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[1. 방법

1) 자신이 탐구하고자 하는 단원 및 주제를 선택한다(교과서 참고)-예> 삼차와 사차 방정식의 근의공식, 한국의 수학자 등)

2) 단원 또는 주제와 자신이 탐구하고자 하는 내용의 제목을 정한다.

3) 각종 도서 및 인터넷 검색 등을 통해 관련된 자료를 수집한다.

4) 수집한 자료를 분석 및 재구성하여 자신이 탐구하고자 하는 내용과 수학의 연관성을 찾아보고 보고서를 작성한다. (반드시 자신의 생각이 들어가야 함)

5) 패들렛에는 참고하는 자료를 자유롭게 올리고, 최종 보고서도 패들렛에 올린다(기한 엄수). (한글, PDF 양식은 상관없으나, 말하고자 하는 내용은 보기 좋고, 뚜렷하게 나타나야 함. 최소 A4용지 10포인트로 2장 이상은 나와야함.)

서론 – 주제 및 탐구활동 내용 선정 동기

본론 – 주 보고서 내용

결론 – 탐구하고 알겐 된 내용 및 느낀점

2. 제출일

1) 보고서 주제 및 제목- 2025.5.29.(수요일)

2) 최종 보고서 제출일 – 2025.6.21.(금요일)

[수학독서 안내]

수학과목과 관련있는 독서를 하고 독서감상문을 제출한다.

권수에 대한 제한은 없으며, 도서에 대한 내용 및 자신이 느낀점을 작성해야함. (앞으로 탐구하고자하는 내용이나 그동안 탐구했었던 내용과 연관하여 도서를 선정하면 더 좋음)

수행평가에는 포함되지 않으며, 자유롭게 작성하셔도 됩니다. 그러나 A4용지의 2페이지 5000자 이상은 되야 합니다.

제출일 2025.6.21.(금요일)

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1학년 수학과목 수행평가 안내

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중간고사 보다는 잘 볼것이다. 아마?

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중간고사 보다는 잘 볼것이다. 아마?

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기말 수학 화이팅!

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3년만 버티자

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2등급 가보자고~~

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집에 가고 싶어요

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수학 공부를 열심히 해야겠다.

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수학 공부를 열심히 해야겠다.

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수학 열심히 해야겠다

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열심히 해야겠다

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성부와 성자와 성령의 이름으로 아멘

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성부와 성자와 성령의 이름으로 아멘

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주제: 프랙털 구조와 복소수

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주제: 프랙털 구조와 복소수

제목: 자연과 생물 속에 있는 수학적 요소들

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주제: 수학 공식의 역사제목

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주제: 수학 공식의 역사

제목: 여러 수학 공식을 구한 사람들 조사

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주제: 이차방정식의 실생활 적용 사례
제목: 이차방정식을 이용한 실생활 문제 해결

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주제: 집합론제목: 현대 수

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주제: 집합론

제목: 현대 수학의 역사

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제목: 수학을 빛낸 100명의 위인들

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주제: 수학 공식의 역사

제목: 여러 수학 공식을 구한 사람들

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주제: 허수 단위를 처음 사용한 오일러

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주제: 허수 단위를 처음 사용한 오일러

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제목: 오일러에 대하여

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주제:대기 오염에 대한 방정식

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주제:대기 오염에 대한 방정식

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제목:대기 오염의 원인과 영향을 파악하는 방정식

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주제: 함수

제목: 함수와 음악의 관련성

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수학탐구 보고서

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'프랙탈(fractal)'은 라틴어 '프랑게레(frangere)'에서 유래된 말로 '부러진'이란 의미다.

프랙탈은 아주 작은 기본 구조가 전체 구조와 유사한 형태로 '나누어져' 끝없이 되풀이 되는 구조를 말한다. 자연은 하나님이 만드신 기묘한 기하학적, 비기하학적 법칙에 의해 갈라지고, 울퉁불퉁하고, 모나고, 들쑥날쑥하고, 우툴두툴한 프랙탈 패턴으로 구성돼 있다.

프랙탈 패턴은 강이 바다로 모이는 과정, 나뭇가지가 뻗어나가는 구조, 또는 엉켜있지만 일정한 패턴으로 위치한 식물의 잎이나 꽃 등에서 볼 수 있다. 프랙탈은 때로는 나선처럼 소용돌이치며 발전하고 때로는 만화경처럼 자유롭게 구성된다.

1970년대 IBM 산하 토마스 왓슨 연구소의 연구원이었으며 후에 예일대 수학과 교수를 역임한 만델 브로트(Benoit Mandelbrot)는 추상수학적 해석이면서 완벽한 자기유사성(self-similarity) 패턴인 '프랙탈'이라는 식을 발견했다. 디지털 프랙탈을 통해 육안으로 볼 수 없는 피안(彼岸)의 세계를 접할 수 있게 된 것이다.

디지털에서의 프랙탈은 작은 단위들 점, 선, 면, 즉 픽셀, 선분을 논리적인 질서에 입각해 표현한다. 그것은 수학과 미학의 절묘한 만남으로 '사이아트(sciart)' 범주에 속한다. 프랙탈은 질서정연한 원리와 매우 복잡한 구성을 '완벽한 해상도'를 통해 무한한 반복의 미학을 창조한다. 프랙탈 세계는 실제로 시각적 형태의 연산이다. 그것은 정해진 끝이 없다. 초당 30장의 이미지 각각이 고도로 복잡하게 연산된 결과다.

[그림 1]은 컴퓨터에서 Z＇=Z(Z-1)을 전개시키면 나타나는 용(龍) 모양 프랙탈 패턴으로 무한히 전개돼 나아가는 작품이다. 마치 살아있는 여러 마리의 용처럼 뻗어나간다. 이 프랙탈 작품은 계속 진행해 나가는 '현재진행형의 작품'이다. 수학자와 예술가는 디지털에 의해 재창조된 프랙탈 패턴을 통해 기발하고 특별한 미감을 보여준다.

[그림 2]는 나비같은 프랙탈 패턴을 대칭으로 배치하고, 그 패턴을 크고 작게 전개시킨 작품이다. 컴퓨터의 다양한 그래픽 메뉴와 툴을 이용하여 우연적 상황을 창조하고 있다. 이밖에도 프랙탈 패턴을 기반으로 하여 포토샵 필터의 랜더(render), 조명효과, 마블링(marbling) 기법 등을 합성한 자유로운 가상공간을 표현한 프랙탈 아트가 많다.

만델브로트는 "프랙탈 예술은 과학의 발전 덕분에 생긴 컴퓨터 때문에 가능하다. 하드웨어가 있기 전 그리고 소프트웨어의 발달 없이는 결코 나올 수 없었을 것이다"라고 하면서 과학과 예술이 상호 영향 관계임을 역설했다. 컴퓨터는 원천적으로 창조를 못하는 '기계덩어리'에 불과하지만 만델 브로트처럼 천연계의 기본 패턴을 수적(數的) 원리로 파악하는 수학자와 만나서 예술 창조의 실마리를 제공한다.

미국의 평론가 피터 월렌(Peter Wollen)은 디지털시대 과학과 예술의 관계에 대해 "컴퓨터 그 자체는 수학적 논리학의 최종산물이다. 기계코드(machine code)의 형식주의가 새로운 예술적 형식을 창조하는데 사용된다면 과학과 예술의 구별은 무의미하다. 새로운 예술적 형식은 그 자체로 이성의 변화를 가져오고 논리학이나 미학 사이의 간극을 사라지게 만들 것"이라고 말했다.

