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Un aquilone che vola nel cielo, lo schermo di un computer, le mattonelle del pavimento, il cartello della segnaletica stradale, la facciata di un edificio: è sufficiente osservare con attenzione per riconoscere, in ciò che ci circonda, la presenza di poligoni, figure geometriche delimitate da una linea spezzata chiusa. Guardati intorno: riesci a individuare tre oggetti assimilabili a un poligono?

Rifletti e rispondi - In vacanza nella casa di montagna, in una giornata piovosa, Alexis e Laura trovano in uno dei cassetti della nonna un vecchio videogioco del papà di Laura: il Tetris. Purtroppo però il gioco elettronico è rotto. Osserva la vignetta e prova anche tu a disegnare tutti i poligoni possibili composti da 4 quadretti.

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Il Padlet è abbinato ai corsi MAT 360° e Archimede di Bruno Artuso e Roberto Vacca. La matematica chiara, rigorosa e calata nella realtà.

Coordinamento: Silvia Gadda

Redazione: Giulia Baccanelli, Mario Scalvini

Il Padlet e tutti i suoi contenuti sono di proprietà dell'Istituto Italiano Edizioni Atlas e pubblicati sotto licenza CC BY-NC-SA (uso con obbligo di citazione, fini didattici non commerciali, condividi allo stesso modo).

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Ettore e Marika stanno per trascorrere un entusiasmante pomeriggio in pista al volante dei go-kart. Prima di indossare le protezioni e mettersi alla guida, decidono di studiare insieme il circuito, che presenta il seguente percorso:
- un rettilineo iniziale di 600 m;
- svolta di 90° a sinistra e avanti per 200 m;
- svolta di 90° a destra e avanti per 150 m;
- svolta di 90° a sinistra e avanti per 400 m;
- svolta di 90° a sinistra e avanti per 250 m;
- svolta di 90° a sinistra e avanti per 200 m;
- svolta di 90° a destra e avanti per 500 m;
- svolta di 90° a sinistra e avanti per 400 m;

Rifletti e rispondi - Prova a riprodurre il tracciato della pista sul tuo quaderno (fai corrispondere ogni 100 m di pista a 1 cm sul quaderno). Che tipo di linea hai ottenuto: spezzata aperta, spezzata chiusa o spezzata intrecciata? Quanti lati presenta la figura ottenuta?

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Il circuito che percorreranno Ettore e Marika rappresenta un poligono: infatti, si definisce poligono la parte finita di piano delimitata da una spezzata semplice chiusa.
In un poligono è possibile individuare:

i vertici, cioè gli estremi che delimitano i lati della spezzata;

i lati, cioè i segmenti che caratterizzano la spezzata e costituiscono il contorno della figura.

Il perimetro di un poligono è la somma delle misure dei suoi lati e si indica con 2p.

Rifletti e rispondi - Riprendi il disegno del circuito che hai realizzato per l'attività precedente e indica con una lettera maiuscola tutti i vertici del poligono. Calcolane quindi il perimetro.

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Per conoscere le proprietà dei poligoni non v'è modo migliore che provare a costruirne uno! Per svolgere le attività proposte puoi servirti di un cartoncino da ritagliare e fermagli, oppure puoi lavorare in digitale utilizzando il software GeoGebra per disegnare e muovere i segmenti.

1. Realizza quattro segmenti lunghi rispettivamente 3 cm, 4 cm, 6 cm e 8 cm. Unendo le estremità collega i segmenti in modo da formare una linea spezzata. Riesci a unire le estremità della spezzata rendendola una linea chiusa e costruendo così un poligono? Prova a variare l'ordine in cui hai unito i segmenti: cambia qualcosa?

2. Ripeti ora l'esercizio con altri quattro segmenti lunghi rispettivamente 15 cm, 5 cm, 4 cm e 3 cm. È possibile costruire il poligono? Cosa succede se provi a variare l'ordine dei segmenti?

Verifica il tuo lavoro confrontandolo con il progetto GeoGebra in allegato.
Se hai svolto correttamente le due attività proposte ti sarai accorto/a che:

nel primo caso è sempre possibile costruire un poligono, indipendentemente dall'ordine dei segmenti. Questo perché ciascun segmento ha lunghezza minore della somma degli altri tre;

nel secondo caso non è mai possibile chiudere la linea spezzata; il poligono non si può costruire perché il segmento di 15 cm è maggiore della somma degli altri tre: (5 + 4 + 3) cm = 12 cm.

Deduciamo così una proprietà fondamentale dei poligoni:

In un poligono la misura di ciascun lato è sempre minore della somma degli altri lati.

