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Gegeben sind ein Punkt P und ein Vekor

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Mit erster und zweiter Ableitung bestimmbar

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Mit erster und zweiter Ableitung bestimmbar

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Die Wahrscheinlichkeit P(< gleich k) = P(X =1), … heißt kumulierte Wahrscheinlichkeiten

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In der Mathematik bezeichnet man als Exponentialfunktion eine Funktion der Form mit einer reellen Zahl als Basis (Grundzahl). In der gebräuchlichsten Form sind dabei für den Exponenten die reellen Zahlen zugelassen. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die unabhängige Größe ( Variable) und der Exponent fest vorgegeben ist, ist bei Exponentialfunktionen der Exponent (auch Hochzahl) des Potenzausdrucks die Variable und die Basis fest vorgegeben. Darauf bezieht sich auch die Namensgebung. Exponentialfunktionen haben in den Naturwissenschaften, z. B. bei der mathematischen Beschreibung von Wachstumsvorgängen, eine herausragende Bedeutung (siehe exponentielles Wachstum).

Als natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion bezeichnet man die Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl als Basis; gebräuchlich hierfür ist auch die Schreibweise . Diese Funktion hat gegenüber den anderen Exponentialfunktionen besondere Eigenschaften. Unter Verwendung des natürlichen Logarithmus lässt sich mit der Gleichung jede Exponentialfunktion auf eine solche zur Basis zurückführen. Deshalb befasst sich dieser Artikel im Wesentlichen mit der Exponentialfunktion zur Basis .

Die Exponentialfunktion zu der Basis kann auf den reellen Zahlen auf verschiedene Weisen definiert werden.

Eine Möglichkeit ist die Definition als Potenzreihe, die sogenannte Exponentialreihe

wobei die Fakultät von bezeichnet.

Eine weitere Möglichkeit ist die Definition als Grenzwert einer Folge mit :

Die reelle Exponentialfunktion ist positiv, stetig, streng monoton wachsend und surjektiv. Dabei bezeichnet die Menge der positiven reellen Zahlen.

Sie ist folglich bijektiv. Deshalb existiert ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus .

Daraus erklärt sich auch die Bezeichnung Antilogarithmus für die Exponentialfunktion.

Die punktweise Konvergenz der für die Definition der Exponentialfunktion verwendeten Reihe

lässt sich für alle reellen und komplexen einfach mit dem Quotientenkriterium zeigen; daraus folgt sogar absolute Konvergenz. Der Konvergenzradius der Potenzreihe ist also unendlich. Da Potenzreihen an jedem inneren Punkt ihres Konvergenzbereiches analytisch sind,[1] ist die Exponentialfunktion also in jedem reellen und komplexen Punkt trivialerweise auch stetig.[2]

Da die Exponentialfunktion die Funktionalgleichung erfüllt, kann man mit ihrer Hilfe das Potenzieren auf reelle und komplexe Exponenten verallgemeinern, indem man definiert:

Solche Funktionen heißen exponentielle Funktionen und „verwandeln" Multiplikation in Addition. Genauer zeigen das die folgenden Potenzgesetze:

und

Siehe auch Rechenregeln für Logarithmus.

Die große Bedeutung der e-Funktion, eben die Exponentialfunktion mit Basis , beruht auf der Tatsache, dass ihre Ableitung wieder die Funktion selbst ergibt:

Wenn man zusätzlich

fordert, ist die e-Funktion sogar die einzige Funktion , die dies leistet. Somit kann man die e-Funktion auch als Lösung dieser Differentialgleichung f'(x) = f(x) mit dieser Anfangsbedingung f(0) = 1 definieren.

Allgemeiner folgt für reelles aus

und der Kettenregel die Ableitung beliebiger Exponentialfunktionen:

In dieser Formel kann der natürliche Logarithmus nicht durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt werden; die Zahl e kommt also in der Differentialrechnung auf „natürliche" Weise ins Spiel.

Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich die Stammfunktion der e-Funktion:

Mit Hilfe der Reihendarstellung

In hat die Exponentialfunktion eine wesentliche Singularität, ansonsten ist sie holomorph, d. h., sie ist eine ganze Funktion. Die komplexe Exponentialfunktion ist periodisch mit der komplexen Periode , es gilt also

Beschränkt man ihren Definitionsbereich auf einen Streifen

mit , dann besitzt sie eine wohldefinierte Umkehrfunktion, den komplexen Logarithmus.

Die Exponentialfunktion kann zur Definition der trigonometrischen Funktionen für komplexe Zahlen verwendet werden:

Dies ist äquivalent zur eulerschen Formel

Daraus abgeleitet ergibt sich speziell die Gleichung

Ebenso kann die Exponentialfunktion zur Definition der hyperbolischen Funktionen verwendet werden:

Man kann auch im Komplexen eine allgemeine Potenz definieren:

mit .

Die Werte der Potenzfunktion sind dabei abhängig von der Wahl des Einblättrigkeitsbereichs des Logarithmus, siehe auch Riemannsche Fläche. Dessen Mehrdeutigkeit wird ja durch die Periodizität seiner Umkehrfunktion, eben der Exponentialfunktion, verursacht. Deren grundlegende Gleichung

entspringt der Periodizität der Exponentialfunktion mit reellem Argument . Deren Periodenlänge ist genau der Kreisumfang des Einheitskreises, den die Sinus- und Kosinusfunktionen wegen der Eulerschen Formel beschreiben. Die Exponential-, die Sinus- und die Kosinusfunktion sind nämlich nur Teile derselben (auf komplexe Zahlen verallgemeinerten) Exponentialfunktion, was im Reellen nicht offensichtlich ist.

Die Exponentialfunktion lässt sich auf Banachalgebren, zum Beispiel Matrix-Algebren mit einer Operatornorm, verallgemeinern. Sie ist dort ebenfalls über die Reihe

definiert, die für alle beschränkten Argumente aus der jeweils betrachteten Banachalgebra absolut konvergiert.

Die wesentliche Eigenschaft der reellen (und komplexen) Exponentialfunktion

ist in dieser Allgemeinheit allerdings nur noch gültig für Werte und , die kommutieren, also für Werte mit (dies ist in den reellen oder komplexen Zahlen natürlich immer erfüllt, da die Multiplikation dort kommutativ ist). Einige Rechenregeln dieser Art für die Exponentiale von linearen Operatoren auf einem Banachraum liefern die Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln.

Eine wichtige Anwendung dieser verallgemeinerten Exponentialfunktion findet sich beim Lösen von linearen Differentialgleichungssystemen der Form mit konstanten Koeffizienten. In diesem Fall ist die Banachalgebra die Menge der -Matrizen mit komplexen Einträgen. Mittels der jordanschen Normalform lässt sich eine Basis bzw. Ähnlichkeitstransformation finden, in welcher die Exponentialmatrix eine endliche Berechnungsvorschrift hat. Genauer gesagt, man findet eine reguläre Matrix , so dass , wobei eine Diagonalmatrix und eine nilpotente Matrix sind, welche miteinander kommutieren. Es gilt damit

Das Exponential einer Diagonalmatrix ist die Diagonalmatrix der Exponentiale, das Exponential der nilpotenten Matrix ist ein matrixwertiges Polynom mit einem Grad, der kleiner als die Dimension der Matrix ist.

Als fundamentale Funktion der Analysis wurde viel über Möglichkeiten zur effizienten Berechnung der Exponentialfunktion bis zu einer gewünschten Genauigkeit nachgedacht. Dabei wird stets die Berechnung auf die Auswertung der Exponentialfunktion in einer kleinen Umgebung der Null reduziert und mit dem Anfang der Potenzreihe gearbeitet. In der Analyse ist die durch die Reduktion notwendige Arbeitsgenauigkeit gegen die Anzahl der notwendigen Multiplikationen von Hochpräzisionsdaten abzuwägen.

Der Rest der -ten Partialsumme hat eine einfache Abschätzung gegen die geometrische Reihe, welche auf

bei für alle mit führt.

