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TRONCO COMUN  Matemáticas Aplicaciones e interpretaciones

Unidad 1: Aritmética y álgebra

Contenido del Nivel Medio (NM). Horas lectivas recomendadas: 19

NM 1.1* Operaciones con números que están en la forma , donde y es un

número entero.

NM 1.2* Progresiones y series aritméticas; uso de las fórmulas del término n-ésimo y de la suma de los n primeros términos de la progresión; uso de la notación de sumatoria para expresar la suma de progresiones aritméticas; aplicaciones; análisis, interpretación y predicción en aquellos casos en los que un modelo no se corresponda con una situación totalmente aritmética en la vida real.

NM 1.3* Progresiones y series geométricas; uso de las fórmulas del término n-ésimo y la suma de los n primeros términos de la progresión; uso de la notación de sumatoria para expresar la suma de progresiones geométricas; aplicaciones tales como la propagación de una enfermedad, los aumentos y disminuciones salariales o el crecimiento de la población.

NM 1.4* Aplicaciones financieras de las progresiones y las series geométricas, incluido el interés compuesto y la depreciación anual.

NM 1.5* Propiedades de las potencias que tienen exponentes enteros. Introducción a los logaritmos en base 10 y en base e; evaluación numérica de logaritmos utilizando medios tecnológicos.}

TEMAS ADICIONALES NM

NM 1.6 Demostraciones deductivas sencillas (numéricas y algebraicas); cómo demostrar que la expresión del lado izquierdo de una identidad es igual a la expresión del lado derecho; los símbolos y la notación utilizada para indicar igualdad e identidad

NM 1.7 Propiedades de las potencias con exponente racional; propiedades de los logaritmos; cambio de base en un logaritmo; resolución de ecuaciones exponenciales, incluido el uso de logaritmos.

NM 1.8 La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica convergente.

NM 1.9 El teorema del binomio; uso del triángulo de Pascal y de combinatorios.

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Unidad 2: FuncionesContenido del Nivel Medio (NM). Horas lectivas recomendadas: 21 

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Unidad 2: FuncionesContenido del Nivel Medio (NM). Horas lectivas recomendadas: 21 

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NM 2.1* Las diversas formas de la ecuación de una recta; pendiente; puntos de corte con los ejes; rectas paralelas y perpendiculares.

NM 2.2* Concepto de función, dominio, recorrido y gráfico; notación de funciones; el concepto de función como modelo matemático; concepto informal de función inversa como simetría respecto a la recta; la notación.

NM 2.3* El gráfico de una función; su ecuación; creación de un dibujo aproximado de una función a partir de la información dada o de un contexto, incluido el traslado de un

gráfico de la pantalla al papel; uso de medios tecnológicos para representar gráficamente

funciones, incluida la suma y diferencia de dichas funciones.

NM 2.4* Determinar las características principales de un gráfico; hallar el punto de intersección de dos curvas o rectas utilizando medios tecnológicos.
NM 2.5 Funciones compuestas; la función identidad; hallar la función inversa .

NM 2.6 La función cuadrática , su representación gráfica, su intercepción con el eje y ; el eje de simetría; la forma , intercepciones con el eje

x y ; la forma , donde es el vértice del gráfico.

NM 2.7 Resolución de ecuaciones e inecuaciones cuadráticas; usar la factorización, completar el cuadrado (forma del vértice), y la fórmula de la solución de una ecuación cuadrática; la fórmula para la resolución de ecuaciones cuadráticas; el  discriminante y la naturaleza de las raíces, es decir, dos raíces reales distintas, dos raíces reales iguales o ninguna raíz real.

NM 2.8 La función recíproca: su gráfico y la propiedad de coincidir con su inversa; funciones racionales de la forma y su representación gráfica;

ecuaciones de asíntotas verticales y horizontales.

NM 2.9 Funciones exponenciales y sus gráficos; funciones

logarítmitcas y sus gráficos

NM 2.10 Resolución de ecuaciones, tanto gráficamente como con métodos analíticos; uso

de medios tecnológicos para resolver diversos tipos de ecuaciones, incluidas aquellas para las que no existe un enfoque analítico apropiado; aplicaciones de las habilidades de

representación gráfica y resolución de ecuaciones que reflejan situaciones de la vida real.

