# data[].attributes.attachment_link.description
See all the wonderful things Lyubov Belus has made

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Кривая Коха - фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом.

Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую бесконечной длины, называемую снежинкой Коха.

Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д... Предельная кривая и есть кривая Коха.

Кривая Коха нигде не дифференцируема и не спрямляема.

Кривая Коха имеет бесконечную длину.

Кривая Коха не имеет самопересечений.

Кривая Коха имеет промежуточную (то есть не целую) хаусдорфову размерность, которая равна , поскольку она состоит из четырёх равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия 1/3.

Плоскость допускает замощение снежинками Коха двух размеров. При этом не существует замощения снежинками одного размера.[2]

Длина кривой Коха описывается выражением

где - количество итераций, - длина исходного отрезка[3].

Возможны обобщения кривой Коха, также использующие при построении подстановку ломаной из четырёх равных отрезков, но имеющей иную геометрию. Они имеют хаусдорфову размерность от 1 до 2. В частности, если вместо деления отрезка 1:1:1 использовать золотое сечение (φ:1:φ), то получившаяся кривая имеет отношение к мозаикам Пенроуза.

Также можно построить "Снежинку Коха" на сторонах равностороннего трегоугольника.

Вслед за подходом Коха были разработаны варианты с прямыми углами (квадратичная), других углов () или кругов и их расширения на высшие размерности (сферическая снежинка):

1D, 85°, угол

Фрактал Cesaro - вариант кривой Коха с углом между 60° и 90° (здесь 85°)

2D, треугольники

2D, 90°, угол

Расширение квадратичного кривой 1 типа, соответствующее "вывернутой губке Менгера". На изображении слева - фрактал после второй итерации:

2D, 90°, угол

Расширение квадратичного кривой 2 типа. На изображении слева - фрактал после первой итерации

2D, сферы

разработал фрактал "сферическая снежинка", который является трёхмерной версией снежинки Коха (используются сферы)

Снежинка Коха

Снежинка Коха, построенная в виде замкнутой кривой на базе равностороннего треугольника, впервые была описана шведским математиком Хельге фон Кохом в 1904 году. В некоторых работах она получила название "остров Коха".

Было доказано, что эта фрактальная кривая обладает рядом любопытных свойств. К примеру, длина её периметра равна бесконечности, что, однако, не мешает ему охватывать конечную площадь, величина которой равна 8/5 площади базового треугольника. Вследствие этого факта некоторые прикладные методики и параметры плоских фигур, такие как, например, краевой индекс (отношение периметра к корню из площади), при работе со снежинкой Коха оказываются неприменимыми.

Вычисление фрактальной размерности снежинки Коха даёт значение, приблизительно равное 1,2619.

Возможно также построение так называемой антиснежинки Коха, алгоритм генерирования которой заключается в вырезании на каждом этапе всё новых и новых треугольников из исходного. Иными словами рёбра базовой формы модифицируются внутрь, а не наружу. В результате полученная фигура охватывает бесконечное множество несвязанных областей, суммарная площадь которых равна 2/5 от площади треугольника нулевой итерации.

Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. - М.: Техносфера. - 2005.- C. 498-569.

# data[].attributes.attachment_link.description
Кривая Коха - фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую бесконечной длины, называемую снежинкой Коха. Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом.

# data[].attributes.headline
Шведский математик Х

# data[].attributes.body
Шведский математик Хельге фон Кох (Helge von Koch) придумал эту кривую еще в 1904 году. Она получается путем деления отрезка на три части и замещения среднего сегмента равносторонним треугольником без стороны, совпадающей с этим сегментом. Определение немного сложное для восприятия, но на рисунке все ясно и просто.

# data[].attributes.body
Фрактальные рисунки завораживают своими узорами. Они определенно напоминают изображения космических объектов — туманностей, скопления галактик и так далее. Поэтому вполне закономерно, что, когда Мандельброт озвучил свою теорию фракталов, его исследования вызвали повышенный интерес у тех, кто занимался изучением астрономии. Один из таких любителей по имени Натан Коэн (Nathan Cohen) после посещения лекции Бенуа Мандельброта в Будапеште загорелся идеей практического применения полученных знаний. Правда, сделал он это интуитивно, и не последнюю роль в его открытии сыграл случай. Будучи радиолюбителем, Натан стремился создать антенну, обладающую как можно более высокой чувствительностью.

# data[].attributes.headline
Бенуа Мандельброт

# data[].attributes.subject
Бенуа Мандельброт

# data[].attributes.body
Математическая база для появления теории фракталов была заложена за много лет до рождения Бенуа Мандельброта, однако развиться она смогла лишь с появлением вычислительных устройств. В начале своей научной деятельности Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача — понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным.

Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность — графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день, неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз повторялась.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Ка́нторово мно́жество ( канторов дисконтинуум, канторова пыль) - один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе. Описано в 1883 году Георгом Кантором.

Из единичного отрезка удалим среднюю треть, то есть интервал . Оставшееся точечное множество обозначим через . Множество состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через . Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем . Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств . Пересечение

называется канторовым множеством.

Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек. При этом следует отметить, что число принадлежит канторовому множеству, если у него есть хотя бы одно такое представление, например , так как .

Канторово множество может быть определено как аттрактор. Рассмотрим все последовательности точек такие, что для любого

или .

Тогда множество пределов всех таких последовательностей является канторовым множеством.

В литературе по общей топологии канторово множество определяется как счётная степень двухточечного дискретного пространства - [1]; такое пространство гомеоморфно классически построенному канторову множеству (с обычной евклидовой топологией)[2][3].

Канторов куб ( обобщённый канторов дисконтинуум) веса - -я степень двухточечного дискретного пространства . Канторов куб универсален для всех нульмерных пространств веса не больше . Каждый хаусдорфов компакт веса не больше есть непрерывный образ подпространства канторова куба .

- компакт, представимый как непрерывный образ канторова куба. - топологическое пространство, для которого существует компактификация, являющаяся диадическим компактом.

# data[].attributes.attachment_link.title
Канторово множество

# data[].attributes.attachment_link.description
Ка́нторово мно́жество ( канторов дисконтинуум, канторова пыль) - один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе. Описано в 1883 году Георгом Кантором. Из единичного отрезка удалим среднюю треть, то есть интервал . Оставшееся точечное множество обозначим через.

# data[].attributes.headline
Использование фракталов

# data[].attributes.subject
Использование фракталов

# data[].attributes.body
Сейчас то  ни  день, появляются все новые сведения об использовании фракталов в самых неожиданных областях науки, что самые красивые мелодии подчиняются закону фракталов - одна  и  та  же  музыкальная  фраза  может  варьироваться  в них
бесчисленное  число  раз,  обретая  все  новые  краски.  Биологи выяснили,  что  папоротник,  цветная и спаржевая капуста, многие
другие   растения  являют  собой  наглядные  примеры  фракталов, поскольку  у  них  отдельные  листья  напоминают  по  форме  все
растение  в  целом, да к тому же с легкостью все это описывается математически.   Медики   и   биофизики   обнаружили,   что  при
моделировании дыхательных путей, сосудистой и нервной систем они тоже  сталкиваются  с  фракталами.  Даже  мыслительные процессы,
оказывается,  несут  в себе некую долю фрактальности. Это хорошо видно, например, на энцефалограммах - записях активности мозга.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Бенуа Мандельброт

Фрактальная геометрия природы

Москва: Институт компьютерных исследований, 2002, 656 стр.

Данная работа представляет собой расширенное переиздание моего эссе 1977 г. "Фракталы: форма, случайность и размерность", которое, в свою очередь, явилось расширенным переизданием написанного на французском языке эссе 1975 г. "Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность"1. В переиздания добавлялись новые иллюстрации, текст серьезно пересматривался, в результате чего почти каждый раздел подвергался изменениям, а некоторые места я удалял совсем; кроме того, в книгу вносились дополнения, посвященные моей прежней работе, и - что более важно - обширные дополнения, посвященные новым исследованиям.

Существенный вклад и в эссе 1977 г., и в эту книгу внес Рихард Ф. Фосс, в особенности благодарен я ему за создание фрактальных хлопьев, большей части ландшафтов и планет. Программы, с помощью которых были выполнены многие поразительные иллюстрации специально для нового издания настоящего эссе, были предоставлены В. Аланом Нортоном.

За неоценимое, тесное и длительное сотрудничество я хочу поблагодарить Зигмунда В. Хандельмана и Марка Р. Лаффа, которые выполнили вычисления и подготовили графический материал, а также X. Катарин Дитрих и Дженис Т. Ризничок, редактировавших и набиравших текст.

Благодарности отдельным лицам за программы, с помощью которых выполнены иллюстрации, и за прочее разнообразное содействие можно найти в конце книги после библиографического списка.

Я чувствую себя в неоплатном долгу перед Исследовательским Центром имени Томаса Дж. Уотсона корпорации IBM за поддержку моих исследований и книг. Ральф Э. Гомори - сначала руководитель группы, затем управляющий отделом, а ныне вице-президент IBM по исследовательской работе - находил способы поддержать мою работу еще тогда, когда она была не более чем игрой, и сейчас продолжает оказывать мне любую помощь, какая бы ни потребовалась.

Моя первая научная публикация увидела свет 30 апреля 1951 г. На протяжении прошедших лет многим казалось, что я слишком непостоянен в выборе тем для своих исследований. Однако этот кажущийся беспорядок скрыл под собой глубокое единство цели, которое как раз и призвано открыть настоящее эссе - наряду с двумя предшествующими работами. Как бы то ни было, большая часть моих трудов - это муки рождения новой научной дисциплины.

Почему геометрию так часто называют "холодной" и "сухой"? Одна из причин - ее неспособность описать форму облака, горы, дерева или береговой линии. Облака не являются сферами, горы - конусами, береговые линии нельзя изобразить с помощью окружностей, кору деревьев не назовешь гладкой, а путь молнии - прямолинейным.

В более общем виде я заявляю, что многие формы Природы настолько неправильны и фрагментированы, что в сравнении с евклидовыми фигурами (евклидовым в данной работе мы будем называть все, что относится к обычной геометрии) Природа демонстрирует не просто более высокую степень, но совершенно иной уровень сложности. Количество различных масштабов длины в естественных формах можно считать бесконечным для каких угодно практических задач.

Существование таких феноменов бросает нам вызов и побуждает заняться подробным изучением тех из форм, которые Евклид отложил в сторону из-за их "бесформенности" - исследовать, так сказать, морфологию "аморфного". Математики же пренебрегли этим вызовом и предпочли бежать от природы путем изобретения всевозможных теорий, которые никак не объясняют того, что мы видим или ощущаем.

