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La geometria è tutt'intorno a noi: anche se inconsapevolmente, facciamo spesso riferimento alle basi di questa disciplina per comprendere e interpretare il mondo che ci circonda.
Osserva la vignetta: è il periodo delle stelle cadenti e Sophia e Ludovico stanno passando la serata in giardino, in attesa delle meteore. Un ottimo pretesto per osservare il cielo e le costellazioni, ma anche per imparare a riconoscere gli enti geometrici fondamentali!

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Rifletti e rispondi - Il disegno raffigura le 7 stelle più luminose dell’Orsa Maggiore, collegate tra loro con dei tratti dritti che evidenziano la forma stilizzata di quello che può sembrare un carro.
In questa semplice figura troviamo molti degli enti fondamentali della geometria! Riesci a riconoscerli?

Cosa rappresenta ciascuno dei tratti?

Cosa rappresenta ciascuna delle stelle?

Cosa rappresenta la volta celeste?

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Un lungo e placido fiume, una terra fertile e un clima favorevole: siamo sulle sponde del Nilo, sul terreno fecondato dalle acque del fiume dove gli antichi Egizi sviluppano, già a partire dal 3000 a.C., la coltivazione di grano, orzo, prodotti orticoli e alberi da frutto. L'agricoltura è alla base dell'economia dell'antico Egitto e la gestione delle proprietà terriere è fondamentale per una buona amministrazione del regno; emerge così l'esigenza di inventare nuove tecniche per misurare la terra: nasce la geometria (dal greco geo, 'terra', e metria, 'misura').

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Euclide raffigurato da Raffaello Sanzio nell'affresco Scuola di Atene (Città del Vaticano, 1509).

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Nata da problemi concreti di misurazione dei terreni, già nell'antica Grecia la geometria si trasformò ben presto nello studio di figure astratte, non legate direttamente alla realtà. In particolare, a gettare le basi della geometria così come la conosciamo oggi fu il matematico Euclide (IV-III secolo a.C.), che nella sua opera Elementi definì gli elementi e i princìpi fondamentali della materia. Ecco perché, ancora oggi, parliamo di geometria euclidea.

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Il Padlet è abbinato ai corsi MAT 360° e Archimede di Bruno Artuso e Roberto Vacca. La matematica chiara, rigorosa e calata nella realtà.

Coordinamento: Silvia Gadda

Redazione: Giulia Baccanelli, Mario Scalvini

Il Padlet e tutti i suoi contenuti sono di proprietà dell'Istituto Italiano Edizioni Atlas e pubblicati sotto licenza CC BY-NC-SA (uso con obbligo di citazione, fini didattici non commerciali, condividi allo stesso modo).

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Hai mai giocato a battaglia navale? Dalla semplice versione realizzabile con carta e matita alle moderne versioni disponibili online, questo gioco è tra i più diffusi e tra i più apprezzati per la sua immediatezza. E non finisce qui: oltre ad essere un divertente passatempo, battaglia navale ci consente anche di lavorare con gli elementi della geometria.
Le regole del gioco - Nell'immagine in allegato puoi vedere lo schema del gioco della battaglia navale, facilmente riproducibile anche a mano: disegna un quadrato e suddividilo in 10 righe e 10 colonne; in basso posiziona le lettere relative agli spostamenti orizzontali, mentre sulla sinistra i numeri corrispondenti agli spostamenti verticali.
Ciascun giocatore dispone quindi le proprie “navi”, ciascuna delle quali può occupare da uno a quattro quadretti, nel “campo di battaglia”.
A turno, ciascun giocatore cerca di colpire le navi avversarie sparando un colpo; le coordinate di ciascun colpo sono determinate in maniera univoca da una coppia ordinata (lettera e numero): ad esempio, il colpo B5 indica che viene colpita la cella che corrisponde ad uno spostamento 2 celle in orizzontale e di 5 celle in verticale.

A coppie - Sfida un compagno o una compagna a battaglia navale: vince chi affonda per primo tutte le navi dell'avversario!

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Abbiamo definito la retta come una linea che contiene infiniti punti disposti secondo una stessa direzione. Suddividendo in parti questa linea infinita è possibile individuare altri due elementi importantissimi nello studio della geometria: la semiretta e il segmento.

Osserva l'immagine: se su una retta r fissiamo due punti distinti A e B, questi dividono la retta in tre parti, due infinite, dette semirette, e una finita, detta segmento.