NM 2.11 Transformaciones de gráficos; traslaciones; simetrías respecto a ambos ejes; estiramiento vertical de razón p; estiramiento horizontal de razón ; transformaciones compuesta

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Unidad 3: Geometría y trigonometríaContenido del Nivel Medio (NM). Horas lectivas recomendadas: 25

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Unidad 3: Geometría y trigonometríaContenido del Nivel Medio (NM). Horas lectivas recomendadas: 25

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NM 3.1* La distancia que hay entre dos puntos en el espacio tridimensional y el punto medio de dicho segmento; volumen y área de la superficie de sólidos tridimensionales, incluida la

pirámide recta, el cono recto, la esfera, la semiesfera y combinaciones de estos sólidos; el tamaño de un ángulo que forman dos rectas que se cortan o de un ángulo que forma una

recta con un plano.

NM 3.2* Uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente) para hallar los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo; el teorema del seno (pero sin incluir el caso ambiguo); el teorema del coseno; área de un triángulo

NM 3.3* Aplicaciones de la trigonometría de triángulos rectángulos y no rectángulos, incluido el teorema de Pitágoras. El contexto puede requerir el uso de rumbos y demoras;

ángulos de elevación y depresión; elaboración de diagramas rotulados a partir de enunciados escritos.

NM 3.4 El círculo: medida de ángulos en radianes; longitud de un arco; área de un sector circular.

NM 3.5 La definición de y basada en el círculo de radio unidad; la definición; valor exacto de las razones trigonométricas para los ángulos y sus múltiplos; ampliación del teorema del seno al caso ambiguo.

NM 3.6 La relación fundamental; las fórmulas del seno y el coseno del

ángulo doble; la relación que existe entre las razones trigonométricas.

NM 3.7 Las funciones trigonométricas circulares ; amplitud, su naturaleza

periódica y su representación gráfica; funciones compuestas de la forma ; transformaciones; contextos de la vida real.

NM 3.8 Resolución de ecuaciones trigonométricas en un intervalo finito (tanto gráficamente

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Unidad 4: Estadística y probabilidadContenido del Nivel Medio (NM). Horas lectivas recomendadas: 27

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Unidad 4: Estadística y probabilidadContenido del Nivel Medio (NM). Horas lectivas recomendadas: 27

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NM 4.1* Concepto de población, muestra, muestra aleatoria, datos discretos y continuos;

fiabilidad de las fuentes de datos y sesgo del muestreo; interpretación de los valores no

esperados (donde un valor no esperado se define como aquel dato que se encuentra a una

distancia del cuartil más próximo mayor que 1,5; rango intercuartil); técnicas de muestreo: aleatorio simple, por conveniencia, sistemático, por cuotas y estratificado.

NM 4.2* Presentación de datos (discretos y continuos); histogramas de frecuencias con

intervalos de clase de la misma amplitud; frecuencias acumuladas; gráficos de frecuencias

acumuladas; uso de estos elementos para hallar la mediana, los cuartiles, los percentiles, el rango y el rango intercuartil; elaboración y comprensión de los diagramas de caja y bigotes; empleo de estos diagramas de caja y bigotes para comparar dos distribuciones basándose

en la simetría, la mediana, el rango intercuartil o el rango; determinar si los datos siguen una distribución normal analizando la simetría de la caja y los bigotes.

NM 4.3* Medidas de tendencia central (media, mediana y moda); estimación de la media a

partir de datos agrupados; clase modal; medidas de dispersión (rango intercuartil,

desviación típica y varianza); cómo afecta un cambio constante a los datos originales; cuartiles de datos discretos.

NM 4.4* Correlación lineal de variables bidimensionales; coeficiente de correlación

momento-producto de Pearson (r); diagramas de dispersión; recta de ajuste óptimo dibujada por aproximación que pasa por la media; ecuación de la recta de regresión de y

sobre x; uso de la ecuación de la recta de regresión para hacer predicciones; interpretación del significado de los parámetros a y b de la recta de regresión

NM 4.5*Conceptos de experimento, resultado, resultados equiprobables, frecuencia relativa, espacio muestral (U) y suceso; la probabilidad de un suceso ; los sucesos complementarios A y A ' (no A); número esperado de veces que ocurrirá un

suceso dado.