글
김성운
화가, 아트앤디자인학과 교수, 디자인학 박사, 홍익대학교 산업미술대학원 졸업, 개인전 20회(한국, 프랑스, 일본 등) 국내·외 단체전 230회, 파리 퐁데자르·라빌라데자르갤러리 소속 작가, 대한민국현대미술전 심사위원, 한국정보디자인학회 부회장, 재림미술인협회장, 작품 소장 : 미국의회도서관, 프랑스, 일본 콜렉터, 한국산업은행 등

위드인뉴스 http://www.withinnews.co.kr/news/view.html?section=1&category=5&no=18341

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[김성운의 예술과 과학] 프랙탈로 소통하다 - 삼육대학교

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'프랙탈(fractal)'은 라틴어 '프랑게레(frangere)'에서 유래된 말로 '부러진'이란 의미다. 프랙탈은 아주 작은 기본 구조가 전체 구조와 유사한 형태로 '나누어져' 끝없이 되풀이 되는 구조를 말한다. 자연은 하나님이 만드신 기묘한 기하학적, 비기하학적 법칙에 의해 갈라지고, 울퉁불퉁하고, 모나고, 들쑥날쑥하고, 우툴두툴한 프랙탈 패턴으로 구성돼 있다. 프랙탈 패턴은 강이 바다로 모이는 과정, 나뭇가지가 뻗어나가는 구조, 또는 엉켜있지만 일정한 패턴으로 위치한 식물의 잎이나 꽃 등에서 볼 수 있다.

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프랙탈이란 카오스 안에서 찾을 수 있는 질서 구조이며 작은 구조가 전체 구조와 유사한 형태로 끝없이 되풀이 되는 구조이다. 이는 부분과 전체가 똑같은 모양을 하고 있다는 '자기 유사성(self-similarity)'과 '순환성(recursiveness)'이라는 속성을 기하학적으로 해석한 것으로 프랙탈은 단순한 구조가 끊임없이 반복되면서 복잡하고 특이한 전체 구조의 질서를 형성하는 것이다.

나뭇가지의 경우를 보면, 생각보다 매우 간단한 규칙으로부터 만들어지는 것을 알 수 있다. 나뭇가지가 일정한 길이의 비(比)가 될 때마다 두 개의 가지로 갈라진다고 하는 간단한 규칙만으로도 모든 방향으로 뻗은 나뭇가지의 구조를 만들어 낼 수가 있다. 이 경우에 가지의 어느 부분을 선택하여 확대를 해도 전체 나무 모양과 같은 모양을 얻을 수 있다. 이러한 성질을 '자기유사성(Self-Similarity)'이라고 하며, 자기 유사성을 갖는 기하학적 구조를 프랙탈 구조라고 한다.

칸토르 먼지(Cantor dust)

프랙탈의 역사는 '칸토르 먼지(Cantor dust)'라는 독일의 수학자 칸토르(Georg Cantor)에 의해 1872 창안된 것으로 알려져 있다. 매우 단순한 계산으로 지금까지 보지못한 모든 스케일의 차원에서 자기유사성을 보여주는 것이다. 바로 0.630929753571457437099527114! ( log 2/log 3 이 더 적절하다)라 값을 이용한 수식이다.

그림2) Cantor dust

칸토르 먼지를 만드는 방법은 다음과 같다. 먼저 길이가 1인 선분을 생각하고 그 중에서 중간의 1/3 부분을 제거하고 야쪽 0~1/3, 2/3~1 부분은 그대로 남긴다. 그리고 이러한 것은 무한히 반복하여 아리에 그린다. 이렇게 칸토르 먼지를 만들면 먼지에 포함되어 있는 점의 집합이 자연수 전체의 집합보다 더 큰 비의 농도를 갖는다는 것이다.

시에르핀스키의 삼각형(Sierpinski Triangle)

칸토르 먼지의 예와 같이 반복되는 형식으로 시에르핀스키의 삼각형(Sierpinski Triangle)을 만들 수 있다. 이 수식은 1915년 폴란드의 수학자 와크로 시에르핀스키(Waclaw Sierpinski)가 만들었다. 시어핀스키 삼각형은 규칙적인 알고리즘을 가지고 있다.

그림3) 시에르핀스키의 삼각형(Sierpinski Triangle)

방식)
등변 정삼각형에서 시작하여 각 변의 중점을 꼭지점으로 하는 삼각형을 그려 합동인 4개의 작은 정삼각형을 만들어진다. 단, 가운데 있는 작은 정삼각형을 제거하여 3개의 정삼각형만 남긴다. 이렇게 되면 작은 정삼각형의 한 변의 길이는 처음 삼각형의 1/2이고 넓이는 1/4이다. 만들어진 3개의 색칠되어진 정삼각형들에서 위의 과정을 반복하여 시행한다.

위의 이런 과정을 무한 반복한다.

이런 과정이 반복되면 n단계에서는 3^n개의 작은 삼각형들이 남는 것을 알 수 있다. 또 n단계 후에 생기는 삼각형의 한 변의 길이는 처음에 주어진 변의 길이의 정확히 1/2^n이다.

프랙탈(fractal) 용어는 1975년 IBM 연구원으로 있던 만델브로트(Benoit B. Mandelbrot)에 의해 처음으로 고안되었다. 만델브로트는. 1967년 영국의 과학 잡지 '사이언스'에 「영국을 둘러싸고 있는 해안선의 총 길이는 얼마인가」라는 논문을 통해 프랙탈 이론을 설명한 바가 있다. 이 논문에서 그는 영국의 프랙탈적인 해안선(리아스식 해안선)의 길이는 어떤 단위의 자(尺)로 재느냐에 따라 얼마든지 달라질 수 있다고 주장했으며 실제로 이를 증명도 하였다. 프랙탈은 자기 유사성(Self-Similarity)을 전제로 끊임없이자기 복제를 반복하는 순환성(Recursiveness)의 특성을 가진다.

이는 아주 간단한 수학식인
z=z²+c
에서 출발한다.

Z와 C는 복소수(complex number, 실수와 허수의 합으로 이루어지는 수)라는 점을 제외하면 아주 간단한 수학식이다.

이 간단한 수학식에서 만델브로트 집합, 줄리아 집합이라고 하는 광활한 우주가 만들어졌으며, 그 속에는 아무도 상상할 수 없었던 기상천외한 많은 것들이 수없이 많이 감추어져 있다. 그리고 프랙탈은 자기 유사성, 순환성 외에 알고리즘의 단순성이라는 특징도 가지고 있다.

즉,
「수학식 z=z²+c의 반복 계산 결과 Z가 발산하느냐 수렴하느냐」와 「허수 i²=-1」
이라는 것이 논리의 전부이다.

만델브로트의 구체적인 관심사는 그의 단순한 방정식에서 나오는 값의 증가였다. 그는 어떤 C값에서는 방정식에서 나오는 허수(i)의 값이 계속 증가할 것임을 알았다. 그러나 다른 C값에서 그 허수의 값은 아주 작은 두 허수 사이를 왕복한다. 그래서 그는 컴퓨터를 이용, 허수 값이 무한히 발산하지 않는 각각의 C값을 화면 위에 점으로 표현했다.

만델브로트 프랙탈

그 결과 만델브로트 집합이라는 그림이 나왔다. 납작하게 눌린 벌레의 가장자리에 수많은 촉수가 달린 모습이었고, 어떻게 보면 잉크 얼룩과도 같았다. 그것은 정사각형이나 정삼각형, 원 같은 순수한 기하학적 형태와는 거리가 먼, 뚜렷한 유기적 형태였다.

만델브로트는 그림이 너무 이상한 나머지 그것을 계속 확대해보았으나 단지 더 세부적인 형태만 나왔다. 계속 확대해 들어가도 보이는 것은 더 복잡한 구조뿐이었다. 만델브로트 집합의 세부적 형태는 끝없이 계속된다는 사실이 곧 분명해졌다. 그것을 영원히 확대해도 같은 모양의 구조가 계속 나올 것이다. 프랙탈 기하학은 고전적 기하학에서와 달리 특정된 크기나 축척이 큰 영향을 미치지 않는다는 사실을 알게 된 것이다.

쥴리아 프랙탈(Julia fractal)

만델브로트 집합과 함께 프랙탈의 양대 산맥을 형성하는 줄리아 집합은 만델브로트 집합이 나타나기 훨씬 전인 1918년 프랑스의 수학자인 줄리아(Gaston Julia)에 의해 발표되었다. 만델브로트가 프랙탈의 아버지라면 줄리아는 프랙탈의 할아버지에 해당한다. 만일 줄리아 집합이 발표될 당시 그래픽 기능이 있는 컴퓨터가 있었다면 줄리아 집합이 화려한 명성을 먼저 누렸을 것이다. 수학식 z=z²+c에서 Z를 발산시키지 않는 C값들의 모임이 만델브로트 집합이라면, C값을 고정시킨 상태에서 Z를 발산시키지 않는 Z값들의 모임이 줄리아 집합이다.