Рискнув ответить на вызов, я задумал и разработал новую геометрию Природы, а также нашел для нее применение во многих разнообразных областях. Новая геометрия способна описать многие из неправильных и фрагментированных форм в окружающем нас мире и породить вполне законченные теории, определив семейство фигур, которые я называю фракталами. Наиболее полезные фракталы включают в себя элемент случайности; как правильность, так и неправильность их подчиняется статистическим законам. Кроме того, описываемые здесь фигуры стремятся к масштабной инвариантности, т. е. степень их неправильности и/или/ фрагментации неизменна во всех масштабах. Центральное место в настоящей работе занимает фрактальная (или хаусдорфова) размерность.

Одни фрактальные множества представляют собой кривые или поверхности, другие - несвязную "пыль"; есть и такие, чья форма столь причудлива, что ни наука, ни искусство не в состоянии предложить подходящее для них название. Я предлагаю читателю ознакомиться с ними прямо сейчас, просмотрев иллюстрации в книге.

# data[].attributes.attachment_link.title
Читать онлайн "Фрактальная геометрия природы" автора Мандельброт Бенуа - RuLit - Страница 1

# data[].attributes.attachment_link.description
Бенуа Мандельброт Фрактальная геометрия природы Москва: Институт компьютерных исследований, 2002, 656 стр. Данная работа представляет собой расширенное переиздание моего эссе 1977 г. "Фракталы: форма, случайность и размерность", которое, в свою очередь, явилось расширенным переизданием написанного на французском языке эссе 1975 г. "Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность"1.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Loren C. Carpenter (born February 7, 1947) is a computer graphics researcher and developer. He was a co-founder and chief scientist of Pixar Animation Studios. He is the co-inventor of the Reyes rendering algorithm and is one of the authors of the PhotoRealistic RenderMan software which implements Reyes and renders all of Pixar's movies. Following Disney's acquisition of Pixar, Carpenter became a Senior Research Scientist at Disney Research. He retired in early 2014.

In around 1967 Carpenter began work at Boeing Computer Services (a part of aircraft maker Boeing) in Seattle, Washington. During his time there Carpenter studied for a B.S. in Mathematics (1974) and an M.S. in Computer Science (1976), both from the University of Washington. Some of his work concerned using computer technology to improve Boeing's mechanical design processes, which were still entirely done by hand on paper.

In July 14, 1980 he gave a presentation at the SIGGRAPH conference, in which he showed "Vol Libre", a 2-minute computer generated movie. This showcased his software for generating and rendering fractally generated landscapes, and was met with a standing ovation, and (as Carpenter had hoped) he was immediately invited to work at Lucasfilm's Computer Division (which would become Pixar). There Carpenter worked on the "genesis effect" scene of Star Trek II: The Wrath of Khan, which featured an entire fractally-landscaped planet.

He and his wife Rachel founded Cinematrix, a company that researches computer-assisted interactive audience participation.

Carpenter invented the A-buffer hidden surface determination algorithm.

The PXR24 compression scheme used in Industrial Light & Magic's Open EXR file format is based on Carpenter's work.

In 2006 made improvements to the popular Mersenne Twister random number generator.

1985, ACM SIGGRAPH Achievement Award.

1992, Scientific and Technical Academy Award (Plaque) for his contributions to the motion picture industry through the invention and development of the RenderMan software.

1994, Distinction by the Prix Ars Electronica jury for his entry Kinoetic Evolution in the category Interactive Art.

1995, Fellow of the Association for Computing Machinery.

2000, Academy Award of Merit (Statuette).

2017, Cayman Islands International Film Festival Lifetime Achievement Award

Loren Carpenter, "The A -buffer, an antialiased hidden surface method", ACM Siggraph Computer Graphics, vol. 18, no. 3, pp. 103-108, 1984

Robert L. Cook, Loren Carpenter, and Edwin Catmull. "The Reyes image rendering architecture." Computer Graphics (SIGGRAPH '87 Proceedings), pp. 95-102.

Robert L. Cook, Thomas K. Porter, Loren Carpenter, "Distributed ray tracing", ACM Siggraph Computer Graphics, vol. 18, no. 3, pp. 137-145, 1984

# data[].attributes.attachment_link.description
Loren C. Carpenter (born February 7, 1947) is a computer graphics researcher and developer. He was a co-founder and chief scientist of Pixar Animation Studios. He is the co-inventor of the Reyes rendering algorithm and is one of the authors of the PhotoRealistic RenderMan software which implements Reyes and renders all of Pixar's movies.

# data[].attributes.headline
Лорен Карпентер

# data[].attributes.subject
Лорен Карпентер

# data[].attributes.body
Будущий сооснователь легендарной студии Pixar Лорен Карпентер (Loren C. Carpenter) в 1967 году начал работать в компании Boeing Computer Services, которая была одним из подразделений известной корпорации, занимающейся разработкой новых самолетов.

В 1977 году он создавал презентации с прототипами летающих моделей. В обязанности Лорена входила разработка изображений проектируемых самолетов. Он должен был создавать картинки новых моделей, показывая будущие самолеты с разных сторон. В какой-то момент в голову будущему основателю Pixar Animation Studios пришла в голову креативная идея использовать в качестве фона изображение гор. Сегодня такую задачу может решить любой школьник, но в конце семидесятых годов прошлого века компьютеры не могли справиться со столь сложными вычислениями — графических редакторов не было, не говоря уже о приложениях для трехмерной графики. В 1978 году Лорен случайно увидел в магазине книгу Бенуа Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В этой книге его внимание привлекло то, что Бенуа приводил массу примеров фрактальных форм в реальной жизни и доказывал, что их можно описать математическим выражением.
Принцип, который использовал Лорен для достижения цели, был очень прост. Он состоял в том, чтобы разделять более крупную геометрическую фигуру на мелкие элементы, а те, в свою очередь, делить на аналогичные фигуры меньшего размера.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Крива́я Пеа́но - общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства). Другое название - заполняющая пространство кривая.

Названа в честь Джузеппе Пеано (1858-1932), первооткрывателя такого рода кривых, в частном смысле кривой Пеано называется конкретная кривая, которую нашёл Пеано.

Интуитивно, непрерывная кривая в размерностях 2 или 3 (или выше) может пониматься как путь, проходимый непрерывно движущейся точкой. Чтобы исключить неотъемлемую неопределённость этого понимания, Жордан в 1887 предложил следующее определение, которое с тех пор было принято как точное определение непрерывной кривой:

Кривая (с конечными точками) - это непрерывное отображение, областью определения которого служит единичный отрезок [0, 1].

В наиболее общей форме область значений такого отображения может лежать в произвольном топологическом пространстве, но в большинстве изучаемых случаев область значений лежит в евклидовом пространстве, таком как двумерная плоскость ( плоская кривая) или трёхмерное пространство ( пространственная кривая).

Иногда кривая отождествляется с областью значений отображения (множество всех возможных значений отображения), а не собственно с функцией. Можно также определить кривую без конечных точек как непрерывную функцию на вещественной прямой (или на открытом интервале (0, 1)).

В 1890 Пеано открыл непрерывную кривую, ныне называемую кривой Пеано, которая проходит через любую точку единичного квадрата. Его целью было построение непрерывного отображения из единичного отрезка в единичный квадрат. Заняться проблемой Пеано побудил более ранний неожиданный результат Георга Кантора о том, что множество точек единичного интервала имеет ту же мощность, что и множество точек любого конечномерного многообразия, в частности, единичного квадрата. Задача, которую решал Пеано, заключалась в вопросе - может ли быть такое отображение непрерывным, то есть может ли кривая заполнить пространство. Решение Пеано не устанавливает непрерывное взаимнооднозначное отображение между единичным интервалом и единичным квадратом, и более того, такого отображения не существует (см. ниже).

Общепринятым было связывать туманное понятие толщины и одномерности с кривой. Все обычно встречающиеся кривые были кусочно дифференцируемые (то есть имеющие кусочно непрерывные производные), а такие кривые не могут заполнить весь единичный квадрат. Таким образом, заполняющая пространство кривая Пеано воспринималась противоречащей здравому смыслу.

Из примера Пеано легко вывести непрерывные кривые, заполняющие n-мерный гиперкуб (для любого положительного целого n). Легко было также распространить пример Пеано на кривые без начальной и конечной точки, и эти кривые заполняют всё n-мерное евклидово пространство (где n равно 2, 3 или любое другое положительное целое число).

Большинство хорошо известных заполняющих пространство кривых строятся итеративно как предел последовательности кусочно линейных непрерывных кривых, которые на каждом шаге приближаются к заполняющей пространство кривой.

Революционная статья Пеано не содержала никаких иллюстраций построения, которое было определено в терминах троичных расширений и зеркального отражения. Однако графическое построение для него было ясным - он сделал орнамент, отражающий построение кривой на своём доме в Турине. В конце статьи Пеано заметил, что техника может быть распространена на другие нечётные базисы, не только на базис 3. Его выбор избегать любой графической визуализации был, без сомнения, вызван желанием привести обоснованное, совершенно строгое доказательство, не опирающееся никак на рисунки. В то время (начало исследований в общей топологии) графические доводы часто включались в доказательство, но зачастую они служили помехой для понимания противоречащих здравому смыслу результатов.

Годом позже Давид Гильберт опубликовал в том же журнале другой вариант построения Пеано. Статья Гильберта была первой статьёй, в которой был помещен рисунок, помогающий представить технику построения. По существу, это был тот же рисунок, что и приведённый здесь. Аналитическая форма кривой Гильберта, однако, существенно сложнее, чем у Пеано.

Всякая кривая Пеано имеет кратные точки.
Не существует кривой Пеано, всякая точка которой была бы простой или двукратной, но существует кривая Пеано, имеющая самое большее лишь трёхкратные точки (в счётном числе). Такова, например, кривая, построенная самим Пеано; конструкция Гильберта ниже содержит четырёхкратные точки (также в счётном числе).

Существуют кривые Пеано, сохраняющие меру, то есть мера Лебега подмножества квадрата совпадает с мерой Лебега его прообраза на отрезке. Нижеприведённый пример Гильберта обладает этим свойством.

С понятием кривой Пеано связан любопытный факт существования пространственных простых дуг, проектирующихся на плоскость в виде сплошных площадей, - такова, например, кривая

где первые две функции задают кривую Пеано. Хотя эта дуга и может защитить от вертикальных солнечных лучей, она не может служить защитой от дождя, поскольку не является непрерывной поверхностью.

Если кривая не инъективна, то можно найти две пересекающиеся подкривые кривой, получаемые как образы двух непересекающихся отрезков в области определения кривой (то есть единичного отрезка). Две подкривые пересекаются, если пересечение двух образов не пусто. Есть искушение считать, что кривые пересекаются означает, что они скрещиваются, наподобие точки пересечения двух непараллельных прямых, однако две кривые (в нашем случае - подкривые) могут соприкасаться без скрещивания, как, например, касательная прямая касается окружности.

