# data[].attributes.body
La derivada de una función en un punto indica cómo cambia el valor de la función conforme cambia su variable independiente, proporcionando una medida de la pendiente de la curva en ese punto

# data[].attributes.body
"Se utiliza en matemática para el cálculo de respuestas de una función a la que se le están alternando sus valores iniciales, el cual está representada gráficamente como una línea recta superpuesta sobre otra curva (función) y el valor de esta pendiente respecto al eje sobre el cual está siendo evaluada la función recibe el nombre de derivada". (matemente, 2024).

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
¿Qué me voy a encontrar en este artículo?

¿Qué es una derivada?

¿Para qué sirve?

Uso de las derivadas en la vida diaria

Derivada de una función real

Hallemos la derivada por definición de las siguientes funciones:

¿Qué es una derivada?

Se utiliza en matemática para el cálculo de respuestas de una función a la que se le están alternando sus valores iniciales, el cual está representada gráficamente como una línea recta superpuesta sobre otra curva (función) y el valor de esta pendiente respecto al eje sobre el cual está siendo evaluada la función recibe el nombre de derivada.

También te puede interesar:

5 Ramas de la matemática

¿Para qué sirve?

Sirven para garantizar u optimizar sistemas que se expresan con funciones más o menos complejas.

Uso de las derivadas en la vida diaria

No solo cumple un papel fundamental en el área de la matemática, sino también en diversas ciencias como la física, mecánica, biología, en el estudio de la medicina y la economía.

Una forma más sencilla de comprenderlas es saber que estas representan razones de cambio, en ingeniería por ejemplo sirve para calcular la variación de la temperatura en un tubo cuando aumenta la presión.

Otro ejemplo sería para calcular cuánto tiempo le durará la batería a un celular en función al cambio de consumo de corriente durante una llamada.

Derivada de una función real

La función f es la función f’ definida por:

Para todo x donde exista este límite.

Cuando estamos interesados particularmente en el valor de la derivada f’ en x=a reescribimos la definición así:

Se observa que x→a cuando h→0 si el límite de la definición existe decimos que la función f es derivable o diferenciable en x=a. el proceso de encontrar la derivada (f’) se llama derivación de f.

Hallemos la derivada por definición de las siguientes funciones:

Ejercicio 1:

En este ejercicio aplicaremos la definición de la derivada mencionada anteriormente.

Ejercicio 2:

Aplicamos la definición.

Reescribimos f(x)

Ahora vamos a desarrollar el producto notable.
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(x+h)² = x² + 2xh + h²

Procedemos a aplicar propiedades en R,

a – a = 0 ; x² – x² = 0

Desarrollamos la propiedad distributiva o factor común, en este caso h.

Nuevamente, aplicamos propiedades en R.

En este paso aplicaremos una de las reglas de derivación.

Resolvemos 2 . x + 0

Quedando como resultado 2x.

# data[].attributes.attachment_link.title
Derivada ¿Qué es y para que sirve? ¡2 Ejemplos explicados!

# data[].attributes.attachment_link.description
La derivada se utiliza en matemática para el cálculo de respuestas de una función a la que se le están alternando sus valores iniciales...

# data[].attributes.body
!La derivada es una herramienta matemática para ello. Isaac Newton desarrolló los principios del cálculo diferencial en su obra Methodus Fluxiorum et Serierum Infinitorum (1671)". (UNAM, 2024)

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Ejemplo 4. Encontrar los valores máximos que se presentan en la siguiente ecuación:

Solución

Antes de realizar el desarrollo, se muestra la gráfica asociada a dicha ecuación:

Gráfica de la ecuación -x ² + 4x - 2 en el intervalo x(0,4)

Al observar nuestra gráfica se aprecia que, a diferencia del ejemplo sobre los mínimos, ésta tiene un valor máximo en la coordenada (2,2); entonces, igual que en aquel caso, se obtiene la derivación y se realiza una evaluación alrededor del punto máximo.

Derivación:

La ecuación (e4) se anula para x = 2; al observar los puntos alrededor de este valor, se toman lateralmente las abscisas x = 1 y x = 3 y se evalúan en (e4):

Pendientes de las tangentes m = 2 para x = 1; m = 0 para x = 2; m = -2 para x = 3

Al obtener los ángulos correspondientes:

Nuevamente se observa un cambio de signos alrededor del punto donde se presenta el máximo; sin embargo, al observar con más cuidado, se aprecia que ahora se da en sentido contrario (positivo, cero, negativo).

De esta manera, es posible resumir la forma en que se puede determinar cuándo se presenta un máximo y cuándo un mínimo a través de la derivación de dicha ecuación.

1. Obtener la derivada de la función bajo análisis, igualar dicha ecuación a cero y obtener las soluciones para esa condición.
2. Evaluar para valores cercanos antes y después de esos puntos donde se anula la derivada.
3. Obtener, si se presentan, los cambios de signo asociados a las tangentes evaluadas.
4. Se presenta un máximo si la variación de signos alrededor del valor que se anula se da de esta forma: positivo-cero-negativo.
5. Se presenta un mínimo si la variación de signos alrededor del punto que se anula se da de esta manera: negativo-cero-positivo.