프랙탈 구조는 자연물에서 뿐만 아니라 수학적 분석, 생태학적 계산, 위상공간에 나타나는 운동모형 등 곳곳에서도 발견되어 자연이 가지는 기본적인 구조라는 사실도 깨닫게 되었다. 따라서 우리는 프랙탈 구조에 대한 이해를 통하여 불규칙하며 혼란스러워 보이는 현상을 배후에서 지배하는 규칙도 찾아낼 수 있게 되었다. 이제 프랙탈 구조는 혼란스러워 보이는 현상을 설명하는 새로운 언어로 등장하게 되었다.

그림1: Julia fractal

프랙탈이나 카오스 이론을 적용한 기술들은 인공지능,시뮬레이션,우주분야등 다양한 분야에 응용되고 있을 뿐만 아니라 실험적 예술등에도 적용되고 있다.

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프랙탈이란? 프랙탈이란 카오스 안에서 찾을 수 있는 질서 구조이며 작은 구조가 전체 구조와 유사한 형태로 끝없이 되풀이 되는 구조이다. 이는 부분과 전체가 똑같은 모양을 하고 있다는 '자기 유사성(self-similarity)'과 '순환성(recursiveness)'이라는 속성을 기하학적으로 해석한 것으로 프랙탈은 단순한 구조가 끊임없이 반복되면서 복잡하고 특이한 전체 구조의 질서를 형성하는 것이다.

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시인과 촌장의 노래 "가시나무"는 한때 큰 인기를 끌었으며 가수 조성모가 리메이크하여 또 큰 인기를 끌었다. 가사의 시작은 "내 속엔 내가 너무도 많아 당신의 쉴 곳 없네~"로 시작한다. 가사는 애틋한 사랑과 그리움을 노래한 노래지만, 이 가사를 들으면 과학자들은 어떤 기하 구조를 떠올린다. 가사에는 "가시나무 숲 같네~"와 같이 나무에 빗대어 그리움을 표현한다.

한여름의 뜨거운 햇살은 대지를 달구고 대지의 수분은 급속히 상승하여 커다란 적란운을 만든다. 작년인 듯 기억이 가물거리지만, 인천의 제2 외곽순환도로를 운전할 때 김포 쪽에서 엄청난 크기의 적란운이 다가오면서 먹장구름은 엄청난 숫자의 번개를 내리쳤다. 대지로 뻗어나가는 번개의 모습은 마치 나무를 뒤집어 놓은 것 같다. 나무, 번개, 콜리플라워, 신장의 혈관 구조, 허파꽈리 구조, 남해안 구불구불한 해안선 사이에는 어떤 공통점이 있을까?

우리에게 익숙한 사물이나 문양에 숨어 있는 본질은 늦게 발견되는 경우가 많다. 번개, 나무, 신장의 혈관 구조 등은 사실 자기 닮음(self-similarity)을 가진 구조이다. 자기 닮음 구조를 처음 깨달은 과학자는 브누아 망데브로(Benoit Mandelbrot, 1924-2010)였다. IBM 왓슨 연구소의 연구원이던 망델브로는 1967년에 Science 지에 "영국 해안선의 길이는 얼마나 길까? 통계적 자기 닮음과 분수 차원(How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension)"이란 논문을 출판했다. 사실 이 논문에서 자기 닮음에 대한 개념을 처음 제시했으며 분수 차원이란 이상한 개념을 제시했다. 우리가 알고 있는 차원은 1차원, 2차원, 3차원, 4차원과 같이 정수 차원만 생각하는 것이 보통인데 분수는 실수(real number)인데 3/2=1.5 차원과 같은 실수 차원을 언급한 것이다. 이상하지 않은가? 실수 차원은 나중에 프랙탈과 프랙탈 차원을 이야기할 때 자세히 살펴볼 것이다. 오늘은 자기 닮음에 집중하도록 한다. 아일랜드의 시인 요나단 스위프트(Johathan Swift, 1667-1745)는 그의 시에서 자기 닮음을 알고 있었다. 그가 쓴 시에 이런 시가 있다.

벼룩 등의 벼룩

큰 벼룩 등을 작은 벼룩이 물고 있고,

그리고 작은 벼룩은 더 작은 벼룩이 물고 있고,

이것이 무한히 반복되네.

그리고 큰 벼룩은 더 큰 벼룩을 물고 있고,

더 큰 벼룩은 다시 더 큰 벼룩을 물고 있네,

이것이 무한히 반복되고 있네.

[그림 1] 큰 벼룩이 작은 벼룩을 물고 있고, 작은 벼룩은 더 작은 벼룩을 물고 있다. 이 과정은 크기가 작은 방향과 크기가 큰 방향 양쪽으로 무한히 반복된다. 벼룩의 등을 돋보기로 확대하면 똑같은 모습이 반복된다. 내 안에 내가 또 있는 모습이다.

스위프가 쓴 시를 보면 그림 1과 같이 벼룩의 등에 작은 벼룩이 물고 있어서 돋보기로 벼룩을 확대해 봤더니 작은 벼룩의 등을 더 작은 벼룩이 물고 있는 모습이 반복되고 있다. 더 작은 크기의 방향으로 이 모습이 무한히 반복되고 있다. 그런데 사실 그림 1의 벼룩은 사실 더 큰 벼룩을 물고 있었고, 더 큰 벼룩은 더욱더 큰 벼룩을 물고 있었다. 벼룩의 크기가 더 커지는 방향으로 등위의 벼룩의 모습이 무한히 반복되고 있었다. 이 시에 자기 닮음의 의미가 함축되어 있다. 프랙탈(fractal, 프랙털)은 바로 이러한 자기 닮음을 가진 구조를 말한다. 프랙탈에 대한 정확한 정의는 "자기 닮음과 실수 차원을 가진 구조"를 말한다. 실수 차원인 프랙탈 차원은 다음 기회에 얘기해 보도록 한다. 돋보기로 벼룩의 등을 보는 것은 해상도(resolution)를 바꾸는 것이다. 프랙탈의 구조는 맨눈으로 보던, 돋보기로 보던, 현미경으로 보던 그 모습이 똑같다. 해상도를 바꾸는 것을 우리는 축척(scale)을 바꾼다고 한다. 자기 닮음은 축척의 변화에 대해서 그 모습이 불변인 스케일 불변성(scale-invariance) 의 성질을 가지는 구조이다.

[그림 2] 시얼핀스키 개스킷 프랙탈. 이 프랙탈의 일부를 2배 확대하면 정확히 원래 모습과 같고, 차원이 log3/log2=1.585....인 구조이다.

그림 2는 폴란드 수학자 바츠와프 시얼핀스키(Waclaw Sierpinski, 1882-1969)가 처음 생각한 구조이다. 이 구조는 처음에 속이 꽉 찬 삼각형에서 시작한다. 정삼각형의 세 변의 중점에 연결선을 그으면 그림과 같은 큰 역삼각형이 형성된다. 이 역삼각형을 잘라 버린다. 남은 세 개의 정삼각형에서 다시 이 과정을 반복한다. 이런 과정을 무한히 반복하면 역삼각형 부분이 제거된 개스킷(구멍이 숭숭 뚫린 구조물)이 형성된다. 시얼핀스키는 이 구조가 자기 닮음 구조인지 인식하지 못했지만 이런 구조를 제안했다. 그림 2에서 동그라미 부분을 2배 확대하면 그 모습이 확대하기 전의 모습과 완벽하게 같다. 내 안에 내가 정확히 또 있는 구조이다. 이것이 자기 닮음의 본질이다. 즉, 축척에 대해서 그 구조가 변하지 않는 구조를 말한다.

진화는 프랙탈의 이점을 알고 있었다!