NM 4.6* Uso de diagramas de Venn, diagramas de árbol, diagramas de espacio muestral y

tablas de resultados para calcular probabilidades; sucesos compuestos; sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes;

probabilidad condicionada; sucesos independientes. Los problemas se pueden resolver con la ayuda de diagramas de Venn, diagramas de árbol,

diagramas de espacio muestral o con una tabla de resultados, sin que sea necesario el uso

explícito de fórmulas.

NM 4.7* Concepto de variable aleatoria discreta y sus distribuciones de probabilidad; valor

esperado (media, E(X) ) para datos discretos; aplicaciones.

NM 4.8* Distribución binomial; situaciones en las que la distribución binomial es un modelo adecuado; media y varianza de la distribución binomial.

NM 4.9* La distribución normal y su curva; propiedades de la distribución normal;

representación mediante diagramas; cálculo de probabilidades asociadas a la distribución normal; cálculos inversos de la distribución normal.

NM 4.10 Ecuación de la recta de regresión de x sobre y; uso de esta ecuación para hacer

predicciones.

NM 4.11 Definición formal y uso de las fórmulas para casos de probabilidad

condicionada y de para sucesos independientes; comprobación de si existe o no independencia.

NM 4.12 Tipificación o estandarización de variables en una distribución normal (valores z); cálculos inversos en la distribución normal cuando la media y la desviación típica son desconocidas

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Unidad 5: AnálisisContenido del Nivel Medio (NM). Horas lectivas recomendadas: 28

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Unidad 5: AnálisisContenido del Nivel Medio (NM). Horas lectivas recomendadas: 28

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NM 5.1* Introducción al concepto de límite; interpretación de la función derivada como pendiente de la recta tangente a la curva y como medida de la razón de cambio entre dos

variables.

NM 5.2* Funciones crecientes y decrecientes: interpretación gráfica

NM 5.3* Derivada de funciones

.

NM 5.4* Rectas tangente y normal a la curva en un punto dado; ecuación de dichas rectas.

NM 5.5* Introducción a las integrales como primitiva (antiderivada) de funciones; integrales definidas utilizando medios tecnológicos; área que hay entre una curva y el eje x;

integración con una restricción para determinar el término constante.

NM 5.6 Derivada de la suma y de un múltiplo

de estas funciones; la regla de la cadena para la composición de funciones; la regla del producto y del cociente.

NM 5.7 La derivada segunda; comportamiento de los gráficos de las funciones, incluida la

relación que existe entre los gráficos.

NM 5.8 Puntos máximos y mínimos locales; búsqueda y comprobación de máximos y mínimos; optimización; puntos de inflexión con pendiente nula y no nula.

NM 5.9 Problemas de cinemática relativos al desplazamiento s, la velocidad v, la aceleración

a y la distancia total recorrida.

NM 5.10 Integral indefinida; composición de alguna de estas funciones con la función lineal; integración por comparación (regla de la cadena inversa) o por sustitución para expresiones.

NM 5.11 Integrales definidas (incluido el enfoque analítico); área que hay entre una curva

y el eje x —donde puede tener valores positivos o negativos— sin recurrir al

uso de medios tecnológicos; área entre curvas.

