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Definição:

"Número perfeito [...] é o que apresenta a propriedade de ser igual à soma de seus divisores — excluindo-se, é claro, dentre esses, o próprio número." (TAHAN, 2013, p.61)

Se n = S(n): o número n é perfeito.

Onde, n é um número natural, D(n) são os divisores próprios de um número natural e S(n) é a soma dos divisores próprios.

Exemplos:

496 é um número perfeito?

D (496): 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248

S (496): 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496

Assim, 496 é um número perfeito!

28 é um número perfeito?

D(28): 1, 2, 4, 7, 14

S(28): 1+2+4+7+14 = 28

Assim, 28 é um número prefeito!

Curiosidades:

Os números perfeitos conhecidos são pares. Quanto à questão da existência ou não de números perfeitos ímpares, é um dos problemas em aberto que ainda hoje permanece sem solução. (CERQUEIRA, 2023)

Referências:

TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 83ª ed. Rio de Janeiro: Record, 2013.

CERQUEIRA, Victor Gomes. Sobre números perfeitos e quase perfeitos. 2023. Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática e Estatística, Rio de Janeiro, 2023.

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Definição:

"Um número natural (n), n > 1, é dito abundante se a soma de seus divisores próprios é superior a ele." (Clubes de Matemática da OBMEP, 2017)

Se n < S(n): o número n é abundante.

Onde, D(n) são os divisores próprios de um número natural e S(n) é a soma de seus divisores próprios.

Exemplos:

12 é abundante?

D(12): 1, 2, 3, 4, 6

S(12): 1+2+3+4+6 = 16

Assim, 12 é menor que 16.

Portanto, 12 é abundante.

36 é abundante?

D(36): 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18

S(36): 1+2+3+4+6+9+12+18 = 55

Assim, 36 é menor que 55.

Portanto, 36 é abundante.

Referências:

CLUBES DE MATEMÁTICA DA OBMEP. Um pouco sobre divisibilidade (Parte 1 - Múltiplos e divisores). Disponível em: <https://clubes.obmep.org.br/blog/teoria-dos-numeros-um-pouco-sobre-divisibilidade-parte-1/>. Acesso em: 26 maio 2025.

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Definição:

"Um número natural (n), n > 1, é dito deficiente se a soma de seus divisores próprios é inferior a ele." (Clubes de Matemática da OBMEP, 2017)

Se n > S(n): o número n é deficiente.

Onde, D(n) são os divisores próprios de um número natural e S(n) é a soma de seus divisores próprios.

Exemplos:

13 é deficiente?

D(13): 1

S(13): 1

Assim, 13 é maior que 1.

Portanto, 13 é deficiente.

49 é deficiente?

D(49): 1, 7

S(49): 1+7 = 8

Assim, 49 é maior que 8.

Portanto, 49 é deficiente.

Referências:

CLUBES DE MATEMÁTICA DA OBMEP. Um pouco sobre divisibilidade (Parte 1 - Múltiplos e divisores). Disponível em: <https://clubes.obmep.org.br/blog/teoria-dos-numeros-um-pouco-sobre-divisibilidade-parte-1/>. Acesso em: 26 maio 2025.

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Definição:

"Dois números são chamados de amigáveis, se são compostos de tal maneira que a soma das partes alíquotas de um é igual ao outro e, por sua vez, a soma das partes alíquotas do segundo é igual o primeiro." (Euler, 1750, p. 23, tradução Leônico e Fossa)

Ou seja, a soma dos divisores próprios de um número é igual outro número, que quando somamos seus divisores próprios, resulta no número anterior.

n é um número natural, D(n) são os divisores próprios de um número natural e S(n) é a soma dos divisores próprios.

Exemplos:

220 e 284 são amigáveis?

D(220): 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110

S(220): 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

D(284): 1, 2, 4, 71, 142

S(284): 1+2+4+71+142 = 220

Logo, 220 e 284 são amigáveis!

1184 e 1210 são amigáveis?

D(1184): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 37, 74, 148, 296, 592

S(1184): 1+2+4+8+16+32+37+74+148+296+592 = 1210

D(1210): 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110, 121, 242, 605

S(1210): 1+2+5+10+11+22+55+110+121+242+605 = 1184

Logo, 1184 e 1210 são amigáveis!

Referências:

LEÔNCIO, Sarah Mara Silva. Os artigos de Euler sobre os números amigáveis. Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ciências Exatas e da Terra. Natal, 2013.

