# data[].attributes.headline
kalian juga bisa memahami materi pada buku modul di bawah ini !!!

# data[].attributes.subject
kalian juga bisa memahami materi pada buku modul di bawah ini !!!

# data[].attributes.attachment_link.title
Barisan dan Deret Bagian 5 - Deret Geometri Tak Hingga Matematika Wajib Kelas 11

# data[].attributes.attachment_link.title
Deret geometri tak hingga (konvergen) - cara mencari jumlah suku tak hingga

# data[].attributes.attachment_link.title
Deret Geometri Tak Hingga - Matematika Kelas 11 - Quipper Blog

# data[].attributes.attachment_link.description
Deret geometri tak hingga adalah penjumlahan suku-suku pada barisan geometri yang banyaknya tidak terbatas (tak hingga). Simak lebih jelasnya di sini!

# data[].attributes.attachment_link.provider_name
Belajar Gratis di Rumah Kapan Pun! | Blog Ruangguru -

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Yuk, kita mempelajari barisan geometri, deret geometri, dan deret geometri tak hingga! Seperti apa bentuknya dan bagaimana rumus-rumusnya? Simak artikel berikut ini, ya!
-

Jika kamu sudah membaca artikel tentang barisan dan deret aritmatika , kamu pastinya sudah tahu manfaat dari mempelajari konsep barisan dan deret dalam matematika. Nah, selain barisan dan deret aritmatika, ada satu lagi nih, yang mau kita bahas di artikel ini, yaitu barisan dan deret geometri.

Apa itu barisan dan deret geometri? Apa sih, perbedaannya dengan barisan dan deret aritmatika? Oke, supaya kamu nggak bingung, yuk langsung baca penjelasannya di bawah ini!

Barisan geometri adalah pola yang memiliki pengali atau rasio yang tetap untuk setiap 2 suku yang berdekatan. Rasio pada barisan geometri biasa disimbolkan dengan r. Barisan geometri juga biasa disebut sebagai barisan ukur.

Contoh lebih mudahnya begini, misal kamu punya barisan seperti ini:

1, 3, 9, 27, ...

Dari barisan tersebut, kita bisa lihat antara suku pertama dengan suku kedua, antara suku kedua dan suku ketiga dan seterusnya selalu punya pengali yang tetap, yaitu 3. Dengan demikian, barisan ini termasuk barisan geometri.

Nah, kalau barisan ini dituliskan dalam bentuk penjumlahan, namanya jadi deret geometri. Deret geometri itu bentuk penjumlahan dari barisan geometri. Penulisannya adalah seperti ini:

1 + 3 + 9 + 27 + ...

Paham ya, bedanya barisan dan deret? Lalu, kalau deret geometri tak hingga itu apa?

Deret geometri tak hingga hampir sama dengan deret geometri, namun deret tersebut diteruskan hingga nilainya tak hingga. Nanti kita bahas lebih lanjut ya, supaya kamu bisa lebih paham. Sekarang, kita bahas mulai dari barisan dan deret geometri dulu, yuk! Lalu selanjutnya kita akan bahas tentang deret geometri tak hingga.

Barisan Geometri dan Deret Geometri

Tadi, kita sudah mengenal pengertian serta contoh dari barisan geometri dan deret geometri. Sekarang, kita belajar rumus-rumusnya, ya!

Pada barisan geometri dan deret geometri, terdapat tiga rumus yang harus kamu ketahui, yaitu rumus rasio, rumus U n, dan rumus S n. Kita bahas satu per satu, ya!

1. Rumus Rasio pada Barisan dan Deret Geometri

Rasio adalah nilai pengali pada barisan dan deret. Rumus untuk mencari rasio pada barisan geometri dan deret geometri adalah seperti infografis berikut.

Misalnya kita punya barisan geometri:

1, 3, 9, 27, 81, ....

Suku pertama (a) dari barisan geometri tersebut adalah 1. Maka r-nya adalah:

Jadi, rasio dari barisan geometri tersebut adalah 3.

2. Rumus Un pada Barisan dan Deret Geometri

U n adalah suku ke-n pada barisan dan deret. Untuk mencari U n pada barisan geometri dan deret geometri, kamu bisa menggunakan rumus berikut ini.

Misalnya kita punya barisan geometri:

1, 3, 9, 27, 81, ....

Lalu, kita coba cari Unya. Misalnya n yang mau dicari adalah 6, maka:

Jadi, dari barisan geometri tersebut adalah 243.