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| TANS 1.9 Propiedades de los logaritmos en base 10 o en base e.
TANS 1.10 Cómo simplificar expresiones —tanto numéricamente como con métodos algebraicos— donde aparecen exponentes racionales.
TANS 1.11 La suma de progresiones geométricas infinitas.
TANS 1.12 Números complejos: el número i (tal que i²  = -1); la forma cartesiana: z = a + bi ; los conceptos parte real, parte imaginaria, conjugado, módulo y argumento; cálculo (a mano o con medios tecnológicos) de sumas, diferencias, productos y cocientes; cálculo de potencias de números complejos en forma cartesiana utilizando medios tecnológicos; el plano complejo; saber dibujar y utilizar diagramas de Argand; números complejos como soluciones de una ecuación cuadrática de la forma , ax²+bx+c=0 , con coeficientes reales donde . b²-4ac<0.
TANS 1.13 Forma módulo-argumental (polar) (z=r(cosɵ+isenɵ, r cisɵ ) y forma exponencial (z=re1ɵ ); conversión entre las formas cartesiana, polar y exponencial (a mano y utilizando medios tecnológicos); cálculo del producto, el cociente y la potencia con exponente entero de números complejos en forma polar o exponencial/de Euler; suma de funciones sinusoidales que tienen la misma frecuencia pero distinto ángulo de diferencia de fase. Por ejemplo, dos fuentes de corriente alterna [CA] que se conectan en un circuito. Si V1=10cos(40t) y V2=20cos(40t+10) y expresar la tensión (voltaje) total en la forma V = Acos(40t+B); interpretación geométrica de números complejos.
TANS 1.14 Definición de matriz: los términos elemento, fila, columna y orden de una matriz mxn; álgebra de matrices: igualdad; suma y resta de matrices; multiplicación de una matriz por un escalar para matrices mxn; producto de matrices; propiedades del producto de matrices: asociatividad, distributividad y no conmutatividad; matriz identidad y matriz cero (nula); determinante e inversa de una matriz nxn utilizando medios tecnológicos y también a mano en el caso de matrices 2x2; sistema de ecuaciones lineales escritos en la forma ; resolución de sistemas de ecuaciones utilizando la matriz inversa. TANS 1.15 Valores propios y vectores propios; polinomio característico de una matriz 2x2; diagonalización de una matriz 2x2 , restringiéndonos al caso en el que hay valores propios reales y distintos; aplicaciones a las potencias de matrices 2x2 (por ejemplo, movimientos de población o modelos depredador/presa).
TANS 1.16 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales (hasta un máximo de tres ecuaciones con tres incógnitas), incluidos los casos en los que hay una única solución o un número infinito de soluciones y aquellos para los que no existe ninguna solución.
TANS 2.7 Composición de funciones en un contexto dado; la notación fog(x) = f(g(x)); hallar la función inversa, incluida la restricción del dominio.
TANS 2.8 Transformaciones de gráficos; traslaciones de la forma y=f(x)+b e y=f(x-a) ; simetrías respecto al eje x y al eje y; estiramiento vertical de razón p; estiramiento horizontal de razón 1/q; transformaciones compuestas.
TANS 2.9 Además de los modelos incluidos en el contenido del NM, en el contenido de los TANS se amplía el temario para incluir la modelización con las siguientes funciones: modelos exponenciales para calcular la semivida; modelos logarítmicos naturales de la forma f(x)=a+blnx, modelos sinusoidales donde f(x)=asen(b(x-c))+d, modelos de logística del tipo f(x)=L/(1+Ce-kx); , ejemplos de modelización logística: población que hay en una isla, bacterias que hay en una placa de Petri, lo que aumenta la estatura de una persona/la altura de una planta de semillero, etc.; modelos definidos a trozos.
TANS 2.10 Manejo de números muy grandes o muy pequeños escalándolos mediante logaritmos; linealización de datos mediante logaritmos para determinar si existe una relación exponencial o potencial entre los datos, utilizando para ello la recta de ajuste óptimo para determinar parámetros; interpretación de los gráficos log-log y semi-log.
TANS 2.12 Funciones polinómicas, su representación gráfica y su ecuación; ceros, raíces y factores; los teoremas del divisor y del resto; suma y producto de las raíces de una ecuación polinómica.
TANS 2.13 Funciones racionales de la forma f(x) = (ax+b)/(cx²+dx+e) y f(x)=(ax²+bx+c)/(dx+e).
TANS 2.14 Funciones pares e impares; hallar la función inversa f⁻¹(x), incluida la restricción del dominio; funciones que coinciden con su inversa.
TANS 2.15 Resolución de f(x) > g(x), tanto gráficamente como con métodos analíticos.
TANS 2.16 Los gráficos de las funciones y=|f(x)| y y=f(|x|) , ; resolución de ecuaciones e inecuaciones donde aparece el módulo