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Os números perfeitos se originou nos Pitagóricos, que identificaram dois tipos distintos: um relacionado ao número 10, considerado perfeito por ser a soma dos quatro primeiros números naturais (1 + 2 + 3 + 4 = 10), e outro composto por números naturais que são iguais à soma de seus divisores próprios.

Euclides, por volta de 300 a.C., formalizou uma definição e uma equação matemática para os números perfeitos, demonstrando que números da forma 2^(n-1) x (2^n) - 1, quando (2^n) - 1 resulta em um número primo, são números perfeitos. Posteriormente, Nicomachus de Gerasa, estudou os padrões dos números perfeitos, embora algumas de suas ideias tenham sido incorretas.

Ao longo da história, algumas culturas atribuíram significados especiais aos números 6 e 28, relacionando os números perfeitos a eventos cósmicos e religiosos. Um exemplo é Santo Agostinho, cujo acreditava que Deus criou o mundo em seis dias por causa da perfeição matemática desse número.

No século XVIII, Leonhard Euler confirmou que todos os números perfeitos pares seguem a fórmula proposta por Euclides, restringindo a busca a primos de Mersenne ((2^n) -1).

CURIOSIDADE: Com o auxilio dos computadores e de tecnologias, a busca por números perfeitos se impulsionou, levando à descoberta de novos primos de Mersenne. Atualmente, tem-se conhecimento de 49 números perfeitos, onde o maior número possui mais de 44 milhões de dígitos.

No link abaixo, você terá acesso a lista de números perfeitos já conhecidos: http://clubes.obmep.org.br/blog/wp-content/uploads/2016/02/PERFEITOS_final.pdf

Referências:

Números especiais – números perfeitos – Clubes de Matemática da OBMEP. Disponível em: https://clubes.obmep.org.br/blog/numeros-especiais-numeros-perfeitos/. Acesso em: 26 maio 2025.

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O primeiro número abundante é o 12, e ele já era conhecido e usado pelos babilônios, pois tem muitas divisões exatas e era prático para o comércio e a medição.

Os gregos antigos viam os números abundantes como “transbordantes”, cheios, talvez até excessivos, em contraste com os perfeitos e deficientes.

Mais tarde, matemáticos como Nicomachus de Gerasa (século I d.C.) e Santo Agostinho comentaram sobre esses números com um tom quase místico, atribuindo-lhes significados filosóficos.

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Esses números aparecem em Teoria dos Números, Criptografia e na busca por padrões nos números inteiros

Além disso, podemos aplicar esse conteúdo como fixação das matérias de MMC e MDC, como uma atividade mais dinâmica e que reforça o conteúdo estudado anteriormente.

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A propriedade de que múltiplos de abundantes também são abundantes é útil em teoria algorítmica. São analisados por meio da função sigma e aparecem na modelagem computacional. Assim, pode-se utilizar esse conteúdo como reforço dos tópicos de MMC e MDC.

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A maioria dos números naturais é deficiente, por isso estão presentes na classificação e análise da distribuição dos números naturais. Logo, os números deficientes podem ser trabalhados com MMC, MDC, como uma atividade de fixação de conteúdos.

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Esses números apresentam uma simetria rara e aparecem em teoria de grupos, codificação e curiosidades matemáticas. Além disso, podemos aplicar esse conteúdo como fixação das matérias de MMC e MDC, como uma atividade de reforço dos temas citados anteriormente.

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A origem dos números amigos remontam à antiguidade. Acredita-se que os antigos egípcios já conheciam a existência desses números, embora não tivessem uma formulação explícita para eles. Eles estavam interessados em encontrar números perfeitos, que são números cuja soma dos divisores próprios é igual ao próprio número. Os números amigos podem ser considerados uma extensão dos números perfeitos (ALLAN, 2009). Assim, os números amigos são conhecidos desde os pitagóricos, estudados por Thābit ibn Qurra e ampliados por Euler.

Referências:

NEGRÃO, Sávio Ribeiro Gomes. Teoria dos números: uma análise sobre problemas em aberto. 2023. Trabalho de Conclusão de Curso – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia, Campus Valença, 2023.

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O conceito aparece em estudos da escola pitagórica, onde os números eram associados a características filosóficas e místicas.

Números deficientes eram considerados “incompletos” ou "insuficientes", por não atingirem a plenitude de sua estrutura (não se completam com seus divisores).

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Ana Caroline Pereira de Oliveira;

Dalciane Bergamin Duarte;

Ester da Costa Morozini;

Sabrina Fioretti Miniguite;

Taís Silva da Cruz.