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A compreensão de é a principal base para o estudo da e de conceitos de grande importância na Matemática, como e inequações. A notação que usamos para conjuntos é sempre uma letra maiúscula do nosso alfabeto (por exemplo, conjunto A ou conjunto B).

Em se tratando da representação dos conjuntos, ela pode ser feita pelo , pela simples descrição das características dos seus elementos, pela enumeração dos elementos ou pela descrição das suas propriedades. Ao trabalhar com problemas que envolvem conjuntos, existem situações que exigem a realização de operações entre os conjuntos, sendo elas a união, a intersecção e a diferença. Vamos estudar tudo isso detalhadamente?

Veja também: Expressões numéricas - aprenda a resolvê-las!

Notação e representação de conjuntos

Para representação de um conjunto, utilizamos sempre uma letra maiúscula do alfabeto, e os elementos estão sempre entre chaves e são separados por vírgula. Para representar o conjunto dos números pares maiores que 1 e menores que 20, por exemplo, usamos a seguinte notação: P ={2,4,6,8,10,12,14,16,18}.

Formas de representação dos conjuntos

Representação por enumeração: podemos enumerar seus elementos, ou seja, fazer uma lista, sempre entre chaves. Veja um exemplo:

A = {1,5,9,12,14,20}

1. Descrevendo as características: podemos simplesmente descrever a característica do conjunto. Por exemplo, seja X um conjunto, temos que X = {x é um número positivo múltiplo de 5}; Y: é o conjunto dos meses do ano.

2. Diagrama de Venn: os conjuntos também podem ser representados na forma de um diagrama, conhecido como diagrama de Venn, que é uma representação mais eficiente para a realização das operações.

Exemplo:
Dado o conjunto A = {1,2,3,4,5}, podemos representá-lo no diagrama de Venn a seguir:

Diagrama do conjunto A

Elementos de um conjunto e relação de pertinência

Dado um elemento qualquer, podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto ou não pertente a esse conjunto. Para representar essa relação de pertinência de forma mais rápida, utilizamos os símbolos ​ ​ (lê-se pertence) e ∉ (lê-se não pertente). Por exemplo, seja P o conjunto dos números pares, podemos dizer que o 7 ∉ P e que 12 P.

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Igualdade de conjuntos

É inevitável a comparação entre os conjuntos, sendo assim, podemos afirmar que dois conjuntos são iguais ou não verificando cada um dos seus elementos. Seja A = { 0,1,3,4,8} e B = { 8,4,3,1,0}, ainda que os elementos estejam em ordem diferente, podemos afirmar que os conjuntos A e B são iguais: A = B.

Relação de inclusão

Ao comparar dois conjuntos, podemos nos deparar com diversas relações, e uma delas é a relação de inclusão. Para essa relação, precisamos conhecer alguns símbolos:

⊃ → contém ⊂→ está contido

⊅ → não contém ⊄→ não está contido

Dica: o lado da abertura do símbolo sempre ficará virado para o conjunto maior.

Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem também a um conjunto B, dizemos que A ⊂ B ou que A está contido em B. Por exemplo, A= {1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6}. É possível também fazer a representação pelo diagrama de Venn, que ficaria assim:

A ⊂ B

Subconjuntos

Quando acontece uma relação de inclusão, ou seja, o conjunto A está contido no conjunto B, podemos dizemos que A é subconjunto de B. O subconjunto continua sendo um conjunto, e um conjunto pode ter vários subconjuntos, construídos a partir dos elementos pertencentes a ele.

Por exemplo: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} tem como subconjuntos os conjuntos B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} e, até mesmo, o conjunto A {1,2,3,4,5,6,7,8}, ou seja, A é subconjunto dele mesmo.

Conjunto unitário

Como o nome já sugere, é aquele conjunto que possui somente um elemento, como o conjunto D: {1} mostrado anteriormente. Dado o conjunto B: {1,2,3}, temos os subconjuntos {1}, {2} e {3}, que são todos conjuntos unitários.

ATENÇÃO: O conjunto E: {0} também é um conjunto unitário, pois ele possui um único elemento, o "0", não se tratando de um conjunto vazio.
Leia também: Conjunto dos números inteiros - elementos e características
Conjunto vazio

Com um nome mais sugestivo ainda, o conjunto vazio não possui nenhum elemento e é subconjunto de qualquer conjunto. Para representar o conjunto vazio, há duas representações possíveis, sendo elas V: { } ou o símbolo Ø.

