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Ejercicios resueltos de factorización y raíces de polinomios - Vitutor

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Ejercicios de factorizar y calcular las raíces de polinomios, factorización de polinomios, ESO, Bachillerato.

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Suma o Diferencia de dos Potencias Iguales (Decimo Caso de Factorizacion) | Profe Varona

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Criterios de divisibilidad  de la forma an + - bn

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Criterios de divisibilidad  de la forma an + - bn

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Criterio 1: an – bn  es divisible por a - b siendo n par o impar

Criterio 2: an – bn  es divisible por a + b siendo n impar

Criterio 3: an – bn  es divisible por a + b siendo n es par

Criterio 4: an + bn  nunca es divisible por a - b

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Factorar x5 +32
1.- Encontramos la raíz quinta de los términos:
Raíz quinta de x5 = x; raíz quinta de 32 = 2
2.- Formamos el primer factor con las raíces: (x +2)
3.- Formamos el segundo factor:

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1. Descomponemos en dos factores.
2. En el primer factor se escribe la suma o la diferencia según sea el caso, de las raíces cúbicas de los dos términos.
3. En el segundo factor se escribe la raíz del primer termino elevada al cuadrado, empezando con el signo menos y de ahí en adelante sus signos alternados (si es una suma de cubos) o con signo más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, más el cuadrado de la segunda raíz.

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1. La suma de sus raíces cúbicas
2. El cuadrado de la primera raíz, menos la multiplicación de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. a3 +b3 =(a+b) (a2-ab+b2)

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La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1. La diferencia de sus raíces cúbicas
2. El cuadrado de la primera raíz, más el cuadrado de la segunda raíz.
a3 - b3 =(a-b) (a2+ab+b2)

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Debemos tener en cuenta que los productos notables nos dicen que:

(a+b)3 = a2 +3a 2 b+3 a b 2 +b3 y (a-b)3 = a2-3a 2 b+3ab 2 - b3

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La fórmula de arriba nos dice que para una expresión algebraica ordenada con respecto a una parte literal sea el cubo de un binomio

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1. Tener cuatro términos.
2. Que el primer término y el último sean cubos perfectos.
3. Que el segundo término sea más o menos el triplo de la primera raíz cúbica elevada al cuadrado que multiplica la raíz cúbica del último término.
4. Que el tercer término sea el triplo de la primera raíz cúbica por la raíz cubica del último término elevada al cuadrado
Si todos los términos de la expresión algebraica son positivos, la respuesta de la expresión dada será la suma de sus raíces cúbicas de su primer y último término, y si los términos son positivos y negativos la expresión será la diferencia de dichas raíces.

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Factorizar el cubo perfecto de un binomio Factorización 95

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El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.

El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.

El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1 y 2 términos.

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• El coeficiente del primer término es 1
• El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
• El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
• El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa

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x2 + 5x + 6 = (x + 2) * (x + 3)

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Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el de la mitad no es el doble producto de las dos raíces.

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a⁴ +    a² + 1   +    (a²   - a2)

a⁴ + 2a²+ 1 - a²

(a⁴ + 2a²+ 1) - a²

(a² + 1)² - a²

R: (a²+ a + 1) (a²– a + 1)

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Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces.

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Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

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Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.

Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.

Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará mas sencillo el resolver estos problemas.

2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b

Agrupo los términos que tienen un factor común:

(2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b )

Saco el factor común de cada grupo:

a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )

Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:

( 2x -y +5 )(a + b)

Que es nuestra respuesta.

17ax - 17mx + 3ay - 3my + 7az - 7mz = a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z)
= (17x +3y +7z)(a - m)

m(x + 2) - x - 2 + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3) -1(x + 2) = (x + 2)[(m + 3) - 1]
= (x + 2)(m + 3 - 1)

Otra forma de hacerlo:

m(x + 2) - x - 2 + 3(x + 2) = m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3 -1)

PRESENTACIÓN DE EJEMPLO DINÁMICO

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Factor común por agrupacion de terminos - Álgebra

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✍️ - Factor común por agrupacion de terminos - Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.

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CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMUN.

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Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión.

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Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.