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Matemáticas 4º Tareas 14 al 17 de abril 2020

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Minimo común multiplo de polinomios TRUCOS y máximo comun divisor

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Empiezan en el ejercicio 200

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empiezan en el ejercicio 200

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Realizad estos ejercicios para repasar la asignatura de 3º de ESO. Centraros en aquellos bloques que llevéis peor

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Realizad estos ejercicios para repasar la asignatura de 3º de ESO. Centraros en aquellos bloques que llevéis peor

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Faltarían las polinómicas (Rufini)

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Matemáticas 4º Tareas 12 al 25 de marzo 2020

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Matemáticas 4º Tareas 12 al 25 de marzo 2020 solución

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Matemáticas 4º Tareas 26 al 02 de abril 2020

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Matemáticas 4º Tareas 26 al 02 de abril 2020 sol 1 al 3

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Matemáticas 4º Tareas 26 al 02 de abril 2020 sol 4 al 6

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Enlace a la página web de teoría y ejercicios para esta semana

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Enlace a la página web de teoría y ejercicios para esta semana

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Explicamos los conceptos básicos relacionados con las funciones lineales y resolvemos algunos problemas.
Índice:

1. Definición y ejemplo

2. Pendiente y ordenada

3. Gráfica

4. Puntos de corte con los ejes

5. Función a partir de dos puntos

6. Intersección de dos funciones

7. Paralelas y perpendiculares

8. Problemas resueltos

1. Definición y ejemplo

Una función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, tiene la siguiente forma

siendo \(m\neq 0\).

\(m\) es la pendiente de la función

\(n\) es la ordenada (en el origen) de la función

La gráfica de una función lineal es siempre una recta.

Ejemplo

La pendiente de la función es \(m=2\) y la ordenada es \(n=-1\).

2. Pendiente y ordenada

La pendiente es el coeficiente de la variable, es decir, \(m\).

Geométricamente, cuanto mayor es la pendiente, más inclinada es la recta. Es decir, más rápido crece la función.

Si la pendiente es positiva, la función es creciente.

Si la pendiente es negativa, la función es decreciente.

Ejemplo

Rectas con pendientes 1, 2, 3 y -1:

Observad que la recta con pendiente negativa \(-1\) es decreciente (la roja). Las otras tres rectas son crecientes.

De las rectas crecientes, la que crece más rápidamente es la verde (pendiente \(3\)).

3. Gráfica

Como una función lineal es una recta, para representar su gráfica sólo tenemos que trazar la recta que une dos de sus puntos. Para ello, calculamos la imagen de dos puntos cualesquiera.

La definición formal de la gráfica de la función es el conjunto de puntos siguiente:

$$ \{ (x, f(x))\}$$

Ejemplo

Vamos a representar la gráfica de la función

Hacemos una tabla para calcular dos puntos de la gráfica:

Representamos la recta a partir de los puntos \((4,5)\) y \((-2,-7)\):

Observad que la recta corta al eje Y por debajo del eje X, esto se debe a que la ordenada es negativa (\(n = -3\)).

4. Puntos de corte con los ejes

Una función lineal siempre corta al eje Y en un punto. También, corta al eje X en un punto.

El punto de corte con el eje Y es el punto de la recta que tiene la primera coordenada igual a \(0\):

El punto de corte con el eje X es el punto de la recta que tiene \(0\) en la segunda coordenada. Se calcula igualando a \(0\) la función y resolviendo la ecuación obtenida.

Ejemplo

Calculamos los puntos de corte de la función del ejemplo anterior,

Corte con el eje Y:

Es el punto

Observad que la segunda coordenada es la ordenada.

Corte con el eje X:

Es el punto

5. Función a partir de dos puntos

Si tenemos dos puntos de la recta, podemos calcular la expresión algebraica de la función. Sólo tenemos que sustituir las coordenadas de los puntos en la forma general de la función

y resolver el sistema de ecuaciones.

Ejemplo

Vamos a calcular la función lineal que pasa por los puntos \((1,2)\) y \((2,7)\).

Tenemos que hallar la pendiente, \(m\), y la ordenada, \(n\).
Primer punto
Como \(x =1\) e \(y=2\), sustituyendo,

Segundo punto
Como \(x =2\) e \(y=7\), sustituyendo,

Tenemos el sistema

Resolviendo el sistema, por ejemplo, por reducción, tenemos que \(m = 5\) (con lo que \(n=-3\)). Por tanto, se trata de la función

6. Intersección de dos funciones

Si tenemos dos funciones lineales, podemos preguntarnos si las rectas que representan se cortan y en qué punto lo hacen.