La semiretta è ciascuna delle due parti, infinite, in cui una retta è divisa da un suo punto. Tale punto è detto origine delle due semirette.

Il segmento è la parte di retta compresa tra due suoi punti.

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La geometria euclidea si basa su 5 postulati o assiomi, cioè affermazioni vere per evidenza immediata, che non hanno bisogno di dimostrazione. Da questi assiomi, derivano per deduzione tutti i teoremi, le regole e le proprietà della geometria.

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Negli Elementi Euclide definì gli enti geometrici fondamentali, ovvero i “mattoni” con cui sono costruite tutte le figure geometriche:

il punto

la linea e, in particolare, la retta

il piano

Guarda il video per conoscere le definizioni e le principali proprietà di questi elementi.

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Il gioco della battaglia navale si basa sul piano cartesiano, ovvero un particolare piano in cui è possibile determinare la posizione di un qualsiasi punto mediante una coppia ordinata di numeri.
Il piano cartesiano si costruisce tracciando due semirette orientate (verso destra e verso l’alto), tra loro perpendicolari e con origine comune, che assumono il nome di assi cartesiani. In particolare:

asse delle ascisse (o delle x), quello orizzontale.

asse delle ordinare (o delle y), quello verticale.

Il punto d’intersezione degli assi, detto origine, è indicato normalmente con la lettere O e corrisponde al punto di coordinate (0; 0).
Pretendo dall’origine, si riporta una certa unità di misura su ciascun asse identificando una successione numerica.
In questo modo, è possibile individuare qualsiasi punto compreso nella regione di piano così determinata semplicemente indicando i numeri corrispondenti agli spostamenti sull’asse orizzontale e su quello verticale.
La coppia ordinata (prima il valore della x e poi quello della y) che indica tali spostamenti, prende il nome di coordinata cartesiana del punto. Tra i punti del piano e la coppia ordinata di numeri si stabilisce così una corrispondenza biunivoca (ogni punto è associato ad una sola coppia di numeri e viceversa).

Prova tu - Osserva l'immagine del piano cartesiano in allegato: quali sono le coordinate del punto A? Quali quelle del punto B?
Disegna ora un piano cartesiano sul tuo quaderno e individua i seguenti punti:

A (3; 1)

B (5; 2)

C (7; 3)

D (2; 8)

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Caratteristiche e proprietà dei segmenti

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Caratteristiche e proprietà dei segmenti

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Guarda il video per sapere di più sui segmenti!

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Nel tempo libero, Irina e Matilde amano fare lunghe passeggiate per le vie della loro città. Grazie ai sistemi di geolocalizzazione integrati nei loro smartphone, le due ragazze sono solite tener traccia dei loro spostamenti. Osserva la cartina: la linea blu indica il tragitto percorso da Irina, quella rossa il percorso di Matilde. Quali differenze noti tra le due linee?

Come hai visto, le linee non sono tutte uguali. In base alle sue caratteristiche, una linea può essere:

aperta, quando percorrendola non si torna mai al punto di partenza;

chiusa, quando percorrendola si torna sempre al punto di partenza;

semplice, quando non incrocia mai se stessa;

intrecciata, quando incrocia se stessa almeno una volta.

Quando tutti i punti di una linea sono disposti secondo una stessa direzione, otteniamo un particolare tipo di linea che prende il nome di retta.
Come definiresti la linea del tragitto percorso da Irina? E quella di Matilde?

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Punto, retta e piano possono assumere diverse posizioni reciproche.
Un punto può:

appartenere a una retta o a un piano;

non appartenere a una retta o a un piano.

Rispetto a un piano una retta può:

giacere sul piano, quando tutti i suoi punti appartengono anche al piano;

intersecare il piano, quando un suo solo punto appartiene anche al piano; il punto in comune tra la retta e il piano si chiama punto di intersezione;

essere parallela al piano, quando nessuno dei suoi punti appartiene anche al piano.

Mettiti alla prova - Sfida i tuoi compagni e le tue compagne in un telequiz a tempo sul rapporto tra gli enti geometrici fondamentali: rispondi correttamente a tutte le domande nel minor tempo possibile per ottenere il punteggio più alto!