Esto se resume en la siguiente tabla:

Tabla 1. Determinación de máximos y mínimos de una función, a partir de los valores de "x", donde se anula su primera derivada

Para finalizar, no hace falta obtener el valor del ángulo (tan ⁻¹), ya que el cambio de signos se observa desde antes; esto se realizó como una estrategia que aclarara aún más la interpretación de la pendiente de la tangente asociada.

# data[].attributes.attachment_link.description
En este tema, revisarás el contexto de surgimiento del concepto de derivada de una función, sus interpretaciones físicas y geométricas, así como algunos procedimientos para su obtención, junto con la recurrencia del procedimiento de derivación y sus aplicaciones en la determinación de máximos y mínimos de una función.

# data[].attributes.body
"La derivada de una función en un punto determinado nos da la tasa de cambio o pendiente de la línea tangente a la función en ese punto. Si diferenciamos una función de posición en un momento dado, obtenemos la velocidad en ese momento".

(Openstax, 2024).

# data[].attributes.attachment_link.title
3.2 La derivada como función - Cálculo volumen 1 | OpenStax

# data[].attributes.attachment_link.description
Este libro de texto gratis es un recurso de OpenStax escrito para mejorar el acceso que tienen los estudiantes a materiales educativos de alta calidad y revisados por expertos.

# data[].attributes.headline
Definición y regla general de la derivada.

# data[].attributes.subject
Definición y regla general de la derivada.

# data[].attributes.body
"La derivada de una función nos indica el ritmo con el que una función varía, es decir, crece, decrece o permanece constante cuando se producen pequeños cambios en la variable independiente".

(Nodo Universitario, 2021).

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Introducción

¡Hola!

¡Qué gusto saber de ti! Sigue siendo un placer contar con tu asistencia en este curso, espero que tu ánimo no decaiga pues estás avanzando con pasos seguros en él, por lo tanto, te invito a la clase diez titulada Definición y regla general de la derivada del curso Cálculo Diferencial.

Vamos a comenzar el tema medular del Cálculo Diferencial, la Derivada.

Alguna vez te habrás preguntado para qué servirán las expresiones matemáticas que hemos visto en el transcurso de las clases. Las matemáticas permiten crear modelos teóricos que sirven para explicar fenómenos de la vida real. Podemos aplicar una derivada a esas funciones y determinar una variación que tenga algún significado en algún proceso humano o natural.

¿Cómo es esto?

La derivada de una función nos indica el ritmo con el que una función varía, es decir, crece, decrece o permanece constante cuando se producen pequeños cambios en la variable independiente. Mediante el estudio de funciones y sus derivadas podríamos conocer:

El contagio de un virus en función del tiempo.

La variación del espacio en función del tiempo.

El crecimiento de población humana en función del tiempo.

El desgaste de un neumático en función del tiempo.

El beneficio de una empresa en función del tiempo.

La extinción de una especie animal en función del tiempo.

¿Se te ocurre algo más?

La derivada resulta fundamental en muchas situaciones de la vida cotidiana. En este curso utilizamos derivadas para estudiar el comportamiento de las funciones. Estudiaremos los intervalos de crecimiento, de decrecimiento, los máximos y mínimos relativos y absolutos, los intervalos de concavidad y convexidad, así como los puntos de inflexión. Veremos que las derivadas también sirven para resolver problemas de optimización, es decir, conseguir el valor óptimo de una función sujeta a ciertas condiciones.

Para adentrarnos a este tema empezaremos por comprender el concepto de derivada y empezar a calcularlas por medio de la regla general de la derivada, teoría base, para el resto del tema.

Empezamos. ¡Éxito!

Desarrollo del tema

Las matemáticas tienen su simbología para representar abstracciones que necesitan ser entendidas por la mente humana y la derivada no es la excepción.

La primera derivada de una función y = f(x), puede expresarse en cualquiera de las formas siguientes:

Todas ellas indican la primera derivada de (y) con respecto a (x). Además, las derivadas sucesivas pueden expresarse de la siguiente forma:

La primera derivada de (y) con respecto a (x) se define como "El límite cuando ∆x tiende a cero del cociente ∆y / ∆x", que en símbolos matemáticos se expresa como: y' = ∆y / ∆x. También podemos decir que la primera derivada de (y) con respecto a (x), nos expresa qué tanto varía (y) ante una variación que tenga (x). ∆x y ∆y se refieren a esa variación.

Vamos a ver una gráfica que nos ayude a interpretar el concepto de derivada de forma geométrica.

Cuando h tiende a cero, es decir, empieza a disminuir su longitud, puedes ver que el punto Q empieza a aproximarse al punto P, y el cateto QR empieza a disminuir, hasta que Q se confunde con P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por lo tanto en ángulo α tiende a ser β.

Geométricamente, la primera derivada de una función f(x) en un punto dado a es igual a la pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto a. A partir de la interpretación geométrica de la derivada se puede deducir la regla general de la derivación, veamos como:

De la figura 10.1 observamos que la pendiente de la secante se define como:

Si h = ∆x, del triángulo QRP tenemos que m s = ∆y / ∆x. Del mismo proceso de desplazamiento del punto Q sobre la curva, aproximándose cada vez más al punto P, observamos como ∆x tiende a cero (disminuye), y la recta secante tenderá a convertirse en una recta tangente. Matemáticamente expresamos lo anterior así:

Generalizando la expresión (2) obtenemos la Regla general de la derivación:

En donde:

f(x+∆x) es la función incrementada,
f(x) es la función original y
∆ x es el incremento en x.