시얼핀스키 개스킷은 완벽한 자기 닮음인 수학적 사상(mapping)을 가진 수학적 프랙탈(mathematical fractal)이다. 그런데 자연 현상에 자기 닮음 구조를 가진 구조가 많다. 자연에서 발견되는 프랙탈은 완벽한 수학적 자기 닮음을 갖지 못하고 통계적으로 자기 닮음을 유지한다. 망델브로가 자신의 사이언스 논문에서 통계적 자기 닮음(statistical self-similarity)이라고 말한 이유이다. 통계적 자기 닮음을 가진 프랙탈을 통계적 프랙탈(statistical fractal) 이라 한다. 자연에서 흔히 볼 수 있는 프랙탈 구조는 구불구불한 해안선, 번개, 나무, 나무뿌리, 강줄기 모습, 산맥의 모습, 구름, 에어로졸 응집체, 사람의 신장 혈관의 모습, 주가지수 시계열의 변동 구조 등 수없이 많은 곳에 존재한다.

[그림 3] 신장의 혈관 구조. 신장의 혈관 구조는 통계적 프랙탈이다. 진화과정에서 자연선택은 왜 이런 신장 구조를 선택했을까?

그림 3은 사람 신장에 조영제를 넣어서 삼차원의 혈관 구조를 사진으로 찍은 것이다. 마치 무성한 나무처럼 생겼다. 신장은 왜 이런 구조를 가졌을까? 프랙탈의 특징 중의 하나는 유한한 프랙탈 구조에서 프랙탈의 길이 또는 표면적을 측정해 보면, 길이 또는 표면적이 아주 크다는 것이다. 신장의 혈관 구조가 정육면체처럼 생겼다면 그 표면적은 유한하다. 그런데 그림3과 같이 나뭇가지 구조의 프랙탈 구조를 형성하면 그 표면적의 넓이는 정육면체보다 훨씬 더 크다. 신장의 기능이 인체의 노폐물을 인체 밖으로 배출하는 것이므로 신장의 표면적이 넓을수록 좋을 것이다. 그런데 유한한 부피에서 큰 표면적을 가지는 구조가 프랙탈이다. 자연의 진화는 프랙탈이 넓은 표면적을 가진다는 사실을 자연선택 과정에서 알게 되었을 것이다. 신장 혈관의 구조가 프랙탈이 아닌 개체와 프랙탈인 개체의 생존력은 프랙탈일 때 더 컸다. 진화가 거듭할수록 신장의 구조가 프랙탈인 개체가 진화의 승자가 되었다. 자연이 알고 있던 프랙탈 구조를 인류는 20세기 중순이 되어서야 깨달았다!

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진화는 프랙탈을 알고 있다!

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내 안에 내가 너무 많아서 (자기 닮음과 프랙탈 이야기) | 시인과 촌장의 노래 "가시나무"는 한때 큰 인기를 끌었으며 가수 조성모가 리메이크하여 또 큰 인기를 끌었다. 가사의 시작은 "내 속엔 내가 너무도 많아 당신의 쉴 곳 없네~"로 시작한다. 가사는 애틋한 사랑과 그리움을 노래한 노래지만, 이 가사를 들으면 과학자들은 어떤 기하 구조를 떠올린다.

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프랙탈은 복잡한 구조를 가진 수학적 현상으로, 자연과 실생활에서도 다양하게 나타납니다. 이러한 프랙탈은 단순한 수학적 규칙에 의해 생성되지만, 그 결과로 나타나는 형태는 매우 복잡하고 아름답습니다. 프랙탈 활용 사례, 프랙탈 자연, 그리고 프랙탈 수학적 원리 에 대해 알아보면 프랙탈의 신비로움과 중요성을 더욱 깊게 이해할 수 있습니다.

프랙탈은 '분열'이라는 뜻의 라틴어에서 유래한 단어로, 복잡한 구조를 가진 현상이나 물체를 설명하는 데 사용됩니다. 프랙탈은 자연에서부터 과학, 예술, 심지어 경제학에 이르기까지 다양한 분야에서 활용되고 있습니다. 이러한 프랙탈은 단순한 수학적 규칙에 의해 생성되지만, 그 결과로 나타나는 형태는 매우 복잡하고 아름답습니다. 프랙탈의 이러한 특성은 수학적 원리와 연계되어 있으며, 이를 통해 자연의 다양한 현상을 설명할 수 있습니다.

프랙탈 활용 사례

프랙탈은 다양한 분야에서 활용되고 있습니다. 과학, 기술, 예술 등에서 프랙탈의 중요성은 점점 더 커지고 있습니다.

과학에서의 활용

프랙탈은 복잡한 자연 현상을 모델링하는 데 매우 유용합니다. 예를 들어, 지형학에서는 프랙탈을 사용하여 산악 지형이나 강의 흐름을 분석합니다. 이러한 분석을 통해 홍수나 산사태의 위험성을 예측할 수 있습니다.

기술에서의 활용

프랙탈은 또한 통신 기술에서도 중요한 역할을 합니다. 안테나 디자인에서 프랙탈 형태의 안테나는 전통적인 안테나보다 더 효율적인 성능을 보입니다. 이는 프랙탈의 복잡한 구조가 전파의 전송과 수신을 더욱 효과적으로 만들기 때문입니다.

예술에서의 활용

프랙탈은 예술 분야에서도 창의적인 작품을 만드는 데 활용됩니다. 디지털 아트, 설치 미술, 심지어 음악까지 프랙탈은 다양한 예술 형태에서 볼 수 있습니다. 프랙탈 기반의 아트워크는 복잡하면서도 규칙적인 패턴으로 많은 사람들을 끌어들입니다.

프랙탈 자연

프랙탈은 자연에서도 흔히 볼 수 있습니다. 나무, 구름, 산맥 등 다양한 자연 현상에서 프랙탈 구조를 찾아볼 수 있습니다.

나무와 식물

나무의 가지나 식물의 잎에서도 프랙탈 구조를 볼 수 있습니다. 이러한 구조는 식물이 빛이나 영양분을 효율적으로 흡수하기 위한 자연의 설계입니다.

구름과 기상 현상

구름, 번개, 강의 흐름 등 기상 현상에서도 프랙탈을 볼 수 있습니다. 이러한 현상은 복잡한 기상 조건과 상호 작용하여 프랙탈 형태를 띠게 됩니다.

산맥과 지형

지구의 산맥이나 강, 해안선 등도 프랙탈 구조를 띕니다. 이러한 지형은 수많은 환경 요인과 상호 작용하여 복잡한 프랙탈 형태를 만들어냅니다.

프랙탈 수학적 원리

프랙탈은 복잡한 형태를 가지지만, 그 원리는 매우 단순한 수학적 규칙에 기반합니다. 반복, 자기 유사성, 무한성 이 이러한 원리의 핵심입니다.

반복

프랙탈은 단순한 규칙의 반복적인 적용으로 복잡한 형태를 만들어냅니다. 예를 들어, 삼각형을 계속해서 분할하면 시에르핀스키의 삼각형이라는 프랙탈 형태가 만들어집니다.

자기 유사성

프랙탈은 전체와 일부가 유사한 형태를 띕니다. 이를 '자기 유사성'이라고 하며, 이러한 특성 덕분에 프랙탈은 복잡한 현상을 단순한 규칙으로 설명할 수 있습니다.

무한성

프랙탈은 이론적으로 무한한 복잡성을 가질 수 있습니다. 즉, 프랙탈을 무한히 확대하거나 축소해도 그 구조는 변하지 않습니다. 이러한 무한성은 프랙탈의 가장 중요한 특성 중 하나입니다.

요약

프랙탈은 복잡한 구조를 가진 수학적 현상으로, 다양한 분야에서 활용되고 있습니다. 프랙탈 활용 사례에서는 과학, 기술, 예술 등에서 프랙탈의 중요성이 두드러집니다. 프랙탈 자연에서는 나무, 구름, 산맥 등 다양한 자연 현상에서 프랙탈 구조를 찾아볼 수 있습니다. 프랙탈 수학적 원리는 반복, 자기 유사성, 무한성 등을 통해 프랙탈의 복잡한 형태가 어떻게 만들어지는지를 설명합니다. 이러한 이해를 통해 프랙탈의 신비로움과 중요성을 더욱 깊게 알아볼 수 있습니다.

