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Cosa c'è di meglio di una merenda fresca e dissetante, in una calda giornata estiva? Mettiamoci all'opera per preparare un litro di una deliziosa bibita multivitaminica da offrire ai tuoi amici e alle tue amiche.
Segui la ricetta:

Melarancio (dosi per 1 L)
- 1/5 di succo di arancia
- 2/5 di succo di mela
- 1/5 di latte fresco
- il resto di acqua naturale

Addizionare le frazioni degli ingredienti della ricetta è molto semplice! Come puoi notare hanno lo stesso denominatore, quindi basterà sommare i numeratori:
1/5 + 2/5 + 1/5 = 4/5
Non trovi che manchi qualcosa? Ma certo, l'acqua naturale! Sottraendo la frazione ottenuta all'intero (cioè 5/5) potrai scoprire la giusta quantità di acqua naturale da aggiungere:
5/5 - 4/5 = 1/5 di acqua naturale

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Capita a tutti di avere a che fare con le frazioni, a volte anche inconsapevolmente, per contare le parti di un intero, per confrontare due grandezze omogenee o ancora per determinare l'ammontare della parte considerata.
Quando dico, ad esempio, che ho svolto sette esercizi su dieci e me ne mancano ancora un terzo per finire i compiti, utilizzo nel mio linguaggio le frazioni e le operazioni fra di esse.

Le frazioni, infatti, entrano di frequente nella vita di tutti i giorni: finiamo quindi per doverci fare i conti... in tutti i sensi! Una volta in grado di padroneggiarle infatti, puoi anche operare con esse per risolvere problemi come suddividere in parti i compiti delle vacanze, convertire la taglia UK di un paio di scarpe, sommare frazioni di tempo come un quarto d'ora e mezz'ora, preparare ottime bevande rinfrescanti con misteriose ricette frazionarie!

Rifletti e rispondi - La classe di Daniela e Antonio deve realizzare un orto nel giardino della scuola. La superficie occupata dovrà essere di 3 metri per 5, suddivisa in 15 appezzamenti quadrati uguali. Daniela coltiverà pomodori, Lucas insalata e il resto verrà destinato alle carote. Osserva la vignetta: quale frazione dell’orto verrà gestita da Daniela e Lucas?

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Il Padlet è abbinato ai corsi MAT 360° e Archimede di Bruno Artuso e Roberto Vacca. La matematica chiara, rigorosa e calata nella realtà.

Coordinamento: Silvia Gadda

Contenuti e attività: Roberta Gagni

Redazione: Giulia Baccanelli, Mario Scalvini

Il Padlet e tutti i suoi contenuti sono di proprietà dell'Istituto Italiano Edizioni Atlas e pubblicati sotto licenza CC BY-NC-SA (uso con obbligo di citazione, fini didattici non commerciali, condividi allo stesso modo).

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- La lezione permette di acquisire e rinforzare conoscenze e competenze fondamentali sulle operazioni con le frazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza.
- Il percorso offre la possibilità di approcciare attraverso strumenti multimediali: audio, video, slide, esercizi interattivi in formato Google Moduli, pdf scaricabili e software gratuiti online.
- La lezione segue il metodo induttivo: a partire da una situazione reale, lo studente impara a operare con le frazioni.

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Diversi insiemi numerici ma uguali proprietà

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Diversi insiemi numerici ma uguali proprietà

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Per eseguire l'elevamento a potenza di una frazione si procede esattamente come per i numeri naturali: elevare a potenza una frazione significa infatti moltiplicare la frazione per se stessa tante volte quante indicate dall'esponente.
Così (2/5)³ significa moltiplicare la frazione 2/5 tre volte per se stessa: 2/5 · 2/5 · 2/5 = 8/125
Possiamo quindi affermare che la potenza di una frazione si ottiene elevando a un dato esponente sia il numeratore che il denominatore della frazione.
Ma c'è di più! Anche con le frazioni puoi applicare le proprietà delle potenze valide per i numeri naturali: apri lo specchietto riassuntivo in allegato per saperne di più.

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Hai mai sentito parlare di orti urbani? Si tratta di un’iniziativa messa in atto da molti comuni italiani per riqualificare le aree urbane dismesse e incentivare un uso costruttivo del tempo libero. Il Comune mette infatti a disposizione appezzamenti di terreno che i cittadini e le cittadine possono coltivare in condivisione.
Anche all'interno di un'iniziativa cittadina come questa, le frazioni si fan sentire!

