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Velasco Morales Lilia Jhemima. Grupo 666

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Velasco Morales Lilia Jhemima. Grupo 666

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En pocas palabras en lógica se utiliza el concepto para referirse a un argumento que intenta defender algo que es falso.

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En definitiva, una falacia es un sofismo, una refutación aparente que se utiliza para defender algo falso, exponiendo premisas falsas como verdaderas. Se trata de un razonamiento que aparenta ser lógico, pero cuyo resultado es independiente de la veracidad de las premisas.

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Presenta dos acepciones principales:
1/ engañar o inducir a error
2/ fallar, incumplir, defraudar.

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Siguiendo ambas líneas de significado, entenderé por falaz el discurso que pasa, o se quiere hacer pasar, por una buena argumentación –al menos por mejor de lo que es–, y en esa medida se presta o induce a error pues en realidad se trata de un seudo argumento o de una argumentación fallida o fraudulenta.

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1. Aritméticas

2. Geométricas

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Algunas falacias matemáticas han llegado a cautivar la atención del gran público por lograr “probar” (evidentemente de forma errónea), a través de unos pocos pasos, igualdades imposibles del tipo 0=1 o 1=2.

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En esta segunda falacia son las reglas básicas del álgebra y las operaciones con expresiones algebraicas las que entran en juego.
La razón de que lleguemos en este caso al absurdo 2=1 viene dada por el hecho de que x=y implica que x-y=0, por lo que al multiplicar y dividir por (x-y) estamos infringiendo las reglas básicas. En efecto, existen muchas falacias similares que se basan en multiplicar o dividir por un término que resulta ser idénticamente igual a 0.

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Esta falacia involucra a la unidad imaginaria i, símbolo introducido en la literatura por Leonhard Euler (recordemos que i^2=-1), y nos lleva a “demostrar” que 1=-1.

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Esta falacia también involucra las reglas básicas propias de las desigualdades. Recordemos que si 1<2, entonces (-1)·1=-1>(-1)·2=-2, esto es, hemos de cambiar la desigualdad cuando multiplicamos por un número negativo.

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Creo estar en lo cierto si digo que las geométricas son las más engañosas, y si no que se lo digan a la gran cantidad de intentos infructuosos de demostrar la trisección de ángulos o la cuadratura del círculo, pero que aparentemente sí lo hacen.

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Tomamos un triángulo  cualquiera. Igual que en el caso anterior podéis seguir la demostración en la figura adjunta.

Construimos el punto , punto medio del lado , y desde él trazamos el segmento , perpendicular a . Ahora construimos la bisectriz del ángulo , a partir de la cual pueden darse dos casos:

1.- La bisectriz no corta a : entonces ambas rectas son paralelas. Por tanto la bisectriz es perpendicular a . Esto nos lleva a que , esto es, el triángulo  es isósceles.

2.- La bisectriz corta a : llamemos  al punto de intersección entre ellas. Trazamos  y  y también  y , perpendiculares a  y a  respectivamente.

A partir de aquí se tiene que los triángulos  y  son iguales, al tener a  como lado común y los ángulos  y  iguales a los ángulos  y  respectivamente. Por tanto,  y .

Por otra parte, los triángulos  y  son iguales, al ser ,  lado común y los lados del vértice  iguales. De aquí .

Además los triángulos  y  son rectángulos. Por ello, el cuadrado de  es igual a la suma de los cuadrados de  y  (teorema de Pitágoras) y el cuadrado de  es igual a la suma de los cuadrados de  y . Pero tenemos que  y . Por ello el cuadrado del lado  es igual al cuadrado de . Entonces . Como teníamos de antes que  se cumple que , lo que implica que el triángulo  es isósceles.

Conclusión: todo triángulo  es isósceles.

PERO...

El error en este caso vuelve a ser de construcción: el punto  está siempre situado fuera del triángulo y en posición tal que al trazar perpendiculares desde  a los lados  y  una de las perpendiculares intersecará a uno de los lados del triángulo, pero la otra intersecará a una prolongación del otro lado.

