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CARDIE Caen - Co-intervention en Maths en classe de Seconde

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Co-intervention en classe de Seconde au lycée Le Verrier (Saint-Lô - 50) dans des ateliers de débat scientifique en Maths.

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Centre Alain Savary - Education prioritaire - ifé

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Le bilan post-séance (qui permet d'entrer dans la préparation de la séance suivante) est l'occasion de revenir sur le cas d'élèves rencontrant des difficultés portant sur l'utilisation du vocabulaire institutionnel et d'orienter les futures tâches du rituel sur cet aspect :

"J'ai vu qu'I. était bien perdu, de ce que cela voulait dire, et A., A. s'en est tiré finalement sur la fin mais pour I. c'était compliqué. Je sais pas, c'est quelque chose qu'on doit revoir, ça fait, comment, trois fois, non?" (MS).

"Alors, je pense qu'on va continuer à donner des exercices en rituel" (MC).

"Par contre, je trouve que, pareil, sur le vocabulaire, c'est encore difficile, quel mot utiliser ?, "dans", "sur", "par", il y a encore un qui me disait, A. me disait, il y a des traits plutôt que des droites, donc je pense que peut-être le rituel, maintenant, il va être plus d'écrire une phrase" (MC).

C'est aussi l'occasion de faire un bilan global positif dans les objectifs de rituel que s'étaient assignés les enseignantes.

"J'ai trouvé, en dehors de ces quelques élèves, j'ai trouvé qu'ils s'en sortaient pas trop mal, parce qu'il cherchaient tout de suite un croisement" (MC).

"Au niveau du codage, je n'ai pas vu de grosses erreurs sur le codage des points [...]Il n'y a pas eu ce genre d'erreur qu'on a vu la dernière fois " (MS).

Au vu de ces éléments, leur discussion leur permet progressivement de se fixer de nouveaux objectifs, notamment en limitant les temps de tracés pour renforcer le temps à produire du langage sur les situations, pour accéder aux concepts et à la maitrise du vocabulaire, notamment sur le fait que l'intersection de deux droites est bien un point.

Tout au long de la séance, la classe est organisée en tables alignées donnant sur le tableau noir.

Temps 1 (0-50") : MS demande à un élève de lire la demande rédigée sur une feuille polycopiée :

" Place un point D de façon à ce qu'il soit aligné avec les croix et alignés avec les ronds"

Elle dit à la classe "Regarder" et "Lire la consigne"

Temps 2 (1'40"-2'10") : MS intéragit avec un élève qui trace une droite avec un crayon.

Temps 3 (2'45"-3'05") : MS trace au tableau, MC décrit oralement la procédure et invite les élèves à "dire ce qu'elle doit faire " (parlant de MS).

Temps 4 (3'50"-4'20") : MS trace au tableau, une élève décrit oralement la procédure

Temps 5 (4'20"-4'35") : MC énonce un concept de la droite "On ne s'arrête pas au point [...] une droite n'a pas de début pas de fin" . Simultanément la MS trace au tableau (des représentations de segments).

Temps 6 (4'35"-5'10") : MC entame un cours dialogué avec les élèves pour élaborer une phrase comportant le vocabulaire qu'elle souhaite stabiliser.

Temps 7( 5'10"-6'25") : MC lance une nouvelle demande "Comment on a trouvé le point D ?" avec le désir de faire émerger le vocabulaire institutionnel, MS écrit le mot "intersection".

Temps 8 ( 6'25"-7'45") : MC relance une nouvelle demande "A l'intersection de quoi ?". Les élèves proposent différents mots ("entre","sur","croisement", "croisement des ronds et des croix". Finalement suite à une métaphore routière, le mot "intersection" apparaît de nouveau.

Temps 9 (7'45"-8'10") : MS s'appuie sur une remarque d'un élève pour reconvoquer la séance précédente où les élèves ont fait des tracés dans la cour. Elle demande aux élèves de se souvenir et rappelle l'analogie entre cette situation et le dessin tracé au tableau.

Il est intéressant d'utiliser le concept de milieu issu des travaux de Guy Brousseau, pour penser la validation. Le milieu est constitué des objets (physique, culturel, sociaux, humains) avec lesquels le sujet interagit dans une situation. (" chaque connaissance doit naître de l'adaptation à une situation spécifique " (Brousseau, 1986/1998 p. 49) ou encore : " L'élève apprend en s'adaptant à un milieu qui est facteur de contradictions, de difficultés, de déséquilibres, un peu comme le fait la société humaine. Ce savoir, fruit de l'adaptation de l'élève se manifeste par des réponses nouvelles qui sont la preuve de l'apprentissage. " (Guy Brousseau, 1986/1998, p. 59)) . Penser la validation par l'élève des réponses qu'il propose, c'est penser ses modalités, ses aménagements, envisager sa suspension, évaluer sa pertinence et son utilité au service de l'institutionnalisation.

