# data[].attributes.attachment_link.title
Квадрат - урок. Геометрия, 8 класс.

# data[].attributes.attachment_link.description
Урок по теме Квадрат. Теоретические материалы и задания Геометрия, 8 класс. ЯКласс - онлайн-школа нового поколения.

# data[].attributes.headline
Прямоугольник

# data[].attributes.subject
Прямоугольник

# data[].attributes.attachment_link.title
Прямоугольник — урок. Геометрия, 8 класс.

# data[].attributes.attachment_link.description
Урок по теме Прямоугольник. Теоретические материалы и задания Геометрия, 8 класс. ЯКласс — онлайн-школа нового поколения.

# data[].attributes.attachment_link.title
Признаки ромба - урок. Геометрия, 8 класс.

# data[].attributes.attachment_link.description
Урок по теме Признаки ромба. Теоретические материалы и задания Геометрия, 8 класс. ЯКласс - онлайн-школа нового поколения.

# data[].attributes.attachment_link.title
Трапеция - урок. Геометрия, 8 класс.

# data[].attributes.attachment_link.description
Урок по теме Трапеция. Теоретические материалы и задания Геометрия, 8 класс. ЯКласс - онлайн-школа нового поколения.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Историческая справка о четырехугольниках

Возникновение геометрии восходит к глубокой древности и было обусловлено практическими потребностями человеческой деятельности (необходимостью измерения земельных участков, измерения объемов различных тел и т.д.).

Простейшие геометрические сведения и понятия были известны еще в Древнем Египте. В этот период геометрические утверждения формулировались в виде правил, даваемых без доказательств.

С VII века до н.э. по I век н.э. геометрия как наука бурно развивалась в Древней Греции. В этот период происходило не только накопление различных геометрических сведений, но и отрабатывалась методика доказательств геометрических утверждений, а также делались первые попытки сформулировать основные первичные положения (аксиомы) геометрии, из которых чисто логическими рассуждениями выводится множество различных геометрических утверждений. Уровень развития геометрии в Древней Греции отражен в сочинении Евклида "Начала".

В этой книге впервые была сделана попытка дать систематическое построение планиметрии на базе основных неопределяемых геометрических понятий и аксиом (постулатов).

Особое место в истории математики занимает пятый постулат Евклида (аксиома о параллельных прямых). Долгое время математики безуспешно пытались вывести пятый постулат из остальных постулатов Евклида и лишь в середине XIX века благодаря исследованиям Н.И. Лобачевского, Б. Римана и Я. Бойяи стало ясно, что пятый постулат не может быть выведен из остальных, а система аксиом, предложенная Евклидом, не единственно возможная.

"Начала" Евклида оказали огромное влияние на развитие математики. Эта книга на протяжении более чем двух тысяч лет была не только учебником по геометрии, но и служила отправным пунктом для очень многих математических исследований, в результате которых возникли новые самостоятельные разделы математики.

Систематическое построение геометрии обычно производится по следующему плану:

I. Перечисляются основные геометрические понятия, которые вводятся без определений.

II. Дается формулировка аксиом геометрии.

III. На основе аксиом и основных геометрических понятий формулируются остальные геометрические понятия и теоремы.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и невыпуклые (A1B1C1D1).

Виды четырёхугольников

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

противолежащие стороны равны;

противоположные углы равны;

диагонали точкой пересечения делятся пополам;

сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

d12+d22=2 (a2+b2).

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если:

Две его противоположные стороны равны и параллельны.

Противоположные стороны попарно равны.

Противоположные углы попарно равны.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны - боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции

ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Признаки трапеции

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

все свойства параллелограмма;

диагонали равны.

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если:

Один из его углов прямой.

Его диагонали равны.

Ромб

четырехугольник геометрия факультативный курс

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба

все свойства параллелограмма;

диагонали перпендикулярны;

диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

Параллелограмм является ромбом, если:

Две его смежные стороны равны.