ÁNGULO=ÁNGULO, LADO=LADO  PARALELOGRAMO

La demostración es correcta si  e  se encuentra cada uno sobre un lado del cuadrilátero, o si tanto  como  se encuentran en proyecciones de los lados, pero falla si uno se encuentra en un lado y el otro en la prolongación de un lado, como ocurre en la figura de la derecha. Se puede ver que dicha figura cumple las hipótesis del teorema, pero claramente no es un paralelogramo.

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Partimos de la conocido símbolo del yin-yang, como puede verse en la figura de la derecha. Supongamos que el diámetro  es igual a . Sabiendo que la longitud de una circunferencia de diámetro  es  tenemos que la longitud de la semicircunferencia que va de  a  es .

Los dos semicírculos de tamaño inmediatamente inferior, los que forman la curva central del típico símbolo del yin-yang, tienen longitud  (son semicircunferencias de una de diámetro ), por lo que la suma de sus longitudes vuelve a ser . Si dibujamos otros dos semicírculos del mismo tipo dentro de cada uno de los dos semicírculos anteriores tenemos que cada uno de ellos tendrán longitud . Como tendremos cuatro semicírculos así, la suma de sus longitudes vuelve a ser .

Continuando con el proceso obtenemos siempre un conjunto de semicírculos, cada vez más pequeños, cuya suma de longitudes es . El límite de la curva formada por esos semicírculos es el diámetro . Esto es, si realizamos esta construcción infinitas veces, tenemos que cuando el límite de los diámetros de las circunferencias sea  la curva formada por los semicírculos coincide con el diámetro . Pero la curva mide  y  mide . Por tanto .

Este teorema aseguraba que pi=2.
PERO...

Siguiendo la construcción planteada está claro que conforme los semicírculos van haciéndose más pequeños sus radios se van acercando cada vez más a cero (tienen por límite cero) y, por tanto, la línea ondulante formada por ellos puede aproximarse tanto como queramos al diámetro del círculo inicial. Pero los semicírculos no pierden su forma en ningún momento. Dado que continúan siendo semicírculos (da igual su tamaño) su longitud total sigue sieno .

Esta falacia es un claro ejemplo de sucesión convergente cuyos términos tienen ciertas propiedades que su límite no hereda.

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El quinto postulado de la geometría euclídea, el conocido postulado de las paralelas, afirma (utilizando una de sus versiones más sencillas) que a partir de una recta y un punto exterior a la misma sólo puede trazarse una única recta paralela a la dada que pase por dicho punto. Está demostrado que ese postulado es independiente de los otros cuatro y que tanto tomándolo como cierto como tomando cualquiera de los dos enunciados que obtendríamos negándolo obtenemos geometrías consistentes.

El postulado euclídeo de las paralelas puede ser demostrado a partir de los restantes axiomas de la geometría euclídea.
PERO...

En la figura adjunta tenemos un gráfico de la demostración. La recta de la que partimos es la recta  y el punto dado es . Trazamos desde  una perpendicular a  (puede construirse sin utilizar el postulado de las paralelas que sólo puede construirse una perpendicular como ésta), obteniendo así el punto . Por el punto  trazamos la recta , perpendicular a  (también única, por lo dicho anteriormente).

El teorema que afirma que dos rectas perpendiculares a una dada son paralelas puede demostrarse sin necesidad de utilizar el postulado de las paralelas, por lo que las rectas  y  son paralelas.

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s.a. (s.f). DEFINICIÓN DE FALACIA. 18/03/2020, de Definicion.de Sitio web: https://definicion.de/falacia/

Juan Matías Sepulcre. (Posted on1 febrero, 2019). Falacias matemáticas: algunos razonamientos incorrectos pero persuasivos. 18/02/2020, de El blog de Dimates Sitioweb:https://blogs.ua.es/dimates/2019/02/01/falacias-matematicas-algunos-razonamientos-incorrectos-pero-persuasivos/

Miguel Ángel Morales Medina.. (9 julio, 2009 ). FALACIAS GEOMÉTRICAS (II). 18/03/2020, de Gaussianos Sitio web: https://www.gaussianos.com/falacias-geometricas-ii/