Vamos a obtener la primera derivada de diferentes funciones usando esta regla general de la derivación.

Ejercicios: Calcule la primera derivada de cada una de las siguientes funciones aplicando la regla general de la derivación. Los que no están resueltos, resuélvelos en la libreta y compara el resultado.

¿Alguna duda sobre el tema?

Conclusión

En resumen, en esta clase conocimos la interpretación geométrica de la derivada. Aprendimos que, a partir de dos puntos en una curva, trazamos una recta secante que nos permitirá trazar un triángulo cuyos catetos miden ∆x y ∆y. Al hacer cada vez más pequeño el valor ∆x, se observa que ∆y también disminuye, y cuando ∆x tiende a cero, el punto superior de la secante se traslapa en su movimiento con el punto fijo inferior, con lo cual la secante pasa a ser una recta tangente, porque ahora solo se observa que toca a la curva en un solo punto. Haciendo un análisis matemático de lo anterior, se encuentra la definición de la pendiente tangente a la función que se está estudiando.

La expresión se generaliza para obtener la primera derivada de la función:

Una definición generalizada de la derivada es la siguiente: La derivada es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. Así como que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Hemos concluido la clase y como puedes notar has aprendido mucho durante el trayecto del curso ¡Muchas felicidades! Te invito a repasar los temas y conceptos revisados y la realización de las consignas para que se pueda alcanzar el aprendizaje esperado en esta clase. Te encuentro en tu siguiente clase.

Fuentes de información

Swokowski, E. W. (1989). El Cálculo con Geometría Analítica. (2a ed.). Grupo Editorial Iberoamérica.

Leithold, L. (1994).El Cálculo. (7a ed.). Oxford University Press.

Cálculo con geometría analítica.

# data[].attributes.attachment_link.title
Clase digital 10: Definición y regla general de la derivada - Recursos Educativos Abiertos

# data[].attributes.attachment_link.description
Introducción ¡Hola! ¡Qué gusto saber de ti! Sigue siendo un placer contar con tu asistencia en este curso, espero que tu ánimo no decaiga pues estás avanzando con pasos seguros en él, por lo tanto, te invito a la clase diez titulada Definición y regla general de la derivada del curso Cálculo Diferencial.

# data[].attributes.headline
Relación entre una función y su derivada

# data[].attributes.subject
Relación entre una función y su derivada

# data[].attributes.body
aquí una referencia de la relación que tiene una derivada con una función.

# data[].attributes.attachment_link.title
2 - Relación entre una función y su derivada

# data[].attributes.body
El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de los fenómenos científicos, tanto naturales como sociales.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Variación de una función

Dada una función f (x), se define variación de la función entre dos puntos de su dominio x ₁ y x ₂, siendo x ₁ < x ₂, a la diferencia f (x ₂) - f (x ₁). Cuando esta diferencia es positiva, la función es creciente en el punto; si es negativa, la función es decreciente.

Relacionada con este concepto, se llama variación media de una función f (x) en un intervalo [a, b] al cociente siguiente:

El valor de este cociente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (a, f (a)) y (b, f (b)).

Cuando los dos puntos del intervalo [a,b] están lo suficientemente próximos entre sí, el cociente anterior indica la variación instantánea de la función. En tal caso, el valor de b podría expresarse como b = a + h, siendo h un valor infinitamente pequeño.

Derivada de una función en un punto

Dada una función f (x), y considerado un punto a de su dominio, se llama derivada de la función en ese punto, denotada como f ¿ (a), al siguiente límite:

Este límite también puede expresarse de las dos formas alternativas siguientes:

Apoyo gráfico para la definición de derivada en un punto.

Interpretación geométrica de la derivada

La definición de derivada tiene mucho que ver con el concepto de variación instantánea. Teniendo en cuenta que el cociente:

expresa la pendiente de la recta que pasa por (a, f (a)) y (b, f(b)), es lógico pensar que si b y a están muy próximos entre sí, separados por un valor h que tiende a cero, esta recta se aproximará a la recta tangente a la función en el punto x = a.

Tal es la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto: coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

Derivadas laterales

Como sucedía con los límites, se pueden definir los conceptos de derivadas laterales de una función en un punto.

Dada una función f (x) y considerado un punto a de su dominio de definición, se define su derivada por la derecha, y se denota como f ¿ (a⁺), al límite siguiente:

Por su parte, la derivada por la izquierda de f (x) en el punto a, denotada por f ¿ (a⁻), se define como el siguiente límite:

Una función se dice derivable cuando tiene derivadas por la derecha y por la izquierda, y sus valores coinciden.

# data[].attributes.attachment_link.description
Dada una función f (x), se define variación de la función entre dos puntos de su dominio x 1 y x 2, siendo x 1 < x 2, a la diferencia f (x 2) - f (x 1). Cuando esta diferencia es positiva, la función es creciente en el punto; si es negativa, la función es decreciente.

# data[].attributes.body
"Una derivada es una medida de cómo cambia una función matemática en relación con su variable independiente".