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프랙탈 활용 사례, 자연, 프랙탈 원리 총 정리

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프랙탈은 복잡한 구조를 가진 수학적 현상으로, 자연과 실생활에서도 다양하게 나타납니다. 이러한 프랙탈은 단순한 수학적 규칙에 의해 생성되지만, 그 결과로 나타나는 형태는 매우 복잡하고 아름답습니다. 프랙탈 활용 사례, 프랙탈 자연, 그리고 프랙탈 수학적 원리에 대해 알아보면 프랙탈의 신비로움과 중요성을 더욱 깊게 이해할 수 있습니다. 프랙탈은 '분열'이라는 뜻의 라틴어에서 유래한 단어로, 복잡한 구조를 가진 현상이나 물체를 설명하는 데 사용됩니다.

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자연은 프랙탈이다 : 김용운, 김용국

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우리를 둘러싸고 있는 자연계에는 복잡하고 불규칙한 모양이나 현상들이 가득하다. 구름이나 번개, 유리 파편, 겨울철 유리창에 서리는 성에, 비바람에 시달려서 꼬부라진 소나무, 바다 속의 아름다운 산호 등등, 이렇게 다양한 모양들 안에서 어떤 공통성을 찾아낼 수 없을까? 이들은 모두가 우연히 또는 순간적으로 이루어졌는가 하면, 오랜 시간이 걸린 것도 있다.

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고사리를 비롯한 양치류 식물의 잎의 모양을 자세히 살펴보면 흥미로운 특징을 발견할 수 있다. 잎의 일부분을 확대해보면 전체와 동일한 모양이 계속적으로 반복되기 때문이다. 이처럼 부분의 모양이 전체의 모양을 닮는 자기유사성(self-similarity)을 가지면서 동일한 모양이 한없이 반복되는 순환성(recursiveness)을 보일 때, 이를 '프랙탈(fractal)'이라고 한다.

양치류의 잎 이외에도 자연에서는 프랙탈의 예를 다양하게 찾아볼 수 있다. 움푹 들어간 해안선 안에 또 굴곡진 해안선이 반복되는 리아스식 해안선, 큰 번개 줄기에서 작은 번개 줄기가 갈라져 나오고 또 더 작은 번개가 갈라져 나오는 번개, 그리고 눈(雪)의 결정도 프랙탈 모양이다. 이런 측면에서 프랙탈을 '자연의 기하(geometry of nature)'라고 부르기도 한다.

러시아 인형 마트료시카

'하나를 보면 열을 알 수 있다'라는 우리의 옛말이나, 인형 안에 동일한 인형이 들어 있는 러시아 인형 마트료시카에도 프랙탈의 아이디어가 담겨 있다. 2000년 발표된 서태지의 앨범 〈울트라맨이야〉의 재킷도 프랙탈로 디자인 되어 있다.

당시 서태지는 빨갛게 염색하고 레게 파마를 한 흑인 풍의 헤어스타일로 노래를 불렀는데, 이 헤어스타일 역시 자세히 보면 프랙탈 모양이다. 우연인지 치밀한 기획의 결과인지 모르지만 앨범 표지와 헤어스타일이 프랙탈이라는 일관된 콘셉트를 담고 있는 것이다.

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고사리를 비롯한 양치류 식물의 잎의 모양을 자세히 살펴보면 흥미로운 특징을 발견할 수 있다. 잎의 일부분을 확대해보면 전체와 동일한 모양이 계속적으로 반복되기 때문이다. 이처럼 부분의 모양이 전체의 모양을 닮는 자기유사성(self-similarity)을 가지면서 동일한 모양이 한없이 반복되는 순환성(recursiveness)을 보일 때, 이를 '프랙탈(fractal)'이라고 한다. 양치류의 잎 이외에도 자연에서는 프랙탈의 예를 다양하게 찾아볼 수 있다.

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주제: 수학자 ‘카를 프리드리히 가우스’

제목: 가우스를 아시나요?

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주제:아차함수

제목:이차함수를 이용하여 공이 하늘에 떠있을 때 홈런인지 예측할 수 있을까?

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제목: 우리가 배운 것들은 일상생활에서 

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제목: 우리가 배운 것들은 일상생활에서 어떻게 활용되고 있을까?

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주제:수학자

제목:디오 판토스

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제목:우리가 배웠던 이차함수 실생활에 어

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제목:우리가 배웠던 이차함수 실생활에 어떻게 쓰일까?

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주제:수학자

제목:갈루아

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주제:여러가지방정식

제목:일차방정식 실생활 활용 사례

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1420 추가영

-서론

나의 주제는 갈루아라는 수학자이고, 갈루아라는 수학자를 선정한 동기는 평소에는 이런 수학자의 보고서를 조사할 시간이 없으 니 이번 기회에 써보고 싶었고 다항방정식이 거듭제곱근을 해로 갖는 필요 충분 조건에 대한 판별식을 개발한 대단한 인물이기도 했으며 존경스러워서 선정을 하였다.

-본론

갈루아라는 과학자의 풀네임은 에바리스트 갈루아이고, 출생은 1811년 10월 25일이다. 출생지는 프랑스 제 1제국 오드센주 부르 라렌이고 사망은 1832년 5월 31일이며, 사망지는 프랑스 왕국 파리이다. 출생지나 사망지에서 보이시다시피 국적은 프랑스이 다. 직업은 수학자와 사회운동가이다. 갈루아의 아버지는 한 학교의 교장이었고 시를 짓는 것을 좋아했다고 한다. 어머니는 법률 가의 딸로 라틴어로 된 고전문학을 읽을 수 있었고, 갈루아는 12세가 될 때까지 어머니로부터 교육을 받았다. 갈루아는 똑똑한 학 생이었는데 14세가 될 무렵에 갈루아는 학업에 흥미를 잃어 자신의 목마른 지식욕구를 충족시켜주는 유일한 과목인 수학'에만 몰두했지만 갈루아의 수학성적은 좋지 않았다고 한다. 하지만 아드리앵마리 르장드르의 기하학 기초를 소설처럼 읽고 처음 읽자 마자 내용을 숙지했으며 15세가 되자 조제프루이 라그랑주의 대수방정식 해법 탐구를 읽고 자신의 방정식 이론을 세우는 기반이 되었다고 한다. 갈루아의 주요업적은 채 확장, 갈루아 군, 근의 계수의 관계 등이 있다. 이로써 갈루아는 여자 하나 잘못 사귀어서 약 20세의 나이에 안타깝게도 결투로 사망하였다. 죽기 전날 밤 급하게 자신의 연구자료를 친구에게 전해줘서 그나마 이 천재적 업적이 세상에 발표되었다.

-결론

이상으로 과학자 에바리스트 갈루아에 대해 탐구해보았는데 과학자에 대해 많이 알지 못했어가지고 이번 기회에 알게 된것 같아 뿌듯했고 좋은 경험이었다. 특히, 갈루아는 12세까지 어머니와 집에서 교육을 받고있었으며 똑똑한 아이였지만 갈루아의 흥미잃 음으로 인해 이 흥미를 채우기위해 수학에 몰두하였지만 수학 성적은 낮은 것이 웃겼지만 그 뒤로 많은 공식?을 읽어가면서 현재는 대단한 업적을 채운 것과 너무 일찍 죽었음에도 불구하고 그 죽기 직전까지 수학에 진심이었다는 것을 알게 되었고 느꼈다. 이와 관련하여 갈루아의 일화도 몇번 조사하며 찾아보다가 갑자기 관심이 생겨서 "미르카, 수학에 빠지다" 라는 책을 살 예정이다. 이 책을 읽고 나서는 내 주변사람에게 소개도 해볼 예정이기도 하다. 조금이나마 관심과 지식을 얻게 되었고, 다음에 또 이런 보고서를 쓰게 된다면 더 작정하고 열심히 참여할 것 이다.