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Wordwall - Crea lezioni migliori più velocemente

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1) Il punto A a) appartiene alla retta r b) non appartiene alla retta r 2) Il punto B a) appartiene alla retta r b) non appartiene alla retta r 3) La retta r a) giace sul piano α b) è parallela al piano α c) interseca il piano α 4) Il punto A a) appartiene al piano α b) non appartiene al piano α 5) Il punto B a) appartiene al piano α e alla retta r b) non appartiene al piano α né alla retta r c) appartiene al piano α ma non alla retta r 6) La retta r a) giace sul piano α b) è parallela al piano α c) interseca il piano α 7) Il punto A a) appartiene al piano α e alla retta r b) non appartiene al piano α né alla retta r c) appartiene alla retta r ma non al piano α

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Il rapporto tra gli enti geometrici fondamentali

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1) Il punto A a) appartiene alla retta r b) non appartiene alla retta r 2) Il punto B a) appartiene alla retta r b) non appartiene alla retta r 3) La retta r a) giace sul piano α b) è parallela al piano α c) interseca il piano α

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Confrontare due segmenti significa stabilire se essi sono congruenti, ovvero se hanno la medesima lunghezza, oppure se uno dei due è maggiore o minore dell’altro. Il confronto può essere effettuato sovrapponendo un segmento all’altro.
Con i segmenti è inoltre è possibile eseguire operazioni analoghe a quelle che svolgiamo con i numeri.

Addizione: collocando i due segmenti in modo che siano adiacenti, la somma è costituita dal nuovo segmento che si viene a formare.

Sottrazione: si dispongono i segmenti come per un confronto. La differenza è data dalla parte di segmento maggiore che eccede rispetto al segmento minore.

Moltiplicazione: il prodotto di un segmento per un numero n equivale al segmento somma ottenuto contando n volte il segmento di partenza.

Divisione: il quoziente di un segmento per un numero n si ottiene dividendo il segmento di partenza in n parti uguali.

Mettiti alla prova - Lavorando sul tuo quaderno con matita e righello oppure in digitale con il software GeoGebra esegui quanto richiesto:

disegna due segmenti adiacenti tali che il primo sia il quadruplo del secondo

costruisci la somma dei due segmenti AB di 8 unità e CD di 12 unità di lunghezza

costruisci la differenza dei due segmenti EF di 5 unità e GH di 14 unità di lunghezza

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Il pacchetto di app online gratuite di GeoGebra: grafici, geometria, algebra, 3D, statistica e probabilità, tutte in uno strumento!

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- La lezione permette di acquisire e rinforzare conoscenze e competenze fondamentali sui primi elementi della geometria.
- Il percorso offre la possibilità di approcciare attraverso strumenti multimediali: audio, video, slide, esercizi interattivi in formato Google Moduli, pdf scaricabili e software gratuiti online.
- La lezione segue il metodo induttivo: a partire da una situazione reale, lo studente impara a misurare e utilizzare le grandezze per operare nella realtà.

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Conoscenze: conoscere gli enti fondamentali della geometria e le loro proprietà; conoscere le posizioni reciproche di punti, rette e piani
Abilità: rappresentare gli enti geometrici fondamentali; operare con i segmenti
Competenze: riconoscere e utilizzare i principali termini e concetti della geometria del piano, le loro rappresentazioni e cogliere le relazioni tra gli elementi
Competenze digitali: utilizzare i mezzi informatici per cercare ed elaborare informazioni; lavorare in gruppo, anche a distanza, condividendo materiali ed elaborati; comprendere e produrre elaborati digitali

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Per usare i Moduli Google nelle proprie Google Classroom e, quindi, ricevere in modo automatico i risultati degli studenti, i moduli vanno copiati nel proprio spazio Google Drive e condivisi da lì mediante link. Il modulo nel vostro Drive sarà anche completamente modificabile. Per copiare i moduli vai ai seguenti link:

1. Gli enti geometrici fondamentali

2. Semirette e segmenti

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Mettiti alla prova - Semirette e segmenti

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Mettiti alla prova - Semirette e segmenti

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Verifica quello che hai imparato su semirette e segmenti con questo breve test.

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Osserva la foto dei binari ferroviari visti dall'alto: immagina i binari come due rette che proseguono all'infinito nella stessa direzione. Cosa puoi dire della loro posizione l'uno rispetto all'altro? Hanno punti in comune?

In base alla loro posizione reciproca, due rette appartenenti allo stesso piano (complanari) si dicono:

incidenti se hanno un solo punto di intersezione;

parallele se non hanno alcun punto in comune;

coincidenti se hanno tutti i punti in comune.