(Clarin, 2024)

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Entre los muchos conceptos que presentan distintas dificultades para ser aprehendidos, sin duda alguna las derivadas ocupan un lugar destacado. Por eso, en pos de dejar en claro su importancia, es preciso señalar que las derivadas son conceptos fundamentales en el campo del cálculo y la matemática, y desempeñan un papel crucial en numerosas disciplinas, desde la física y la economía hasta la ingeniería y las ciencias de la computación.

A partir de lo dicho, bien vale la pena explorar qué es una derivada, cómo se calcula y cuáles son sus aplicaciones en la vida cotidiana.

En ese sentido, es posible decir que en términos simples, una derivada es una medida de cómo cambia una función matemática en relación con su variable independiente.

Proporciona información sobre la tasa de cambio instantánea de una función en un punto dado. En otras palabras, suele ser descripta como un elemento utilizado en la matemática para calcular respuestas de una función a la que se le están alterando sus valores iniciales.

El concepto de derivada es de gran importancia en el campo de la matemática y tiene múltiples aplicaciones en diferentes áreas.

Tomando eso como base, la derivada de una función está representada gráficamente como una línea recta superpuesta sobre cualquier curva (función); el valor de esta pendiente respecto al eje sobre el cual esta siendo estudiada la función recibe el nombre de Derivada.

Por otra parte, la derivada se representa mediante el símbolo "d" o "dx" y se lee como "diferencial de x" o "diferencial respecto a x".

Cómo se calcula y cómo se aplica una derivada

Para calcular una derivada, se utiliza el concepto de límite. Se toma una función y se calcula la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en un punto específico. Este proceso se realiza mediante el uso de reglas y fórmulas derivadas, como la regla del poder, la regla de la cadena y la regla del producto.

En cuanto a su aplicación, las derivadas tienen una amplia gama de posibilidades prácticas, en diversas áreas. A continuación, se presentan algunas de las principales aplicaciones de las derivadas:

Análisis de funciones y gráficos. Las derivadas permiten comprender el comportamiento de las funciones matemáticas. Ayudan a identificar los máximos y mínimos de una función, determinar su concavidad, localizar puntos críticos y analizar la tendencia de una función en un intervalo determinado. Estas aplicaciones son esenciales en el análisis de datos y la toma de decisiones basada en información numérica.

Física y ciencias naturales. Las derivadas desempeñan un papel fundamental en el estudio del movimiento y las leyes del movimiento en la física. Permiten calcular la velocidad y la aceleración de un objeto en función del tiempo, lo que resulta crucial para comprender fenómenos físicos como la caída libre, el movimiento de proyectiles y la dinámica de los cuerpos en movimiento.

El concepto de derivada es de gran importancia en el campo de la matemática y tiene múltiples aplicaciones en diferentes áreas.

Economía y finanzas. En el campo de la economía y las finanzas, las derivadas se utilizan para analizar y predecir cambios en variables económicas como la demanda, el suministro, los precios y los ingresos. También se aplican en la valoración de opciones financieras y derivados, ayudando a los inversores y analistas a evaluar los riesgos y las oportunidades en los mercados financieros.

Ingeniería y ciencias de la computación. Las derivadas son esenciales en el diseño y análisis de sistemas y procesos en la ingeniería y las ciencias de la computación. Se utilizan para optimizar funciones y modelos, calcular tasas de cambio en sistemas dinámicos, analizar señales y realizar operaciones matemáticas avanzadas.

Biología y medicina. En biología y medicina, las derivadas se emplean en el estudio de fenómenos biológicos como el crecimiento celular, la propagación de enfermedades y la dinámica de poblaciones. Además, son útiles para analizar funciones fisiológicas, como el ritmo.
QUIERO RECIBIRLO

# data[].attributes.attachment_link.description
Es un concepto fundamental en el campo del cálculo y sus aplicaciones abarcan diferentes áreas.

# data[].attributes.headline
Derivada de una función: Qué es, fórmula y ejemplos.

# data[].attributes.subject
Derivada de una función: Qué es, fórmula y ejemplos.

# data[].attributes.body
"La derivada de una función matemática es la razón o velocidad de cambio de una función en un determinado punto cuando su variable independiente cambia. Es decir, qué tan rápido se está produciendo una variación".

(Economipedia, 2024)

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Desde una perspectiva geométrica, la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente al punto donde se ubica x.

En términos matemáticos, la derivada de una función puede expresarse de la siguiente forma:

En la fórmula, x es el punto en el que la variable toma el valor de x. Asimismo, h es cualquier número. Este luego se igualará a cero pues, como vemos en la imagen superior, debemos calcular el límite de la función cuando h se acerca a cero.

Cabe recordar que, en general, la derivada es una función matemática que se define como la tasa de cambio de una variable respecto a otra. Es decir, en qué porcentaje aumenta o disminuye una variable cuando otra también se ha incrementado o disminuido.

Debemos precisar que el límite de una función se define como la tendencia de esta (a qué valor se aproxima) cuando uno de sus parámetros (en este caso h) se acerca a un valor determinado.