Mudah kan, rumusnya? Syaratnya adalah kamu harus mengetahui berapa nilai a dan r-nya . Dengan begitu, kamu sudah bisa mencari U n dengan mudah. Sekarang, kita cari tahu rumus selanjutnya yuk!

3. Rumus Sn pada Barisan dan Deret Geometri

S n adalah jumlah suku ke-n pada barisan dan deret. Nah, bagaimana cara kita mencari tau S n pada barisan geometri dan deret geometri? Berikut ini adalah rumusnya. Check it out!

Misalnya kita punya barisan geometri:

1, 3, 9, 27, 81, ....

Lalu, kita coba cari Snya. Misalnya n yang mau dicari adalah 3, maka:

Jadi, Sdari barisan geometri tersebut adalah 13.

Oke, itu dia rumus S n dalam barisan geometri dan deret geometri. Nah sekarang, kita lanjut bahas tentang deret geometri tak hingga, yuk!

Baca juga: Barisan Aritmatika Bertingkat

Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga itu dibagi menjadi 2 jenis yaitu deret geometri tak hingga divergen dan deret geometri tak hingga konvergen. Keduanya memiliki perbedaan yang cukup penting. Yuk, kita lihat pengertian dari kedua jenis deret geometri tak hingga tersebut beserta perbedaannya!

1. Deret Geometri Tak Hingga Divergen

Deret geometri tak hingga divergen adalah suatu deret yang nilai bilangannya semakin membesar dan tidak bisa dihitung jumlahnya. Bisa kita lihat seperti di bawah ini,

1 + 3 + 9 + 27 + 81 + ...............

Kalau ditanya berapa sih, jumlah seluruhnya? Jumlah seluruhnya tidak bisa dihitung karena nilainya semakin besar.

2. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Berbeda dengan deret geometri tak hingga divergen, deret geometri tak hingga konvergen merupakan suatu deret di mana nilai bilangannya semakin mengecil dan dapat dihitung jumlahnya. Seperti di bawah ini:

Semakin lama nilainya semakin mengecil dan ujungnya akan mendekati angka 0. Hal ini membuat deret geometri tak hingga konvergen dapat dihitung jika ditanyakan jumlah seluruhnya.

Lalu bagaimana cara menghitung jumlah seluruhnya dari deret geometri tak hingga konvergen?

3. Rumus Stak hingga pada Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Sebelum masuk ke rumus, ada syarat terlebih dahulu jika kamu bertemu dengan deret geometri tak hingga konvergen, yaitu rasionya harus bernilai antara -1 sampai 1 (-1 > r > 1) dan ini berlaku untuk negatif dan positif. Contohnya seperti deret di atas. Deret di atas rasionya adalah sehingga bisa dihitung jumlah tak hingganya.

Nah, sekarang kita lihat yuk rumus untuk menghitung S tak hingga atau jumlah tak hingganya!

Misalnya kita punya deret geometri tak hingga konvergen:

Lalu, kita coba cari S tak hingga nya, maka:

Jadi, S tak hinggadarideret geometri tak hingga konvergen tersebut adalah .

Itu dia penjelasan tentang barisan geometri, deret geometri, serta deret geometri tak hingga. Bagaimana, teman-teman? Kamu sudah paham, kan? Atau kamu masih belum puas dengan penjelasannya? . Di sana, kamu bisa belajar sekaligus latihan soal-soal. Selain itu, waktu belajar kamu akan lebih efektif, dan tidak akan menyita waktu bermain kamu. Jadiii tunggu apa lagi? Buruan Hmm tenang, kamu bisa nih, belajar melalui video animasi di ruangbelajar download aplikasi ruangguru!
Referensi:
Wirodikromo, S. dan Darmanto, M. (2019) Matematika untuk SMA/MA Kelas XI kelompok Wajib 2. Jakarta: Erlangga.
Artikel ini telah diperbarui pada 20 Oktober 2022.

# data[].attributes.attachment_link.title
Mempelajari Barisan dan Deret Geometri | Matematika Kelas 11 - Belajar Gratis di Rumah Kapan Pun! | Blog Ruangguru

# data[].attributes.attachment_link.description
Yuk, kita mempelajari barisan geometri, deret geometri, dan deret geometri tak hingga! Seperti apa bentuknya dan bagaimana rumus-rumusnya? Simak artikel berikut ini, ya! -- Jika kamu sudah membaca artikel tentang barisan dan deret aritmatika, kamu pastinya sudah tahu manfaat dari mempelajari konsep barisan dan deret dalam matematika.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri yang penjumlahanya sampai suku tak hingga. Deret geometri sendiri merupakan deret yang mempunyai perbandingan suku-suku berurutan tetap atau yang lebih dikenal sebagai rasio. Selain deret geometri ada pula deret aritmetika, bedanya dengan deret geometri apabila deret geometri mempunyai rasio deret aritmetika mempunyai beda (b) yang merupakan selisih suku yang berurutan dan akan bernilai tetap pada suku-suku yang berurutan lainnya.