Para responder esta pregunta, sólo tenemos que igualar las dos expresiones algebraicas y resolver la ecuación.

Ejemplo

Vamos a calcular el punto de corte de las dos siguientes rectas:

Como \(y = y\), igualando,

Resolvemos la ecuación:

La primera coordenada del punto de corte es \(x=4\). La segunda coordenada la obtenemos calculando su imagen en alguna de las dos rectas:

Por tanto, el punto de corte es \((4,7)\).

Gráfica:

7. Paralelas y perpendiculares

Dos rectas son paralelas si no se cortan en ningún punto (o si son iguales). Esto ocurre cuando tienen la misma pendiente, \(m\).

Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando un ángulo recto (ángulo de 45°). Las rectas perpendiculares a la recta con pendiente \(m\) son las que tienen pendiente \(-1/m\).

Ejemplo

Las siguientes rectas son paralelas porque tienen la misma pendiente (\(m=2\)):

Las siguientes rectas son perpendiculares porque la pendiente de la una es el opuesto del inverso de la pendiente de la otra:

8. Problemas resueltos

Problema 1

Calcular los puntos de corte con los ejes y representar la función. ¿Cuál es la pendiente de la recta?

Resolvemos:

La pendiente de la recta es \(m = -2\). Como es negativa, es una recta decreciente.

La recta corta al eje Y cuando \(x=0\), por tanto, lo hace en el punto

La recta corta al eje X cuando \(y=0\). Tenemos que resolver una ecuación:

El punto de corte es

Como tenemos dos puntos de la recta, podemos representar su gráfica:

Problema 2

Calcular y representar la función cuya gráfica es una recta que pasa por los puntos \((1,2)\) y \((-3,4)\). ¿Cuál es su pendiente?

Resolvemos:

La forma general de una recta es

Vamos a calcular \(m\) y \(n\) sustituyendo las coordenadas de los puntos.

Primer punto:

Segundo punto:

Tenemos un sistema de ecuaciones:

Restando la primera ecuación a la segunda tenemos

Sustituyendo \(m\), tenemos \(n = 5/2\).

Por tanto, se trata de la función

Gráfica:

La pendiente de la función es \(m = -1/2\).

Problema 3

Las pendientes de tres rectas son \(m_1 = 1\), \(m_2 = -2\) y \(m_3 = 3\).

¿Cuál de ellas crece más rápidamente? ¿Cuál de ellas es una recta decreciente?

Problema 4

Hallar, si existe, el punto de corte de las siguientes rectas:

¿Son rectas paralelas o perpendiculares?

Resolvemos:

Igualamos las funciones para calcular el punto de corte:

Resolvemos la ecuación:

Calculamos \(y\) a partir de \(x\):

Las rectas se cortan en el punto \((4,5)\).

Como se cortan, no pueden ser paralelas.

Tampoco son perpendiculares porque las pendientes son positivas (es indispensable tener pendientes de signo contrario para ser perpendiculares).

Gráfica:

Problema 5

Hallar, si existe, el punto de corte de las siguientes rectas:

¿Son rectas paralelas o perpendiculares?

Resolvemos:

Las dos rectas tienen la misma pendiente:

Por tanto, se trata de dos rectas paralelas, lo que significa que no se cortan, a no ser que sean la misma recta.

Por ejemplo, el punto \((1,2)\) es un punto de la primera función, pero no de la segunda, así que no son la misma recta.

Gráfica:

También, podemos igualar las funciones, pero como las rectas son paralelas, obtendremos una igualdad falsa.

Más problemas similares: Rectas y parábolas.

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Definimos función lineal y explicamos algunos conceptos: pendiente, ordenada, gráfica, punto de corte con los ejes, intersección de dos funciones, rectas paralelas y perpendiculares. Finalmente, resolvemos problemas de aplicación. Matemáticas. Secundaria.

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Corregir los ejercicios de la semana anterior

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A partir de esta semana se pasa el día de entregas a los viernes

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En el correo de entrega de tareas del viernes contesta a estas dos preguntas:

¿Qué acertijo te ha gustado más?

¿Por qué?