Для классических заполняющих пространство кривых Пеано и Гильберта в местах пересечения кривых (в техническом смысле), имеется соприкосновение кривых без их скрещивания. Заполняющая пространство кривая может (в каждой точке) иметь самопересечения (скрещивания), если её аппроксимирующая кривая самоскрещивается. Аппроксимация заполняющей пространство кривой может не содержать самопересечения, как на рисунках выше. В трёхмерном пространстве аппроксимирующие кривые без самопересечений могут даже содержать узлы. Аппроксимирующие кривые остаются внутри ограниченной области n-мерного пространства, но их длина растёт неограниченно.

Заполняющие пространство кривые являются специальным случаем построения фракталов. Не может существовать дифференцируемой заполняющей пространство кривой. Грубо говоря, дифференцируемость накладывает ограничения на скорость поворота кривой.

Интегрирование

Винер указал на то, что заполняющая пространство кривая могла бы быть использована для сведения интегрирования по Лебегу в высоких размерностях к интегрированию по Лебегу на отрезке.

Рассмотрим функции и , определённые на отрезке следующим образом. Пусть разложение в троичной системе счисления имеет вид (каждое из равно 0, 1 или 2). Тогда мы определим как число, имеющее следующее разложение в троичной системе:

, если четно, и , если нечетно

, если четно

, если нечетно

Аналогичным образом определим функцию в троичной системе счисления:

, если четно, и , если нечетно

, если четно
, если нечетно

Рассмотрим теперь отображение: . Можно доказать, что:

1. Функции и корректно определены (то есть в числах, допускающих 2 представления в троичной системе счисления, значения и окажутся не зависящими от выбора представления).

2. Функции и непрерывны на .

3. Система уравнений и имеет не менее 1 и не более 4 решений при любых и , лежащих на отрезке .

Тем самым, отображение с координатными функциями и на плоскости непрерывно переводит отрезок в квадрат .

Геометрическое построение.

Рассмотрим единичный отрезок и единичный квадрат. На 1-м шаге построения разделим квадрат средними линиями на 4 равных квадрата, а отрезок - на 4 равные части. Получим квадраты и отрезки 1-го уровня. На каждом последующем шаге делим квадраты и отрезки предыдущего уровня на 4 части - получаем квадраты и отрезки следующего уровня. Имеем 4 квадрата 1-го уровня, 16 квадратов 2-го уровня и т. д.; аналогично с отрезками. Зададим порядок обхода квадратов каждого уровня. Для 1-го, 2-го, ..., 6-го уровня порядок обхода показан на рисунке. Порядок обхода определяет взаимно-однозначное соответствие между множеством квадратов n-го уровня и множеством отрезков n-го уровня.

Пусть теперь - произвольная точка исходного единичного отрезка. Пусть - номер отрезка 1-го уровня, которому принадлежит точка , - номер отрезка 2-го уровня, которому принадлежит точка и т. д. Рассмотрим квадраты с теми же номерами . Порядок обхода квадратов устроен таким образом, что (внимание!) квадраты образуют вложенную систему. По теореме о вложенной (стягивающейся) системе отрезков, квадраты имеют единственную общую точку .

Если принадлежит одновременно 2-м отрезкам, то эти отрезки соответствуют 2-м квадратам с общей стороной - так устроен порядок обхода. Назовем такие квадраты смежными. В этом случае вместо квадратов рассмотрим прямоугольники - объединения смежных квадратов. И тогда - единственная общая точка вложенной системы указанных прямоугольников.

Аналогичное рассуждение показывает, что каждая точка квадрата будет соответствовать некоторой точке единичного отрезка.

Построенное отображение определяет искомую кривую Пеано. Непрерывность отображения следует из того, что близким отрезкам соответствуют близкие квадраты. Каждая точка имеет:

1 прообраз (если не принадлежит границам двух несмежных квадратов никакого уровня),

2 прообраза (если принадлежит границам не более двух несмежных квадратов некоторого уровня),

3 прообраза (если принадлежит границам четырёх квадратов некоторого уровня, одна пара которых - смежные), пример такой точки - центр квадрата,

4 прообраза (если принадлежит границам четырёх попарно несмежных квадратов некоторого уровня).

Кривые, задающие порядок обхода квадратов, являются последовательными приближениями к кривой Пеано. Кривая Пеано является пределом этих кривых.

Основным отличием кривой Пеано от интерпретации Гильберта является разбиение исходного единичного квадрата не на 4, а на 9 частей, имеющих размеры сторон 3-nx3-n каждая, где n - номер итерации.

Теорема Хана - Мазуркевича - это следующая характеризация пространств, являющихся непрерывным образом кривых:

Пространства, являющиеся непрерывным образом единичного интервала, иногда называются пространствами Пеано.

Во многих формулировках теоремы Хана-Мазуркевича выполнение второй аксиомы счётности заменяется понятием метризуемое. Эти две формулировки эквивалентны. В одном направлении компактное хаусдорфово пространство является нормальным пространством и, по теореме метризуемости Урысона, выполнение второй аксиомы счётности влечёт метризуемость. В обратную сторону для компактного метрического пространства выполняется вторая аксиома счётности.

James W. Cannon, William P. Thurston. Group invariant Peano curves // Geometry & Topology. - 2007. - Т. 11, вып. 3. - С. 1315-1355. - ISSN 1465-3060. - doi:10.2140/gt.2007.11.1315. (впервые напечатано в 1982)

Über die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück // Mathematische Annalen. - 1891. - Т. 38, вып. 3. - С. 459-460. - doi:10.1007/BF01199431.

B. B. Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature. - W. H. Freeman, 1982..

Douglas M. McKenna. The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History / Richard K. Guy, Robert E. Woodrow. - Mathematical Association of America, 1994. - С. 49-73. - ISBN 978-0-88385-516-4.

Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane // Mathematische Annalen. - 1890. - Т. 36, вып. 1. - С. 157-160. - doi:10.1007/BF01199438..

Hans Sagan. Space-Filling Curves. - Springer-Verlag, 1994. - ISBN 0-387-94265-3.

Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М., 1977.

Лузин Н. Н. Теория функций действительного переменного. - 2-е изд.. - М., 1948.

Аплеты Java на сайте Cut-the-Knot:

# data[].attributes.attachment_link.title
Кривая Пеано

# data[].attributes.attachment_link.description
Крива́я Пеа́но - общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства). Другое название - заполняющая пространство кривая. Названа в честь Джузеппе Пеано (1858-1932), первооткрывателя такого рода кривых, в частном смысле кривой Пеано называется конкретная кривая, которую нашёл Пеано.

# data[].attributes.attachment_link.description
Пьер Жозе Луи Фату ( фр. Pierre Joseph Louis Fatou; 28 февраля 1878, Лорьян - 10 августа 1929, Порнише) - французский математик, работавший в области голоморфной динамики.

# data[].attributes.headline
Как гласит древнее и

# data[].attributes.body
Как гласит древнее изречение, приписываемое Гераклиту Эфесскому, «В одну и ту же реку нельзя войти дважды». Оно как нельзя лучше подходит для трактования геометрии фракталов. Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время будем видеть схожий рисунок.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Гео́рг Ка́нтор ( нем. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 3 марта 1845, Санкт-Петербург - 6 января 1918, Галле (Заале)) - немецкий математик, ученик Вейерштрасса. Наиболее известен как создатель теории множеств. Основатель и первый президент Германского математического общества, инициатор создания Международного конгресса математиков.

Кантор впервые определил сравнение произвольных множеств, включая бесконечные, по их " мощности" (обобщению понятия количества) через понятие взаимно-однозначного соответствия между множествами. Он классифицировал множества по их мощности, определил понятия кардинальных и порядковых чисел, арифметику кардинальных и порядковых чисел.

Теория Кантора о трансфинитных числах первоначально была воспринята как нарушение многовековых традиций, заложенных ещё древними греками и отрицающих актуальную бесконечность как легальный математический объект. Со временем канторовская теория множеств была поставлена на аксиоматическую основу и стала краеугольным камнем в современном построении оснований математики, на неё опираются математический анализ, топология, функциональный анализ, теория меры и многие другие разделы математики.

Кантор родился в 1845 году в Западной колонии торговцев в Санкт-Петербурге и рос там до одиннадцатилетнего возраста. Отец - Георг-Вольдемар Кантор (1814, Копенгаген - 1863, Франкфурт) - происходил из осевших в Амстердаме и был датским подданным лютеранского вероисповедания, маклером Петербургской фондовой биржи. В Петербурге уже давно жили многие родственники отца, начиная с прадеда. Двоюродный брат отца - известный русский юрист-цивилист Д. И. Мейер. В российских документах Георг-Вольдемар Кантор именовался Егором Яковлевичем Кантором. Мать - Мария-Анна Бём (1819, Санкт-Петербург - 1896, Берлин) - племянница известного венгерско-российского скрипача Йозефа Бёма. Дед математика по матери, Франц Бём (1788-1846), тоже был скрипачом. С 1850 года в том же доме (11 линия, д.24) на Васильевском острове, где жила семья Канторов, поселился 29-летний П. Л. Чебышёв.

Георг был первенцем, старшим из шести детей. Он виртуозно играл на скрипке, унаследовав от своих родителей значительные художественные и музыкальные таланты. Отец семейства писал в 1851 году о сыне: " Он одарён от природы стремлением к порядку, преобладающим надо всем остальным". В 1853-м году Георг поступил в Петришуле. Когда отец заболел, семья, рассчитывая на более мягкий климат, в 1856 году переехала в Германию: сначала в Висбаден, а потом во Франкфурт.

В 1860 году Георг окончил с отличием реальное училище в Дармштадте; учителя отмечали его исключительные способности к математике, в частности, к тригонометрии. В 1862 году поступил в Федеральный политехнический институт в Цюрихе. Через год умер его отец; получив солидное наследство, Георг перевёлся в Берлинский университет имени Гумбольдта, где начал посещать лекции таких знаменитых учёных, как Леопольд Кронекер, Карл Вейерштрасс и Эрнст Куммер. Лето 1866 года он провёл в Гёттингенском университете - крупнейшем центре математической мысли тех времён. В 1867 году Берлинский университет присвоил ему степень доктора философии за работу по теории чисел "De aequationibus secundi gradus indeterminatis".

После непродолжительной работы в качестве преподавателя в Берлинской школе для девочек, Кантор занял место в Галльском университете Мартина Лютера, где и прошла вся его карьера. Необходимую для преподавания хабилитацию он получил за свою диссертацию по теории чисел. В 1872 году Кантор познакомился с Рихардом Дедекиндом, ставшим его близким другом и единомышленником. Многие идеи Кантора обсуждались в переписке с Дедекиндом.

В статье 1872 года Кантор дал вариант обоснования теории вещественных чисел. В его модели вещественное число определяется как класс фундаментальных последовательностей рациональных чисел. В отличие от ранее общепринятого ньютоновского определения из " Универсальной арифметики" канторовский подход был чисто математическим, без ссылок к геометрии или иным измерительным процедурам. Другую версию, также чисто математическую, опубликовал в том же году Дедекинд (она была основана на " дедекиндовых сечениях", см. Конструктивные способы определения вещественного числа).