Fokus kita pada bahasan kali ini adalah mengenai deret geometri tak hingga. Meskipun deret ini memiliki suku mencapai tak hingga kita masih dapat mencari jumlah keseluruhannya secara pasti. Namun, tidak semua deret geometri tak hingga dapat kita tentukan jumlahnya. Dilihat dari rasionya (r) deret geometri tak hingga dapat dibedakan menjadi dua yaitu deret geometri konvergen dan deret geometri tak hingga divergen

Rumus Jumlah Deret Geometri Tak Hingga

Sebelum membahas mengenai rumus jumlah deret geometri tak hingga, kita harus pahami terlebih dahulu deret geometri tak hingga konvergen dengan deret geometri tak hingga divergen. Pada dasarnya keduanya memiliki perbedaan pada rasionya. Deret konvergen memiliki interval rasio -1 < r < 1 atau dapat ditulis juga |r| < 1 (tanda mutlak r). Sedangkan deret divergen mempunyai rasio r < -1 atau r > 1 (|r | > 1).

1. Deret geometri tak hingga kovergen memiliki rasio dengan interval -1 < r < 1 serta memiliki limit jumlah (dapat dihitung jumlanya)

2. Deret geometri tak hingga divergen memiliki rasio r < -1 atau r > 1, tidak memiliki limit jumlah atau tidak diketahui berapa jumlah pastinya dan sering dikatakan jumlahnya tak hingga ($\infty$)

Dari penjelasan di atas, sekarang akan dilanjutkan dengan bahasan mengenai rumus deret geometri tak hingga konvergen. Misalkan U$_{1}$ + U$_{2}$ + U$_{3}$ + ....... merupakan deret geometri tak hingga konvergen dimana -1 < r < 1, U$_{1}$ = a merupakan suku pertamanya dan $S_{\infty}$ merupakan jumlahnya maka
$S_{\infty} = \dfrac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$
Karena r bernilai -1 < r < 1 maka apabila dipangkatkan tak hingga akan menghasilkan bilangan yang sangat kecil atau mendekati nol sehingga diperoleh
$S_{\infty} = \dfrac{a(1-0)}{1 -r}$
$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 -r}$
Jadi, untuk menentukan jumlah suatu deret geometri tak hingga konvergen dapat menggunakan rumus

$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 - r}$

Dengan $S_{\infty}$ merupakan jumlah deret geometri tak hingga, a adalah suku pertama deret, dan r merupakan rasio deret tersebut dengan syarat -1 < r < 1. Sedangkan pada deret divergen
$S_{\infty} = \dfrac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$
Karena r bernilai r < -1 atau r > 1 maka apabila dipangkatkan tak hingga akan menghasilkan bilangan tak hingga ($\pm$). Sehingga diperoleh hasil
$S_{\infty} = \dfrac{a(1\pm \infty)}{1 -r}= $$\pm \infty$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal dan pembahasan deret geometri tak hingga berikut!
Contoh 1
Tentukan jumlah deret tak hingga dari 16 + 8 + 4 + 2 + ......
Jawab
16 + 8 + 4 + 2 + ......
a = 16
r = $\frac{1}{2}$ merupakan deret konvergen
$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 - r}$
$S_{\infty} = \dfrac{16}{1 - \frac{1}{2}}$
$S_{\infty} = \dfrac{16}{\frac{1}{2}}$
$S_{\infty} = 32 $

Contoh 2
Diketahui deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 12. Jika rasionya adalah $\frac{1}{3}$, nilai suku pertamanya adalah ...
Jawab
$S_{\infty} = 12 $
r = $\frac{1}{3}$
$\dfrac{a}{1 - \frac{1}{3}} = 12 $
$\dfrac{a}{\frac{2}{3}} = 12 $
$a = 12 \times \frac{2}{3} $
$a = 8$