Rifletti e rispondi - Cerca ora in Internet un'immagine di binari così come appaiono se osservati ponendosi nel mezzo e guardando verso l'orizzonte. Come ti sembrano le due rette in questo caso?

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Clicca su ogni scatola per aprirla e rispondere alla domanda contenuta.

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1) Quanti punti occorrono per individuare una retta? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 2) Quanti piani passano per due punti distinti? a) 2 b) 3 c) 1 d) Infiniti 3) Quanti piani passano per una retta? a) infiniti b) 1 c) 2 d) 3 4) Quanti piani passano per due punti distinti? a) 2 b) 3 c) nessuno d) infiniti 5) Quante rette passano per un punto? a) 1 b) infinite c) 2 d) 3 6) Quanti piani passano per due rette incidenti? a) infiniti b) 1 c) 2 d) nessuno

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1) Quanti punti occorrono per individuare una retta? 2) Quanti piani passano per due punti distinti? 3) Quanti piani passano per una retta?

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Nel disegno geometrico può capitare di trovarsi di fronte a situazioni visive che provocano, al di là delle nostre intenzioni, difficoltà di interpretazione. In questi casi si parla di illusioni ottico-geometriche, cioè veri e propri errori di valutazione della realtà visiva compiuti dal nostro cervello.
L'illusione di Müller-Lyer - La figura elaborata da Franz Müller-Lyer nel 1889 rappresenta uno dei casi più famosi di illusione ottico-geometrica. Osserva i segmenti nell'immagine: ti sembrano congruenti o di lunghezze diverse? Prova a misurarli con il righello: come sono in realtà?

Un passo in più - Nel corso della storia, le illusioni ottico-geometriche sono state spesso utilizzate da chi si occupa di psicologia per analizzare i processi della percezione visiva. Queste illusioni hanno contaminato anche altri ambiti, come quelli della pittura e della grafica pubblicitaria, dove artisti e creativi hanno sperimentato figure ambigue sempre più complesse per stupire gli osservatori.
Cerca altre immagini di illusioni ottico-geometriche dopodiché, insieme ai tuoi compagni e alle tue compagne, raccoglietele su un cartellone o una bacheca virtuale.

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Mettiti alla prova - Gli enti geometrici fondamentali

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Mettiti alla prova - Gli enti geometrici fondamentali

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Verifica quello che hai imparato sugli enti geometrici fondamentali con questo breve test.

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Verifica quello che hai imparato sugli assiomi della geometria con questo rapido gioco di abbinamenti: associa ciascuna immagine all'assioma cui fa riferimento.

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Per un punto passano infinite rette., Per due punti distinti passa una e una sola retta., Se una retta ha due punti in comune con un piano allora giace completamente sul piano., Per due punti (o per una retta) passano infiniti piani., Per tre punti distinti non appartenenti ad una stessa retta, cioè non allineati, passa uno e un solo piano.,

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Per un punto passano infinite rette., Per due punti distinti passa una e una sola retta., Se una retta ha due punti in comune con un piano allora giace completamente sul piano., Per due punti (o per una retta) passano infiniti piani., Per tre punti distinti non appartenenti ad una stessa retta, cioè non allineati, passa uno e un solo piano.,

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Nel piano cartesiano la posizione di un punto corrisponde in maniera univoca a una coppia ordinata di numeri. Sapevi che la localizzazione di un punto sulla Terra funziona allo stesso modo?
I geografi hanno immaginato di trattare la superficie terrestre come un piano cartesiano, tracciando su di essa delle linee curve immaginarie perpendicolari tra loro: i paralleli e i meridiani. L’insieme dei meridiani e dei paralleli forma il reticolato geografico, ovvero una griglia che consente di individuare un punto sulla superficie terrestre.
Guarda il video per scoprire di più su reticolato geografico e orientamento!

Mettiti alla prova - Aiutandoti con un atlante o con un servizio di geolocalizzazione online come ad esempio Google Maps, prova a determinare sul reticolato le località corrispondenti alle seguenti coordinate geografiche:

37° 33′ N, 126° 59′ E;

12° 03′ 36″ S, 77° 02′ 15″ O;

1° 17′ 11″ S, 36° 49′ 02″ E;

29° 57′ N, 90° 04′ O.