В 1874 году Кантор женился на Валли Гутман ( Vally Guttmann). У них было 6 детей, последний из которых родился в 1886 году (4 дочери и двое сыновей). Несмотря на скромное академическое жалование, Кантор был в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству. Биографы отмечают, что даже в период своего медового месяца в горах Гарца, Кантор много времени проводил за математическими беседами с другом Дедекиндом. В этом же 1874 году Кантор опубликовал в "Журнале Крелле" статью, в которой ввёл понятие мощности множества и показал, что рациональных чисел столько же, сколько натуральных, а вещественных гораздо больше (по совету Вейерштрасса этот революционный вывод был в статье смягчён).

Кантор получил звание внештатного профессора в 1872 году, а в 1879 году стал полным профессором. Получить это звание в 34 года было большим достижением, но Кантор мечтал о должности в более престижном университете, например, Берлинском - в то время ведущем университете Германии, однако его теории встречают серьёзную критику, и переход в другое место осуществить не удалось.

В 1877 году Кантор получил поразительный результат, который сообщил в письме Дедекинду: множества точек отрезка и точек квадрата имеют одну и ту же мощность ( континуум), независимо от длины отрезка и ширины квадрата. Заодно он сформулировал и безуспешно пытался доказать " континуум-гипотезу". Первая статья Кантора с изложением этих ключевых результатов появилась в 1878 году и называлась " К учению о многообразиях" (термин многообразие Кантор позже заменил на множество). Публикация статьи не раз откладывалась по требованию возмущённого Кронекера, возглавлявшего кафедру математики Берлинского университета. Кронекер, считающийся предтечей конструктивной математики, с неприязнью относился к канторовской теории множеств, поскольку её доказательства нередко носят неконструктивный характер, без построения конкретных примеров; понятие актуальной бесконечности Кронекер считал абсурдным.

Кантор понял, что позиция Кронекера не позволит ему даже уйти из Галльского университета. Сам Кантор придерживался того же мнения, что и большинство современных нам математиков: любой непротиворечивый математический объект следует считать допустимым и существующим.

Канторовская теория множеств натолкнулась на резкую критику со стороны ряда известных математиков-современников - Анри Пуанкаре; позднее - Германа Вейля и Лёйтзена Брауэра (см. ). Они напоминали, что до Кантора все корифеи математики, от Аристотеля до Гаусса, считали актуальную бесконечность недопустимым научным понятием. Положение усугубило обнаружение в первой версии теории множеств губительных противоречий. Критика была порой очень агрессивна: так, Пуанкаре называл "канторизм" тяжёлой болезнью, поразившей математическую науку, и выражал надежду, что будущие поколения от неё излечатся; а в публичных заявлениях и личных выпадах Кронекера в адрес Кантора мелькали иногда такие эпитеты, как "научный шарлатан", "отступник" и "развратитель молодёжи".

Резкой критике со стороны части видных математиков противостояли всемирная известность и одобрение других. В 1904 году Лондонское королевское общество присудило Кантору свою высшую математическую награду - медаль Сильвестра. Сам Кантор верил в то, что теория трансфинитных чисел была сообщена ему свыше. Бертран Рассел оценил теорию множеств как "один из главных успехов нашей эпохи", а Давид Гильберт назвал Кантора "математическим гением" и заявил: "Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного Кантором".

В 1881 году умер коллега Кантора Эдуард Гейне, оставив после себя вакантную должность. Руководство университета приняло предложение Кантора пригласить на этот пост Рихарда Дедекинда, Генриха Вебера или Франца Мертенса (именно в таком порядке), но, к большому огорчению Кантора, все они отказались. В итоге пост занял . В 1882 году общение Кантора с Дедекиндом прекратилось - вероятно, вследствие обиды на отказ последнего от должности в Галле.

В 1883 году Кантор опубликовал ключевую в своём творчестве статью "Основы общего учения о многообразиях". В это же время он начал активную переписку с видным математиком того времени - Гёстой Миттаг-Леффлером, жившим в Швеции, и вскоре начал публиковаться в его журнале "Acta mathematica". Однако в 1885 году Миттаг-Леффлёр встревожился относительно философского подтекста и новой терминологии в одной статье, присланной ему Кантором для печати, и попросил Кантора отозвать свою статью, пока та ещё проходила корректуру, написав, что эта статья "опередила время примерно лет на сто". Отозвать статью Кантор согласился, но никогда больше в Acta Mathematica не публиковался и резко оборвал отношения и переписку с Миттаг-Леффлером. У Кантора начался первый период депрессии, и на протяжении более чем пяти лет Кантор ничего не публиковал, кроме нескольких статей философского плана, ограничиваясь преподавательской деятельностью.

Вскоре после восстановления (1889) Кантор сразу же сделал несколько важных дополнений к своей теории, в частности, доказал диагональным методом несчётность множества всех подмножеств натуральных чисел, однако так и не достиг того же высокого уровня продуктивности, какой у него был в 1874-1884 годах. В конце концов он обратился с предложением о мире к Кронекеру, которое тот благосклонно принял. Тем не менее, разделявшие их философские расхождения и трудности остались. Тем временем часть математиков, особенно молодые, приняли теорию множеств, стали её развивать и применять для решения разнообразных проблем. Среди них - Дедекинд, Гильберт, Феликс Бернштейн, Анри Лебег, Феликс Клейн, Адольф Гурвиц, Эрнст Цермело, Н. Н. Лузин и другие.

В 1890 году Кантор способствовал организации Германского математического общества ( Deutsche Mathematiker-Vereinigung) и был председателем на его первом съезде в Галле в 1891 году; в то время его репутация была весьма устойчива даже несмотря на оппозицию Кронекера, в итоге Кантор был избран первым президентом общества. Кантор пригласил Кронекера выступить с докладом, но тот не смог принять предложение по причине трагической гибели своей жены.

Периодически повторяющиеся с 1884 года и до конца дней Кантора приступы депрессии некоторое время ставили в вину его современникам, занявшим чересчур агрессивную позицию, но сейчас считается, что эти приступы, вероятнее всего, были развитием душевной болезни.

В статье 1892 года впервые появился знаменитый диагональный метод Кантора. Последней работой, своеобразным завещанием учёного стала статья "К обоснованию учения о трансфинитных множествах" (в двух частях, 1895-1897). Это одна из самых известных работ Кантора, в ней, в дополнение к предыдущим результатам теории множеств, строится иерархия алефов.

В 1897 году началась интенсивная переписка Кантора с Гильбертом по поводу первого обнаруженного в теории множеств противоречия - парадокса Бурали-Форти, крайне обеспокоившего Гильберта. Кантор выразил мнение, что в теории множеств следует проводить различие между двумя типами понятий - трансфинитными и абсолютными (" недоступными", как он выразился), из них только первые поддаются человеческому разуму, а в отношении вторых возможно только приближение к их постижению. Гильберта эта метафизика не убедила, по его мнению, неразрешимых математических задач нет и быть не может. Дискуссия продолжалась два года и ни к чему не привела. Решение парадоксов (не ставшее, впрочем, общепринятым) было найдено только 30 лет спустя, после замены "наивной теории множеств" Кантора на аксиоматическую, исключившую "недоступные" множества из числа легальных понятий.

В декабре 1899 года у Кантора умер 13-летний сын. Душевная болезнь Кантора обострилась, почти готовая третья часть статьи "К обоснованию учения о трансфинитных множествах" так и не была завершена. До 1913 года Кантор продолжал преподавание в университете (время от времени делая длительные перерывы на лечение), затем вышел на пенсию. Его интересы после 1899 года касались в основном философии Лейбница и вопроса об авторстве шекспировских пьес, которым Кантор увлекался уже много лет.

Георг Кантор умер 6 января 1918 года от сердечного приступа в психиатрической лечебнице города Галле.

Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932.

Кантор Г. Труды по теории множеств. - М.: Наука, 1985. - 431 с. - (Классики науки).

Боголюбов А. Н. Кантор Георг // Математики. Механики. Биографический справочник. - Киев: Наукова думка, 1983. - 639 с.

Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: Изд. иностранной литературы, 1963.

Катасонов В. Н. Боровшийся с бесконечным: Философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора. - М.: Мартис, 1999. - 207 с. - 1500 экз. - ISBN 5-7248-0067-5.

Пиньейро, Густаво Эрнесто. Бесчисленное поддаётся подсчёту. Георг Кантор. Бесконечность в математике // Наука. Величайшие теории. - М.: Де Агостини, 2015. - Вып. 30. - ISSN 2409-0069.

Пуркет В., Ильгаудс Х. И. Георг Кантор / Пер. с нем. Н. М. Флайшера. - Харьков: Основа, 1991. - 128 с.

Синкевич Г. И. Георг Кантор & польская школа теории множеств. - Санкт-Петербург: Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2012. - 349 с. - ISBN 978-5-9227-0360-4.

Синкевич Г. И. Георг Кантор из Петербурга. Детство и история семьи. Архивное исследование // Историко-математические исследования. - М.: Янус-К, 2018. - № 51 (16). - С. 182-199.

Флоренский П. А. О символах бесконечности (Очерк идей Г. Кантора) // Сочинения в 4-х томах: Том 1. - М.: Мысль, 1994. - С. 79-128. - (Философское наследие: т. 122). - ISBN 5-244-00241-4.

Grattan-Guinness I. Towards a Biography of Georg Cantor // Annals of Science. - 1971. - Т. 27. - С. 345-391. - doi:10.1080/00033797100203837.

# data[].attributes.attachment_link.title
Кантор, Георг

# data[].attributes.attachment_link.description
Гео́рг Ка́нтор ( нем. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 3 марта 1845, Санкт-Петербург - 6 января 1918, Галле (Заале)) - немецкий математик, ученик Вейерштрасса. Наиболее известен как создатель теории множеств. Основатель и первый президент Германского математического общества, инициатор создания Международного конгресса математиков.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Джузе́ппе Пеа́но ( итал. Giuseppe Peano; 27 августа 1858 - 20 апреля 1932) - итальянский математик. Внёс вклад в математическую логику, аксиоматику, философию математики. Создатель вспомогательного искусственного языка латино-сине-флексионе. Более всего известен как автор стандартной аксиоматизации натуральной арифметики - арифметики Пеано.

Джузеппе Пеано внёс вклад в математическую логику, аксиоматику, философию математики. Автор более 200 книг и статей, он был одним из основателей математической логики и теории множеств.