Die einfachste Reduktion benutzt die Identität , d. h. zu gegebenem wird bestimmt, wobei nach den Genauigkeitsbetrachtungen gewählt wird. Damit wird nun, in einer gewissen Arbeitsgenauigkeit, berechnet und -fach quadriert: . wird nun auf die gewünschte Genauigkeit reduziert und als zurückgegeben.

Effizientere Verfahren setzen voraus, dass , besser zusätzlich und ( Arnold Schönhage) in beliebiger (nach Spezifikation auftretender) Arbeitsgenauigkeit verfügbar sind. Dann können die Identitäten

oder

benutzt werden, um auf ein aus dem Intervall oder einem wesentlich kleineren Intervall zu transformieren und damit das aufwändigere Quadrieren zu reduzieren oder ganz zu vermeiden.

Bei Implementierung in Hardware werden für deren Belange geeignete Verfahren genutzt, zum Beispiel:

Auf die Exponentialfunktion stößt man, wenn man versucht, das Potenzieren auf beliebige reelle Exponenten zu verallgemeinern. Man geht dabei von der Rechenregel aus und sucht daher eine Lösung der Funktionalgleichung mit . Nimmt man nun zunächst einmal an, dass eine Lösung tatsächlich existiert, und berechnet deren Ableitung, so stößt man auf den Ausdruck

erfüllt dann vermutlich

, dann erhält man . Für die Zahl

ist also zu vermuten, dass

gilt.

also die eine Definition der Exponentialfunktion.

Alternativ kann man auch versuchen, die Funktion

in eine Taylorreihe zu entwickeln. Da per Induktion auch

also genau die andere Definition der Exponentialfunktion. Im Weiteren ist dann zu zeigen, dass die so definierte Exponentialfunktion tatsächlich die gewünschten Eigenschaften hat. Diese Taylorreihe lässt sich auch als Kettenbruch darstellen:

Die für die Definition der Exponentialfunktion verwendete Folge

ist für reelle punktweise konvergent, da sie erstens ab einem gewissen Index monoton steigend und zweitens nach oben beschränkt ist.

die Folge ist daher für fast alle monoton steigend.

Beweis der Beschränktheit

Für und ist die Folge daher für alle beschränkt:

Ist nun , so liefert die bernoullische Ungleichung für hinreichend große

Abschätzung nach unten

nach unten abschätzen. Der Beweis ergibt sich aus der Definition

Diese Abschätzung lässt sich zur wichtigen Ungleichung

verschärfen. Für folgt sie aus , für ergibt sich der Beweis beispielsweise, indem man die bernoullische Ungleichung auf die Definition

anwendet. Eine Anwendung dieser Ungleichung ist der Polya-Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel. Allerdings erleichtert die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Untersuchung der Folge sehr; um daher einen Zirkelschluss zu vermeiden, benötigt der Polya-Beweis Herleitungen der Exponentialfunktion, die ohne Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel auskommen.

Abschätzung nach oben

Setzt man in der Abschätzung nach unten statt ein und verwendet , so erhält man durch Umstellen der Ungleichung die für alle gültige Abschätzung nach oben .

Die wichtigste Anwendung dieser beiden Abschätzungen ist die Berechnung der Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle 0:

Gemeinsam mit der Funktionalgleichung folgt daraus die Ableitung der Exponentialfunktion für beliebige reelle Zahlen:

Oft wird die Aussage benötigt, dass die Exponentialfunktion wesentlich stärker wächst als jede Potenzfunktion, d. h.

Für ist dies klar, für kann entweder induktiv die Regel von de L'Hospital benutzt werden, oder auch elegant abgeschätzt werden:

Zunächst gilt

Wegen gilt

Dies konvergiert gegen und somit der obige Grenzwert gegen 0.

Wie bereits zuvor erwähnt, gilt

Beweis: Nach Definition des Logarithmus ist äquivalent zu , woraus die Identität folgt. Ersetzen von durch liefert

wobei im zweiten Schritt die Logarithmus-Rechenregel für Potenzen angewendet wurde.

