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In geometria differenziale, la curvatura gaussiana è una misura della curvatura di una superficie in un punto.

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infinito

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L= 1- r 2  /R 2

r= distanza dal centro dell' oggetto
R= raggio circonferenza

Allora L= 1- r 2  /R ² = 0

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in un piccolo spazio viene creato l' infinito

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disco poincarè

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disco poincarè

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Se esiste una regola che dice che un essere vivente e tutto ciò che lo circonda diventa sempre più piccolo espandendosi dal centreo del disco fino alla periferia. dal punto di vista intrinseco l' essere ha bisogno di tempo infinito per raggiungere il bordo

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Il termine asintoto è utilizzato in matematica per designare una retta, o più generalmente una curva, alla quale si avvicina indefinitamente una funzione data

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TRATTRICE:è una particolare curva geometrica, in cui i segmenti tangenti tra una curva e una data retta risultano di uguale misura

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In geometria, superficie avente curvatura gaussiana costante e negativa, ottenuta facendo ruotare una trattrice intorno al suo asintoto

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A partire dai risultati di Riemann, Eugenio Beltrami dimostra la consistenza della nuova geometria e costruisce un modello in carta di una superficie a curvatura costante negativa, la pseudosfera iperbolica

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rette

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circonferenza ortogonale

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in un disco del genere come sono le rette??

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1. Per due punti passa una sola retta (circonferenza massima), a patto che non sia antipodale.

2. Non si può prolungare infinitamente un segmento ai suoi estremi

3. Dato un punto e una lunghezza è possibile costruire una circonferenza di raggio qualsiasi (il terzo postulato di Euclide rimane invariato).

4. Dato un punto non è possibile costruire una circonferenza di qualsiasi raggio.

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Modificando il quinto postulato vengo modificati anche gli altri

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Ogni lato della figura deve essere parte della circonferenza massima

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PUNTO DI VISTA INTRINSECO: retta

PUNTO DI VISTA ESTRINSECO: circonferenza

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con circonferenza massima si intende l' intersezione di un piano con la sfera passante per il centro della sfera. La retta S è in questo caso anche definibile come EQUATORE.

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Due punti opposti su una sfera si chiamano ANTIPODALI (PeQ sono antipodali.)

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RETTA: percorso minimo tra due punti di una circonferenza
GEODETICA: percorso più breve.

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cambiano anche le definizioni degli elementi base della geometria

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Euclide

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punto di vista intrinseco

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punto di vista estrinseco

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INTRINSECO:  interno, nel caso di un pianeta, coloro che lo abitano godono del punto di vista intrinseco

ESTRINSECO: esterno, coloro che vedono il pianeta dall' esterno

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punto di vista:

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geometria costruita su una sfera

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La geometria ellittica o di Riemann è una geometria non euclidea ideata dal matematico Bernhard Riemann

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data quindi questa definizione potremmo dire che le principali geometrie non euclidee sono:

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se della proposizione (quinto postulato) viene negata la prima parte(ovvero si nega l' esistenza della retta parallela), la geometria è definita ELLITTICA ,  se invece viene negata la seconda parte (la retta non è unica), allora la geometria è definita  IPERBOLICA

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principalmente viene negato il quinto postulato.

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tra il 1800 e il 1900 diversi matematici creano modelli di geometrie non euclidee

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1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta;

2. Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente;

3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio;

4. Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro;

5. Se una retta che taglia altre due rette determina dallo stesso lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due rette.

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Accetta il postulato euclideo per cui da un punto si può tracciare una sola parallela a una retta data

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Principio indimostrato la cui validità si ammette a priori per evidenza o convenzione allo scopo di fornire la spiegazione di determinati fatti o di costruire una teoria.

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scrive 13 libri e 5 postulati

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Matematico di origine alessandrina, vissuto probabilmente durante il periodo TOLEMAICO

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Una geometria non euclidea è una geometria costruita negando o non accettando alcuni postulati euclidei

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Settore della matematica che studia la forma e la misura degli oggetti .