Пеано родился и вырос на ферме в Спинетте. По окончании лицея поступил в Туринский университет в 1876 году, который окончил в 1880 году с отличием. Работал там же (с 1890 года - профессор), пионер и пропагандист символической логики. Исследовал основные понятия и утверждения анализа (вопросы о возможно более широких условиях существования решений дифференциальных уравнений, понятие производной и другие). Занимался формально-логическим обоснованием математики. Пеано и его ученики (Фано, Пиери), воплощая идеи Лейбница, изложил математику в точной символической форме, без слов. Пеано - один из создателей современной математической логики. Его логическая теория занимает промежуточное положение между алгебраическими системами Ч. Пирса и Э. Шредера, с одной стороны, и функциональным подходом Г. Фреге и Б. Рассела, с другой. Пеано принадлежит одна из первых дедуктивных систем логики высказываний.

Важный вклад внес Пеано в арифметику, создав в 1891 году систему аксиом натурального ряда чисел, которая теперь называется системой аксиом Пеано, а также в геометрию, установив основы, на которых можно осуществить логическое построение геометрии Евклида.

Пеано первый построил непрерывную жорданову кривую, полностью заполняющую квадрат ( кривая Пеано).

В линейной алгебре он первым дал аксиоматическое определение n-мерного линейного пространства.

В 1887 году Пеано ввёл очень общее понятие векторнозначных функций точечных множеств и определил для них понятие производной и интеграла, которые при соответствующих уточнениях могут рассматриваться теперь как понятие производной одной функции множества по другой и интеграла Лебега - Стилтьеса.

Пеано также создал международную искусственный язык латино-сине-флексионе, который был упрощённой формой латыни, над которым работал в 1903-1904 годах.

Более всего Пеано известен как автор стандартной аксиоматизации натуральной арифметики - арифметики Пеано.

Ряд натуральных чисел - довольно тонкая структура математики, которая гораздо сложнее, чем большинство других первичных понятий, хотя оно и является простейшим математическим понятием.

Натуральные числа возникли естественным образом, возможно, ещё в доисторические времена при счёте предметов, потому и "натуральные", что ими обозначались реальные неделимые объекты. Во времена Пифагора, в процессе философского осмысления и переосмысления исходного предметного содержания, арифметическое понятие числа подверглось глубокой теоретической переработке. Философская переработка натурального числа выразилась в том, что оно было универсализировано как всеобщее понятие, оно было абсолютизировано как основа всего сущего и оно стало трактоваться не как внешняя, а как внутренняя характеристика всех вещей и явлений.

Каждый, кто учился в школе, знает, что в геометрии есть аксиомы. Полный список аксиом геометрии довольно длинный и поэтому в деталях не изучается, и упоминаются лишь те аксиомы, которые необходимы с точки зрения методики обучения математике. А как обстоит дело с аксиомами арифметики? У многих с арифметикой ассоциируется прежде всего таблица умножения, но вряд ли кто-нибудь когда-нибудь доказывал в школьном курсе её правильность. Можно даже задать такой вопрос: "Почему для натуральных чисел справедливы законы арифметических действий?" Так уж традиционно повелось, что в школе не говорят о том, что арифметика тоже может быть построена на основе аксиом, подобно тому, как это делается в геометрии.

Почему же, имея перед собой выдающийся образец дедуктивного изложения геометрии, воплощённый ещё в "Началах" Евклида, в котором, несмотря на все недостатки, математики примерно до конца XVIII века видели идеал математической строгости, они не предприняли попыток логически обосновать арифметику?

Во-первых, фундаментальная причина связана с гносеологической проблемой обоснования математики. Вместо того чтобы, начав с целых и рациональных чисел, перейти к иррациональным и комплексным числам, а затем к алгебре и математическому анализу, так уж исторически сложилось, что события в последовательном обосновании математики развивались в обратном порядке. После доказательства в начале прошлого века теорем Гёделя о неполноте стало понятно, что все это было вовсе не случайно. Во-вторых, можно указать и на то, что до второй половины XIX века обоснование основных утверждений и алгоритмов арифметики натуральных чисел, а также правил арифметических действий можно было осуществить без её аксиоматизации.

Математическая строгость характеризует доказательство с его формальной стороны, с точки зрения корректности определений, полноты посылок и независимости принятых аксиом. Значительную роль в достижении математической строгости "основных законов арифметики" сыграл как раз Джузеппе Пеано.

Известно, что он серьёзно интересовался философией, например, в 1900 году он участвовал в Международном философском конгрессе в Париже. Даже чисто математические работы Пеано всегда были посвящены принципиальным философским проблемам, что шло вразрез со стремлением к специализации научного знания, характерным для того времени.

Занимаясь преподаванием математики, Пеано обнаружил недостаточность математической строгости существовавших тогда арифметических доказательств, требующих усовершенствования оснований математики. Аксиоматизация арифметики - это нечто противоположное метафизике, так как особая черта математического знания состоит в том, что в процессе своего становления оно сливается с уже добытыми фактами и тем самым становится логически равнозначным этим фактам. Аксиоматический подход предполагает получение всевозможных следствий из некоторой системы аксиом по универсальным законам логики. Поэтому он позволяет изучать все модели исходной системы аксиом одновременно.

Аксиомы Пеано являются исторически первой из систем аксиом для натуральных чисел. Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства многих свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел.

В аксиоматике Пеано первоначальные понятия: множество натуральных чисел (обозначается N), единица (обозначается 1), следующее число (следующее для числа n обозначается n'). Пеано определил натуральный ряд чисел следующими пятью аксиомами:

1. В N существует натуральное число 1, называемое единицей.

2. За каждым натуральным числом n непосредственно следует однозначно определённое натуральное число n', называемое следующее за n.

3. Единица, то есть натуральное число 1, непосредственно не следует ни за каким натуральным числом.

4. Каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом.

5. Любое подмножество М из множества N, содержащее единицу, и вместе с каждым числом из М, содержащее следующее за ним число, совпадает с множеством N.

Эти аксиомы оказались проще, чем аксиомы геометрии. Просто поразительно, что на такой, казалось бы, довольно скудной на первый взгляд основе можно построить всю арифметику. А именно определить сложение, умножение и другие арифметические действия над числами, ввести отрицательные, рациональные и иррациональные числа и основные правила действий с ними, хотя это может быть математически строго сделано не так скоро.

В аксиоматике Пеано содержится вся арифметика, потенциально расширяющаяся на бесконечное множество случаев, подчиняющихся арифметическим правилам, опирается на следующее убеждение математиков. Числа для них являются самостоятельными идеальными объектами и на всех уровнях математики составляют определённую иерархию строгости, основанную на степени глубины проникновения в их свойства.

Оценивая усилия, потраченные в первые десятилетия XX века на аксиоматику, выдающийся немецкий математик и философ математики Герман Вейль в сборнике работ "О философии математики" написал:

"В системе математики имеются два обнажённых пункта, в которых она, может быть, соприкасается со сферой непостижимого. Это именно принцип построения ряда натуральных чисел и понятие континуума."

Именем Пеано назван один из астероидов.

Имя Пеано носят следующие математические объекты:

G. Peano. Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane // Mathematische Annalen. - 1890. - Т. 36, вып. 1. - С. 157-160. - doi:10.1007/BF01199438..

Джеймонат Л. Труды Пеано и их место в итальянской культуре // Вопросы истории естествознания и техники : журнал / Пер. с ит. М. А. Мигдал. - 1984. - № 1. - С. 84-88.

Gillies, Douglas A. Frege, Dedekind, and Peano on the foundations of arithmetic. - Assen, Netherlands: Van Gorcum, 1982. - 103 с. - ISBN 978-90-232-1888-3.

Kennedy, Hubert C. Biography with complete bibliography // Peano: Life and Works of Giuseppe Peano. - Reidel, 1980. - С. 195-209. - XII, 231 с. - ISBN 978-90-277-1067-3.

# data[].attributes.attachment_link.title
Пеано, Джузеппе

# data[].attributes.attachment_link.description
Джузе́ппе Пеа́но ( итал. Giuseppe Peano; 27 августа 1858 - 20 апреля 1932) - итальянский математик. Внёс вклад в математическую логику, аксиоматику, философию математики. Создатель вспомогательного искусственного языка латино-сине-флексионе. Более всего известен как автор стандартной аксиоматизации натуральной арифметики - арифметики Пеано. Джузеппе Пеано внёс вклад в математическую логику, аксиоматику, философию математики.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Фрактальная геометрия - удивительная область математики, которая таит ключ к познанию природы. О том, как рисовать фракталы, как они звучат, какие они на вкус и почему невозможно измерить длину береговой линии, читайте в статье

Самые гениальные открытия в науке способны кардинально изменить человеческую жизнь. Изобретенная вакцина может спасти миллионы людей, создание оружия, наоборот, эти жизни отнимает. Совсем недавно (в масштабе человеческой эволюции) мы научились "укрощать" электричество - и теперь не можем себе представить жизнь без всех этих удобных устройств, использующих электроэнергию. Но есть и такие открытия, которым мало кто придает значение, хотя они тоже сильно влияют на нашу жизнь.

Одно из таких "незаметных" открытий - фракталы. Вам наверняка доводилось слышать это запоминающееся слово, но знаете ли вы, что оно означает и как много интересного скрыто в этом термине?

В каждом человеке заложена природная любознательность, стремление познавать окружающий его мир. И в этом стремлении человек старается придерживаться логики в суждениях. Анализируя процессы, происходящие вокруг него, он пытается найти логичность происходящего и вывести некоторую закономерность. Самые большие умы на планете заняты этой задачей. Грубо говоря, ученые ищут закономерность там, где ее быть не должно. Тем не менее даже в хаосе можно найти связь между событиями. И эта связь - фрактал.

Наша маленькая дочь, четырех с половиной лет, сейчас находится в том прекрасном возрасте, когда число вопросов "Почему?" многократно превышает число ответов, которые взрослые успевают давать. Не так давно, рассматривая поднятую с земли ветку, дочка вдруг заметила, что эта ветка, с сучками и ответвлениями, сама похожа на дерево. И, конечно, дальше последовал привычный вопрос "Почему?", на который родителям пришлось искать простое объяснение, понятное ребенку.

Обнаруженная ребенком схожесть отдельной веточки с целым деревом - это очень точное наблюдение, которое лишний раз свидетельствует о принципе рекурсивного самоподобия в природе. Очень многие органические и неорганические формы в природе формируются аналогично. Облака, морские раковины, "домик" улитки, кора и крона деревьев, кровеносная система и так далее - случайные формы всех этих объектов могут быть описаны фрактальным алгоритмом.

Бенуа Мандельброт: отец фрактальной геометрии

Само слово "фрактал" появилось благодаря гениальному ученому Бенуа Мандельброту (Benoît B. Mandelbrot). Он сам придумал этот термин в семидесятых годах прошлого века, позаимствовав слово fractus из латыни, где оно буквально означает "ломанный" или "дробленный". Что же это такое? Сегодня под словом "фрактал" чаще всего принято подразумевать графическое изображение структуры, которая в более крупном масштабе подобна сама себе.