TANS 3.7 Definición de radián y conversión entre grados y radianes; uso de radianes para calcular el área de un sector circular y la longitud de un arco.
TANS 3.8 La definición de senɵ y cosɵ basada en el círculo de radio unidad; la relación fundamental sen²ɵ + cos²ɵ = 1; definición de tanɵ=senɵ/cosɵ; ampliación del teorema del seno al caso ambiguo; métodos gráficos para la resolución de ecuaciones trigonométricas dentro de un intervalo finito.
TANS 3.9 Transformaciones geométricas de puntos en dos dimensiones utilizando matrices: simetría, estiramiento horizontal y vertical, homotecia, traslación y rotación; composición de estas transformaciones; interpretación geométrica del determinante de una matriz de transformación.
TANS 3.10 Concepto de vector y de escalar; representación de vectores mediante segmentos de recta orientados; vectores unitarios; los vectores de la base i, j, k; componentes de un vector; representación mediante columnas; el vector nulo 0, el vector -v; vectores de posición; redimensionar y normalizar vectores (por ejemplo, para hallar la velocidad de una partícula cuya celeridad son 7 ms⁻¹ en la dirección 3i + 4j).
TANS 3.11 Ecuación vectorial de una recta en dos y en tres dimensiones . r = a + µb
TANS 3.12 Aplicaciones de los vectores en cinemática; hallar posiciones e intersecciones (puntos de corte), describir trayectorias, hallar en qué instante están más próximos dos objetos y qué distancia los separa en ese momento; modelización del movimiento en línea recta y con velocidad constante en dos y en tres dimensiones. Movimiento en dos dimensiones con velocidad variable. TANS 3.13 Definición y cálculo del producto escalar de dos vectores; ángulo que forman dos vectores; el ángulo agudo que forman dos rectas; definición y cálculo del producto vectorial de dos vectores; interpretación geométrica de |v x w|; componentes de un vector.
TANS 3.14 Teoría de grafos: grafos, vértices, aristas, vértices adyacentes, aristas adyacentes, grado de un vértice; grafos simples; grafos completos; grafos ponderados; grafos orientados; concepto de semigrado interior y semigrado exterior de los vértices de un grafo orientado; subgrafos; árboles.
TANS 3.15 Matriz de adyacencia; recorridos; número de recorridos de longitud k (o de recorridos de longitud inferior a k) que hay entre dos vértices; tabla de adyacencia ponderada; hallar la matriz de transición para grafos fuertemente conexos (orientados o no orientados).
TANS 3.16 Algoritmos para árboles y ciclos en grafos no orientados; recorridos, senderos, caminos, circuitos, ciclos; senderos y circuitos eulerianos; caminos y ciclos hamiltonianos; algoritmos para hallar el árbol generador minimal en un grafo; algoritmo de Kruskal y algoritmo de Prim para hallar el árbol generador minimal; empleo del método matricial en el algoritmo de Prim; el problema del "cartero chino"; el problema del "viajante"; algoritmo del vecino más cercano para determinar un límite superior para el problema del "viajante"; algoritmo del vértice borrado  para determinar un límite inferior para el problema del "viajante".
TANS 3.17 La ecuación vectorial de un plano: r = a + µb + σc; rxn = axn, donde n es una normal al plano y a es el vector de posición de un punto dado del plano; ecuación cartesiana de un plano ax+by+cz=d.
TANS 3.18 Intersecciones de: una recta y un plano, dos planos, tres planos; ángulo entre: una recta y un plano, dos planos.