Setzt man nicht voraus, so benutzt man die Umkehrfunktion von

Denn , und nach den Eigenschaften der Logarithmusfunktion ist

und man kann die Umkehrfunktion bilden und erhält

Speziell für ist

und nach Voraussetzung

Für beliebiges führen wir

ein. Es ergibt sich

und nach Voraussetzung wieder

Als Beispiele für das häufige Auftreten der Exponentialfunktion in der Physik seien genannt:

Als ein Beispiel in der Chemie sei hier eine einfache chemische Reaktion skizziert. Es wird angenommen, dass wir die Lösung eines Stoffes vorliegen haben, etwa Rohrzucker in Wasser. Der Rohrzucker werde nun durch einen Katalysator zu Invertzucker umgewandelt ( hydrolysiert). Bei dieser einfachen chemischen Reaktion wird man das Geschwindigkeitsgesetz (unter Vernachlässigung der Rückreaktion) wie folgt formulieren:

Die Reaktionsgeschwindigkeit als Funktion der Zeit ist proportional zur noch vorhandenen Menge der sich umwandelnden Substanz.

Bezeichnen wir die Menge des zur Zeit noch nicht umgewandelten Rohrzuckers mit , so ist die Reaktionsgeschwindigkeit , und nach dem oben formulierten Geschwindigkeitsgesetz gilt die Gleichung

wobei die Konstante die zur Zeit vorhandene Menge bezeichnet. Die chemische Reaktion nähert sich also asymptotisch ihrem Endzustand an, der völligen Umwandlung von Rohrzucker in Invertzucker. (Die Vernachlässigung der Rückreaktion ist hier akzeptabel, da das chemische Gleichgewicht der Rohrzucker-Hydrolyse sehr stark auf Seiten des Invertzuckers liegt).

Biologie, Epidemien

Beschreibung des exponentiellen Wachstums in der Anfangszeit einer Population von z. B. Mikroorganismen, Ausbreitung von Infektionen im Rahmen einer Epidemie und Fortpflanzung von Lebewesen, siehe r-Strategie oder SIR-Modell.

Gleiche Anzahl von Münzen und Empfängern

Die Definitionsformel für die Exponentialfunktion

die daraus abgeleitete Näherungsformel

Die Wahrscheinlichkeit, nur einmal Erfolg zu haben, ist das Produkt aus Misserfolgen, Erfolg und der Kombinationsmöglichkeiten , wann sich der Erfolg einstellt (beim ersten Mal, oder zweiten oder dritten ...):

Die Wahrscheinlichkeit, mehr als eine Münze zu erhalten, lautet entsprechend:

Mehr Münzen als Empfänger

Damit im Mittel nur 10 % der Empfänger leer ausgehen, ist die 2,3-fache Menge an Münzen erforderlich, bei 1 % fast die 5-fache Anzahl.

Stetige Verzinsung

Die Stückelung folgt üblicherweise einer exponentiellen Gesetzmäßigkeit beim Anstieg des Wertes. Am Beispiel des Euro ist zu den Punkten für jede Münze oder Banknote eine Ausgleichsgerade dargestellt. Die geringen Abweichungen von dieser Geraden folgen aus der Forderung nach „runden" Zahlen, die mit nur einer signifikanten Stelle exakt anzugeben sind (nicht zu verwechseln mit glatten Zahlen).

Wenn eine Größe ist, deren Potenzen für beliebiges nicht-negatives ganzzahliges existieren, und wenn der Grenzwert existiert, ist es sinnvoll, die abstrakte Größe durch die oben angegebene Exponentialreihe zu definieren. Ähnliches gilt für Operatoren , die, einschließlich ihrer Potenzen, eine lineare Abbildung eines Definitionsbereichs eines abstrakten Raumes (mit Elementen ) in einen Wertebereich der reellen Zahlen ergeben: Hier ist es sogar für alle reellen sinnvoll, in ganz (genauer: im zugehörigen Abschlussbereich) Exponentialoperatoren durch den Ausdruck zu definieren, wobei die Konvergenz dieses Ausdrucks zunächst offenbleibt.

Iteration der Exponentiation führt auf die Verallgemeinerte Exponentialfunktion, die in der Gleitkomma-Arithmetik verwendet wird.