Математическая база для появления теории фракталов была заложена за много лет до рождения Бенуа Мандельброта, однако развиться она смогла лишь с появлением вычислительных устройств. В начале своей научной деятельности Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача - понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным.

Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность - графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день, неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз повторялась.

При жизни Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден. Неудивительно, что именно человек с таким богатым пространственным воображением стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание сути фракталов приходит именно тогда, когда начинаешь изучать рисунки и вдумываться в смысл странных узоров-завихрений.

Фрактальный рисунок не имеет идентичных элементов, но обладает подобностью в любом масштабе. Построить такое изображение с высокой степенью детализации вручную ранее было просто невозможно, на это требовалось огромное количество вычислений. Например, французский математик Пьер Жозе Луи Фату (Pierre Joseph Louis Fatou) описал это множество более чем за семьдесят лет до открытия Бенуа Мандельбротом. Если же говорить про принципы самоподобия, то о них упоминалось еще в трудах Лейбница и Георга Кантора. Один из первых рисунков фрактала был графической интерпретацией множества Мандельброта, которое родилось благодаря исследованиям Гастона Мориса Жюлиа (Gaston Maurice Julia).

Этот французский математик задался вопросом, как будет выглядеть множество, если построить его на основе простой формулы, проитерированной циклом обратной связи. Если объяснить "на пальцах", это означает, что для конкретного числа мы находим по формуле новое значение, после чего подставляем его снова в формулу и получаем еще одно значение. Результат - большая последовательность чисел.

Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно проделать огромное количество вычислений - сотни, тысячи, миллионы. Вручную это сделать было просто нереально. Но когда в распоряжении математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли по-новому взглянуть на формулы и выражения, которые давно вызывали интерес. Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график. Вот что он получил.

Впоследствии это изображение было раскрашено (например, один из способов окрашивания цветом - по числу итераций) и стало одним из самых популярных изображений, какие только были созданы человеком.

Как гласит древнее изречение, приписываемое Гераклиту Эфесскому, "В одну и ту же реку нельзя войти дважды". Оно как нельзя лучше подходит для трактования геометрии фракталов. Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время будем видеть схожий рисунок.

Лорен Карпентер: искусство, созданное природой

Теория фракталов скоро нашла практическое применение. Поскольку она тесно связана с визуализацией самоподобных образов, неудивительно, что первыми, кто взял на вооружение алгоритмы и принципы построения необычных форм, были художники.

Будущий сооснователь легендарной студии Pixar Лорен Карпентер (Loren C. Carpenter) в 1967 году начал работать в компании Boeing Computer Services, которая была одним из подразделений известной корпорации, занимающейся разработкой новых самолетов.

В 1977 году он создавал презентации с прототипами летающих моделей. В обязанности Лорена входила разработка изображений проектируемых самолетов. Он должен был создавать картинки новых моделей, показывая будущие самолеты с разных сторон. В какой-то момент в голову будущему основателю Pixar Animation Studios пришла в голову креативная идея использовать в качестве фона изображение гор. Сегодня такую задачу может решить любой школьник, но в конце семидесятых годов прошлого века компьютеры не могли справиться со столь сложными вычислениями - графических редакторов не было, не говоря уже о приложениях для трехмерной графики. В 1978 году Лорен случайно увидел в магазине книгу Бенуа Мандельброта "Фракталы: форма, случайность и размерность". В этой книге его внимание привлекло то, что Бенуа приводил массу примеров фрактальных форм в реальной жизни и доказывал, что их можно описать математическим выражением.

Такая аналогия была выбрана математиком не случайно. Дело в том, что как только он обнародовал свои исследования, ему пришлось столкнуться с целым шквалом критики. Главное, в чем упрекали его коллеги, - бесполезность разрабатываемой теории. "Да, - говорили они, - это красивые картинки, но не более. Практической ценности теория фракталов не имеет". Были также те, кто вообще считал, что фрактальные узоры - просто побочный результат работы "дьявольских машин", которые в конце семидесятых многим казались чем-то слишком сложным и неизученным, чтобы всецело им доверять. Мандельброт пытался найти очевидное применение теории фракталов, но, по большому счету, ему и не нужно было это делать. Последователи Бенуа Мандельброта в следующие 25 лет доказали огромную пользу от подобного "математического курьеза", и Лорен Карпентер был одним из первых, кто опробовал метод фракталов на практике.

Проштудировав книжку, будущий аниматор серьезно изучил принципы фрактальной геометрии и стал искать способ реализовать ее в компьютерной графике. Всего за три дня работы Лорен смог визуализировать реалистичное изображение горной системы на своем компьютере. Иными словами, он с помощью формул нарисовал вполне узнаваемый горный пейзаж.

Принцип, который использовал Лорен для достижения цели, был очень прост. Он состоял в том, чтобы разделять более крупную геометрическую фигуру на мелкие элементы, а те, в свою очередь, делить на аналогичные фигуры меньшего размера.

Используя более крупные треугольники, Карпентер дробил их на четыре мелких и затем повторял эту процедуру снова и снова, пока у него не получался реалистичный горный ландшафт. Таким образом, ему удалось стать первым художником, применившим в компьютерной графике фрактальный алгоритм для построения изображений. Как только стало известно о проделанной работе, энтузиасты по всему миру подхватили эту идею и стали использовать фрактальный алгоритм для имитации реалистичных природных форм.

Одна из первых визуализаций 3D по фрактальному алгоритму

Всего через несколько лет свои наработки Лорен Карпентер смог применить в куда более масштабном проекте. Аниматор создал на их основе двухминутный демонстрационный ролик Vol Libre, который был показан на Siggraph в 1980 году. Это видео потрясло всех, кто его видел, и Лоурен получил приглашение от Lucasfilm.

Анимация рендерилась на компьютере VAX-11/780 от Digital Equipment Corporation с тактовой частотой пять мегагерц, причем прорисовка каждого кадра занимала около получаса.

Работая для Lucasfilm Limited, аниматор создавал по той же схеме трехмерные ландшафты для второго полнометражного фильма саги Star Trek. В фильме "Гнев Хана" (The Wrath of Khan) Карпентер смог создать целую планету, используя тот же самый принцип фрактального моделирования поверхности.

В настоящее время все популярные приложения для создания трехмерных ландшафтов используют аналогичный принцип генерирования природных объектов. Terragen, Bryce, Vue и прочие трехмерные редакторы полагаются на фрактальный алгоритм моделирования поверхностей и текстур.

Фрактальные антенны: лучше меньше, да лучше

За последние полвека жизнь стремительно стала меняться. Большинство из нас принимает достижения современных технологий как должное. Ко всему, что делает жизнь более комфортной, привыкаешь очень быстро. Редко кто задается вопросами "Откуда это взялось?" и "Как оно работает?". Микроволновая печь разогревает завтрак - ну и прекрасно, смартфон дает возможность поговорить с другим человеком - отлично. Это кажется нам очевидной возможностью.

Но жизнь могла бы быть совершенно иной, если бы человек не искал объяснения происходящим событиям. Взять, например, сотовые телефоны. Помните выдвижные антенны на первых моделях? Они мешали, увеличивали размеры устройства, в конце концов, часто ломались. Полагаем, они навсегда канули в Лету, и отчасти виной тому... фракталы.

Фрактальные рисунки завораживают своими узорами. Они определенно напоминают изображения космических объектов - туманностей, скопления галактик и так далее. Поэтому вполне закономерно, что, когда Мандельброт озвучил свою теорию фракталов, его исследования вызвали повышенный интерес у тех, кто занимался изучением астрономии. Один из таких любителей по имени Натан Коэн (Nathan Cohen) после посещения лекции Бенуа Мандельброта в Будапеште загорелся идеей практического применения полученных знаний. Правда, сделал он это интуитивно, и не последнюю роль в его открытии сыграл случай. Будучи радиолюбителем, Натан стремился создать антенну, обладающую как можно более высокой чувствительностью.

Единственный способ улучшить параметры антенны, который был известен на то время, заключался в увеличении ее геометрических размеров. Однако владелец жилья в центре Бостона, которое арендовал Натан, был категорически против установки больших устройств на крыше. Тогда Натан стал экспериментировать с различными формами антенн, стараясь получить максимальный результат при минимальных размерах. Загоревшись идеей фрактальных форм, Коэн, что называется, наобум сделал из проволоки один из самых известных фракталов - "снежинку Коха". Шведский математик Хельге фон Кох (Helge von Koch) придумал эту кривую еще в 1904 году. Она получается путем деления отрезка на три части и замещения среднего сегмента равносторонним треугольником без стороны, совпадающей с этим сегментом. Определение немного сложное для восприятия, но на рисунке все ясно и просто.
Существуют также другие разновидности "кривой Коха", но примерная форма кривой остается похожей
Когда Натан подключил антенну к радиоприемному устройству, он был очень удивлен - чувствительность резко увеличилась. После серии экспериментов будущий профессор Бостонского университета понял, что антенна, сделанная по фрактальному рисунку, имеет высокий КПД и покрывает гораздо более широкий частотный диапазон по сравнению с классическими решениями. Кроме того, форма антенны в виде кривой фрактала позволяет существенно уменьшить геометрические размеры. Натан Коэн даже вывел теорему, доказывающую, что для создания широкополосной антенны достаточно придать ей форму самоподобной фрактальной кривой.

Автор запатентовал свое открытие и основал фирму по разработке и проектированию фрактальных антенн Fractal Antenna Systems, справедливо полагая, что в будущем благодаря его открытию сотовые телефоны смогут избавиться от громоздких антенн и станут более компактными.

В принципе, так и произошло. Правда, и по сей день Натан ведет судебную тяжбу с крупными корпорациями, которые незаконно используют его открытие для производства компактных устройств связи. Некоторые известные производители мобильных устройств, как, например, Motorola, уже пришли к мирному соглашению с изобретателем фрактальной антенны.

Фрактальные измерения: умом не понять

В своей книге Мандельброт рассказывает об одном очень интересном математическом парадоксе. Пятая глава книги "Фрактальная геометрия природы" посвящена, на первый взгляд, довольно простому вопросу: "Какова длина береговой линии Британии?" (аналогичная статья была опубликована им в журнале Science от 1967 года).

Этот вопрос Бенуа позаимствовал у знаменитого американского ученого Эдварда Каснера. Последний, как и многие другие известные математики, очень любил общаться с детьми, задавая им вопросы и получая неожиданные ответы. Иногда это приводило к удивительным последствиям. Так, например, девятилетний племянник Эдварда Каснера придумал хорошо всем известное теперь слово "гугол", обозначающее единицу со ста нулями. Но вернемся к фракталам. Американский математик любил задавать вопрос, какова длина береговой линии США. Выслушав мнение собеседника, Эдвард сам говорил правильный ответ. Если измерять длину по карте ломаными отрезками, то результат окажется неточным, ведь береговая линия имеет большое количество неровностей. А что будет, если измерять максимально точно? Придется учитывать длину каждой неровности - нужно будет измерять каждый мыс, каждую бухту, скалу, длину скалистого уступа, камня на ней, песчинки, атома и так далее. Поскольку число неровностей стремится к бесконечности, измеренная длина береговой линии будет при измерении каждой новой неровности увеличиваться до бесконечности.