3/4 di un terreno comunale sono stati destinati alla creazione di un orto urbano. I cittadini e le cittadine ai quali è affidato l’orto hanno diritto ciascuno a 1/8 dell’intero terreno comunale. Sapresti calcolare quante persone gestiscono l’orto urbano?

Per risolvere il problema devi operare una divisione tra frazioni: il quoziente di due frazioni si ottiene moltiplicando la prima per l'inversa della seconda. In che modo?
Guarda il video per saperne di più, poi prova a risolvere il problema!

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Per accontentare i gusti di tutti, prepariamo una seconda bibita, seguendo questa gustosa ricetta:

Fragoloso (dosi per 1 L)
- 1/5 di succo di mela
- 1/3 di succo di fragola
- 1/15 di succo di limone
- il resto di acqua gassata

Come avrai notato, in questa seconda ricetta le quantità di ingredienti sono espresse con frazioni aventi denominatore diverso. Come procedere?

Guarda il video per scoprire come addizionare e sottrarre frazioni con denominatore diverso, dopodiché prova a calcolare la frazione corrispondente alla quantità di acqua gassata. Confronta quindi la tua risposta con quella dei tuoi compagni e delle tue compagne di classe.

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Addizioni di frazioni con denominatori diversi

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Il prodotto di frazioni è uguale alla frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.
La moltiplicazione di frazioni è molto utile nella rappresentazione dei dati e nella risoluzione di alcuni problemi. Ad esempio:

Michael partecipa alla staffetta a squadre in un torneo della scuola. Ogni squadra è formata da 4 corridori e ciascuno di essi deve percorrere 1/4 del tragitto. Michael è il primo della sua squadra, ma dopo aver percorso i 2/5 del suo tratto purtroppo si infortuna.
A quale frazione dell'intero tragitto corrisponde il tratto percorso da Michael?

Per rispondere a questa domanda, è necessario determinare i due quinti di un quarto.
Prova a visualizzare la situazione descritta dal problema osservando l'immagine: il segmento nero rappresenta l'intero tragitto suddiviso in 4 parti uguali.
Michael deve percorrere il tratto colorato di verde chiaro; dividendo ciascun tratto in 5 parti uguali è stato possibile rappresentare i 2/5 percorsi prima dell'infortunio, cioè i 2/5 di 1/4.

2/5 · 1/4 = 2/20 del totale.

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Per il compleanno di suo fratello, Emma vuole realizzare un biglietto d'auguri speciale. Per aggiungere un tocco tridimensionale alle decorazioni, decide di utilizzare la tecnica del quilling.
Emma taglia quindi a metà una striscia di carta colorata di 144 cm; poiché le strisce così ottenute sono ancora troppo lunghe, Emma ripete l'operazione altre tre volte.
Esprimi sotto forma di potenza di frazione la parte della striscia di carta rimasta dopo tutti i tagli.
Calcola quindi la lunghezza finale in cm di ciascuna striscia di carta.

Vuoi saperne di più sulla tecnica del quilling? Guarda il videotutorial!

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Mila partecipa con la sua squadra alla staffetta organizzata nel centro sportivo del suo Comune. Ciascuna squadra è composta da 5 ragazze. Mila deve correre il primo tratto di gara, tuttavia, mentre è a 2/3 del suo tragitto, la gara viene sospesa per maltempo.

Mettiti alla prova, considerando anche le osservazioni fatte nell'esempio precedente.

Calcola la frazione corrispondente al tratto percorso da Mila rispetto all'intero tragitto.

E se invece che prima della sua squadra Mila fosse stata la terza staffettista? Quanto dell'intero tragitto avrebbe percorso la sua squadra?

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Fogli di calcolo: scrivere frazioni ed elevare a potenza

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Fogli di calcolo: scrivere frazioni ed elevare a potenza

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Il foglio di calcolo (o foglio elettronico), è un programma che permette di eseguire calcoli e operazioni, organizzare dati e realizzare grafici.
Il più noto è probabilmente Excel, parte del pacchetto Office, che può essere utilizzato acquistando l’apposita licenza.
Valide alternative sono Calc del pacchetto LibreOffice, un prodotto open source e di libero utilizzo e lo strumento Fogli di Google è molto pratico, soprattutto per lavorare in condivisione ed è liberamente accessibile online per tutti gli utenti che dispongono di un account Google.