1. Christian Blatter, Analysis II. 1. Auflage, Springer Verlag 1974, ISBN 3-540-06914-3, Kap. 18, § 182, Potenzreihen

2. Konrad Knopp. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3. S 175, 98 Satz 2 für den reellen und S 418 für den komplexen Fall

3. Lisa Lorentzen, Haakon Waadeland: A.2.2 The exponential function. In: Continued Fractions - Convergence Theory (= Atlantis Studies in Mathematics for Engineering and Science. Band1). Atlantis Press, 2008, ISBN 978-94-91216-37-4, ISSN 1875-7642, Abschnitt: Appendix A - Some continued fraction expansions, S.268, doi:link.springer.com [PDF]).10.2991/978-94-91216-37-4 (

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In der Mathematik bezeichnet man als Exponentialfunktion eine Funktion der Form mit einer reellen Zahl als Basis (Grundzahl). In der gebräuchlichsten Form sind dabei für den Exponenten die reellen Zahlen zugelassen. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die unabhängige Größe ( Variable) und der Exponent fest vorgegeben ist, ist bei Exponentialfunktionen der Exponent (auch Hochzahl) des Potenzausdrucks die Variable und die Basis fest vorgegeben.

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Lage der Wurzelfunktion im Koordinatensystem

Je nachdem, welche Parameter in der Wurzelfunktion enthalten sind, ist ihr Funktionsgraph gestreckt, gestaucht, oder im Koordinatensystem verschoben. Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie du im Bild sehen kannst.

(blau) ist die normale (Quadrat-)Wurzelfunktion

(lila) ist um den Faktor gestreckt, ist also doppelt so steil

(grün) ist um in positive x-Richtung, also nach rechts verschoben

(pink) ist um in y-Richtung, das heißt nach oben verschoben.

Die allgemeine Funktionsgleichung, die gestreckt/gestaucht und in jede Richtung verschoben werden kann, lautet daher:

Das verschiebt den Graphen in y-Richtung nach oben oder unten, das in x-Richtung nach rechts oder links. Der Vorfaktor streckt oder staucht den Graphen der Wurzelfunktion. Hat ein negatives Vorzeichen, so ist der Funktionsgraph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.

Merke: Abhängig von den Parametern musst du den Definitionsbereich und den Wertebereich anpassen!

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Wurzelfunktion: einfach erklärt ✅ Wurzelfunktionen Eigenschaften ✅ Wurzeln berechnen und zeichnen ✅ mit kostenlosem Video

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Binomialverteilung:
mit den Parameter n und p. Man sagt die Zufallsgröße X ist binomialverteilt.

Eine binomialverteilte Zufallsgröße hat den Erwartungswert
E(X) =  u = n*p

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Gegeben sind zwei Punkte A und B in einem kartesischen Koordinatensystem.
Für den Abstand d  der Punkte  A und B gilt d.
Für den Mittelpunkt M der Strecke AB gilt M.

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Ein Vektor v beschreibt eine Verschiebung im Raum. Zu zwei gegebenen Punkte A und B verschiebt der Vektor AB den Punkt A auf Punkt B

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Definition: Zu zwei Vektoren a und b werden folgende Rechenarten festgelegt.

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X=Zufallsgröße, P=Trefferwahrscheinlichkeit, k=Trefferanzahl

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Unter dem Betrag des Vektors v versteht man die Länge eines zugehörigen Pfeils.

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Ableiten, ganzrationale Funktionen, neue Funktionen

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Die Ableitungsfunktion gibt die momentane Steigung in einem Punkt x des Graphen an. Ableitung ist ein anderes Wort für Steigung

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Definition: -zwei Ergebnisse, voneinander unabhängige Durchführungen, Länge n, Trefferwahrscheinlichkeit p

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Definition: unterschiedliche Anzahl an Möglichkeiten aber immer die selbe Wahrscheinlichkeit

Beispiel: fünf mal ein Würfel würfeln —> Die Wahrscheinlich bleibt bei jedem Wurf gleich

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Typische Fragestellungen Teil 1: (binompdf, binomcdf)

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Typische Fragestellungen Teil 1: (binompdf, binomcdf)