Интересно, что, следуя подсказкам Эдварда, дети намного быстрее взрослых говорили правильное решение, в то время как у последних были проблемы с принятием такого невероятного ответа.

На примере этой задачи Мандельброт предложил использовать новый подход к измерениям. Поскольку береговая линия близка к фрактальной кривой, значит, к ней можно применить характеризующий параметр - так называемую фрактальную размерность.

Что такое обычная размерность - понятно любому. Если размерность равна единице, мы получаем прямую, если два - плоскую фигуру, три - объем. Однако такое понимание размерности в математике не срабатывает с фрактальными кривыми, где этот параметр имеет дробное значение. Фрактальную размерность в математике можно условно рассматривать как "неровность". Чем выше неровность кривой, тем больше ее фрактальная размерность. Кривая, обладающая, по Мандельброту, фрактальной размерностью выше ее топологической размерности, имеет аппроксимированную протяженность, которая не зависит от количества измерений.

В настоящее время ученые находят все больше и больше областей для применения теории фракталов. С помощью фракталов можно анализировать колебания котировок на бирже, исследовать всевозможные естественные процессы, как, например, колебание численности видов, или моделировать динамику потоков. Фрактальные алгоритмы могут быть использованы для сжатия данных, например для компрессии изображений. И кстати, чтобы получить на экране своего компьютера красивый фрактал, не обязательно иметь докторскую степень.

Фрактал в браузере

Пожалуй, один из самых простых способов получить фрактальный узор - воспользоваться онлайновым векторным редактором от молодого талантливого программиста Toby Schachman Toby Schachman. В основе инструментария этого простого графического редактора лежит все тот же принцип самоподобия.

В вашем распоряжении имеется всего две простейших формы - четырехугольник и круг. Вы можете добавлять их на холст, масштабировать (чтобы масштабировать вдоль одной из осей, удерживайте клавишу Shift) и вращать. Перекрываясь по принципу булевых операций сложения, эти простейшие элементы образуют новые, менее тривиальные формы. Далее эти новые формы можно добавлять в проект, а программа будет повторять генерирование этих изображений до бесконечности. На любом этапе работы над фракталом можно возвращаться к любой составляющей сложной формы и редактировать ее положение и геометрию. Увлекательное занятие, особенно если учесть, что единственный инструмент, который вам нужен для творчества, - браузер. Если вам будет непонятен принцип работы с этим рекурсивным векторным редактором, советуем вам посмотреть видео на официальном сайте проекта, на котором подробно показывается весь процесс создания фрактала.

XaoS: фракталы на любой вкус

Многие графические редакторы имеют встроенные средства для создания фрактальных узоров. Однако эти инструменты обычно являются второстепенными и не позволяют выполнить тонкую настройку генерируемого фрактального узора. В тех случаях, когда необходимо построить математически точный фрактал, на помощь придет кроссплатформенный редактор XaoS. Эта программа дает возможность не только строить самоподобное изображение, но и выполнять с ним различные манипуляции. Например, в режиме реального времени вы можете совершить "прогулку" по фракталу, изменив его масштаб. Анимированное движение вдоль фрактала можно сохранить в виде файла XAF и затем воспроизвести в самой программе.

XaoS может загружать случайный набор параметров, а также использовать различные фильтры постобработки изображения - добавлять эффект смазанного движения, сглаживать резкие переходы между точками фрактала, имитировать 3D-картинку и так далее.

Заключение

Во всем, что нас окружает, мы часто видим хаос, но на самом деле это не случайность, а идеальная форма, разглядеть которую нам помогают фракталы. Природа - лучший архитектор, идеальный строитель и инженер. Она устроена очень логично, и если где-то мы не видим закономерности, это означает, что ее нужно искать в другом масштабе. Люди все лучше и лучше это понимают, стараясь во многом подражать естественным формам. Инженеры проектируют акустические системы в виде раковины, создают антенны с геометрией снежинок и так далее. Уверены, что фракталы хранят в себе еще немало секретов, и многие из них человеку еще лишь предстоит открыть.

Новое по теме: Наука, Компьютеры, Обзоры

Тематические новости:

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
моделирование

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
закономерности

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
мандельброта

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
закономерность

# data[].attributes.attachment_link.title
Загадочный беспорядок - история фракталов - Фрактал История Применение

# data[].attributes.attachment_link.description
Фрактальная геометрия - удивительная область математики, которая таит ключ к познанию природы. О том, как рисовать фракталы, как они звучат, какие они на вкус и почему невозможно измерить длину береговой линии, читайте в статье Самые гениальные открытия в науке способны кардинально изменить человеческую жизнь. Изобретенная вакцина может спасти миллионы людей, создание оружия, наоборот, эти жизни отнимает.

# data[].attributes.headline
Гастон Морис Жюлиа

# data[].attributes.subject
Гастон Морис Жюлиа

# data[].attributes.body
Этот французский математик задался вопросом, как будет выглядеть множество, если построить его на основе простой формулы, проитерированной циклом обратной связи. Если объяснить «на пальцах», это означает, что для конкретного числа мы находим по формуле новое значение, после чего подставляем его снова в формулу и получаем еще одно значение. Результат — большая последовательность чисел.

Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно проделать огромное количество вычислений — сотни, тысячи, миллионы. Вручную это сделать было просто нереально. Но когда в распоряжении математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли по-новому взглянуть на формулы и выражения, которые давно вызывали интерес. Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график. Вот что он получил.

# data[].attributes.attachment_link.title
Что Такое Фракталы? Простое Объяснение!

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Бенуа́ Мандельбро́т ( фр. Benoît B. Mandelbrot; 20 ноября 1924, Варшава - 14 октября 2010, Кембридж) - французский и американский математик, создатель фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфа по физике ( 1993).

Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году в семье литовских евреев. Его мать, Белла Лурье, была врачом, отец, Карл Соломонович Мандельбройт (?-1951), галантерейщиком. В 1936 году вся семья эмигрировала во Францию и поселилась в Париже. Здесь Мандельброт попал под влияние своего дяди Шолема Мандельбройта, известного парижского математика, члена группы математиков, известной под общим псевдонимом Николя Бурбаки.

После начала Второй мировой войны Мандельброты бежали на свободный от немецкой оккупации юг Франции, в городок Тюль. Там Бенуа пошёл в школу, но вскоре потерял интерес к учёбе.

Но у Бенуа Мандельброта открылся необычный математический дар, который позволил ему сразу после войны стать студентом Политехнической школы Парижа. Оказалось, что у Бенуа великолепное пространственное воображение. Даже алгебраические задачи он решал геометрическим способом. Оригинальность его решений позволила ему поступить в университет.

Окончив университет, Мандельброт переехал в США, где окончил Калифорнийский технологический институт. По возвращении во Францию он получил докторскую степень в Университете Парижа в 1952 году. В 1955 году женился на Альетт Каган (Aliette Kagan) и переехал в Женеву.

В 1958 году Мандельброт окончательно поселился в США, где приступил к работе в научно-исследовательском центре IBM в Йорктауне, поскольку IBM в то время занималась интересными Бенуа Мандельброту областями математики.

Работая в IBM, Мандельброт ушёл далеко в сторону от чисто прикладных проблем компании. Он работал в области лингвистики, теории игр, экономики, аэронавтики, географии, физиологии, астрономии, физики. Ему нравилось переключаться с одной темы на другую, изучать различные направления.

Исследуя экономику, Мандельброт обнаружил, что произвольные внешне колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку во времени, который не описывается стандартными кривыми.

Бенуа Мандельброт занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более ста лет). Колебания цен в течение дня казались случайными, но Мандельброт смог выяснить тенденцию их изменения. Он проследил симметрию в длительных колебаниях цены и колебаниях кратковременных. Это открытие оказалось неожиданностью для экономистов.

По сути, Бенуа Мандельброт применил для решения этой проблемы зачатки своего рекурсивного (фрактального) метода.

В 1975 году Мандельброт опубликовал свою работу Какова длина побережья Великобритании? - первое исследование фракталов. Понятие "фрактал" придумал сам Бенуа Мандельброт (от лат. fractus, означающего "сломанный, разбитый"). Используя находящиеся в его распоряжении компьютеры IBM, Мандельброт создал графические изображения, сформированные на основе множества Мандельброта. По словам математика, он не чувствовал себя изобретателем, несмотря на то, что никто до него не создавал ничего подобного.

Умер 14 октября 2010 года в Кембридже (Массачусетс, США), в возрасте 85 лет, по сообщению жены, от рака поджелудочной железы.

В честь Бенуа Мандельброта назван астероид 27500 Мандельброт.

Бенуа Б. Мандельброт. Фрактальная геометрия природы = The Fractal Geometry of Nature. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с. - ISBN 5-93972-108-7.

Бенуа Б. Мандельброт, Ричард Л. Хадсон. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. - М.: "Вильямс", 2006. - 400 с. - ISBN 0-465-04355-0.

Мандельброт Б. Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса // Бенуа Мандельброт. - Ижевск,: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2009. - 392 с.

Мандельброт Б. Фракталы, случай и финансы// Бенуа Мандельброт. - Москва - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004. - 256 с.

Mandelbrot, B. (1959) Variables et processus stochastiques de Pareto-Levy, et la repartition des revenus. Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, 249, 613-615.

Mandelbrot, B. (1960) The Pareto-Levy law and the distribution of income. International Economic Review, 1, 79-106.

Mandelbrot, B. (1961) Stable Paretian random functions and the multiplicative variation of income. Econometrica, 29, 517-543.

Mandelbrot, B. (1964) Random walks, fire damage amount and other Paretian risk phenomena. Operations Research, 12, 582-585.

Инициал "Б" в имени Бенуа Б. Мандельброт, не является сокращением никакого конкретного имени, что породило шутку о том, что "Б" означает Бенуа Б. Мандельброт, делая его имя рекурсивным фракталом.

Джонатан Колтон, американский автор и исполнитель, посвятил Бенуа Мандельброту песню "Множество Мандельброта" ( англ. Mandelbrot Set) песню, один из куплетов которой звучит так:

Мандельброт на небесах.

Он велел нам выбираться из хаоса,

Он дал нам надежду, когда надежд не оставалось.

Его геометрия побеждает там, где другие сдаются.

Поэтому, если вы когда-нибудь потеряетесь,

Бабочка взмахнет крыльями За миллион миль от вас,

И маленькое чудо приведет вас домой.