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제가 조사한 내용은 수학자 가오 판토스입니다. 디오 판토스는 고대 그리스와 로마 시대에 활동한 철학자이자 연설가로, 그의 작품과 연설은 수학적이라기보다는 철학적인 측면에서 중요한 가치를 지닙니다. 디오 판토스를 고른 첫번째 이유는 디오판토스의 수학적 사고와 연결입니다. 디오 판토스의 연설과 철학적 사고는 수학적 사고와 깊은 연관이 있습니다. 그는 논리적인 주장과 논증을 통해 사람들에게 자신의 의견을 전달했습니다. 수학 수업에서는 문제 해결 능력을 키우는 것 뿐만 아니라, 논리적 사고와 주장의 구조를 이해하는 것도 중요합니다. 두번째는 역사적 맥락입니다.디오 판토스의 시대적, 역사적 맥락을 이해함으로써 학생들은 그의 철학적 주장과 그 시대의 사회적 상황을 이해할 수 있습니다. 이는 학생들이 수학적 문제를 해결할 때 문제의 배경을 이해하고 논리적으로 접근하는 데 도움을 줍니다. 두번째는 역사적 맥락입니다. 디오 판토스의 시대적, 역사적 맥락을 이해함으로써 학생들은 그의 철학적 주장과 그 시대의 사회적 상황을 이해할 수 있습니다. 이는 학생들이 수학적 문제를 해결할 때 문제의 배경을 이해하고 논리적으로 접근하는 데 도움을 줍니다.

제가 이해하기에, 디오판토스는 수학적으로 유명한 인물입니다. 그는 고대 그리스의 수학자이며, 대수학(代數學)의 창시자 중 한 명으로 알려져 있습니다. 디오판토스는 방정식을 이용하여 문제를 해결하는 방법을 개발하였으며, 특히 선형 방정식과 이차 방정식에 대한 해법을 제시하였습니다. 그의 연구는 대수학의 기초를 다지는 데 큰 역할을 하였으며, 현대 수학의 발전에 많은 영향을 미쳤습니다.ㅇㅇ디오 판토스는 19세기 이탈리아의 유명한 오페라 가수였습니다. 그는 아름다운 목소리와 뛰어난 기술로 유명하며, 많은 사람들에게 영감을 주었습니다. 그의 업적은 오페라 역사상 가장 위대한 가수 중 하나로 평가받고 있습니다. 긍정적인 영향으로는, 디오 판토스는 많은 사람들에게 음악의 아름다움을 전달하고, 오페라의 인기를 높이는 데 큰 역할을 했습니다. 그의 노래는 많은 사람들에게 위로와 기쁨을 주었으며, 오페라의 발전과 대중화에 기여했습니다.하지만 디오 판토스는 부정적인 영향도 있었습니다. 그는 자신의 명성과 인기를 이용하여 여성들과의 스캔들을 일으키기도 했고, 일부 비판자들은 그의 노래가 지나치게 감상적이고 과장되었다고 비판하기도 했습니다.디오 판토스는 그의 재능과 업적으로 인해 많은 사람들에게 사랑받았지만, 그의 개인적인 삶과 행동에 대해서는 다양한 의견이 있을 수 있습니다. ㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇㅇ디오 판토스를 탐구하고 느낀점은 디오 판토스를 찾아보는도중 많은 노력을 해야 이렇게 성공하고 자기가 원하는 분야에 대해 성공할 수 있구나라고 느꼈습니다. 디오 판토스는 그의 연설과 철학적 사고를 통해 고대 그리스와 로마 문화를 이해하는 데 큰 도움이 되었습니다. 그의 작품을 통해 철학적인 탐구와 논리적 사고 방식을 배우고, 그리스 철학의 전통을 통해 인간 본성과 사회적 상호작용에 대해 깊이 생각해 볼 수 있었습니다.그리고 디오 판토스는 그의 연설을 통해 다양한 주제를 다루었습니다. 그는 문화, 정치, 윤리, 인간 본성 등 여러 가지 주제를 체계적으로 분석하고, 이를 바탕으로 청중에게 자신의 주장을 전달했습니다. 이는 고대 철학의 다양성과 깊이를 경험하게 해주었습니다.그리고 디오 판토스는 그리스와 로마 사이의 문화적 상호작용을 중시하며, 두 문화 간의 공통점과 차이점을 탐구했습니다. 이는 역사적 맥락에서도 중요한 시각을 제공하며, 다양한 문화 간의 상호 이해와 협력의 중요성을 강조했습니다.그리고 그의 작품을 통해 윤리적 가치와 도덕적 행동에 대한 깊은 이해를 할 수 있었습니다. 디오 판토스는 인간 본성의 본질과 그것이 사회적 상호작용에 어떻게 영향을 미치는지를 철학적으로 탐구하였습니다. 이는 학문적인 배움뿐만 아니라 일상 생활에서도 윤리적인 선택을 할 때 고려할 수 있는 유익한 지침을 제공했습니다.디오 판토스를 탐구하고 나서, 그의 철학적 사고와 연설을 통해 고대 철학의 중요성과 현대 사회에도 적용할 수 있는 가치를 깨달았습니다. 그의 작품은 오늘날까지도 철학적 탐구의 대상으로 남아 있으며, 인간의 본성과 사회적 상호작용에 대한 깊은 이해를 돕는다고 생각합니다.

이번 수행평가를 하면서 다음 수행을 할때 아주 능숙하게 글자수를 채울수있고 자료수집을 잘 할거같습니다 이상으로 1413윤석호 수학 수행평가였습니다 감사합니다.

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주제:교과서에 기재된 수학자들의 관하여

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주제:교과서에 기재된 수학자들의 관하여

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1412 윤서희 1학기 수학 수행평가

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1415 이채영 (수학 탐구 보고서)

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1403 김서후

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대기 오염에 대한 원인과 영향을 파악하는 방정식

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주제:사차방정식의 일상생활 속 쓰임

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1403 김서후 주제탐구

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레온하르트 오일러는 1707년 스위스 바젤에서 태어났습니다. 그는 어린 시절부터 뛰어난 수학적 재능을 보였으며, 10대 후반에는 이미 미적분학에 대한 연구를 시작했습니다. 그는 1726년 바젤 대학에서 박사학위를 받았으며, 이후 유럽의 다양한 대학과 연구기관에서 수학, 물리학, 천문학 등 다양한 분야에서 연구를 진행하였습니다.

오일러는 수학 분야에서 많은 업적을 남겼으며, 그 중에서도 특히 그래프 이론, 삼각법, 미적분학, 위상수학 등에서 많은 기여를 했습니다. 그는 그래프 이론에서 오일러 경로와 오일러 순환을 발견하였으며, 삼각법에서는 오일러 수와 오일러-마스케로니 정리를 발견하였습니다. 또한, 미적분학에서는 오일러-보나티 정리와 오일러-라그랑주 방정식을 발견하였으며, 위상수학에서는 오일러 특성다항식을 발견하였습니다.

오일러는 수학 분야뿐만 아니라 물리학, 천문학, 공학 등 다양한 분야에서도 많은 업적을 남겼습니다. 그는 고전역학에서 운동의 법칙을 증명하였으며, 천문학에서는 행성의 운동과 관련된 문제를 해결하였습니다. 또한, 공학에서는 다리, 건축물, 기계 등의 설계와 관련된 문제를 해결하였습니다.

오일러는 그의 수학적 업적으로 인해 수학사에서 가장 위대한 수학자 중 한 명으로 꼽히며, 그의 연구는 현대 수학의 발전에 큰 영향을 미쳤습니다. 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 18세기 스위스의 대표적인 수학자입니다. 그는 수학, 물리학, 공학, 천문학 등 다양한 분야에서 많은 업적을 남겼습니다. 그의 수학적 업적은 미적분학, 그래프 이론, 정수론, 확률론, 기하학 등 다양한 분야에 걸쳐 있으며, 그의 연구는 현대 수학의 발전에 큰 영향을 미쳤습니다.

오일러의 수학적 업적은 그의 뛰어난 분석 능력과 창의성, 그리고 철저한 탐구 정신에 의해 이루어졌습니다. 그는 수학적 문제를 해결하기 위해 다양한 방법을 시도하고, 이를 통해 새로운 수학적 개념과 이론을 발견했습니다. 그의 연구는 수학의 기초를 다지는 데 큰 역할을 했으며, 그의 업적은 현대 수학의 발전에 큰 영향을 미치고 있습니다. 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 18세기 스위스의 대표적인 수학자입니다. 그는 수학, 물리학, 공학, 천문학 등 다양한 분야에서 많은 업적을 남겼으며, 그의 연구는 현대 수학의 발전에 큰 영향을 미쳤습니다.