Podemos entender mejor el límite de una función con algunos ejemplos. Veamos el siguiente caso:

En este caso, no ha sido necesario hallar el límite cuando h se acerca a cero, pues el resultado de dividir f(x+h)-f(x) entre h da como resultado a un número natural, y no a una expresión algebraica donde podamos encontrar a h, como es el siguiente caso:

Veamos ahora otro ejemplo:

Luego, dividimos entre h:

Finalmente, encuentro el límite cuando h se acerca a 0:

# data[].attributes.attachment_link.description
La derivada de una función matemática es la razón o velocidad de cambio de una función en un determinado punto. Es decir, qué tan rápido se está produciendo una variación. Desde una perspectiva geométrica, la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente al punto donde se ubica x.

# data[].attributes.headline
1. ¿Cómo definirías el concepto de las derivadas?

# data[].attributes.subject
1. ¿Cómo definirías el concepto de las derivadas?

# data[].attributes.body
considero que una derivada es una medida de cambio del valor de una función a medida que cambia su variable y así mismo nos indica la pendiente de una curva.

# data[].attributes.headline
2.¿Cómo consideras que se relaciona una derivada con una función?

# data[].attributes.subject
2.¿Cómo consideras que se relaciona una derivada con una función?

# data[].attributes.body
Considero que la relación de una derivada con una función es que la derivada nos muestra la velocidad de cambio de una función, así mismo, si tenemos una función que describe una curva, la derivada nos indica la pendiente de esa curva en cada punto.

# data[].attributes.attachment_link.title
Derivada de una función usando la definición | Ejemplo 1

# data[].attributes.body
"Se utiliza en matemática para el cálculo de respuestas de una función a la que se le están alternando sus valores iniciales, el cual está representada gráficamente como una línea recta superpuesta sobre otra curva (función) y el valor de esta pendiente respecto al eje sobre el cual está siendo evaluada la función recibe el nombre de derivada".

(matemente, 2024).

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
¿Qué me voy a encontrar en este artículo?

¿Qué es una derivada?

¿Para qué sirve?

Uso de las derivadas en la vida diaria

Derivada de una función real

Hallemos la derivada por definición de las siguientes funciones:

¿Qué es una derivada?

Se utiliza en matemática para el cálculo de respuestas de una función a la que se le están alternando sus valores iniciales, el cual está representada gráficamente como una línea recta superpuesta sobre otra curva (función) y el valor de esta pendiente respecto al eje sobre el cual está siendo evaluada la función recibe el nombre de derivada.

También te puede interesar:

5 Ramas de la matemática

¿Para qué sirve?

Sirven para garantizar u optimizar sistemas que se expresan con funciones más o menos complejas.

Uso de las derivadas en la vida diaria

No solo cumple un papel fundamental en el área de la matemática, sino también en diversas ciencias como la física, mecánica, biología, en el estudio de la medicina y la economía.

Una forma más sencilla de comprenderlas es saber que estas representan razones de cambio, en ingeniería por ejemplo sirve para calcular la variación de la temperatura en un tubo cuando aumenta la presión.

Otro ejemplo sería para calcular cuánto tiempo le durará la batería a un celular en función al cambio de consumo de corriente durante una llamada.

Derivada de una función real

La función f es la función f’ definida por:

Para todo x donde exista este límite.

Cuando estamos interesados particularmente en el valor de la derivada f’ en x=a reescribimos la definición así:

Se observa que x→a cuando h→0 si el límite de la definición existe decimos que la función f es derivable o diferenciable en x=a. el proceso de encontrar la derivada (f’) se llama derivación de f.

Hallemos la derivada por definición de las siguientes funciones:

Ejercicio 1:

En este ejercicio aplicaremos la definición de la derivada mencionada anteriormente.

Ejercicio 2:

Aplicamos la definición.

Reescribimos f(x)

Ahora vamos a desarrollar el producto notable.
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(x+h)² = x² + 2xh + h²

Procedemos a aplicar propiedades en R,

a – a = 0 ; x² – x² = 0

Desarrollamos la propiedad distributiva o factor común, en este caso h.

Nuevamente, aplicamos propiedades en R.

En este paso aplicaremos una de las reglas de derivación.

Resolvemos 2 . x + 0

Quedando como resultado 2x.

# data[].attributes.attachment_link.title
Derivada ¿Qué es y para que sirve? ¡2 Ejemplos explicados!

# data[].attributes.attachment_link.description
La derivada se utiliza en matemática para el cálculo de respuestas de una función a la que se le están alternando sus valores iniciales...

# data[].attributes.headline
Relación entre una función y su derivada.

# data[].attributes.subject
Relación entre una función y su derivada.

# data[].attributes.body
Se explica mediante gráficas la relación que existe entre una función y su función derivada.

# data[].attributes.attachment_link.title
2 - Relación entre una función y su derivada

# data[].attributes.body
"La función derivada da la derivada de una función en cada punto del dominio de la función original para la que se define la derivada".

(openstax, 2024)

# data[].attributes.attachment_link.title
3.2 La derivada como función - Cálculo volumen 1 | OpenStax

# data[].attributes.attachment_link.description
Este libro de texto gratis es un recurso de OpenStax escrito para mejorar el acceso que tienen los estudiantes a materiales educativos de alta calidad y revisados por expertos.

# data[].attributes.body
"El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de los fenómenos científicos, tanto naturales como sociales".