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Día de dudas

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Comenzamos con el repaso del Teorema de Tales.
Realizar un resumen de la teoría que podéis leer. Usad los videos si no entendéis algo (el de la demostración no)

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THALES Y LA PIRÁMIDE DE KEOPS Alrededor del año 600 a.C., Thales visitó Egipto, donde el faraón; que había oído hablar de la inteligencia de Thales; le pidió que averiguara la altura de la Gran Pirámide de Keops. Para ello, nuestro gran sabio, clavó su bastón en el suelo de forma vertical y esperó... En el instante justo en el que la sombra de su bastón fue igual a la altura del bastón, entonces la sombra de la pirámide también sería igual a la altura de ésta. Suponemos que para poder llevar a cabo este experimento, recibiría ayuda de alguien. Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales) , debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.Primer teorema Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo :

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THALES Y LA PIRÁMIDE DE KEOPS Alrededor del año 600 a.C., Thales visitó Egipto, donde el faraón; que había oído hablar de la inteligencia de Thales; le pidió que averiguara la altura de la Gran Pirámide de Keops. Para ello, nuestro gran sabio, clavó su bastón en el suelo de forma vertical y esperó...

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Realizad los ejercicios que aparecen en la página de ayer. En la página les llaman "Resuelve y aprende". Hacer solo los 3 primeros

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THALES Y LA PIRÁMIDE DE KEOPS Alrededor del año 600 a.C., Thales visitó Egipto, donde el faraón; que había oído hablar de la inteligencia de Thales; le pidió que averiguara la altura de la Gran Pirámide de Keops. Para ello, nuestro gran sabio, clavó su bastón en el suelo de forma vertical y esperó... En el instante justo en el que la sombra de su bastón fue igual a la altura del bastón, entonces la sombra de la pirámide también sería igual a la altura de ésta. Suponemos que para poder llevar a cabo este experimento, recibiría ayuda de alguien. Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales) , debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.Primer teorema Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo :

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THALES Y LA PIRÁMIDE DE KEOPS Alrededor del año 600 a.C., Thales visitó Egipto, donde el faraón; que había oído hablar de la inteligencia de Thales; le pidió que averiguara la altura de la Gran Pirámide de Keops. Para ello, nuestro gran sabio, clavó su bastón en el suelo de forma vertical y esperó...

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Repaso de semejanza de triángulos
Resumen de la teoría, ejemplos y criterios de semejanza

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1 Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.

Dado que las sombras son proyectadas a la misma hora, supondremos semejanza para poder dar una solución. Así, dada la semejanza, tenemos la siguiente igualdad

despejando obtenemos

2 Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

Notemos que como tenemos los catetos de uno de los triángulos rectángulos, podemos calcular su hipotenusa

Dada la hipotenusa y que los triángulos son semejantes, utilizaremos el hecho de que los lados son proporcionales para obtener los catetos del otro triángulo. Primero calculemos

despejando obtenemos

Ahora calculemos

despejando obtenemos

Criterios de semejanza

Ángulos iguales

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

Lados proporcionales

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

Ángulos entre lados

Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos son iguales.

o bien

o bien

Ejercicios

Determinar los siguientes triángulos son semejantes:

Para este ejemplo, analizaremos si los lados son proporcionales, para esto podemos proceder de varias maneras, sin embargo, lo que nosotros haremos es reducir la proporción de cada lado a su mínima expresión y ver si éstas coinciden, en caso de ser así, habremos encontrado el razón de proporción . Para ello, notemos que

,

,

y por último

.

Así, tenemos que

Podemos concluir que los triángulos son semejantes porque tienen los lados proporcionales
.

Recordemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es igual a . Dicho esto, entonces tendríamos que

Ahora, notemos que y . Por lo tanto son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.

Veremos si los dos lados dados en cada triángulo son proporcionales y si el ángulo entre estos son iguales. Primero, es claro que los ángulos

. Entonces, solo falta ver que los lados sean proporcionales, para ello, notemos que

Por lo tanto, tenemos que

Así, los triángulos son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos iguales.

Semejanza de triángulos rectángulos

Ángulo

Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo (distinto al ángulo recto) igual.

Catetos proporcionales

Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.

Hipotenusa y cateto

Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la
hipotenusa y un cateto.

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1 Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m. Dado que las sombras son proyectadas a la misma hora, supondremos semejanza para poder dar una solución.

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Corrección de ejercicios de la semana anterior; dudas o entrega de tareas atrasadas.

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¡¡¡A ver cuánto sabéis de Logaritmos!!!
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