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- Baumdiagramme mit Produktregel
-  Begriffe Ergebnis und Ereignis und Summenregel
- Zufallsgröße, Wahrscheinlichkeitsverteilung , Erwartungswert (Wortlaut: "...auf lange Sicht...") und fair

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Vierfeldertafeln können verwendet werden um bei einem Zufallsexperiment (z.B. einer Umfrage/Stichprobe/etc.) zwei Ereignisse (jeweils mit Gegenereignis) darzustellen. In der Vierfeldertafel stehen absolute oder relative Häufigkeiten.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse A und B lässt sich folgendermaßen berechnen:
PA(B) = P(A⋂B) : P(A)

Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängig, wenn
PA(B) = P(B) ist.
Rechnerisch überprüft man öfter:
P(A⋂B) = P(A) ⋅ P(B)

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Bedingte Wahrscheinlichkeit mit Vierfeldertafel und Baumdiagramm, Mathe by Daniel Jung

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Formel von Bernoulli & Binomialverteilung

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Formel von Bernoulli & Binomialverteilung

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Grundlagen
Bernoulli-Experiment: Zufallsexperiment mit genau zwei Ausgängen.
Bernoulli-Kette:
Mehrere Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments mit unabhängigen Durchführungen (Trefferwahrscheinlichkeit ändert sich nicht)
Binomialkoeffizient n über k:
Beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten für k Treffer bei n Wiederholungen (WTR: "nCR").

Formel von Bernoulli
Beschreibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei n Wiederholungen mit einer Trefferwahrscheinlichkeit p bei einer Bernoulli-Kette.
Formel siehe Link.

Binomialverteilung
Die Binomialverteilung Bn;p(k) mit den Parametern n und p ist eine Funktion, die einer beliebigen Trefferanzahl k die entsprechende Trefferwahrscheinlichkeit zuordnet.
Die Funktion "macht das gleiche", was mit der Formel von Bernoulli berechnet wird.
WTR: Binomialpdf
Beispielaufgabe hier

Kumulierte Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitsbereiche wie P(X≤k). Z.B. Mindestens/Höchstens/mehr als/weniger als 10 Treffer.
WTR: Binomialcdf
Achtung: Der WTR kann nur ≤ , alles andere muss (mit der Gegenwahrscheinlichkeit) umgeformt werden:
-  P(X<k) = P(X≤k-1)
("weniger als")
-  P(X≥k) = 1 - P(X≤k-1)
("mindestens")
- P(X>k) = 1 - P(X≤k)
("mehr als")
Beispielaufgabe hier

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Wichtige Inhalte in diesem Video

In diesem Artikel erklären wir dir die Bernoulli Formel und zeigen dir wie du mit ihr die Wahrscheinlichkeit einer Bernoulli Kette berechnen kannst.

Wenn du die Bernoulli Formel und ihre Anwendung noch schneller verstehen möchtest, dann schau dir gleich unser Video an .

Inhaltsübersicht

Bernoulli Formel einfach erklärt

Mithilfe der Bernoulli Formel kann ohne großen Aufwand die Wahrscheinlichkeit einer Bernoulli Kette berechnet werden. Eine Bernoulli Kette (oder Bernoulli Prozess) ist eine Reihe von stochastisch unabhängigen Bernoulli Experimenten. Bei einem solchen Experiment gibt es stets nur zwei Ausgänge, Treffer oder Niete. Zudem darf die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, , und somit auch die für eine Niete, , nicht variieren.

Die Bernoulli Formel lautet:

Die Parameter der Bernoulli Formel haben dabei folgende Bedeutung:

Die Anzahl der Versuche: .

Die Anzahl der Treffer, die dabei erzielt werden: .

Die Wahrscheinlichkeit mit der ein Treffer eintritt: .

Damit liefert die Bernoulli Formel die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei Versuchen.

Baumdiagramm Bernoulli Kette

Die Anzahl der Versuche , die ausgeführt werden, entspricht der Länge der Bernoulli Kette. Die Versuche müssen die oben aufgeführten Bedingungen einer Bernoulli Kette erfüllen und sind somit binomialverteilt .

Ein Beispiel für eine Bernoulli Kette der Länge drei, wäre das dreimalige Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit nur schwarzen und weißen Kugeln. Dabei zähle eine schwarze Kugel als Treffer und eine weiße Kugel als Niete. Die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel zu ziehen, sei und die Gegenwahrscheinlichkeit, das Ziehen einer weißen Kugel, liege dementsprechend bei . Nach jedem mal Ziehen muss die Kugel wieder zurückgelegt werden, damit die Wahrscheinlichkeiten immer die gleichen bleiben. Diesen Prozess können wir in einem Baumdiagramm darstellen, um uns damit die Bernoulli Formel zu erklären.

direkt ins Video springen

Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für zum Beispiel genau zwei Treffer, müssen wir nun alle Pfade betrachten auf denen zwei mal , für zwei schwarze Kugeln,und einmal , für eine weiße Kugel, vorkommen. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches Ereignis berechnen wir, indem wir die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren. Anschließend addieren wir die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade.

Da jeder der Pfade die Wahrscheinlichkeit

besitzt und es insgesamt drei solcher Pfade gibt, entspricht damit die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Treffer

was auch mit der Bernoulli Formel übereinstimmt.

Betrachten wir einmal den allgemeinen Fall von n-mal Ziehen, in dem wir die Wahrscheinlichkeit von genau k Treffern berechnen wollen. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades entspricht dann

.

