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Condicionamiento de los procesos de Poisson.

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Condicionamiento de los procesos de Poisson.

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Si {N(t)}t≥0 es un proceso de Poisson y N(t)=n, entonces dado s<t:

Cada llegada tiene probabilidad s/t de producirse en [0,s].

El nº de llegadas en [0,s]~B(n,s/t)

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Si {N1(t)}t≥0, {N2(t)}t≥0 son dos procesos de Poisson independientes con tasas λ1, λ2, respectivamente:

{N1(t) + N2(t)}t≥0 es un proceso de Poisson con parámetro λ1 + λ2.

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Supongamos un proceso de Poisson N(t) con tasa λ donde cada llegada es del tipo 1 y 2 con probabilidades respectivas p, 1-p.

N(t) = N1(t) + N2(t) ∀t.

{N1(t)}t≥0 es un proceso de Poisson con tasa λp.

{N2(t)}t≥0 es un proceso de Poison con tasa λ(1 − p).

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Transformaciones de los procesos de Poisson

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Transformaciones de los procesos de Poisson

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Algunas transformaciones de un proceso de Poisson nos permiten generar nuevos procesos de Poisson

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E(X) = λ · E(Yi).

Var(X) = λE(Yi²)

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X(t) = Y1+...+YN(t)

{N(t) : t ≥ 0} es un proceso de Poisson

{Yi}i≥1 es una sucesion de variables aleatorias i.i.d. e independientes de {N(t) : t ≥ 0}.

Yi representa la recompensa/gasto asociada a la llegada i, y X(t) la recompensa acumulada hasta el instante t.

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N(0) = 0.

N(t) posee incrementos independientes.

N(t + s) − N(s) posee una distribucion de Poisson con parámetro ∫λ(r)dr.

Los tiempos entre dos llegadas consecutivas ya no siguen una distribución exponencial ni son independientes.

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Caracterización de los procesos de Poisson.

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Caracterización de los procesos de Poisson.

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{N(s)}s≥0 constituye un proceso de Poisson si y solo si:

N(0) = 0.

N(t + s) − N(s) ∼ P(λt) para todo t, s ≥ 0.

N(t) posee incrementos independientes.

N(t) posee incrementos estacionarios.

λ: intensidad o tasa del proceso

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Relación entre la Poisson y la exponencial

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Relación entre la Poisson y la exponencial

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Si el tiempo entre dos llegadas consecutivas sigue una distribución exp (λ), el número de llegadas en un intervalo de tiempo t sigue una distribución P(λt)

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Tiempo entre dos apariciones consecutivas de un suceso.

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Tiempo entre dos apariciones consecutivas de un suceso.

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{tn}n es un conjunto de variables independientes con distribución exp (λ), de forma que:
Tn = t1 + · · · + tn para todo n, (T0 = 0)
Tn representa el instante de la n-ésima aparición.

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Número de apariciones de un suceso antes del instante s. 

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Número de apariciones de un suceso antes del instante s. 

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N(s) = max{n : Tn ≤ s}

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Son procesos a tiempo continuo con espacio de estados discreto

{N(s)}s≥0