I fogli di calcolo possono essere utilizzati anche per eseguire operazioni matematiche come l'elevamento a potenza di frazioni. Per farlo, ti basterà utilizzare l'apposita funzione "POTENZA".
Dopo aver selezionato una cella di lavoro, digita la funzione nel seguente formato:
=POTENZA(numeratore/denominatore;esponente)

Mettiti alla prova - Utilizza il foglio elettronico per calcolare il risultato delle seguenti potenze di frazioni:

(2/7)⁵

(8/3)⁴

(5/6)³

Nota Bene - Se stai lavorando con Excel noterai che scrivendo una frazione ti comparirà... una data!
Se ad esempio digiti 7/3 il programma ti restituirà la scritta "07-mar", cioè 7 marzo! Per poter scrivere delle frazioni e quindi operare con esse prima devi "istruire" il programma:

seleziona la cella in cui vuoi scrivere la tua frazione

dalla scheda Home, modifica il Formato celle

seleziona Frazione e Fino a tre cifre

Clicca su OK

Ora nelle celle selezionate potrai scrivere le tue frazioni e il programma le riconoscerà come tali.

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Hai messo le giuste quantità? Per preparare correttamente il tuo Fragoloso hai dovuto certamente trasformare le frazioni di ciascun ingrediente in altre equivalenti con uguale denominatore e poi eseguire addizioni e sottrazioni.

Gioca a memory e abbina a ciascun ingrediente la giusta quantità!

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Wordwall - Crea lezioni migliori più velocemente

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Memory - Seleziona una coppia di tessere alla volta per scoprire se sono uguali.

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Nel moltiplicare le frazioni, ci viene in aiuto un utile strumento: la semplificazione a croce. Questo metodo consiste nel semplificare il numeratore di una delle due frazioni con il denominatore dell'altra.
Se la moltiplicazione coinvolge più di due fattori si può semplificare a croce il numeratore di una frazione con un qualunque denominatore.

Guarda l'esercizio svolto nel video per capire come funziona la semplificazione a croce.

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Moltiplicazione di frazioni con semplificazione a croce

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Mettiti alla prova! - Addizione e sottrazione di frazioni

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Mettiti alla prova! - Addizione e sottrazione di frazioni

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Verifica quello che hai imparato su addizione e sottrazione di frazioni con questo breve test.

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Mettiti alla prova! - Semplificazione a croce

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Mettiti alla prova! - Semplificazione a croce

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Verifica quello che hai imparato sulla semplificazione a croce con questo breve test.

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Conoscenze: conoscere le operazioni con le frazioni e le loro proprietà
Abilità: svolgere le quattro operazioni con le frazioni; elevare a potenza una frazione; risolvere espressioni e problemi con le frazioni
Competenze: muoversi con sicurezza nel calcolo con le frazioni e risolvere problemi in contesti diversi valutando le informazioni e la loro coerenza
Competenze digitali: lavorare in gruppo, anche a distanza, condividendo materiali ed elaborati; comprendere e produrre elaborati digitali

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Per usare i Moduli Google nelle proprie Google Classroom e, quindi, ricevere in modo automatico i risultati degli studenti, i moduli vanno copiati nel proprio spazio Google Drive e condivisi da lì mediante link. Il modulo nel vostro Drive sarà anche completamente modificabile. Per copiare i moduli vai ai seguenti link:

1. Addizione e sottrazione di frazioni

2. Semplificazione a croce

3. Quesiti INVALSI con frazioni

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Quando cucini, rispettare le giuste quantità è fondamentale: se aggiungi troppo sale all’acqua di cottura ottieni una pasta immangiabile. Immagina di realizzare un esperimento di scienze: se sbagli le proporzioni il tuo esperimento potrebbe andare… in fumo!
Puoi verificarlo (senza correre rischi!) con un semplice esperimento sulla solubilità del cloruro di sodio in acqua.

Mettiti alla prova - Per realizzare questo esperimento ti serviranno solamente un contenitore graduato, acqua e cloruro di sodio, ovvero del comune sale da cucina.
Versa nel contenitore 90 cl di acqua; aggiungi quindi 2/15 di sale(*). Mescola il tutto finché il sale non sarà completamente disciolto. Aggiungi ora alla soluzione 1/5 di sale e mescola: il sale si scioglie?
Prova ad aggiungere ancora 1/3 di sale: cosa succede?
Esprimi con una frazione ridotta ai minimi termini la quantità totale di sale aggiunta alla soluzione.