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Rappresentazione e calcolo del perimetro

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Rappresentazione e calcolo del perimetro

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Per rappresentare un poligono sul piano cartesiano si individua innanzitutto la posizione dei vertici attraverso le loro coordinate. Unendo i punti così individuati con dei segmenti si ottiene la spezzata che costituisce il perimetro del poligono.

Prova tu - Imposta sul quaderno il tuo piano cartesiano (oppure utilizza quello messo a disposizione dal software GeoGebra) e individua su di esso i punti aventi le seguenti coordinate:
A = (1; 1); B = (1; 5); C = ( 4; 5) e D = (4; 1).
Unisci ciascun punto con il consecutivo: che poligono hai ottenuto? Come sono disposti i lati rispetto ai due assi cartesiani?
Determina ora la misura dei lati del poligono e calcolane il perimetro.

Rifletti e rispondi - Dopo aver svolto l'attività proposta, rifletti sul calcolo della misura della distanza tra due punti nel piano cartesiano. Completa quindi le affermazioni riportate nello specchietto in allegato.
Nota bene: e se i due punti hanno diverse ascisse e diverse ordinate? In questo caso, per calcolare la misura del segmento che li unisce è necessario ricorrere al Teorema di Pitagora, teorema che studierai l'anno prossimo.

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L’ostacolo maggiore che spesso incontriamo nella risoluzione di problemi sui poligoni riguarda il calcolo della lunghezza dei lati o della misura degli angoli, nota la loro somma o la loro differenza e il rapporto in cui sono posti i vari elementi del poligono. Pur avendo studiato tutte le definizioni, le proprietà e le regole potremmo comunque avere qualche difficoltà nell’individuare il corretto procedimento per la risoluzione.

Ma niente paura: nella scheda in allegato trovi esemplificati i principali tipi di problema geometrico che potresti incontrare, validi non solo per i poligoni, ma applicabili anche in altri contesti, come ad esempio nella geometria solida. Per ciascuno di essi è presentato il metodo di risoluzione più efficace.

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I poligoni possono essere classificati in relazione al numero di lati; in base a questa classificazione, i tipi di poligono più comuni sono:

Triangolo: 3 lati

Quadrilatero: 4 lati

Pentagono: 5 lati

Esagono: 6 lati

Ettagono: 7 lati

Ottagono: 8 lati

Ennagono: 9 lati

Decagono: 10 lati

Dodecagono: 12 lati

Se si considerano invece gli angoli, un poligono può essere:

convesso: se non viene attraversato dal prolungamento di alcuno dei suoi lati;

concavo: se viene attraversato dal prolungamento di qualche suo lato.

Mettiti alla prova - Quanto sei abile nel riconoscere e classificare i poligoni? Mettiti alla prova con il telequiz in allegato!

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Wordwall - Crea lezioni migliori più velocemente

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Telequiz - Un quiz a risposta multipla cronometrato, con vite e un round di bonus.

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Dato un poligono, il segmento che unisce due vertici non consecutivi è detto diagonale.
Per i poligoni con pochi lati è possibile contare rapidamente sia il numero di diagonali uscenti da ogni vertice sia il numero complessivo di diagonali. Come fare però in caso di poligoni con molti lati?
Il numero delle diagonali uscenti da un vertice di un poligono può essere calcolato applicando la seguente formula:

numero di diagonali uscenti da ogni vertice = numero di lati - 3

Il numero complessivo di diagonali di un poligono è invece calcolabile applicando la seguente formula:

diagonali complessive = n x (n - 3) : 2

(con n = numero di lati del poligono)

Mettiti alla prova - Lavora ora sulle diagonali dei poligoni svolgendo le attività proposte di seguito.

1. Traccia le diagonali uscenti da ciascun vertice dei poligoni nell'immagine in allegato. Cosa noti?

2. Calcola il numero di diagonali uscenti da ciascun vertice e il numero complessivo di diagonali dei poligoni costituiti da 18, 20, 24 lati.

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Nella cultura cinese esistono innumerevoli indovinelli e rompicapi, molti dei quali basati sulla geometria. Tra questi, uno dei più famosi, divenuto estremamente popolare in tuttto il mondo, è il tangram.
Si tratta di un semplice puzzle formato da sette tavolette (dette tan) inizialmente disposte a formare un quadrato.
Lo scopo del gioco è quello di dar forma a una figura riconoscibile (ad esempio un animale o un oggetto) utilizzando tutti i pezzi senza sovrapposizioni.
Osserva i pezzi del tangram nell'immagine in allegato: da quali poligoni è formato?

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- La lezione permette di acquisire e rinforzare conoscenze e competenze fondamentali sui poligoni.
- Il percorso offre la possibilità di approcciare attraverso strumenti multimediali: audio, video, slide, esercizi interattivi in formato Google Moduli, pdf scaricabili e software gratuiti online.
- La lezione segue il metodo induttivo: a partire da una situazione reale, lo studente impara a misurare e utilizzare le grandezze per operare nella realtà.