TANS 4.12 Diseño de métodos válidos para la obtención de datos (tales como encuestas y cuestionarios); selección de variables pertinentes de entre muchas variables; elección de datos pertinentes y adecuados para su análisis; categorización de datos numéricos en una tabla x² y justificación de la elección de dicho sistema de clasificación; cuando se esté realizando una prueba x² para la bondad del ajuste, se ha de escoger un número adecuado de grados de libertad a la hora de estimar parámetros a partir de datos; definición de fiabilidad y validez; pruebas de fiabilidad: test-retest, formas paralelas; tipos de pruebas de validez: relacionadas con los contenidos, relacionadas con los criterios.
TANS 4.13 Regresión no lineal; evaluación de las curvas de regresión por mínimos cuadrados utilizando medios tecnológicos; suma de los cuadrados de los residuos ( SSres) como medida del grado de ajuste a un modelo; el coeficiente de determinación ( R ² ); evaluación de R ² empleando medios tecnológicos.
TANS 4.14 Transformación lineal de una variable aleatoria unidimensional; valor esperado de una combinación lineal de n variables aleatorias; varianza de una combinación lineal de n variables aleatorias independientes; x como estimación sin sesgo de µ; S² n-1 como estimación sin sesgo de σ².
TANS 4.15 Una combinación lineal de n variables aleatorias normales e independientes sigue una distribución normal. En particular, X – N(µ,σ²) -> X – N(µ,σ²/n); el teorema central del límite.
TANS 4.16 Intervalos de confianza para la media de una población normal. Uso de la distribución normal cuando σ es conocida y uso de la distribución t cuando σ es desconocida, con independencia del tamaño de la muestra. TANS 4.17 Distribución de Poisson, su media y su varianza; la suma de dos distribuciones de Poisson independientes también posee las características de una distribución de Poisson.
TANS 4.18 Valores críticos y regiones críticas; pruebas para la media de la población en una distribución normal; pruebas para evaluar la proporción de una población utilizando la distribución binomial; pruebas para la media de la población utilizando la distribución de Poisson; uso de medios tecnológicos para contrastar la hipótesis de que el coeficiente de correlación momento-producto ( p ) de la población es igual a 0 para distribuciones normales bidimensionales; errores de tipo I y II, incluido el cálculo de sus probabilidades, aplicado a la distribución normal (con varianza conocida); la distribución de Poisson y la distribución binomial.
TANS 4.19 Matrices de transición; potencia de una matriz de transición; cadenas de Markov regulares; matrices de probabilidad del estado inicial; cálculo del estado estacionario y de probabilidades a largo plazo mediante la multiplicación reiterada de las matrices de transición o resolviendo un sistema de ecuaciones lineales.

TANS 5.9 La derivada de sinx, cosx, tanx, ex, lnx, donde n es racional; la regla de la cadena, la regla del producto y la regla del cociente; razones de cambio relacionadas.
TANS 5.10 La derivada segunda; prueba de la derivada segunda para distinguir entre un punto máximo y un punto mínimo.
TANS 5.11 Integrales indefinidas y definidas de x n(donde n es Q ) incluido n = -1, sinx, cosx, sec²x y ex; integración por comparación o por sustitución de la forma: ∫f(g(x))g´(x)dx .
TANS 5.12 Área de la región delimitada por una curva y el eje x o el eje y en un intervalo dado; volumen de revolución alrededor del eje x o del eje y.
TANS 5.13 Problemas de cinemática relativos al desplazamiento s, la velocidad v y la aceleración a.
TANS 5.14 Plantear un modelo/ecuación diferencial a partir de un contexto; resolución mediante separación de variables.
TANS 5.15 Campos de direcciones y sus correspondientes diagramas.
TANS 5.16 Método de Euler para hallar la solución aproximada de ecuaciones diferenciales de primer orden; resolución numérica de y´=f(x,y); resolución numérica de un sistema acoplado de la forma x´=f(x,y,t) y y´=f(x,y,t); contextos, incluidos los modelos depredador-presa.
TANS 5.17 Retratos de fase para la resolución de ecuaciones diferenciales acopladas de la forma dx/dt = ax+by, dy/dt=cx+dy; análisis cualitativo de las trayectorias futuras correspondientes a valores propios distintos, reales, complejos e imaginarios; dibujo aproximado de trayectorias y uso de los retratos de fase para identificar las características principales, tales como los puntos de equilibro, las poblaciones estables y los puntos de silla.
TANS 5.18 Resolución de d²x/dt² = f(x,x´,t) mediante el método de Euler.
TANS 5.19 Desarrollo en serie de Maclaurin de ex, sinx , cosx , ln(1+x), (1+x)p  p e Q; obtención de nuevas series mediante sustitución, productos, integración y derivación; series de Maclaurin a partir de ecuaciones diferenciales.