(hiru, 2024)

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Variación de una función

Dada una función f (x), se define variación de la función entre dos puntos de su dominio x ₁ y x ₂, siendo x ₁ < x ₂, a la diferencia f (x ₂) - f (x ₁). Cuando esta diferencia es positiva, la función es creciente en el punto; si es negativa, la función es decreciente.

Relacionada con este concepto, se llama variación media de una función f (x) en un intervalo [a, b] al cociente siguiente:

El valor de este cociente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (a, f (a)) y (b, f (b)).

Cuando los dos puntos del intervalo [a,b] están lo suficientemente próximos entre sí, el cociente anterior indica la variación instantánea de la función. En tal caso, el valor de b podría expresarse como b = a + h, siendo h un valor infinitamente pequeño.

Derivada de una función en un punto

Dada una función f (x), y considerado un punto a de su dominio, se llama derivada de la función en ese punto, denotada como f ¿ (a), al siguiente límite:

Este límite también puede expresarse de las dos formas alternativas siguientes:

Apoyo gráfico para la definición de derivada en un punto.

Interpretación geométrica de la derivada

La definición de derivada tiene mucho que ver con el concepto de variación instantánea. Teniendo en cuenta que el cociente:

expresa la pendiente de la recta que pasa por (a, f (a)) y (b, f(b)), es lógico pensar que si b y a están muy próximos entre sí, separados por un valor h que tiende a cero, esta recta se aproximará a la recta tangente a la función en el punto x = a.

Tal es la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto: coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

Derivadas laterales

Como sucedía con los límites, se pueden definir los conceptos de derivadas laterales de una función en un punto.

Dada una función f (x) y considerado un punto a de su dominio de definición, se define su derivada por la derecha, y se denota como f ¿ (a⁺), al límite siguiente:

Por su parte, la derivada por la izquierda de f (x) en el punto a, denotada por f ¿ (a⁻), se define como el siguiente límite:

Una función se dice derivable cuando tiene derivadas por la derecha y por la izquierda, y sus valores coinciden.

# data[].attributes.attachment_link.description
Dada una función f (x), se define variación de la función entre dos puntos de su dominio x 1 y x 2, siendo x 1 < x 2, a la diferencia f (x 2) - f (x 1). Cuando esta diferencia es positiva, la función es creciente en el punto; si es negativa, la función es decreciente.

# data[].attributes.body
"Una derivada es una medida de cómo cambia una función matemática en relación con su variable independiente".

(Clarin. 2024)

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Entre los muchos conceptos que presentan distintas dificultades para ser aprehendidos, sin duda alguna las derivadas ocupan un lugar destacado. Por eso, en pos de dejar en claro su importancia, es preciso señalar que las derivadas son conceptos fundamentales en el campo del cálculo y la matemática, y desempeñan un papel crucial en numerosas disciplinas, desde la física y la economía hasta la ingeniería y las ciencias de la computación.

A partir de lo dicho, bien vale la pena explorar qué es una derivada, cómo se calcula y cuáles son sus aplicaciones en la vida cotidiana.

En ese sentido, es posible decir que en términos simples, una derivada es una medida de cómo cambia una función matemática en relación con su variable independiente.

Proporciona información sobre la tasa de cambio instantánea de una función en un punto dado. En otras palabras, suele ser descripta como un elemento utilizado en la matemática para calcular respuestas de una función a la que se le están alterando sus valores iniciales.

El concepto de derivada es de gran importancia en el campo de la matemática y tiene múltiples aplicaciones en diferentes áreas.

Tomando eso como base, la derivada de una función está representada gráficamente como una línea recta superpuesta sobre cualquier curva (función); el valor de esta pendiente respecto al eje sobre el cual esta siendo estudiada la función recibe el nombre de Derivada.

Por otra parte, la derivada se representa mediante el símbolo "d" o "dx" y se lee como "diferencial de x" o "diferencial respecto a x".

Cómo se calcula y cómo se aplica una derivada

Para calcular una derivada, se utiliza el concepto de límite. Se toma una función y se calcula la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en un punto específico. Este proceso se realiza mediante el uso de reglas y fórmulas derivadas, como la regla del poder, la regla de la cadena y la regla del producto.

En cuanto a su aplicación, las derivadas tienen una amplia gama de posibilidades prácticas, en diversas áreas. A continuación, se presentan algunas de las principales aplicaciones de las derivadas:

Análisis de funciones y gráficos. Las derivadas permiten comprender el comportamiento de las funciones matemáticas. Ayudan a identificar los máximos y mínimos de una función, determinar su concavidad, localizar puntos críticos y analizar la tendencia de una función en un intervalo determinado. Estas aplicaciones son esenciales en el análisis de datos y la toma de decisiones basada en información numérica.

Física y ciencias naturales. Las derivadas desempeñan un papel fundamental en el estudio del movimiento y las leyes del movimiento en la física. Permiten calcular la velocidad y la aceleración de un objeto en función del tiempo, lo que resulta crucial para comprender fenómenos físicos como la caída libre, el movimiento de proyectiles y la dinámica de los cuerpos en movimiento.

El concepto de derivada es de gran importancia en el campo de la matemática y tiene múltiples aplicaciones en diferentes áreas.