On peut considérer que dans ce genre de situations, des "déphasages" peuvent exister entre :

* les pensées de l'élève : ce qui le conduit à agir et à valider ses actes,

* ce qu'a en tête l'enseignant,

* les outils mis à disposition de l'élève pour réaliser les tâches

On le perçoit dans plusieurs moments de la séance, par exemple :

* dans le temps 2, quand l'élève utilise un crayon pour valider son alignement et que l'enseignante le renvoie aux instruments institutionnels que sont la règle ou l'équerre. On peut envisager que la préoccupation de l'enseignante à ce moment est guidée par sa connaissance des programmes (socle commun, compétence 3 : "effectuer des tracés à l'aide des instruments usuels (règle, équerre, compas, rapporteur)"), tandis que la préoccupation de l'élève est centrée sur la réussite de la tâche.

* dans le temps 4, le tableau noir et la présence visuelle de l'intersection des deux droites sert de milieu de validation pour identifier l'intersection des deux droites.

* dans le temps 6 et 7, la parole de l'enseignant qui valide la bonne énonciation fait partie de ce milieu de validation.

* dans le temps 8, la MS évoque l'activité pédagogique avec les plots dans la cour d'école, aux élèves, cette convocation du vécu sert de milieu de validation dans son discours.

On ressent que les enseignantes sont à la fois préoccupées par le vocabulaire (tant en français qu'en langage mathématique), les outils et leur utilisation, la précision des tracés. Donc, on pourrait proposer qu'une des pistes possibles soit de se recentrer sur quelques concepts essentiels, quitte à faire momentanément le deuil sur d'autres aspects du programme :

* une droite est "infinie"

* une droite est composée d'une infinité de points

* le point

Lors du temps 5, le concept d'infinitude de la droite est énoncé, en contradiction avec le geste de la co-enseignante qui ne trace que des représentations bornées de droites. Ce fait est général et concerne tous les enseignants lorsqu'ils travaillent la géométrie. Ce problème, s'il n'est pas explicitement pointé par l'enseignant, ne saute pas aux yeux, ni aux oreilles des élèves. L'enseignant prend appui sur cet argument, "une droite est infinie", pour justifier l'idée qu'il ne faut pas s'arrêter à une croix ou à un rond. Il y a là un paradoxe entre ce qui est énoncé oralement et ce qui est dessiné au tableau. Il y a là un enjeu important puisqu'il s'agit d'un glissement qui s'opère entre des actes nécessairement finis et une parole qui porte en elle un concept.

Il nous semble intéressant de prendre en charge cette question dans la classe, à la mesure des possibilités des élèves de cet âge : "Peut-on parler d'infini à l'école ? Peut-on tracer l'infini ? Peut-on penser l'infini ? Comment ? Quand ? Peut-on mettre en scène l'infini ?"

Le mot "intersection" est polysémique. Durant le temps 8, la métaphore des routes qui se croisent propose une image qui a pour objectif de clarifier le concept. Dans ce contexte, cette métaphore génère l'usage d'une multitude de prépositions, adaptées dans le langage usuel ("sur", "dans", "entre", "de"), mais qui ont un sens spécifique en mathématique. Cette tension est inhérente à de nombreux mots utilisés en mathématiques ("échelle" sur une carte, "cube" en géométrie). Cette question est saillante et rarement posée entre collègues ou dans la classe : à quel moment installe-t-on une métaphore ? Pour nourrir quel versant du concept ? Dans les programmes, il ne semble pas y avoir d'enjeu autour de ces questions puisqu'il n'y a pas d'attentes d'explicitations de ces termes.

