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A função logarítmica é dada pela lei f(x) = logax, no qual "a" é a base positiva (a > 0) e sempre diferente de 1. Nesse tipo de função, o logaritmo de base "a'', ligado a determinado valor de b, tem o expoente igual a x, que é a potência da base que resulta justamente em b. Isto é:

￼

Lei de formação.

Vejamos alguns exemplos:

f(x) = log3 x

f(x) = log2(x – 1)

f(x) = log10 x

f(x) = log0,5 x

De modo geral, a função na forma (x) = logax segue as regras:

• A base do logaritmo sempre é diferente de 1 e maior do que 0 (0 < a ≠ 1);

• O valor de x deve ser um número real positivo, exceto o zero (x > 0).

Domínio da função logarítmica

Como dito acima, a função logarítmica é definida pela formação f(x) = logax, sendo < a ≠ 1. Isso remete a uma função f: R*+ ---> R, ou seja, o domínio integra o conjunto dos números reais positivos, excluindo o zero. (R*+).

É o domínio da função que delimita os valores aplicados em x para os cálculos do f(x), que na matemática é chamado de imagem. No caso da função logarítmica, a situação de existência depende do sinal positivo de x e a necessidade da base também ser positiva, mas diferente de 1.

Vejamos como o domínio é encontrado no exemplo da função f(x) = log(x – 2):

O primeiro passo é determinar (x – 2) > 0, pois é uma das condições de existência do logaritmo. Em seguida, basta resolver a inequação:

x – 2 > 0

x > 2

Portanto, o domínio dessa função é D = {x ∈ R | x > 2}.

Gráfico

O gráfico da função logarítmica é uma curva, construída em razão dos valores aplicados em x e os respectivos resultados calculados para f (x).

As coordenadas são colocadas dentro do plano cartesiano nos quadrantes I e II, pois essa função é caracterizada por x > 0. Além disso, a depender da base "a", são classificadas em crescente e decrescente.

Função crescente

Caso a base a seja maior que 1 (x1 < x2 <---> loga x1 < loga x2), a função logarítmica é dita como crescente, já que à medida que x aumenta acontece o mesmo com o f(x). É uma curva que cresce em virtude do aumento de x.

Quando estipulamos valores reais positivos para x e encontramos imagens, que podem ser todos os tipos de reais, inclusive os negativos, o gráfico crescente é da seguinte forma:

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Função decrescente

Se a base for 0 < a < 1, a função é decrescente em todo o seu domínio (x1 < x2<--->loga x1 > loga x2). Isso ocorre porque à medida que x aumenta, a imagem diminui. Essa relação inversamente proporcional origina a seguinte representação gráfica:

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Uma função polinomial é conhecida como função do 2º grau, ou também como função quadrática, quando em sua lei de formação ela possui um polinômio de grau dois, ou seja, f(x) = ax² +bx +c, em que a, b e c são números reais, e a ≠ 0. Além da lei de formação, essa função possui domínio e contradomínio no conjunto dos números reais, ou seja, f: R→ R.
Exemplos:

a) f(x) = 2x²+3x + 1

a = 2

b = 3

c=1

b) g(x) = -x² + 4

a = -1

b = 0

c = 4

c) h(x) = x² – x

a = 1

b = -1

c = 0

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Raízes da função de 2º grau
Para encontrar as raízes da função quadrática, conhecidas também como zero da função, é necessário o domínio das equações do segundo grau. Para resolver uma equação do segundo grau, há vários métodos, como a fórmula de Bhaskara e a soma e produto.

A raízes de uma função quadrática são os valores de x que fazem com que f(x) = 0. Sendo assim, para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau, faremos ax² + bx + c = 0.

Exemplo:

f(x) = x² +2x – 3

a = 1

b = 2

c = –3

Δ =b² – 4ac

Δ=2² – 4 ·1·(-3)

Δ=4 +12

Δ = 16

Então, os zeros da função são {1, -3}.

O valor do delta nos permite saber quantos zeros a função quadrática vai ter. Podemos separar em três casos:

Δ > 0 → a função possui duas raízes reais distintas;
Δ = 0 → a função possui uma única raiz real;
Δ < 0 → a função não possui raiz real.
Gráfico de uma função do 2º grau
O gráfico de uma função do 2º grau é representado sempre por uma parábola. Existem duas possibilidades, dependendo do valor do coeficiente “a”: a concavidade da parábola pode ser para cima ou para baixo.

Se a > 0, a concavidade é para cima:

O ponto V representa o que conhecemos como vértice da parábola, que, nesse caso, é o ponto de mínimo, ou seja, o menor valor que f(x) pode assumir.

Se a < 0, a concavidade é para baixo:

Quando isso ocorre, perceba que, nesse caso, o vértice é o ponto de máximo da função, ou seja, maior valor que f(x) pode assumir.

Para fazer o esboço do gráfico, precisamos encontrar:

os zeros da função;
o ponto em que a função intercepta o eixo y;
o ponto de máximo ou de mínimo da parábola, que conhecemos como vértice da parábola.
Veja também: Cinco passos para construir o gráfico de uma função do 2º grau

Vértice da parábola
Como vimos anteriormente, o vértice da parábola é o ponto de mínimo ou de máximo do gráfico. Para encontrar o valor de x e y no vértice, utilizamos uma fórmula específica. Vale ressaltar que o vértice é um ponto V, logo ele possui coordenadas, representadas por xv e yv.