Economía y finanzas. En el campo de la economía y las finanzas, las derivadas se utilizan para analizar y predecir cambios en variables económicas como la demanda, el suministro, los precios y los ingresos. También se aplican en la valoración de opciones financieras y derivados, ayudando a los inversores y analistas a evaluar los riesgos y las oportunidades en los mercados financieros.

Ingeniería y ciencias de la computación. Las derivadas son esenciales en el diseño y análisis de sistemas y procesos en la ingeniería y las ciencias de la computación. Se utilizan para optimizar funciones y modelos, calcular tasas de cambio en sistemas dinámicos, analizar señales y realizar operaciones matemáticas avanzadas.

Biología y medicina. En biología y medicina, las derivadas se emplean en el estudio de fenómenos biológicos como el crecimiento celular, la propagación de enfermedades y la dinámica de poblaciones. Además, son útiles para analizar funciones fisiológicas, como el ritmo.
QUIERO RECIBIRLO

# data[].attributes.attachment_link.description
Es un concepto fundamental en el campo del cálculo y sus aplicaciones abarcan diferentes áreas.

# data[].attributes.body
"La derivada es una herramienta matemática para ello. Isaac Newton desarrolló los principios del cálculo diferencial en su obra Methodus Fluxiorum et Serierum Infinitorum (1671). En ese trabajo, da los pasos precisos alrededor de los conceptos de función y de límite, que le permiten plantear matemáticamente cuando las cantidades varían infinitesimalmente y, de esta forma, describir el movimiento de un punto que traza una curva".

(UNAM, 2024)

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Ejemplo 4. Encontrar los valores máximos que se presentan en la siguiente ecuación:

Solución

Antes de realizar el desarrollo, se muestra la gráfica asociada a dicha ecuación:

Gráfica de la ecuación -x ² + 4x - 2 en el intervalo x(0,4)

Al observar nuestra gráfica se aprecia que, a diferencia del ejemplo sobre los mínimos, ésta tiene un valor máximo en la coordenada (2,2); entonces, igual que en aquel caso, se obtiene la derivación y se realiza una evaluación alrededor del punto máximo.

Derivación:

La ecuación (e4) se anula para x = 2; al observar los puntos alrededor de este valor, se toman lateralmente las abscisas x = 1 y x = 3 y se evalúan en (e4):

Pendientes de las tangentes m = 2 para x = 1; m = 0 para x = 2; m = -2 para x = 3

Al obtener los ángulos correspondientes:

Nuevamente se observa un cambio de signos alrededor del punto donde se presenta el máximo; sin embargo, al observar con más cuidado, se aprecia que ahora se da en sentido contrario (positivo, cero, negativo).

De esta manera, es posible resumir la forma en que se puede determinar cuándo se presenta un máximo y cuándo un mínimo a través de la derivación de dicha ecuación.

1. Obtener la derivada de la función bajo análisis, igualar dicha ecuación a cero y obtener las soluciones para esa condición.
2. Evaluar para valores cercanos antes y después de esos puntos donde se anula la derivada.
3. Obtener, si se presentan, los cambios de signo asociados a las tangentes evaluadas.
4. Se presenta un máximo si la variación de signos alrededor del valor que se anula se da de esta forma: positivo-cero-negativo.
5. Se presenta un mínimo si la variación de signos alrededor del punto que se anula se da de esta manera: negativo-cero-positivo.

Esto se resume en la siguiente tabla:

Tabla 1. Determinación de máximos y mínimos de una función, a partir de los valores de "x", donde se anula su primera derivada

Para finalizar, no hace falta obtener el valor del ángulo (tan ⁻¹), ya que el cambio de signos se observa desde antes; esto se realizó como una estrategia que aclarara aún más la interpretación de la pendiente de la tangente asociada.

# data[].attributes.attachment_link.description
En este tema, revisarás el contexto de surgimiento del concepto de derivada de una función, sus interpretaciones físicas y geométricas, así como algunos procedimientos para su obtención, junto con la recurrencia del procedimiento de derivación y sus aplicaciones en la determinación de máximos y mínimos de una función.

# data[].attributes.headline
Definición y regla general de la derivada.

# data[].attributes.subject
Definición y regla general de la derivada.

# data[].attributes.body
"La derivada de una función nos indica el ritmo con el que una función varía, es decir, crece, decrece o permanece constante cuando se producen pequeños cambios en la variable independiente".

(Nodo Universitario, 2021).

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Introducción

¡Hola!

¡Qué gusto saber de ti! Sigue siendo un placer contar con tu asistencia en este curso, espero que tu ánimo no decaiga pues estás avanzando con pasos seguros en él, por lo tanto, te invito a la clase diez titulada Definición y regla general de la derivada del curso Cálculo Diferencial.

Vamos a comenzar el tema medular del Cálculo Diferencial, la Derivada.

Alguna vez te habrás preguntado para qué servirán las expresiones matemáticas que hemos visto en el transcurso de las clases. Las matemáticas permiten crear modelos teóricos que sirven para explicar fenómenos de la vida real. Podemos aplicar una derivada a esas funciones y determinar una variación que tenga algún significado en algún proceso humano o natural.

¿Cómo es esto?

