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Un límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.
La continuidad requiere que el comportamiento de una función alrededor de un punto sea igual al valor de la función en ese punto.

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3.2 DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. 

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3.2 DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. 

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El límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y se refiere a la cercanía entre un valor y un punto.
Por ejemplo:
Si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos.

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Dadas dos funciones f(x) y g(x) que tienen límite en un punto "a", se cumplen las siguientes propiedades:

El límite de la suma de ambas funciones es igual a la suma de los límites.

El límite de la diferencia se calcula como la diferencia de los límites.

El límite del producto de las funciones es igual al producto de sus límites.

El límite del cociente entre ambas funciones es igual al cociente entre los límites, siempre y cuando el límite del denominador sea distinto de cero.

El límite del producto de una constante por una función viene determinado por la multiplicación de la constante por el límite de la función.

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Digamos que tienes una función: f(x) y esta es una función que recae dentro de las polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc. y está se encuentra definida por el punto "a".
Si todo esto se cumple entonces su representación seria la siguiente:
lim = f(a)
x→ a
Para calcular un límite primero debemos saber a cuanto tiende "X" si por ejemplo "X" tiende a "a" entonces cualquier variable x dentro de la función será cambiada por "a", esto es una simple sustitución.

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En el siguiente ejemplo tenemos que "x tiende a 1" por lo cual reemplazaremos todas las "x" en la función por 1. Al realizar el anterior procedimiento simplemente se resuelve el problema sumando, restando, dividiendo, multiplicando, etc. Teniendo en cuenta todos los elementos dentro de la función.

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En la definición de límite de una función en un punto decíamos que era el valor al que se aproximaba la función f(x) cuando la x se acercaba a "a". Pero a "a", siempre que sea un valor finito, podemos acercarnos por la izquierda, esto es, tomando valores menores que "a", o por la derecha, es decir, tomando valores mayores que a. Los límites laterales contemplan precisamente estas dos posibilidades.

A la izquierda, en 1, concepto y notación del límite por la izquierda. Observa que, a medida que tomamos valores próximos a "a", pero menores que este (fondo verde claro), los correspondientes valores de f(x), en rojo, se aproximan a L i. Decimos que L i es el valor del límite de la función cuando x se aproxima a a por la izquierda.

En 2, el concepto y notación del límite por la derecha. A medida que tomamos valores próximos a "a", pero mayores que este (fondo verde oscuro), los correspondientes valores de f(x) se aproximan a L d. Decimos que L d es el valor del límite de la función cuando x se aproxima a a por la derecha.

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✅LÍMITES y CONTINUIDAD en CÁLCULO MULTIVARIABLE| APRÉNDELO en 10 MINUTOS 💯 - Bing video

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✅LÍMITES y CONTINUIDAD en CÁLCULO MULTIVARIABLE| APRÉNDELO en 10 MINUTOS 💯

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Una asíntota es una recta a la cual se aproxima indefinidamente una función, sin llegar nunca a tocarla.
Tenemos los 3 tipos de asíntotas que puede presentar una función: en verde, una asíntota horizontal; en rojo, una asíntota vertical; en azul, una asíntota oblicua. Como puedes ver, las ramas de la función nunca tocan a las asíntotas, pero se aproximan de manera constante a ellas.

Asíntota horizontal.

Una función f(x) tiene la asíntota horizontal y=k si su límite cuando x tiende a infinito es k.

Asíntota vertical.

Una función f(x) tiene la asíntota vertical x=k si su límite cuando x tiende a k es infinito.

Asíntota oblicua.

Una recta es oblicua si no es horizontal ni vertical.

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3.6 LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITO. 

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3.6 LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITO. 

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Límites Infinitos.

Decimos que lim f(x)= ∞ si para los valores de x próximos a a, x→ a los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como queramos.

Decimos que lim f(x)= ∞ si fijado a un valor k positivo y tan grande como se quisiera, existe un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entonces f(x)>k.

Análogamente, lim f(x) = – ∞
x→a
Si para los valores de x cercanos a a, los valores de f(x) se pueden hacer tan pequeños como queramos.