Denn entlang des entsprechenden Pfades kommen schwarze Kugeln mit Wahrscheinlichkeit und sonst nur weiße Kugeln, also viele mit Wahrscheinlichkeit , vor. Jetzt müssen wir nur noch herausfinden, wie viele dieser Pfade es gibt. Dabei hilft uns der Binomialkoeffizient

Dieser besagt gerade, wie viele Möglichkeiten existieren, Kugeln aus einer Menge von Kugeln zu ziehen, was exakt der Anzahl an Pfaden entspricht. Mit diesem Wissen ergibt sich schließlich die Bernoulli Formel

als Wahrscheinlichkeit genau schwarze Kugeln nach -maligem Ziehen zu erhalten.

Bernoulli Aufgaben Typen

Wir kennen nun den Hintergrund der Bernoulli Formel und wollen jetzt wissen, wie sie verwendet werden kann. Dafür betrachten wir zwei verschiedene Aufgaben-Typen.

Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer

Angenommen es ist die Wahrscheinlichkeit von höchstens Treffern gesucht. Dann tritt dieses Ereignis ein, wenn die Anzahl der Treffer kleiner oder gleich ist. Das heißt wir erhalten die Wahrscheinlichkeit des gesuchten Ereignisses, indem wir die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Fälle aufaddieren:

.

Da es für große Werte sehr mühsam wäre diese Wahrscheinlichkeit per Hand zu bestimmen, kann in diesem Fall das Ergebnis der Summe auch in einer Formelsammlung (Tafelwerk) nachgeschlagen werden.

Mindestwahrscheinlichkeit für k Treffer

Die Mindestwahrscheinlichkeit für Treffer kann mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit einfach bestimmt werden. Denn diese entspricht für mindestens Treffer der Wahrscheinlichkeit für weniger als Treffer. Damit ergibt sich:

.

Das heißt wir müssen die Wahrscheinlichkeit für höchstens Treffer bestimmen, welche wir einfach der Formelsammlung (Tafelwerk) entnehmen oder mit der Bernoulli Formel berechnen können.

Wenn du selbst in einem Beispiel die Bernoulli Formel explizit anwenden möchtest, hast du hier einige Aufgaben mit Lösungen zur Übung.

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Bernoulli Formel * einfach erklärt, Bernoulli Kette

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Bernoulli Formel: einfache Erklärung ✅ Bernoulli Kette Formel ✅ Definition, Herleitung und Verwendung ✅ mit kostenlosem Video

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Wahrscheinlichkeitsverteilungen können mithilfe von Histogrammen graphisch dargestellt werden.
Die Kenngröße n und p haben maßgeblichen Einfluss auf auf das Aussehen des Histogramms.

Kenngröße Erwartungswert
Ist der Erwartungswert ganzzahlig entspricht er der höchten Säule im Histogramm.
Ist er nicht ganzzahlig, z.B. 9,2, soliegt die höchste Säule des Histgramms bei einer der benachbarten ganzen Zahlen. Hier also entweder bei 9 oder bei 10.
Formel: μ = n ⋅ p

Kenngröße Standardabweichung
Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung einer Verteilung um den Erwartungswert.
Je größer die Standardabweichung ist, desto wahrscheinlicher ist eine Abweichung vom Erwartungswert. Daher sieht das Histogramm in diesem Fall flacher und breiter aus als bei einer kleinen Standardabweichung.
Formel: σ = ( n ⋅ p ⋅ (1-p))^0,5
(^0,5 = Wurzel)

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In diesen Aufgaben geht es darum, durch sytematisches Ausprobieren im Taschenrechner Werte für n,p oder k zu bestimmen.

Die drei Aufgabentypen sind im Video erklärt. Grundlagen sind die Umformungen der kumulierten Wahrscheinlichkeit.

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n, p oder k gesucht - Problemlösen mit der Binomialverteilung WTR, Beispielaufgaben

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Die Normalverteilung ist ein Beispiel für eine stetige Verteilung. Stetige Verteilungen haben keine "Schrittweite" (wie etwa bei der Binomialverteilung), sondern können jeden Wert in einem Intervall annehmen. Wahrscheinlichkeiten berechnet man hier über Integrale.
WTR: Normalcdf

Zufallsvariablen sind dann normalverteilt, wenn sie zufällige Abweichungen von Normgrößen beschreiben (z.B. Gewicht von Brötchen, Füllmenge von Flaschen, ...).
Wir können uns die Normalverteilung als Verfeinerung der Binomialverteilung vorstellen.
Erklärvideo

Glockenkurve
- So wie man binomialverteilte Zufallsvariablen mithilfe von Histogrammen darstellen kann, benutzt man die Gauß'sche Glockenkurve um normalverteilte Zufallsvariablen zu zeichnen.
- Die Glockenkurve ist eine Dichtefunktion, d.h. die gesamte Fläche unter der Kurve = 1.
- Der Hochpunkt liegt hier bei
H( μ | 0,4/σ ), die Wendestellen bei μ+σ bzw. μ-σ. y-Werte der Glockenkurve zu einem gegebenen x-Wert liefert der WTR-Befehl Normalpdf.
Erklärvideo mit Beispielen (Umkehraufgaben nicht relevant)

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Wenn σ > 3 ist, dann beträgt die Wahrschienlichkeit, dass die Trefferanzahl/Werte um höchstens σ vom Erwartungswert μ abweicht, etwa 68%.

Die Sigmaregel gilt sowohl für Binomialverteilungen als auch für Normalverteilungen.

Anmerkung: Genau genommen ist das die 1-σ-Regel. Es gibt auch die 2- und 3-σ-Regel (siehe Schaubilder). 2- und 3-σ-Regel sind nicht abiturrelevant.