Contoh 3
Diketahui deret geometri tak hingga dengan jumlah 24. Jika suku pertamanya adalah 8, maka rasionya adalah ...
Jawab
$S_{\infty} = 24 $
a = 8
$\dfrac{8}{1 - r} = 24 $
$8 = 24 - 24r$
$ -16 = -24r$
$24r = 16$
$r = \frac{16}{24}$
$r = \frac{2}{3}$
Contoh 4
Tentukan nilai x agar deret geometri (x - 2) + (x -2)$^2$ + (x - 2)$^3$ + .... merupakan deret konvergen!
Jawab
1 + (x - 2) + (x -2)$^2$ + (x - 2)$^3$ + ....
r = x - 2
Syarat konvergen -1< r < 1
-1 < x - 2< 1
-1 + 2 < x < 1+2
1 < x < 3

Contoh 5
Jika suku pertama suatu deret geometri tak hingga adalah a dan jumlahnya 6, maka nilai a yang memenuhi deret geometri tersebut adalah ....
Jawab
$S_{\infty} = 6 $
$\dfrac{a}{1 - r} = 6 $
$a = 6 - 6r$
$a - 6 = -6r$
$r = \dfrac{a - 6}{-6}$
$r = \dfrac{6 - a}{6}$
Karena memiliki jumlah maka r bernilai -1 < r < 1
$-1 < \dfrac{6 - a}{6} < 1$
$-6 < 6 - a < 6$
$-12 < -a < 0$
$12 > a > 0$ (dikali -1 maka tanda dibalik)
$0 < a < 12$
Jadi, nilai a berada pada interval 0 < a < 12

Contoh 6
Tentukan jumlah deret geometri tak hingga 3 + 6 + 12 + 24 + ...
Jawab
3 + 6 + 12 + 24 + ...
a = 3
r = 2
Karena nilai r > 1, maka deret ini merupakan deret divergen yang jumlah tak hingganya adalah $\infty$

Suku Genap dan Suku Ganjil Pada Deret Geometri Tak Hingga

Dalam setiap deret tentu memiliki suku-suku genap dan suku-suku ganjil. Misalkan pada deret
U$_{1}$ + U$_{2}$ + U$_{3}$ + U$_{4}$ + U$_{5}$ + U$_{6}$ +.......
Deret di atas memiliki deret suku ganjil
U$_{1}$ + U$_{3}$ + U$_{5}$ + U$_{7}$ + U$_{9}$ + U$_{11}$ +.......
Dan deret suku genapnya adalah
U$_{2}$ + U$_{4}$ + U$_{6}$ + U$_{8}$ + U$_{10}$ + U$_{12}$ +.......
Pada deret geometri tak hingga juga sama yaitu
$S_{\infty} =$ U$_{1}$ + U$_{2}$ + U$_{3}$ + U$_{4}$ + U$_{5}$ + U$_{6}$ +.......
$S_{\infty} =$ (U$_{1}$ + U$_{3}$ + U$_{5}$+.......) + (U$_{2}$ + U$_{4}$ + U$_{6}$+.......)
$S_{\infty} =$ $S_{\infty ganjil}$ + $S_{\infty genap}$
Dengan demikian
$S_{\infty ganjil} = a + ar^{2} + ar^{4} + ar^{6} + .......$
$S_{\infty genap} = ar + ar^{3} + ar^{5} + ar^{7} + .......$

Jika dilihat pada deretnya, deret suku ganjil mempunyai suku pertama U1 atau a dan rasionya adalah r$^{2}$. Dengan demikian diperoleh rumus jumlah deret tak hingga suku ganjil

$S_{\infty ganjil} = \dfrac{a}{1-r^{2}}$
Sedangkan untuk suku genap memiliki suku pertama ar dan rasionya r$^{2}$, maka diperoleh rumus jumlah tak hingganya
$S_{\infty genap} = \dfrac{ar}{1-r^{2}}$

Dari dua rumus di atas kita juga mendapatkan cara untuk menemukan rasio pada deret geometri tak hingga. Apabila diketahui $S_{\infty ganjil}$ sebagai jumlah suku-suku ganjil suatu deret geometri tak hingga dan $S_{\infty genap}$ sebagai jumlah suku-suku genapnya maka perbandingan suku genap dan suku ganjil merupakan rasio dari deret geometri tak hingga tersebut. Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut
$\dfrac{S_{\infty genap}}{S_{\infty ganjil}} $$= \dfrac{\frac{ar}{1-r^{2}}}{\frac{a}{1-r^{2}}}$
$=\dfrac{ar}{1-r^{2}} \cdot \dfrac{1-r^{2}}{a}$
$= \dfrac{ar}{a}$
$= r$
Jadi, diperoleh cara lain untuk menentukan rasio suatu deret geometri tak hingga adalah
$r = \dfrac{S_{\infty genap}}{S_{\infty ganjil}}$