오일러의 수학적 업적은 그의 뛰어난 분석 능력과 창의성, 그리고 철저한 탐구 정신에 의해 이루어졌습니다. 그는 수학적 문제를 해결하기 위해 다양한 방법을 시도하고, 이를 통해 새로운 수학적 개념과 이론을 발견했습니다. 그의 연구는 수학의 기초를 다지는 데 큰 역할을 했으며, 그의 업적은 현대 수학의 발전에 큰 영향을 미치고 있습니다.

오일러의 연구는 수학의 다양한 분야에서 많은 업적을 남겼으며, 그의 연구는 현대 수학의 발전에 큰 역할을 했습니다. 그의 연구는 수학의 기초를 다지는 데 큰 역할을 했으며, 그의 업적은 현대 수학의 발전에 큰 영향을 미치고 있습니다.

오일러의 연구는 수학의 다양한 분야에서 많은 업적을 남겼으며, 그의 연구는 현대 수학의 발전에 큰 역할을 했습니다. 그의 연구는 수학의 기초를 다지는 데 큰 역할을 했으며, 그의 업적은 현대 수학의 발전에 큰 영향을 미치고 있습니다.

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늦게 냈는데 열심히 했습니다

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1. 수학 공부를 하면서 내가 중점적으로 한 내용과 노력

2. 수학 관련 영화나 독서의 제목을 쓰고, 내용과 느낀점

3. 멘토-멘티 활동을 했다면 그 활동에 대해서도 적어주세요.

4. 앞으로 2학기에 할 수학공부에 대한 다짐을 적어보세요.

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2학기에는…열심히할것이당

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2학기에는…열심히할것이당

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저는 수학 공부를 하면서 개념의 이해와 문제 해결 능력 향상에 중점을 두었습니다. 특히, 교과서의 기본 개념을 철저히 이해하고 이를 바탕으로 다양한 문제를 풀며 응용력을 키우는 데 힘썼습니다. 어려운 문제를 만났을 때는 먼저 스스로 해결해보려고 노력했고, 그래도 해결이 안될 때는 친구나 선생님께 도움을 요청했습니다. 또한, 주기적으로 오답 노트를 작성하여 실수나 부족한 부분을 확인하고 보완하였습니다.

2학기에는 더욱 체계적이고 심화된 수학 공부를 할 계획입니다. 특히 다음과 같은 목표를 세웠습니다:

심화 학습: 학교 수업 외에도 심화 문제집을 통해 난이도 높은 문제에 도전하며 실력을 향상시키겠습니다.

온라인 강의: 인터넷 강의를 통해 추가적인 설명과 다양한 문제 풀이 방법을 학습하겠습니다.

주기적 복습: 주기적으로 이전에 배운 내용을 복습하여 장기 기억으로 자리잡도록 하겠습니다.이러한 목표들을 통해 2학기에도 꾸준히 노력하여 수학 실력을 더욱 향상시키고 싶습니다.

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1.   수행평가로 인해 사차방정식으로 

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1. 수행평가로 인해 사차방정식으로 조사하면서 사차방정식을 중심적으로 열심히 공부하였다.

2.(×)

3.(×)

4. 수학을 못하지만 앞으로 열심히도 할 수 있을지 모르겠지만 내 최선을 다해 열심히 해야 겠다.

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1. 교과서 예습과 복습을 철저히 하며 개념을 정리했습니다. 그리고 수업 내용을 꼼꼼히 필기하고, 집에서 다시 정리했습니다. 다양한 문제를 풀어보며 실력을 쌓고, 틀린 문제는 반복해서 풀었습니다. 또 학원을 다니면서 선생님이 주신 문제를 이해를 깊게 공부했습니다.

마지막으로 온라인 강의와 기출 문제를 활용해 추가 학습과 시험 대비를 했습니다.

2. 다음 학기에는 수학 공부에 대해 철저한 계획을 세우고, 매일 정해진 시간에 꾸준히 공부하며 체계적으로 접근할 것입니다. 개념을 철저히 이해하고 이를 바탕으로 문제를 풀이하며, 모르는 개념은 즉시 해결하겠습니다. 다양한 유형의 문제를 풀어보며 문제 해결 능력을 키우고, 어려운 문제는 친구들과 토론해 풀이 방법을 공유하겠습니다. 시험이나 과제에서 틀린 문제를 분석하고 반복해서 풀어보며, 선생님과 친구들의 피드백을 반영해 약점을 보완하겠습니다. 필요할 때는 추가 자료나 온라인 강의를 활용해 부족한 부분을 보충하고, 스스로 목표를 설정하여 자기주도 학습을 실천하겠습니다. 이를 통해 다음 학기에는 수학 실력을 한층 더 향상시키겠습니다.

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1)느끼기에 제일 어려웠던 부분이 부등식

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1)느끼기에 제일 어려웠던 부분이 부등식이었다. 그래서 부등식을 중점적으로 공부하였다. 특히 해를 구하는 공식이 개인적으로 이해하기가 어려웠는데 반복학습 및 선생님의 지도로 이해해 응용문제까지 풀 수 있는 단계까지 오게 되었다.

2)최근에 오일러 보고서 작성을 위해 오일러 관련 책을 읽었다. 그 책을 읽음으로써 오일러의 생이 및 업적을 더욱 쉽게 이해할 수 있게 되었고, 이런 수학자가 있다는 정보를 얻게 되었다. 또 다른 책으로는 필즈상이야기라는 책을 읽었는데 필즈상에 대해 나왔고, 필즈상을 받은 시대별 수학자들에 대해 나온 책이었다.

3)멘토멘티 활동으로는 다른 아이의 모르는 수학적 지식을 가르쳐줌으로써 복습 겸 그 관련 지식에 대해 더욱 깊이 있게 이해하게 되는 계기가 되었다.

4)2학기때에는 수학 공부 시간을 더 늘리고, 모르는 부분이 있으면 선생님에게 질문하며 나의 부족한 점을 보완하고 강화하겠다.

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수학 공부를 하면서 나머지 정리와 복소수

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수학 공부를 하면서 나머지 정리와 복소수 실수등등 공부 하였고 계산하는 것을 중심으로 그 중 나머지 정리를 공부 하였다. 나머지를 정리 할 때 계산 실수를 하지 않도록 많은 문제를 풀려고 노력을 했던 것 같다.

수학 관련 영화를 찾아보니 뷰티풀 마인드라는 영화인데 이 영화는 미국의 수학자인 존 내시의 실화를 바탕으로 만든 영화이다. 찾아보고 느낀 점은 주인공이 자신의 한계를 극복하고 성장해 나가는 과정에서 보여주는 긍정적인 메시지가 감동적이었다.

수학시간에 문제를 풀면서 몰랐던 것들을 친구들에게 물어봐 그 문제를 해결 하였고 또 몰랐던 부분도 있어 채우지 않았던 학습지를 친구에게 빌려 그 몰랐던 부분을 조금이라도 이해하며 학습지를 채웠다. 그리고 앞으로 2학기 들어가기 전 여름방학에 미리 수학을 공부하고 문제를 많이 풀어 2학기 수학시험은 잘 볼 수 있도록 노력을 하겠다.

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1. 내가 공부를 하면서중점적으로 한 내용은 한번 푼 문제를 다시 푼 노력을 했다

2. 이상한나라의수학자를 보았고, 수학의 대단함을 느낄 수 있었다

3. 친구를 도와주고 친구에게 모르는 문제를 도움 받은 기억이 있다

4. 앞으로는 예습을 열심히 하고 복습을 열심히 하여 한 문제라도 까 먹지 않겠다

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1. 수학탐구보고서에서 프랙탈과 인체의 연관성을 중점적으로 탐구했다. 인체 속의 프랙탈 구조와 인체가 프랙탈 구조를 고수하는 이유까지 탐구했다.