Diremos que lim f(x) = – ∞
x→a
Si fijado un valor de k positivo y tan grande como se quisiera, podemos encontrar un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entonces  f(x) < -k

Límites al Infinito.
Cuando el dominio de y= f(x) se extiende indefinidamente hacia la derecha o hacia la izquierda de la recta real tienen sentido las expresiones:

• lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente grande”, los valores de f(x) se acercan a L.
x→ ∞

•lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente pequeña, los valores de f(x) se acercan a L.
x→ ∞

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Existen diferentes Tipos de Funciones Discontinuas tales como:
1. Discontinuidad evitable.

Una función tiene una discontinuidad evitable, en un punto a, si existe límite de la función en el punto, a, pero o no coincide con el valor de la función, f(a), o a no pertenece al dominio de f. Es decir, verifica 2ª pero no se cumple 1º o 3ª.
2. Discontinuidad inevitable o de primera especie.
Si existen los límites laterales en un punto, pero no coinciden, la discontinuidad se llama de salto. El salto (finito) es la diferencia entre estos valores (en valor absoluto). Cuando uno de los límites laterales de infinito se trata de una discontinuidad de salto infinito.
3. Discontinuidad esencial o de segunda especie.
Si no existe alguno de los límites laterales la discontinuidad se dice de 2ª especie, o esencial.

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3.8 CONTINUIDAD EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO. 

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3.8 CONTINUIDAD EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO. 

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Continuidad en un punto:

Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Continuidad de una función en un punto:
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.

Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Continuidad en un intervalo:

Una función es continua en un intervalo abierto (a,b) si lo es en cada uno de sus puntos.

Una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] si lo es en cada uno de los puntos de (a,b) y además es continua por la derecha en a y por la izquierda en b.

Si una función es continua en un intervalo [a,b] y toma valores de signo contrario en los extremos, entonces existe al menos un punto interior c del intervalo en el que f(c)=0

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Noción de límite. (s. f.). GeoGebra. https://www.geogebra.org/m/he6UBvwq

Límites y Continuidad / Cálculo Diferencial / Matemáticas / Khan Academy.  (s. f.). Khan Academy. https://es.khanacademy.org/math/differential-calculus/dc-limits#:~:text=Los%20límites%20describen%20el%20comportamiento%20de%20una%20función,juega%20un%20papel%20fundamental%20en%20todo%20el%20cálculo.

Definición de límite de una función - Definición .de. (s. f.). Definición.de. https://definicion.de/limite-de-una-funcion/#:~:text=El%20límite%20de%20una%20función%20revela%20la%20cercanía,determinado%20tiempo%20o%20de%20una%20restricción%20o%20limitación.

Límite de una función - hiru. (s. f.). Hiru.eus | Portal de Aprendizaje Permanente del Gobierno vasco - hiru. https://www.hiru.eus/es/matematicas/limite-de-una-funcion#:~:text=Noción%20de%20límite%20de%20una%20función.%20Se%20dice,definición,%20existen%20dos%20formas%20de%20aproximar%20x%20

Cálculo de Límites en Cálculo diferencial. (s. f.). IngenieríaElectrónica. https://ingenieriaelectronica.org/calculo-de-limites-en-calculo-diferencial/

Límites infinitos & límites al infinito. (s. f.). Cálculo :: >Límites & Continuidad<. https://calculolimitesycontinuidad.wordpress.com/limites-infinitos-limites-al-infinito/

Límites Laterales. (s. f.). Fisicalab | Web de Física y Matemáticas. https://www.fisicalab.com/apartado/limites-laterales

Asíntotas de una Función. (s. f.). Fisicalab | Web de Física y Matemáticas. https://www.fisicalab.com/apartado/asintotas-funcion

FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO. (s. f.). calculo interactivo y novedoso. https://calculomedel.wordpress.com/3-8-funciones-continuas-y-discontinuas-en-un-punto-y-en-un-intervalo/

Tipos de discontinuidades. (s. f.). Cálculo:: >Limites & Continuidad<. https://calculolimitesycontinuidad.wordpress.com/tipos-de-discontinuidades/#:~:text=%20Existen%20diferentes%20Tipos%20de%20Funciones%20Discontinuas%20tales,Discontinuidad%20esencial%20o%20de%20segunda%20especie.%20More%20#:~:text=1%20Discontinuidad%20evitable.%20Una%20función%20tiene%20una%20discontinuidad,la...%203%20Discontinuidad%20esencial%20o%20de%20segunda%20especie.