Guy Brousseau écrit sur ce point :
" Le créateur de la notion d'obstacle épistémologique, Gaston Bachelard, ne croyait pas qu'il puisse y avoir d'obstacles de ce genre en mathématiques. La théorie des situations didactiques a permis de prévoir des obstacles didactiques en partant des obstacles épistémologiques historiques et de les expliquer. Nous en avons déduit que la conception d'une progression continue des enseignements par adjonction de savoirs avec le même vocabulaire et le même sens " de la maternelle à l'université " était contradictoire. Elle conduit à se limiter localement à des enseignements formels dont le sens incontrôlé crée des obstacles qui à terme conduisent à des échecs que nous avons identifiés et montrés. L'idée séduisante des " socles " qui pourraient être acquis définitivement, indépendamment de leur sens et des usages qui en seraient faits ultérieurement, relève de la même erreur."
in Brousseau Guy, " La théorie des situations didactiques en mathématiques ", Education & didactique 1/ 2011 (vol. 5), p. 101-104

Pour essayer de susciter un questionnement, ou du moins pour que l'idée d'intersection fasse problème nous proposons les pistes suivantes.

* Il est possible de faire en sorte que le point d'intersection soit en dehors du cadre qu'elles se sont fixées (le tableau noir). Par exemple, on trace deux segments de droites qui se coupent en dehors du tableau noir et on demande "est-ce qu'il existe un point d'intersection ?". En laissant la place aux pronostics des élèves, en recourant à du matériel complémentaire (affiches, cartons...) la recherche collective pourrait permettre aux élèves de concevoir que les droites ne s'arrêtent pas à l'espace limité du tableau.

* On peut aussi utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour jouer sur la variable didactique du mouvement pour faire "entrer" ou "sortir" le point d'intersection de l'écran projeté aux élèves.

* Le travail de mentalisation peut être intéressant, par exemple "je suis autorisé à prolonger, en pensée, mes "droites" aussi loin que je le souhaite", "personne n'est capable de tracer une droite, on trace des représentations de droites".

* Proposer des situations à mener collaborativement ou non, en proposant de réaliser des figures à contraintes : "Tracer deux droites qui n'ont pas de point d'intersection", "Avec quatre droites, combien de points d'intersection au maximum peut-on réaliser ?" ; "Tracer deux droites qui ont pour point d'intersection le point A". Ces situations peuvent être pensées dans le "rituel", sans forcément appeler un temps long de recherche et en laissant émerger un temps d'institutionalisation court.

* Le fait de travailler à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique (qui permet de faire bouger les éléments pour constater s'ils sont liés les uns aux autres, comme "épreuve de vérité") pourra aider les enseignants à faire éprouver l'intersection dans sa dimension géométrique, le micro-milieu de validation du logiciel interactif étant très différent du micro-milieu de validation "papier-crayon". A ce titre, on peut consulter les analyses de Colette Laborde et Bernard Capponi:

Un autre axe de travail possible serait de travailler sur la représentation de l'objet mathématique "droite". Par exemple on peut proposer la tâche suivante : "Si tu avais une loupe très grossissante, que verrions-nous d'une toute petite partie d'une droite ? De quoi serait-elle constituée ? Comment la dessinerais-tu ? Et si tu regardais une droite depuis la lune, que verrais-tu ?".

Un imagier d'objets qui puissent à la fois être considérés dans leur dimension "ordinaire" ou dans leur dimension "mathématique" pourra être un outil intéressant. Il pourra intégrer des photos de l'activité qui a été conduite dans la cour (macro-milieu).

Que ce soit entre l'enseignant et l'élève, ou entre plusieurs groupes d'élèves, les tâches de production de figures à partir d'énoncés dictés, en fixant des contraintes, peuvent constituer des situations riches qui permettent d'engager des échanges et de construire des énoncés langagiers permettant de décider si une figure produite est conforme ou non avec l'énoncé prescrit.

Proposer une situation complexe dans l'idée de prolonger le travail mené dans les phases de structuration-systématisation, dans le passage de l'école au collège. C'est le cas du problème de Lambert. On se donne deux droites qui se coupent en dehors d'un cadre, un point dans ce cadre. Il s'agit de proposer une méthode pour tracer le segment de droite qui passe par ce point et l'intersection des deux droites. Cette situation visant à provoquer des propositions des élèves, du débat pour tenter de convaincre. Elle s'inscrit, à l'inverse des situations précédentes, sur un temps long.

L'institutionnalisation peut comporter plusieurs volets (Quelles postures du chercheur face à un problème "ouvert" ? La possibilité d'obtenir différentes méthodes de résolution et en particuliers parmi elles, la solution proposée par Lambert (Résolution à la fois "simple" et "mystérieuse" car utilisant huit fois la règle non graduée et des concepts de perspective). Pour visiter différentes méthodes on peut consulter le site de Patrice Debart.