Его диагонали перпендикулярны.

Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

все углы квадрата прямые;

диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Основные формулы

Произвольный выпуклый четырехугольник

d1, d2 - диагонали; - угол между ними; S - площадь.

S =d1d2 sin

Параллелограмм

a и b - смежные стороны; - угол между ними; ha - высота, проведенная к стороне a.

S = aha

S = ab sin

S =d1d2 sin

Трапеция

a и b - основания; h - расстояние между ними; l - средняя линия.

S = lh

Прямоугольник

S = ab

S =d1d2 sin

Ромб

S = aha

S = a2sin

S =d1d2

Квадрат

d - диагональ.

S = a2

S =d2

# data[].attributes.attachment_link.title
Историческая справка о четырехугольниках

# data[].attributes.attachment_link.description
Возникновение геометрии восходит к глубокой древности и было обусловлено практическими потребностями человеческой деятельности (необходимостью измерения земельных участков, измерения объемов различных тел и т.д.). Простейшие геометрические сведения и понятия были известны еще в Древнем Египте. В этот период геометрические утверждения формулировались в виде правил, даваемых без доказательств. С VII века до н.э.

# data[].attributes.headline
10. Проверочная работа

# data[].attributes.subject
10. Проверочная работа

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
четырёхугольники8 класс  пройти онлайн тест

# data[].attributes.attachment_link.title
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ-8 класс

# data[].attributes.attachment_link.description
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ-8 класс - Пройти онлайн тест. Тест предназначен для проверки уровня обученности учащихся по теме 'Четырёхугольники'.

# data[].attributes.headline
5.Решение задач. Четырехугольники

# data[].attributes.subject
5.Решение задач. Четырехугольники

# data[].attributes.headline
9. Интересные факты

# data[].attributes.subject
9. Интересные факты

# data[].attributes.attachment_link.title
Интересные факты о четырехугольниках 8 класс

# data[].attributes.attachment_link.description
Проектная работа учащихся 8 класса. В ней представлен материал, который изучается на уроке и вне урока. Районный конкурс ученических проектов по математике Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Жирятинская средняя общеобразовательная школа им.А.Ф.Возликова Молодожен Лидия Сёмина Анастасия Руководитель :Козлова Галина Петровна, учитель математики с.Жирятино ул.Ленина д.38 2.1 Определение четырехугольника .....................

# data[].attributes.headline
6. Решение задач на готовых чертежах

# data[].attributes.subject
6. Решение задач на готовых чертежах

# data[].attributes.headline
7. Наглядное пособие 2

# data[].attributes.subject
7. Наглядное пособие 2

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
физика ОГЭ математика ЕГЭ - Романов Владимир

# data[].attributes.attachment_link.title
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ решение задач 8 класс Атанасян

# data[].attributes.headline
1. Общие понятия о четырехугольниках

# data[].attributes.subject
1. Общие понятия о четырехугольниках

# data[].attributes.headline
Параллелограмм

# data[].attributes.subject
Параллелограмм

# data[].attributes.attachment_link.title
Параллелограмм — урок. Геометрия, 8 класс.

# data[].attributes.attachment_link.description
Урок по теме Параллелограмм. Теоретические материалы и задания Геометрия, 8 класс. ЯКласс — онлайн-школа нового поколения.

# data[].attributes.headline
2. Наглядное пособие

# data[].attributes.subject
2. Наглядное пособие

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Евгений Народницкий

# data[].attributes.attachment_link.title
Геометрия 8. Урок 1 - Виды четырехугольников - генеалогическое древо :)

# data[].attributes.headline
3.Прямоугольник. Ромб. Квадрат

# data[].attributes.subject
3.Прямоугольник. Ромб. Квадрат

# data[].attributes.headline
4.Параллелограм. Свойства параллелограмма

# data[].attributes.subject
4.Параллелограм. Свойства параллелограмма