# data[].attributes.attachment_link.title
Мандельброт, Бенуа

# data[].attributes.attachment_link.description
Бенуа́ Мандельбро́т ( фр. Benoît B. Mandelbrot; 20 ноября 1924, Варшава - 14 октября 2010, Кембридж) - французский и американский математик, создатель фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфа по физике ( 1993). Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году в семье литовских евреев. Его мать, Белла Лурье, была врачом, отец, Карл Соломонович Мандельбройт (?-1951), галантерейщиком.

# data[].attributes.headline
Бенуа Мандельброт

# data[].attributes.subject
Бенуа Мандельброт

# data[].attributes.body
Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельброт. Большую часть жизни он преподавал математику в Йельском университете. В 1977 и 1982 годах Мандельброт опубликовал научные труды, посвященные изучению «фрактальной геометрии» или «геометрии природы», в которых разбивал на первый взгляд случайные математические формы на составные элементы, оказавшиеся при ближайшем рассмотрении повторяющимися.

# data[].attributes.headline
Пьер Жозе Луи Фату

# data[].attributes.subject
Пьер Жозе Луи Фату

# data[].attributes.body
Фрактальный рисунок не имеет идентичных элементов, но обладает подобностью в любом масштабе. Построить такое изображение с высокой степенью детализации вручную ранее было просто невозможно, на это требовалось огромное количество вычислений. Например, французский математик Пьер Жозе Луи Фату описал это множество более чем за семьдесят лет до открытия Бенуа Мандельбротом. Если же говорить про принципы самоподобия, то о них упоминалось еще в трудах Лейбница.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
В голоморфной динамике, мно́жество Жюлиа́ рационального отображения - множество точек, динамика в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. В случае, если f - полином, рассматривают также заполненное множество Жюлиа - множество точек, не стремящихся к бесконечности. Обычное множество Жюлиа при этом является его границей.

Множество Фату - дополнение к множеству Жюлиа. Иными словами, динамика итерирования f на регулярна, а на хаотична.

Дополняет большую теорему Пикара о "поведении аналитической функции в окрестности существенно особой точки".

Эти множества названы по именам французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату, положивших начало исследованию голоморфной динамики в начале XX века.

Пусть - рациональное отображение. Множество Фату состоит из точек z, таких, что в ограничении на достаточно малую окрестность z последовательность итераций

образует нормальное семейство в смысле Монтеля. Множество Жюлиа - дополнение к множеству Фату.

Это определение допускает следующую эквивалентную переформулировку: множество Фату это множество тех точек, орбиты которых устойчивы по Ляпунову. (Эквивалентность переформулировки неочевидна, но она следует из теоремы Монтеля.)

Как следует из определений, множество Жюлиа всегда замкнуто, а множество Фату открыто.

Множество Жюлиа для отображения степени, большей 1, всегда непусто (иначе можно было бы выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность из итераций.) В отношении же множества Фату аналогичное утверждение неверно: существуют примеры, в которых множество Жюлиа оказывается всей сферой Римана. Такой пример можно построить, взяв отображение удвоения на торе (динамика которого, очевидно, везде хаотична) и пропустив его через -функцию Вейерштрасса .

Множество Жюлиа является замыканием объединения всех отталкивающих периодических орбит.

Множества Фату и Жюлиа оба полностью инвариантны под действием f, то есть совпадают как со своим образом, так и с полным прообразом:

Множество Жюлиа J(F) является границей (полного) бассейна притяжения любой притягивающей или суперпритягивающей орбиты; частным случаем этого является утверждение, что J(F) это граница заполненного множества Жюлиа (поскольку для полиномиального отображения бесконечность - суперпритягивающая неподвижная точка, а заполненное множество Жюлиа есть дополнение к её бассейну притяжения). Кроме того, взяв полиномиальное отображение с тремя различными притягивающими неподвижными точками, получаем пример трёх открытых (естественно, несвязных) множеств на плоскости с общей границей.

Если открытое множество пересекает множество Жюлиа, то, начиная с некоторого достаточно большого n, образ совпадает со всем множеством Жюлиа . Иными словами, итерации растягивают сколь угодно маленькую окрестность в множестве Жюлиа на всё множество Жюлиа.

Поскольку указанное выше растяжение чаще всего происходит достаточно быстро, голоморфные отображения конформны, а множество Жюлиа инвариантно относительно динамики - оно оказывается имеющим фрактальную структуру: его маленькие части похожи на большие.

Если множество Жюлиа отлично от всей сферы Римана, то оно не имеет внутренних точек.

Для всех точек z сферы Римана, кроме, быть может, двух, множество предельных точек последовательности полных прообразов есть множество Жюлиа. Это свойство применяется в компьютерных алгоритмах построения множества Жюлиа.

Теорема Салливана утверждает, что любая компонента связности множества Фату предпериодична. В свою очередь, теорема о классификации периодических компонент множества Фату утверждает, что периодические компоненты бывают одного из четырёх типов: бассейн притяжения притягивающей или суперпритягивающей неподвижной или периодической точки, лепесток Фату параболической точки, диск Зигеля и кольцо Эрмана.

Квадратичное отображение заменой координат всегда приводится к виду . Оказывается, что множество Жюлиа будет связным, тогда и только тогда, когда критическая точка z=0 (или, что то же самое, её образ z=c) не уходит на бесконечность. В случае, если итерации 0 стремятся к бесконечности, множество Жюлиа (совпадающее, в этом случае, с заполненным множеством Жюлиа) оказывается гомеоморфным канторову множеству и имеет меру ноль. В этом случае его называют пылью Фату (несмотря на сбивающее с толку название, это именно множество Жюлиа - множество хаотической динамики!).

Множество параметров c, при которых множество Жюлиа квадратичной динамики связно, называется множеством Мандельброта. Оно также имеет фрактальную структуру (и является, вероятно, одним из наиболее знаменитых фракталов).

Метод сканирования границы (BSM)

Если функция f имеет несколько аттракторов (неподвижных или периодических притягивающих точек), множество Жюлиа является границей бассейна притяжения любого из них. На этом свойстве основан алгоритм построения изображения множества Жюлиа, названный "методом сканирования границы" (boundary scanning method, BSM). Он состоит в следующем. Рассмотрим сетку из прямоугольных пикселей. Чтобы определить, следует ли закрашивать пиксель как принадлежащий множеству Жюлиа, вычисляется образ каждого из его "углов" под действием большого числа итераций f. Если образы далеки друг от друга, значит, углы принадлежат бассейнам разных аттракторов. Из этого следует, что граница между бассейнами проходит через данный пиксель, и он закрашивается. Перебирая все пиксели, получаем изображение, приближающее множество Жюлиа.

Этот метод также можно использовать и в случае, когда двух аттракторов нет, но есть диски Зигеля, кольца Эрмана или параболические бассейны. (Если две близкие точки остаются близкими, значит, их орбиты устойчивы по Ляпунову, и небольшая окрестность этих точек принадлежит области Фату; иначе вблизи них имеются точки множества Жюлиа.) В то же время, данный метод не работает, когда отображение имеет лишь один аттрактор, и почти вся сфера Римана является его бассейном притяжения. (Например, .)[1]

Метод вычисления обратных итераций (IIM)

Множество Жюлиа является замыканием объединения всех полных прообразов любой отталкивающей неподвижной точки. Таким образом, если имеется эффективный алгоритм вычисления обратного отображения , и известна хотя бы одна отталкивающая неподвижная точка, для построения множества Жюлиа можно последовательно вычислять её обратные образы. На каждом шаге у каждой точки имеется столько же прообразов, какова степень f, поэтому общее число прообразов растет экспоненциально, и хранение их координат требует больших объёмов памяти.[1] На практике также используется следующая модификация: на каждом шаге выбирается один случайный прообраз. При этом, однако, нужно учитывать, что такой алгоритм обходит множество Жюлиа не равномерно: в некоторые области может попасть только за очень большое (практически недостижимое) время, и они не будут изображены на получающемся графике.

Математики доказали, что произвольная замкнутая фигура на плоскости может быть сколь угодно близко приближена множеством Жюлиа для подходящего многочлена. Среди прочего, в качестве демонстрации собственной техники, ученым удалось построить достаточно хорошее приближение силуэта кота. По словам ученых, их пример наглядно демонстрирует, что динамика полиномиальных (то есть задаваемых многочленами) динамических систем может быть устроена максимально разнообразно. Они говорят, что предложенный ими пример будет полезен в теории таких систем

# data[].attributes.attachment_link.title
Множество Жюлиа

# data[].attributes.attachment_link.description
В голоморфной динамике, мно́жество Жюлиа́ рационального отображения - множество точек, динамика в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. В случае, если f - полином, рассматривают также заполненное множество Жюлиа - множество точек, не стремящихся к бесконечности. Обычное множество Жюлиа при этом является его границей.

# data[].attributes.headline
Георг Кантор 

# data[].attributes.subject
Георг Кантор 

# data[].attributes.body
Первые идеи фрактальной геометрии возникли в XIX веке. Георг Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками.

# data[].attributes.headline
Джузеппе Пеано

# data[].attributes.subject
Джузеппе Пеано

# data[].attributes.body
Пеано нарисовал особый вид линии. На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длина исходной линии. Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Гастон Морис Жюлиа ( Жолиа, фр. Gaston Maurice Julia, 1893-1978) - французский математик, открывший множество Жюлиа. В 1970-х годах его работы популяризировал Бенуа Мандельброт из IBM.

Исследовал и получил результаты в теории конформных отображений и их применениях к функциональным уравнениям. Занимался теорией гильбертовых пространств, в которой разработал некоторые вопросы (проблема моментов).

В 1914 году окончил Высшую нормальную школу в Париже. Участвовал на стороне Франции в Первой мировой войне, где искалечил нос, поэтому носил кожаную повязку на лице, другую часть носа хранил. В 1918 году опубликовал статью "Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles" ("Записка о приближении рациональных функций") об итерации из рациональной функции. Статья стала популярной. В 1919-28 годах преподавал там же (с 1923 года - профессор). С 1920 года преподавал на Парижском факультете наук (в 1925-64 годы - профессор, с 1965 года - заслуженный профессор). В 1924 году описал множество Жюлиа. В 1936-64 работал в Политехнической школе в Париже (математический анализ, геометрия, механика). Занимался линейной алгеброй, теорией функций комплексного переменного, функциональным анализом, теорией функциональных уравнений, дифференциальной геометрией, историей математики.

Жюлиа получил главную премию Французской академии наук в 1918 году.

# data[].attributes.attachment_link.title
Жюлиа, Гастон Морис

# data[].attributes.attachment_link.description
Гастон Морис Жюлиа ( Жолиа, фр. Gaston Maurice Julia, 1893-1978) - французский математик, открывший множество Жюлиа. В 1970-х годах его работы популяризировал Бенуа Мандельброт из IBM. Исследовал и получил результаты в теории конформных отображений и их применениях к функциональным уравнениям. Занимался теорией гильбертовых пространств, в которой разработал некоторые вопросы (проблема моментов).