L'analogie avec le tableau de Magritte " Ceci n'est pas une pipe" peut-être une évocation forte entre objet et représentation de l'objet. Sans verser dans une pédagogie exclusivement analogique, il s'agirait d'explorer des ponts avec d'autres champs de savoirs, par exemple l'Histoire des arts. Le cas du problème de Lambert est d'ailleurs très propice à ces passerelles, puisqu'il proposait cet exercice pour permettre aux peintres de résoudre des problèmes de fuyantes dans le cadre de la perspective dans la peinture.
Analyses didactiques réalisées par Sylvie Martin-Dametto et Henrique Vilas-Boas

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Faire des mathématiques en co-enseignement : une aide pour penser les mathématiques

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Enseigner la géométrie à deux enseignants dans la classe en REP à Vaulx en Velin dans le cadre du dispositif plus de maitres que de classes. Préparer, conduire la séance, évaluer... Le dispositif PDMQDC est-il une condition pour permettre de rentrer dans une analyse didactique fine de ce qui se joue dans la séance ?

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Atelier réflexif sur la co-intervention autour de l'expérience de deux enseignants.

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- Animés par Laurence Lévy-Delpla, CARDIE, en partenariat avec le CRI.

- Bénédicte Sévenet et Gregoire Gaudin, professeurs au collège Marie Curie dans le 18e arrondissement, mènent une expérience de co-intervention dans leur classe. Ils relatent leur expérience pour ouvrir un débat entre les participants. Cet atelier se termine par une synthèse menée par Ange Ansour (CRI) et un billet de Marc Jahjah, chercheur.

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pour les enseignants de la voie professionnelle

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Animés par Laurence Lévy-Delpla, CARDIE, en partenariat avec le CRI. - Bénédicte Sévenet et Gregoire Gaudin, professeurs au collège Marie Curie dans le 18e arrondissement, mènent une expérience de co-intervention dans leur classe. Ils relatent leur expérience pour ouvrir un débat entre les participants.

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Expérimentation auprès des élèves de 3PEP

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Expérimentation auprès des élèves de 3PEP

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Expérimentation dans le cadre de la liaison école et collège

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Expérimentation dans le cadre de la liaison école et collège

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Co-intervention ITEP

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Cours et ateliers

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Atelier n°1
Pourquoi cette pratique ? Pour quels bénéfices escomptés ? Quels sont les enjeux pour les enseignants ?
Quels inconvénients nos pratiques antérieures (en terme d’aide aux élèves=>sortie de l’élève de la classe) présentaient-elles qui justifient une réflexion sur la co-intervention ?
Quelles difficultés ? Quels leviers ?
Atelier n°2

Quels intérêts et les limites pour chacune des modalités de mise en œuvre ?

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Pour aller plus loin

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Des expériences

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Co-intervention vécues par des professionnels de l'éducation et du soin

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Co-intervention vécues par des professionnels de l'éducation et du soin

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■Ce livre repose sur l'étude d'actions de Co-intervention vécues par des professionnels de l'éducation et du soin, dans le cadre de la scolarisation et de l'accompagnement des élèves en grande difficulté scolaire et en situation de handicap. Tandis que la récente loi d'orientation et de programmation pour la refondation de l'Ecole (9 juillet 2013) prévoit l'augmentation du nombre d'auxiliaires de vie scolaire, l'octroi de postes supplémentaires en direction des secteurs les plus fragiles et de multiples partenariats Co éducatifs, il convient de se demander quelles dynamiques de collaboration et de coopération agissent dans le temps et l'espace du travail conjoint mis en ouvre

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■Valérie Benoît, Valérie Angelucci, Réflexions autour du concept de Co-enseignement en contexte inclusif, Suisse, éducation et francophonie, acelf.ca
■Friend et Cook, 2007, Interactions : collaboration Skills for school professionals
, New York
■Rene Amigues, Laurence Espinassy, Christine Felix, Frederic Saujat. La co-intervention : un nouveau milieu de travail au service de l'efficacité et de l‘équité ? Université de Rennes 2, Nov 2008

■Marcel, Dupriez et alii -Coordonner, collaborer et coopérer : de nouvelles pratiques enseignantes, De Boeck, 2007

■Pascale Garnier -Faire la classe à plusieurs, Presses Universitaires de Rennes, 2003.

■Combes, C., & Grimaud, F. (2013). Travailler à deux dans une classe : une approche ergonomique de l’activité enseignante dans des dispositifs de co-intervention à l’école élémentaire. In Actes de l’Actualité de la Recherche en Education et en Formation : Montpellier.
■Le co-enseignement : condition suffisante de différenciation pédagogique ? Philippe Tremblay – Faculté des sciences de l’éducation – Université Laval