x" cumplen la siguiente relación:

∂M​/∂y=∂N/∂x​

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40. Ecuaciones diferenciales exactas ¿QUÉ SON Y CÓMO SE RESUELVEN?

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Una ecuación diferencial no exacta no cumple la condición de exactitud, es decir, la relación ∂M​/∂y=∂N/∂x​ no se cumple. En este caso, es necesario encontrar un factor integrante que permita convertir la ecuación en una ecuación exacta.

El factor integrante es una función que se multiplica a ambos lados de la ecuación diferencial no exacta, y su elección adecuada hace que la ecuación se vuelva exacta. Al multiplicar la ecuación por el factor integrante, se logra una nueva ecuación exacta que se puede resolver como se describió anteriormente.

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Ecuación Diferencial NO EXACTA #1 | Factor Integrante | Primer Orden

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Ecuaciones diferenciales de orden superior

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Ecuaciones diferenciales de orden superior

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Las ecuaciones diferenciales de orden superior son un tipo de ecuaciones que involucran derivadas de orden superior de una función desconocida. A diferencia de las ecuaciones diferenciales de primer orden, que involucran solo la primera derivada, las ecuaciones de orden superior consideran también las derivadas de segundo, tercer o incluso mayor orden.

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Ecuaciones diferenciales de orden superior

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Ecuaciones diferenciales de orden superior

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78. Qué son las ecuaciones de segundo orden, ecuaciones homogéneas y de coeficientes constantes

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Las ecuaciones diferenciales homogéneas son un tipo especial de ecuaciones diferenciales en las que todos los términos de la ecuación se pueden expresar como una función de la variable dependiente y sus derivadas. En otras palabras, no hay términos constantes o independientes presentes en la ecuación.

Pasos para resolver este tipo de ecuaciones:

Paso 1: Identificar la ecuación diferencial como homogénea.

Paso 2: Reescribir la ecuación diferencial en su forma estándar.
Paso 3: Realizar un cambio de variable.
Paso 4: Resolver la ecuación diferencial resultante.
Paso 5: Reemplazar la variable original.
Paso 6: Aplicar condiciones iniciales o de contorno (si corresponde).

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Ecuaciones diferenciales Homogéneas | Ejemplo 1

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Las ecuaciones diferenciales no homogéneas son un tipo de ecuaciones diferenciales en las que hay términos constantes o independientes presentes en la ecuación, a diferencia de las ecuaciones homogéneas. Estos términos adicionales introducen una no homogeneidad en la ecuación y pueden depender de la variable independiente x y/o de alguna función conocida de x.

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121. Ecuaciones diferenciales no homogéneas, ¿qué son y cómo se resuelven?

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Los sistemas de ecuaciones lineales son conjuntos de ecuaciones en las que hay múltiples incógnitas y cada ecuación es una ecuación lineal. Estas ecuaciones se utilizan para describir relaciones lineales entre varias variables.

Existen diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Algunos de los métodos más comunes son:

1. Método de eliminación: Este método consiste en eliminar una variable en cada paso del sistema hasta reducirlo a un sistema de ecuaciones más simple con una sola ecuación y una sola incógnita. Luego, se pueden encontrar las soluciones sustituyendo los valores encontrados hacia atrás.

2. Método de sustitución: En este método, se despeja una variable en una ecuación y se sustituye en las demás ecuaciones del sistema. Esto se repite hasta que se obtengan los valores de todas las incógnitas.

3. Método de la matriz aumentada: En este método, se utiliza la notación de matrices para representar el sistema de ecuaciones. Se crea una matriz aumentada que combina los coeficientes de las variables y los términos constantes. Luego, se aplican operaciones de fila para llevar la matriz aumentada a una forma escalonada o reducida por filas, lo que permite encontrar las soluciones del sistema.

4. Método de la inversa de matriz: Si la matriz de coeficientes del sistema es invertible, se puede utilizar el método de la inversa de matriz. En este caso, se multiplica ambos lados del sistema por la inversa de la matriz de coeficientes para obtener directamente las soluciones del sistema.

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Sistemas de ecuaciones lineales 2x2 INTRODUCCIÓN

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La transformada de Laplace es una herramienta matemática utilizada para resolver ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Esta transformada convierte una función de una variable, generalmente el tiempo t, en una función de otra variable compleja s, llamada variable de Laplace.

La transformada de Laplace es especialmente útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales, ya que transforma una ecuación diferencial en una ecuación algebraica. Al aplicar la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial, se obtiene una ecuación algebraica en términos de las transformadas de las funciones desconocidas. Luego, se pueden manipular algebraicamente las ecuaciones resultantes para encontrar las transformadas inversas y obtener las soluciones en el dominio del tiempo.

La ventaja de utilizar la transformada de Laplace es que simplifica la resolución de ecuaciones diferenciales lineales, especialmente aquellas con condiciones iniciales o de contorno.

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Transformada de algunas funciones básicas

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Transformada de algunas funciones básicas

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La transformada de Laplace inversa, también conocida como antitransformada de Laplace, es una herramienta matemática que permite encontrar la función original en el dominio del tiempo a partir de su transformada de Laplace. Es el proceso inverso de la transformada de Laplace y nos permite regresar del dominio de Laplace al dominio del tiempo.

Dado que la transformada de Laplace convierte una función f(t) en una función F(s) en el dominio de Laplace, la transformada de Laplace inversa nos permite recuperar la función original f(t) a partir de su transformada F(s).

El proceso de la transformada de Laplace inversa por fracciones parciales implica los siguientes pasos:

1. Descomposición en fracciones parciales: Primero, debemos descomponer la función F(s) en una combinación de fracciones parciales. Esto implica factorizar el denominador de F(s) en términos de sus raíces y expresarlo como la suma de fracciones parciales con denominadores lineales irreducibles y, posiblemente, factores repetidos.

2. Encontrar las constantes de las fracciones parciales: Después de descomponer F(s) en fracciones parciales, se deben determinar las constantes correspondientes a cada fracción parcial. Esto se puede hacer mediante métodos algebraicos, como igualar los coeficientes de los términos similares en ambos lados de la ecuación.

3. Aplicar la transformada inversa a cada fracción parcial: Una vez que se han encontrado las constantes de las fracciones parciales, se aplica la transformada inversa de Laplace a cada fracción parcial. Utilizando las transformadas inversas conocidas, se puede obtener la función original f(t) correspondiente a cada fracción parcial.

4. Sumar las soluciones parciales: Finalmente, se suman las soluciones parciales obtenidas en el paso anterior para obtener la transformada inversa de Laplace completa de F(s), es decir, la función original f(t) en el dominio del tiempo.

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191. Transformadas inversas de Laplace: ¿qué son? Y primeros ejemplos

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Video con el que me guié para relalizar este ejercicio:
https://www.youtube.com/watch?v=CStV2q_ckFY

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Lista de reproducción acerca de la transformada de Laplace

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Lista de reproducción acerca de la transformada de Laplace

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168. Transformada de Laplace: ¿qué es?. Definición, explicación y primer ejemplo.

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Cordial saludo para todos, mi nombre es Jhoimar Castaño Motoya, estudiante de la Fundación Universitaria Claretiana. Este padlet está hecho con el propósito de explicar y dejar claridad de todos los temas vistos de la asignatura Ecuaciones diferenciales durante el semestre.

El padlet estará constituido por secciones, las cuales corresponderán a cada unidad vista, con imágenes, ejercicios y videos que nos permitieron durante este período, facilitar el proceso de aprendizaje.

Docente: Kendy Yised Mena Gonzalez