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut

Contoh 7
Jika jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 32 dan jumlah semua suku genapnya adalah 18, maka rasio dari deret geometri tersebut adalah ...
Jawab
$S_{\infty}$ = 32
$S_{\infty genap}$ = 14
$S_{\infty ganjil}$ =32 - 14 = 18
$r = \dfrac{S_{\infty genap}}{S_{\infty ganjil}}$
$r = \dfrac{14}{18}$
$r = \dfrac{7}{9}$

Contoh 8
Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 96 dan jumlah semua sukunya yang ganjil adalah 64, suku ke-3 deret tersebut adalah...
Jawab
$S_{\infty}$ = 96
$S_{\infty ganjil}$ = 64
$S_{\infty genap}$ = 96 - 64 = 32
$r = \dfrac{S_{\infty genap}}{S_{\infty ganjil}}$

$S_{\infty} = 96 $
$\dfrac{a}{1 - \frac{1}{2}} = 96 $
$\dfrac{a}{\frac{1}{2}} = 96 $
$a = 96 \times \frac{1}{2} $
$a = 48$

$U_{n} = ar^{n-1}$
$U_{3} = 48 (\dfrac{1}{2})^{3-1}$
$U_{3} = 48 (\dfrac{1}{4})$
$U_{3} = 12$

Penggunaan Deret Geometri Tak Hingga

Penggunaan deret geometri tak hingga salah satunya pada masalah menghitung panjang lintasan dari pantulan bola. Ada dua kondisi masalah yang biasa digunakan dalam soal yaitu bola yang dilempar ke atas dan memantul sampai berhenti dan bola yang dijatuhkan dari atas dan memantul sampai berhenti. Tentu saja hasil yang didapat tidak seakurat seperti kenyataanya, namun setidaknya perhitungan ini telah mendekati.

Misalkan sebuah bola dilempar ke atas dengan ketinggian a dan jatuh memantul r dari tinggi sebelumnya. Jika kondisinya adalah bola dilempar ke atas dan memantul sampai berhenti, maka panjang lintasannya dapat kita hitung menggunakan deret geometri tak hingga. Namun, ada beberaa kondisi yang harus kita pahami terlebih dahulu. Apabila bola dilempar ke atas dan memantul hingga berhenti, maka bola akan melewati dua kali lintasan yang sama pada saat naik dan turun. Sehingga rumus yang digunakan untuk menghitungnya adalah

PL = panjang lintasan bola

Bola dijatuhkan dari atas

Misalkan sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian a dan memantul r dari tinggi sebelumnya. Kasus ini sama saja kita menghitung panjang lintasan bola dilempar namun pada saat kita tidak ikut menghitung panjang lintasan pada saat bola dilempar ke atas. Sehingga untuk mendapatkan panjang lintasan bola yang dijatuhkan kita dapat menggunakan rumus

$PL = 2\dfrac{a}{1-r} - a$

PL = panjang lintasan bola

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal mengenai panjang lintasan bola yang memantul hingga berhenti berikut

Sebuah bola tenis meja dilemparkan ke atas dan mencapai ketinggian 4 meter. Setiap bola sampai pada daratan bola memantul tiga perempat kali dari ketinggian sebelumnya. Panjang lintasan yang dilalui bola tenis meja yang memantul sampai berhenti adalah ...

$PL = 2\dfrac{4}{1-\frac{3}{4}}$

$PL = 2\dfrac{4}{\frac{1}{4}}$

$PL = 2(4 \cdot \frac{4}{1})$

Jadi, panjang lintasan yang dilalui bola tenis meja yang memantul sampai berhenti adalah 32 m

Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 5 meter dan memantul sampai berhenti. Apabila ketinggian yang dicapai saat memantul tiga per lima kali tinggi sebelumnya, maka panjang lintasan yang dilalui bola pingpong sampai berhenti adalah ...

$PL = 2\dfrac{a}{1-r} - a$

$PL = 2\dfrac{5}{1-\frac{3}{5}} - 5$

$PL = 2\dfrac{5}{\frac{2}{5}} - 5$

$PL = 2(5 \cdot \frac{5}{2}) - 5$

Jadi, panjang lintasan yang dilalui bola pingpong sampai berhenti adalah 20 m

Demikianlah mengenai deret geometri tak hingga dan contoh soalnya, semoga bermanfaat

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
deret geometri tak hingga dan contoh soalnya

# data[].attributes.attachment_link.title
Deret Geometri Tak Hingga dan Contoh Soalnya

# data[].attributes.attachment_link.description
Deret Geometri Tak Hingga dan Contoh Soalnya - madematika - https://www.madematika.id/