La derivada de una función nos indica el ritmo con el que una función varía, es decir, crece, decrece o permanece constante cuando se producen pequeños cambios en la variable independiente. Mediante el estudio de funciones y sus derivadas podríamos conocer:

El contagio de un virus en función del tiempo.

La variación del espacio en función del tiempo.

El crecimiento de población humana en función del tiempo.

El desgaste de un neumático en función del tiempo.

El beneficio de una empresa en función del tiempo.

La extinción de una especie animal en función del tiempo.

¿Se te ocurre algo más?

La derivada resulta fundamental en muchas situaciones de la vida cotidiana. En este curso utilizamos derivadas para estudiar el comportamiento de las funciones. Estudiaremos los intervalos de crecimiento, de decrecimiento, los máximos y mínimos relativos y absolutos, los intervalos de concavidad y convexidad, así como los puntos de inflexión. Veremos que las derivadas también sirven para resolver problemas de optimización, es decir, conseguir el valor óptimo de una función sujeta a ciertas condiciones.

Para adentrarnos a este tema empezaremos por comprender el concepto de derivada y empezar a calcularlas por medio de la regla general de la derivada, teoría base, para el resto del tema.

Empezamos. ¡Éxito!

Desarrollo del tema

Las matemáticas tienen su simbología para representar abstracciones que necesitan ser entendidas por la mente humana y la derivada no es la excepción.

La primera derivada de una función y = f(x), puede expresarse en cualquiera de las formas siguientes:

Todas ellas indican la primera derivada de (y) con respecto a (x). Además, las derivadas sucesivas pueden expresarse de la siguiente forma:

La primera derivada de (y) con respecto a (x) se define como "El límite cuando ∆x tiende a cero del cociente ∆y / ∆x", que en símbolos matemáticos se expresa como: y' = ∆y / ∆x. También podemos decir que la primera derivada de (y) con respecto a (x), nos expresa qué tanto varía (y) ante una variación que tenga (x). ∆x y ∆y se refieren a esa variación.

Vamos a ver una gráfica que nos ayude a interpretar el concepto de derivada de forma geométrica.

Cuando h tiende a cero, es decir, empieza a disminuir su longitud, puedes ver que el punto Q empieza a aproximarse al punto P, y el cateto QR empieza a disminuir, hasta que Q se confunde con P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por lo tanto en ángulo α tiende a ser β.

Geométricamente, la primera derivada de una función f(x) en un punto dado a es igual a la pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto a. A partir de la interpretación geométrica de la derivada se puede deducir la regla general de la derivación, veamos como:

De la figura 10.1 observamos que la pendiente de la secante se define como:

Si h = ∆x, del triángulo QRP tenemos que m s = ∆y / ∆x. Del mismo proceso de desplazamiento del punto Q sobre la curva, aproximándose cada vez más al punto P, observamos como ∆x tiende a cero (disminuye), y la recta secante tenderá a convertirse en una recta tangente. Matemáticamente expresamos lo anterior así:

Generalizando la expresión (2) obtenemos la Regla general de la derivación:

En donde:

f(x+∆x) es la función incrementada,
f(x) es la función original y
∆ x es el incremento en x.

Vamos a obtener la primera derivada de diferentes funciones usando esta regla general de la derivación.

Ejercicios: Calcule la primera derivada de cada una de las siguientes funciones aplicando la regla general de la derivación. Los que no están resueltos, resuélvelos en la libreta y compara el resultado.

¿Alguna duda sobre el tema?

Conclusión

En resumen, en esta clase conocimos la interpretación geométrica de la derivada. Aprendimos que, a partir de dos puntos en una curva, trazamos una recta secante que nos permitirá trazar un triángulo cuyos catetos miden ∆x y ∆y. Al hacer cada vez más pequeño el valor ∆x, se observa que ∆y también disminuye, y cuando ∆x tiende a cero, el punto superior de la secante se traslapa en su movimiento con el punto fijo inferior, con lo cual la secante pasa a ser una recta tangente, porque ahora solo se observa que toca a la curva en un solo punto. Haciendo un análisis matemático de lo anterior, se encuentra la definición de la pendiente tangente a la función que se está estudiando.

La expresión se generaliza para obtener la primera derivada de la función:

Una definición generalizada de la derivada es la siguiente: La derivada es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. Así como que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Hemos concluido la clase y como puedes notar has aprendido mucho durante el trayecto del curso ¡Muchas felicidades! Te invito a repasar los temas y conceptos revisados y la realización de las consignas para que se pueda alcanzar el aprendizaje esperado en esta clase. Te encuentro en tu siguiente clase.

Fuentes de información

Swokowski, E. W. (1989). El Cálculo con Geometría Analítica. (2a ed.). Grupo Editorial Iberoamérica.

Leithold, L. (1994).El Cálculo. (7a ed.). Oxford University Press.

Cálculo con geometría analítica.

# data[].attributes.attachment_link.title
Clase digital 10: Definición y regla general de la derivada - Recursos Educativos Abiertos

# data[].attributes.attachment_link.description
Introducción ¡Hola! ¡Qué gusto saber de ti! Sigue siendo un placer contar con tu asistencia en este curso, espero que tu ánimo no decaiga pues estás avanzando con pasos seguros en él, por lo tanto, te invito a la clase diez titulada Definición y regla general de la derivada del curso Cálculo Diferencial.