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Nombre: Adal Edmilson Ac Ramirez.
Grado: 4to. Computación.
Materia: Matematicas.

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Factorizar es descomponer en factores una expresión algebraica, esto se puede hacer utilizando diferentes reglas que son aplicables de acuerdo a la forma en la que se escribe la expresión.

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El factor común o FC consiste en buscar el mayor factor de los coeficientes y menor factor literal en la expresión algebraica. El factor común puede ser de tres tipos.
En general, los pasos para hallar el factor común son:
I. Descomponer en factores cada coeficiente numérico, del cual se selecciona el mayor común.
II. Determinar la variable común y seleccionar el menor exponente.
III. Dividir la expresión entre el factor común.

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a. Factor común binomio ax + bx = x(a + b): 

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a. Factor común binomio ax + bx = x(a + b): 

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Consiste en descomponer en factores un binomio.
Ejemplo:
-12x^3 + 24x^4y
Hallamos los factores coeficientes:
12 = 12 x 1,  2 x 6,  3 x 4
24 = 24 x 1,  12 x 2,  3 x 8, 4 x 6
De los anteriores, observamos que son comunes 1,2,3,4,5,6 y 12, debemos seleccionar el mayor de ellos, por lo tanto tomamos el 12.
Para formar nuestros factor común agregamos el factor anterior a parte literal, que en este caso, la variable que se repite es x con el menor exponente que es 3. Así tenemos que
FC = 12x^3
Luego dividimos para formar nuestros factores:
12x^3(-1 + 2xy)

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Este tipo de factor común se puede aplicar cuando se tienen 3 o más términos en una expresión algebraica. Veamos:
Cuando la expresión dada es un polinomio la regla se resume así:
ax^4 + bx^3y + cx^2y^2 + dxy^3 = x(ax^3 + bx^2y + cxy^2 + dy^3)
Ejemplo:
44a^2 + 55a^3b - 11ab =
En este caso observamos que los tres coeficientes tienen como factor común al numero 11, acompañado de la literal que se repite en cada término con su menor exponente tenemos FC = 11a. Dividimos para obtener los factores:
44a^2 + 55a^3b - 11ab(4a + 5a^2b - b)
Cundo El factor común es un polinomio, la regla es más sencilla:
x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)
Ejemplo:
-2m(4x + 3y) -n(4x + 3y)
En este caso el factor común es un binomio, pues los dos términos tienen como factor a (4x + 3y). Por lo tanto factorizando tenemos:
(4x + 3y) (-2m -n)

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Consiste en agrupar la expresión algebraica en igual número de términos tomando en cuenta que cada grupo tengo factores coeficiente o literales comunes, con el fin de formar en la primera factorización un factor común polinomio.
La regla que se aplica es:
ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)
Ejemplo:
mx^2y + 8m + 3nx^2y + 24n
Iniciamos formando grupos que tengan común ya sea literales o factores coeficientes, en este caso observamos que mx^2y, 3nx^2y tienen en común literales y 8m, 24n tienen factor coeficiente común, Por lo tanto agrupamos:
(mx^2y + 3nx^2y) + (8m + 24n)
Luego factorizamos cada grupo:
x^2y(m + 3n) + 8(m + 3n)
Ahora factorizamos polinomio
(x^2 + 8) (m + 3n)

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Se aplica a binomios que tiene cuadrados perfectos y están separados por el signo -.
El caso se resume así: x^2 - y^2 = (x + y) (x - y)
Es decir que se extrae la raíz cuadrada de cada término y se forman dos factores con signos centrales opuestos.
Ejemplos:
a^4 - 4b^2 = (a^2 + 2b) (a^2 - 2b)
4/9x^2 - 25y^2 = (2/3x + 5y) (2/3x - 5y)

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Sirven para factorizar expresiones que tiene tres términos, se distinguen 3 casos.

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Se aplica cundo en la expresión ordenada, el primero y el tercer término tienen raíz cuadrada perfecta, y el término medio es igual al doble del punto de las dos raíces.
Este caso se resume así: x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2, es decir que se extraen las raíces, se copia el signo central y se eleva a la potencia 2.
Ejemplos:
a^2 + 10a + 25 = (a + 5)^2

1/25x^2 - 2/10xy + 1/4y^2 = (1/5x - 1/2y)^2

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Para factorizar se forman dos factores, en ambos el primer término es la raíz cuadrada de x^2, se escribe el signo central en el primer factor y en el segundo se escribe el producto de los signos del segundo y tercer término, para completar los paréntesis, se buscan los factores de la c que sumandos o restados (según los signos) den como resultado b.
Ejemplo:
x2 + 5x + 6
Formamos dos factores con el primer término igual en el primero el signo corresponde + y en el segundo operamos los signos + x + = + :
(x +  ) (x +  )
Buscamos factores de 6 que al sumarlos (porque en ambos factores tenemos signos iguales) den como resultado 5. Así:
(x + 3) (x + 2)

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Para factorizarlo es necesario hallar los factores de a y c, luego multiplicarlos cruzados para que sumados o restados den como resultado b. Los factores se forman tomando las parejas horizontalmente.
Ejemplo:
6x^2 + 5x - 4
Descomponemos en factores a 6 y -4 (no debemos olvidar el signo de cada uno):
al multiplicar cruzado como indican 6->2/1x->-2 las flechas tenemos:
6x * 2 = +12x
1x * -2 = -2x
Reducimos los dos productos obtenidos y obtenemos
+12x - 2x = +10x
En este caso el resultado no es el deseado, pues el valor de b no se cumple.
Intentamos con otros factores:
3x->-1/2x->4
Al multiplicar cruzado como indican las flechas tenemos:
3x * -1 = -3x
2x * 4 = 8x
Reducimos los dos productos y obtenemos -3x + 8x = +5x
Por lo tanto comprobamos que si se cumple con la factorización, así que formamos los factores uniendo horizontalmente:
6x^2 + 5x - 4 = (3x + 4) (2x - 1)

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Para factorizar sumas o diferencias de cubos, se forman dos factores, el primero sirve de base para el segundo, se componen por la raíz cúbica de ambos términos y se copia el signo central, el otro factor es, la raíz del primer término elevada al cuadrado, signo central opuesto al otro factor, producto de ambas raíces, más, la raíz del segundo término elevada al cuadrado.
Este caso de factorización se resume en las reglas:
Suma de dos cubos: x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 -xy + y^2)
Resta de los cubos: x^3 - y^3 = (x - y) (x^2 + xy + y^2)
Ejemplo 1:
Factorizar 8x^3 + 27
8x^3 + 27 = (2x + 3) (4x^2 - 6x + 9)
Ejemplo 2:
Factorizar 64x^3 - 125y^3
64x^3 - 125y^3 = (4x - 5y) (16x^2 + 20xy + 25y^2)