2. 만델브로트가 들려주는 프랙탈 이야기(배수경) - 탐구보고서 쓰면서 자료 참고용으로 읽었다. 보고서 제출 완료 후 시간이 났을 때 처음부터 끝까지 쭉 읽어봤는데, 아직 고1이어서 이해를 잘 못하는 개념들도 있었고 보고서 쓰면서 알게 된 것들도 있었다. 지금은 잘 이해 못하는 개념은 나중에 관련 개념을 배우게 될 때 다시 한 번 더 공부해보고 싶다.

이상한 나라의 수학자 - 수학 공부에 있어서 제일 중요한 것은 여러 개의 문제들을 풀고, 어려운 개념들을 공부하는 것보단 간단한 개념이나 풀이라도 제대로 이해하며 푸는 것임을 느끼게 해주었다.

3. 없음

4. 2학기 때는 수학공부할 때 교과서에서 나오는 개념 유도 과정들을 직접 손으로 여러 번 써보면서 개념에 대한 이해를 좀 더 중시할 것이다. 그리고 여러 개의 문제를 풀어보는 것보다는 한 문제를 제대로 풀 수 있도록 깊이 공부하는 방향으로 공부할 것이다.

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제가 수학 공부를 하면서 

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1. 제가 수학 공부를 하면서 중점적으로 한 내용과 노력은 개념을 무조건 이해하고 넘어가는것입니다. 공식도 외우는게 아닌 왜 이렇게 되는지 이해를 하고 외우고, 이해 안된 내용은 선생님한테 물어보는것입니다.

2. 블림이라는 영화이고 한 무명 수학자가 말도 안되는 수학의 비밀을 말하는것인데 그것을 아무도 말 안해주자 스스로 증명하다 죽는 영화인데 수학에는 이러한 사례가 얼마나 많을지, 알려져야할 수학 공식같은것이 얼마나 안 알려져있는지 궁금했다.

3. 한 번 했었는데 제가 잘 모르는 상식이여도 알려주는 입장이니까 뭔가 논리있게 설명되는 느낌이였고 그 경험으로 뭔가 깨달은 느낌이 들었다

4. 2학기에는 학원에서 나간 진도를 그 날마다 문제를 풀고 진도가 끝나면 문제집을 풀것이다.

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1. 수학 공부를 하면서 내가 중점적으로 한 내용과 노력

수학 공부를 하며 잘 모르는 문제들과 이해가 되지 않는 내용은 선생님께 질문해 이해햐려 노력했고, 수학 문제들을 많이 풀어보려 노력했다. 그리고 학교 수업을 열심히 들었으며, 학원에서 학교에서 배운 내용들을 복습했다.

2. 수학 관련 영화나 독서의 제목을 쓰고, 내용과 느낀점

이상한 나라의 수학자(영화)-수학을 포기한 남학생과 탈북한 천재 수학자가수학을 배우고, 가르치며 서로에게 긍정적인 영향을 미치는 내용이다. 이 영화는 중학교 2학년 때 수학 선생님께서 보여주신 영화이다. 처음에는 수학에 관련된 내용이라 해서 엄청 어려운 내용일 줄 알았는데 생각보다 쉽고 재미있는 내용이었고, 어렵지않게 수학문제를 풀어내서 마지막 즈음에는 엄청 집중해서 봤다. 나는 이 영화를 통해 평소 어렵게만 생각했던 수학에 흥미를 가질 수 있었고, 수학 공부를 열심히 하게 되는 계기가 되었다.

3. 멘토-멘티 활동을 했다면 그 활동에 대해서도 적어주세요.

멘토-멘티 활동을 하며 친구가 잘 모르는 문제를 알려주고 내가 잘 모르는 문제는 친구에게 물어보며, 어떻게 풀어야 하는 건지 배우고 서로 도움을 주고 받았다.

4. 앞으로 2학기에 할 수학공부에 대한 다짐을 적어보세요.

잘 모르는 문제는 한 번 더 확인해 보고, 선생님께 질문 해야겠다.

오답 노트를 작성하는 것도 습관화하려 더 노력할 것이다.

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1. 제가 1학기 동안 수학 공부를 하면서 제가 중점적으로 한 노력은 저에게 부족한 점인 계산능력을 올리기 위해 노력했고 처음 보는 내용을 이해하기 위해 인터넷, 질문을 통해 알아보고 이해하였습니다. 또한 수학탐구 보고서를 통해 현실에서 적용할 수 있는 사례를 찾아보는 계기가 되었습니다

2. X

3.X

4.2학기에는 교과서만 보는 것이 아닌 다른 문제집들도 풀어보며 여러 유형에 대해 이해할 것이고 복습 또한 철저히 하여 새로운 개념을 당일에 바로 이해할 수 있도록 노력할 것입니다

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수학관련된 영화로 이상한 나라의 수학자를 보았으며, 영화를 보면서 느낌점은 수학에 관심이 없다보니깐 초반에는 약간 지루했지만 점점 사건이 전개되면서 수학에대해 신기하게? 다가가며 흥미를 주었고(파이로 피아노를 치는장면이 가장 인상깊었다), 정답만이 아닌 올바른 풀이 과정을 찾는 방법을 가르쳐주는 경비아저씨(리학성)의 모습에서 따뜻함을 느꼈습니다

앞으로 2학기에 할 수학공부에 다짐이나 계획은이번 여름방학때 중학교 수학중 포기했던함수를 다시 도전해볼 생각입니다, 그리고 1학기 내용을 이번 여름방학때 학원에서 선생님과 다시 도전하려고 합니다
2학기때는 수학 50점? 정도를 목표로 잡고 해보겠습니다!

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수학과 관련된 공부를 하면서 저는 부등식

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수학과 관련된 공부를 하면서 저는 부등식이 가장 어려웠습니다.그래서 모르는 부분을 선생님께 질문하고 반복적 학습을 하며 더욱 부등식에 대한 지식을 보강하였습니다. 또한 평소 문제의 핵심을 보는 능력이 부족하여 문제를 풀 때 조금 더 세세하게 탐구하고 생각하며 수학의 지식을 늘렸습니다

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나는 1단원의 '다항식의 

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1. 나는 1단원의 '다항식의 연산' 파트를 가장 열심히 공부했다.

다항식의 연산 파트에선 변형 문제가 굉장히 많이 나오는데, 나는 변형 문제에 약하기 때문에 이 파트를 집중적으로 공략했다. 다행히 시험에선 빌빌 꼬인 변형 문제가 나오지 않았지만 수학 변형 문제를 접근하는 방식을 여럿 얻는 수확을 걷었다.

2. 언제부턴가 수학을 왜 배우는지 모르겠다는 생각이 들곤 했는데, 수학 수행평가를 할 때 책 '수학, 문명을 지배하다'를 읽으면서 그런 궁금증이 해소되었다. 수학을 좋아하는 사람들은 이런 이유로 수학을 좋아하는구나. 라는 생각이 들기도 했던 책이었다.

3. 내 수학 실력이 향상될 수 있었던 건 멘토링 활동 덕분이었다. 특히나 원의 방정식 문제(세 점이 주어진~..)를 교과서 방식대로 풀다가 많은 시간이 지체돼버리곤 했는데, 멘토링 활동 덕에 그 문제를 쉽게 푸는 방법을 알게되어서 그 유형 관련 문제를 빠르고 정확하게 풀 수 있게 되었다. 역시 사람은 혼자 힘만으로는 큰 일을 이룰 수 없다 ••.. 라는 생각이 들었다.

4. 중간고사와 기말고사 점수를 비교해보니, 확실히 개념을 정확히 이해했는지 아닌지가 내 점수를 결정했다.

나는 기말고사 공부를 할 때 개념 이해는 '얼추' 됐다고 생각하고 곧바로 문제풀이로 들어갔는데, 그게 곧 점수가 떨어지는 결과를 낳았다.

2학기 때는 자투리 시간을 최대한 활용해서 수학 개념을 완벽히 이해하고 문제 풀이를 들어가도록 해야겠다.

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주제:이차함수,이차방정식

제목:이차함수 이차방정식 활용한 실생활 문제 해결