Para calcular o valor de V (xv, yv), utilizamos as fórmulas:

Exemplo:

Encontre o vértice da parábola f(x) = –x² +4x – 3.

a = -1.

b = 4.

c = -3

Calculando o Δ e aplicando a fórmula de Bhaskara, temos que:

Δ=b² – 4ac

Δ=4² – 4(-1) (-3)

Δ=16 – 12

Δ=4

Representação gráfica de uma função do 2º grau
Para realizar o esboço do gráfico de uma função, é necessário encontrar três elementos: os zeros ou raízes da função, o vértice e o ponto em que a função toca o eixo.

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A função afim, definida pela formação f(x) = ax + b ou y = ax + b, é classificada como função de primeiro grau, sendo os coeficientes a e b números reais e diferentes de zero. Como o grau de uma função é decidido pela maior potência da variável independente (x), no caso da função afim o expoente também é igual a 1 (x¹).

Nesse tipo de função polinomial de primeiro grau o valor de "a" é chamado de taxa de variação ou coeficiente angular, e o "b" de valor inicial ou coeficiente linear.

F(x) = 2x + 7 (a = 2 e b = 7); y = - 4x (a = - 4 e b = 0) e f(x) = 1/5x + 1/8 (a = 1/5 e b = 1/8) são exemplos de função afim.

Gráfico da Função Afim

O gráfico da função afim é representado por uma reta. O valor da taxa de variação da função que determina se a ela é do tipo crescente ou decrescente.

• Caso a seja maior que zero, a função é crescente;
• Caso a seja menor que zero, a função é decrescente;
• Se a função for crescente, o ângulo entre a reta e o eixo x será agudo (menor que 90°);
• Se a função for decrescente, o ângulo entre a reta e o eixo x será obtuso (maior que 90°).

A função 2x – 1, por exemplo, é crescente, pois o valor de a = 2 (maior que zero). Já - x + 4 é vista como decrescente porque o valor de a = - 1 (menor que zero). Observe nos gráficos abaixo:

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É necessário determinar dois pontos para traçar a reta do gráfico: pela raiz da função e substituição do x pelo valor de zero (y = b):

f(x) = ax + b

f(x) = a . 0 + b
y = b

Raiz

A raiz de uma função afim é o ponto que corta o eixo x (abscissa), isto é, no período em que y = 0. Com isso, basta substituir o valor de y por 0 que a raiz será definida.

f(x) = ax + b
0 = ax + b
ax = -b
x = -b/a

As funções de primeiro grau possuem somente uma raiz e, como já sabemos, duas coordenadas (b, -b/a).

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Em f(x)= ax +b, o valor de a é identificado como taxa de variação (crescimento) ou de coeficiente angular porque aponta o quanto a função pode crescer e a inclinação da reta em relação ao eixo da abscissa (x) no plano cartesiano.

Já o termo b, que é constante, é identificado como coeficiente linear da função porque define o ponto onde a reta corta o eixo y do gráfico quando x = 0. Em f(x) = 3x + 10 a função irá cortar o eixo das ordenadas (y) no ponto (0,10), pois f(0) = 3.0+10 = 10.

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Existem três classificações da função afim: linear, identidade e constante. Entenda as características de cada uma delas.

Constante

Uma função afim é considerada como constante se f(x) = b, isto é, quando o coeficiente angular é igual a zero. Nessa categoria o gráfico apresentará uma reta paralela ao eixo da abscissa (x), cortando o y no ponto b.

Dado f(x) = 2x + 3, o gráfico será interceptado no eixo 3, pois:

f(x) = 2.0+3

f(x) = 3

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Uma função afim se enquadra como identidade se f(x) = x, ou seja, quando o coeficiente angular é igual a 1 e o coeficiente linear igual a zero (a = 1; b = 0). Nessas situações a reta passará pela origem (0,0).

A semirreta que separa o ângulo em dois de mesmo tamanho é chamada de bissetriz. Ela também é identificada como reta dos quadrantes ímpares (1° e 3°).

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Uma função afim é considerada como linear se f(x) = ax, sendo o coeficiente angular diferente de zero e o coeficiente linear igual a zero (b = 0). Nesses casos a reta passará pela origem (0,0).

As funções f(x) = 2x; f(x) = - 6x ou f(x) = 1/3 são lineares. No gráfico abaixo temos a representação do primeiro exemplo:

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Função Exponencial é aquela que a variável está no expoente e cuja base é sempre maior que zero e diferente de um.

Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado a qualquer número resulta em 1. Assim, em vez de exponencial, estaríamos diante de uma função constante.

Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para alguns expoentes a função não estaria definida.

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Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. Como no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de número negativo, não existiria imagem da função para esse valor.

Exemplos:
f(x) = 4x
f(x) = (0,1)x
f(x) = (⅔)x

Nos exemplos acima 4, 0,1 e ⅔ são as bases, enquanto x é o expoente.

Gráfico da função exponencial
O gráfico desta função passa pelo ponto (0,1), pois todo número elevado a zero é igual a 1. Além disso, a curva exponencial não toca no eixo x.

Na função exponencial a base é sempre maior que zero, portanto a função terá sempre imagem positiva. Assim sendo, não apresenta pontos nos quadrantes III e IV (imagem negativa).

Abaixo representamos o gráfico da função exponencial.

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Função Crescente ou Decrescente
A função exponencial pode ser crescente ou decrescente.

Será crescente quando a base for maior que 1. Por exemplo, a função y = 2x é uma função crescente.

Para constatar que essa função é crescente, atribuímos valores para x no expoente da função e encontramos a sua imagem. Os valores encontrados estão na tabela abaixo.

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Carlos Henrique
Carlos Daniel
Elln