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Arithmetische und Geometrische Folgen - Felix

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Arithmetische und Geometrische Folgen - Felix

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Definition - Geometrische Folgen:
Der Quotient aufeinanderfolgender Glieder ist immer gleich.
Das Bildungsgesetz lautet: a n = a ₁ * q n-1

Definition - Arithmetische Folgen:
Die Differenz aufeinanderfolgender Glieder ist immer gleich.
Das Bildungsgesetz lautet: a n = a ₁ + (n – 1) * d

Erklärung - Geometrische Folgen:
Bei den geometrischen Folgen steht das Formelzeichen "q" für den Faktor durch den man die einzelnen Glieder teilt, bzw. mit dem man die einzelnen Glieder multipliziert.

Erklärung - Arithmetische Folgen:
Bei den geometrischen Folgen steht das Formelzeichen "d" für die Differenz, die auf das vorherige Folgenglied addiert, bzw. die vom vorherigem Folgeglied subtrahiert wird.

Typische Aufgaben - Geometrische Folgen:

Quelle: Mathe Buch, S. 73; Nr. 10a

vorgegebene Folge:

3, 7, 11, 15, 19

Formel:

an = 3 + (2 – 1) * 4; weil:

bei "a₁" wird das erste Folgenglied eingefügt, in diesem Fall "3".
Um das zweite Folgenglied auszurechnen, wird bei "n" in der Klammer die Nummer des Gliedes eingesetzt. Für das zweite Folgeglied die Nummer "2", für das Dritte die Nummer "3", ....
Zuletzt wird bei "d" die Differenz eingesetzt, um die sich jedes Folgeglied vergrößert.

Typische Aufgaben - Arithmetische Folgen:
Quelle: Mathe Buch, S. 73; Nr. 10b

vorgegebene Folge:

4, 1, 1/4, 1/16, 1/64

Formel:
an = 4 : 4²⁻¹; weil:
bei "a₁" wird das erste Folgenglied eingefügt, in diesem Fall "4".
Um das zweite Folgenglied auszurechnen, wird bei "n" in der Klammer die Nummer des Gliedes eingesetzt. Für das zweite Folgeglied die Nummer "2", für das Dritte die Nummer "3", ....
Zuletzt wird bei "q" der Quotient ausgerechnet, den man braucht, um von a₁ zu a₂ zu kommen, in diesem Fall die "4"

Graphen - Geometrische Folgen  (Rechts im Bild):
Der Graph einer geometrischen Folge nimmt meistens anfangs schnell an/zu. Wenn man teilt, wird der Graph schnell fast horizontal. Wenn man multipliziert, wird der Graph schnell fast vertikal.

Graphen - Arithmetische Folgen  (Links im Bild):
Der Graph einer arithmetischen Folge ist immer linear. Im Beispiel Graph ist die Steigung 4x, sprich der Punkt bewegt sich um 1 nach rechts an der X-Achse und um 4 nach oben an der Y-Achse.

Lernvideos:
Geometrische Folge: YouTube;MathemaTrick
Arithmetische Folge: YouTube;MathemaTrick

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Definition Divergente Folgen:
Von Divergenz wird gesprochen, wenn eine Folge, Reihe oder Funktion keinen oder nur einen uneigentlichen Grenzwert besitzt. Diese beiden Fälle unterscheidet man als bestimmte oder unbestimmte Divergenz.

Quellen: Mathebuch, Lernvideos Konvergenz und Divergenz bei Folgen kurz erklärt.