Conjuntos das partes

Conhecemos como conjuntos das partes todos os subconjuntos possíveis de um determinado conjunto. Seja A: {1,2,3,4}, podemos listar todos os subconjuntos desse conjunto A começando com os conjuntos que possuem nenhum elemento (vazios) e, depois, os que possuem um, dois, três e quatro elementos, respectivamente.

Sendo assim, podemos descrever o conjunto das partes de A desta forma:

P: { { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} }

Para saber a quantidade de partes em que é possível dividir um conjunto, usamos a fórmula:

O número de partes de A é calculado por uma de base 2 elevada a n, em que n é a quantidade de elementos do conjunto.
Leia também: O que é o conjunto dos números irracionais?
Considere o conjunto A: {1,2,3,4}, que possui quatro elementos. O total de subconjuntos possíveis desse conjunto é =16.

Conjunto finito e infinito

Ao trabalhar com conjuntos, encontramos conjuntos que são limitados (finitos) e aqueles que são ilimitados (infinitos). O conjunto dos números pares ou ímpares, por exemplo, é infinito e, para representá-lo, descrevemos alguns dos seus elementos em sequência, de forma que seja possível prever quais serão os próximos elementos, e colocamos reticências no final.

I: {1,3,5,7,9,11...}

P: {2,4,6,8,10, ...}

Já em um conjunto finito, não colocamos as reticências no final, pois ele possui começo e final definidos.

A: {1,2,3,4}.

Conjunto universo

O conjunto universo, denotado por U, é definido como o conjunto formado por todos os elementos que devem ser considerados dentro de um problema. Todo elemento pertence ao conjunto universo e todo conjunto está contido no conjunto universo.

Operações com conjuntos

As operações com conjuntos são: união, intersecção e diferença.

A intersecção é uma das operações entre conjuntos.

Ocorre uma intersecção quando os elementos pertencem simultaneamente a um ou mais conjuntos. Ao escrever A∩B, estamos procurando os elementos que pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B.

Exemplo:

Considere A= {1,2,3,4,5,6} e B = {2,4,6,7,8}, os elementos que pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B são: A∩B = {2,4,6}. A representação dessa operação é feita da seguinte forma:

A∩B

Quando os conjuntos não possuem nenhum elemento em comum, são conhecidos como conjuntos disjuntos.

Representação de conjuntos disjuntos

A∩B = Ø

Diferença entre os conjuntos (A - B)

Calcular a diferença entre dois conjuntos é procurar os elementos que pertencem a somente um dos dois conjuntos. Por exemplo, A - B tem como resposta um conjunto composto por elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

Exemplo: A: {1,2,3,4,5,6} e B: {2,4,6,7,8}. Note que A ∩ B ={2,4,6}, então temos que:

a) A - B = { 1,3,5 }

b) B - A = { 7,8 }

A união de dois ou mais conjuntos é a junção dos seus termos. Caso haja elementos que se repitam nos dois conjuntos, eles são escritos uma única vez. Por exemplo: A={1,2,3,4,5} e B={4,5,6,7,10,14}. Para representar a união, usamos o símbolo (lê-se: A união com B).

A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}

Para saber mais detalhes sobre essas operações e conferir vários exercícios resolvidos, leia: Operações com conjuntos.
Exemplo:
Leis de Morgan

Sejam A e B dois conjuntos e seja U o conjunto universo, existem duas propriedades que são dadas pelas Leis de Morgan, sendo elas:

Dados os conjuntos:

Vamos verificar que (A U B) c = A c ∩ B c . Assim, temos que:

A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}

Logo, (A U B) c={1,3,7,9,11,13,17,19}

Para verificar a veracidade da igualdade, vamos analisar a operação A c ∩ B c:

A c:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}

B c:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Resolução:
Exercícios resolvidos
Resolução:
01) Considere U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} e B: {4,5,6,7,8,9}. Mostre que (A ∩ B) c = A c U B c.

02) Sabendo que A é o conjunto dos números pares de 1 até 20, qual é a quantidade total de subconjuntos que podemos construir a partir dos elementos desse conjunto?

Seja P o conjunto descrito, temos que P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Sendo assim, o número de elementos de P é 10.

Pela teoria do conjunto das partes, o número de subconjuntos possíveis de P é:

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

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Conjuntos: notação, formas de representar, operações - Brasil Escola

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A compreensão de é a principal base para o estudo da e de conceitos de grande importância na Matemática, como e inequações. A notação que usamos para conjuntos é sempre uma letra maiúscula do nosso alfabeto (por exemplo, conjunto A ou conjunto B).

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