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Conoscenze: conoscere gli elementi e le caratteristiche di un poligono; conoscere le proprietà relative agli elementi di un poligono
Abilità: operare con gli elementi di un poligono; applicare le proprietà relative agli elementi di un poligono
Competenze: riconoscere i poligoni nel mondo quotidiano, descriverli con linguaggio adeguato, classificarli in base alle proprietà e coglierne le relazioni tra gli elementi
Competenze digitali: utilizzare i mezzi informatici per cercare ed elaborare informazioni; lavorare in gruppo, anche a distanza, condividendo materiali ed elaborati; comprendere e produrre elaborati digitali

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Per usare i Moduli Google nelle proprie Google Classroom e, quindi, ricevere in modo automatico i risultati degli studenti, i moduli vanno copiati nel proprio spazio Google Drive e condivisi da lì mediante link. Il modulo nel vostro Drive sarà anche completamente modificabile. Per copiare i moduli vai ai seguenti link:

1. Le proprietà dei poligoni

2. Problemi con i poligoni

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Se consideriamo gli angoli interni di un triangolo, vale la seguente proprietà:

La somma degli angoli interni di un triangolo è pari ad un angolo piatto.

In simboli:

Si = 180°

Nell'immagine in allegato è proposta la dimostrazione grafica di questa proprietà.

Prova tu - Segui le indicazioni e verifica la proprietà relativa alla somma degli angoli interni di un triangolo anche con un triangolo rettangolo e un triangolo ottusangolo.

Disegna il triangolo e colora i tre angoli interni.

Ritaglia con delle forbici i tre angoli.

Accostali in modo tale che siano a due a due consecutivi e con i vertici coincidenti in uno stesso punto O.

Quanto vale l’angolo somma dei tre angoli nei due casi verificati?

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A partire dalla proprietà relativa alla somma degli angoli interni di un triangolo è possibile determinare la somma degli angoli interni di qualsiasi poligono.

Prova tu - Disegna un quadrilatero e traccia tutte le diagonali uscenti da un suo vertice. In quanti triangoli appare così suddiviso il quadrilatero? Quanti sono i triangoli rispetto al numero dei lati del poligono?
Ripeti ora l'operazione con un pentagono e con un esagono. In quanti triangoli vengono suddivisi?
Sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, calcola quindi la somma degli angoli interni del quadrilatero, del pentagono e dell'esagono moltiplicando 180° per il numero di triangoli nei quali sono stati suddivisi.

Quanto hai verificato con l'attività precedente è valido per tutti i poligoni e può essere generalizzato nella seguente proprietà:

La somma degli angoli interni di un poligono di n lati è pari a (n - 2) volte l’ampiezza di un angolo piatto.

In simboli:

Si = (n - 2) ∙ 180°

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Un'ultima proprietà relativa ai poligoni riguarda gli angoli esterni e può essere così riassunta:

la somma degli angoli esterni di un poligono di n lati è sempre pari all'ampiezza di un angolo piatto.

In simboli:

Se = 360°

Prova tu - Per definizione, sappiamo che la somma di ogni angolo interno con il suo corrispondente angolo esterno è pari a 180°. Osserva i poligoni raffigurati nell'immagine: per ciascuno di essi, calcola la somma di tutti gli angoli (interni + esterni); applicando la proprietà precedentemente appresa, calcola per ciascun poligono la somma degli angoli interni, dopodiché sottrai tale valore dalla somma complessiva calcolata inizialmente.
Confronta i risultati così ottenuti: confermano la proprietà della somma degli angoli esterni di un poligono?

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Mettiti alla prova - Le proprietà dei poligoni

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Mettiti alla prova - Le proprietà dei poligoni

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Verifica quello che hai imparato sulle proprietà dei poligoni con questo breve test.

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Cos'è il piano cartesiano? Quali sono gli elementi che lo costituiscono e come si individua un punto su di esso?
Se ti serve un rapido ripasso, consulta la lezione digitale dedicata ai primi elementi della geometria!

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Mettiti alla prova - Riproduci su un cartoncino tutti i pezzi del tangram e ritagliali. Accostando le tessere senza sovrapporle, prova ora a riprodurre le sagome degli animali che trovi nell'immagine in allegato.
Sei riuscito/a a risolvere i tre puzzle?

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Mettiti alla prova - Problemi con i poligoni

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Mettiti alla prova - Problemi con i poligoni

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Verifica quello che hai imparato sui problemi con i poligoni con questo breve test. Applica uno dei metodi di risoluzione proposti nel post precedente.