(*) Nota Bene: ricordati che se stai lavorando con l'acqua, ogni centilitro corrisponde a una massa di 1 grammo!

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Tra i molti aspetti da considerare nell'ottica di una maggiore tutela dell'ambiente, la mobilità ricopre un ruolo centrale, poiché riguarda la quotidianità di tutti noi.
Le nostre abitudini, infatti, dovrebbero tendere sempre più verso una mobilità sostenibile, che garantisca da un lato la libertà di spostamento e dall'altro il rispetto per l’ambiente e la riduzione delle emissioni da combustibili fossili.
Per farlo possiamo scegliere, per i nostri spostamenti, mezzi di trasporto ecosostenibili o a minore impatto ambientale, ad esempio prediligendo l'uso di biciclette e monopattini elettrici a quello di motocicli e automobili.

Dalla frazione al grafico - Organizzate un sondaggio di classe raccogliendo i dati sulle vostre abitudini di spostamento: con quale mezzo di trasporto vi recate abitualmente a scuola? Utilizzando un foglio di calcolo, inserite i dati in una tabella, esprimendo per ciascun mezzo di trasporto la frazione corrispondente al numero di studenti e studentesse che lo utilizza rispetto al totale degli intervistati. Realizzate quindi un areogramma che mostri in forma visuale le frazioni: seguite il videotutorial per scoprire come fare!

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La divisione tra frazioni attraversa numerosi campi di applicazione e usi pratici. Uno di questi è proprio a portata... d'orecchio!
Quando ascolti musica infatti, alle tue orecchie giungono suoni e note che legati fra loro formano un'armonia: ma ciascuno degli strumenti che produce queste note segue un ritmo ben preciso!
La durata delle singole note, infatti, è indicata con frazioni!

Anche nella scoperta della scala naturale composta da sette suoni diversi, che oggi conosciamo come do, re, mi, fa, sol, la, si, le frazioni hanno avuto un ruolo!
Il collegamento tra musica e matematica è stato infatti teorizzato da Pitagora intorno al 500 a.C.

Gli aneddoti narrano che Pitagora udì un giorno un fabbro che batteva martelli di pesi diversi sull’incudine. Notò che a seconda del peso variava la frequenza del suono, producendo tintinnii più o meno piacevoli. Interrogandosi sul perché, Pitagora si rese conto che martelli producevano suoni armoniosi solo se i loro pesi stavano in precisi rapporti numerici.
Tale intuizione fu confermata in laboratorio, dove Pitagora tese delle corde elastiche (nervi di bue) tramite pesi differenti e si accorse che dividendo a metà la corda e pizzicandola poteva ottenere esattamente il doppio delle vibrazioni e un suono più acuto ma "uguale" al precedente, cioè la stessa nota. Partendo allora da una corda e dividendola in lunghezze pari a 1/2  1/4 1/8 1/16...il suono ottenuto risultava via via più acuto ma sempre la stessa nota. Dividendo la corda secondo frazioni diverse, per esempio 2/3, ottenne tutte e 7 le note musicali della scala naturale.

Nel film "Paperino nel mondo della matemagica" puoi vederne una semplice ma chiara esemplificazione.

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Paperino Nel Mondo Della Matemagica - 1959 - COMPLETO

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Mettiti alla prova - Espressioni con le proprietà delle potenze e frazioni 

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Mettiti alla prova - Espressioni con le proprietà delle potenze e frazioni 

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Ora che conosci i segreti di tutte le operazioni con le frazioni sei pronto a risolvere espressioni complete: mettiti subito alla prova!

Copia il testo dell'espressione sul tuo quaderno e prova a risolverla: puoi verificare di aver svolto opportunamente i passaggi e di aver ottenuto il risultato corretto guardando il video.
Buon lavoro!

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Mettiti alla prova! - Quesiti INVALSI con frazioni

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Mettiti alla prova! - Quesiti INVALSI con frazioni

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Per metterti alla prova su tutto ciò che hai imparato e verificare le tue conoscenze sulle frazioni, puoi sottoporti all’INVALSI!
Si tratta di un test internazionale, somministrato a tutti gli studenti dell’Unione Europea. Il test INVALSI è utile a valutare le principali competenze nella scuola secondaria.

Mettiti alla prova con i quesiti pensati per classi come la tua negli ultimi anni.